常用逻辑用语题型归纳
常用逻辑用语-知识点+习题+答案
常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（ ）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（ ） A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。
常用逻辑用语中参数的4种考法-【题型分类归纳】(解析版)
常用逻辑用语专题：常用逻辑用语中参数的4种考法充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，A B可得，p是q的充分条件，则由⊆①若A B，则p是q的充分不必要条件；A B，则p是q的必要条件；②若⊇③若A B，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；题型一根据充分条件求参数范围【例1】已知:42p x -<<-，:q x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤， 所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.【变式1-1】已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<．若0a >，且“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】0,1【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，又{}()220A x a x a a =-≤≤+>，{}14B x x =<<，所以2124a a ->⎧⎨+<⎩，可得01a <<，则实数a 的取值范围为0,1．【变式1-2】已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(,3]-∞【解析】因为x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，当B =∅时，121m m +>-，得2m <，此时满足集合B 是集合A 的真子集，当B ≠∅时，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩且等号不同时成立，解得23m ≤≤， 综上，3m ≤所以实数m 的取值范围(,3]-∞【变式1-3】集合{}11A x x =-<<，{}B x a x b a =-<-<．若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是（ ）A ．{}20b b -≤<B ．{}02b b <≤C ．{}22b b -<<D ．{}22b b -≤≤【答案】C【解析】{}11A x x =-<<，{}{}B x a x b a x b a x b a =-<-<=-<<+．因为“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，即当1a =时，A B ⋂≠∅成立，所以111-≤-<b 或111-<+≤b ，即22b -<<．故选：C ．【变式1-4】设命题p ：集合{}121A x a x a =+≤≤-，命题q ：集合{}25B x x =-≤≤，若p q ⇒，求实数a 的取值范围.【答案】(],3-∞【解析】因为p q ⇒，故A 是B 的子集，当A =∅时，121a a +>-，解得：2a <当A ≠∅，故满足12215121a a a a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，解得：23a ≤≤ 综上：3a ≤故实数a 的取值范围为(],3-∞题型二 根据必要条件求参数范围【例2】“x a ≥”是“2x ≥”的必要不充分条件，则a 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．(),2-∞ C ．(],2-∞ D ．[)0,∞+【答案】B【解析】由题意得，{}|2x x ≥是{}|x x a ≥的真子集，故2a <.故选：B【变式2-1】（多选）已知“125m x m -<<+”是“23x <<”成立的必要非充分条件，则符合条件的实数m 的一个值有（ ）A ．1-B ．0C ．4D ．5【答案】AB【解析】“125m x m -<<+”是“23x <<”成立的必要非充分条件，故25312m m +≥⎧⎨-≤⎩（等号不同时成立），解得13m -≤≤.故选：AB.【变式2-2】已知命题p ：关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，命题q ：11m a m -≤≤+，p 是q 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是_____．【答案】(][),37,-∞-+∞【解析】由命题p ：关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，则()()2430a a --+≥，即2a ≤-或6a ≥， 又p 是q 的必要非充分条件，故12m +≤-或16m -≥，即3m ≤-或7m ≥，故答案为：(][),37,-∞-+∞.【变式2-3】已知:{|2p A x x =<-或10},:{|1x q B x x m >=<-或1,0}x m m >+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】{}|9m m ≥.【解析】由p 是q 的必要不充分条件，所以B A ≠⊂，则012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+>⎩或012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩，解得：9m . m ∴的取值范围是{}|9m m ≥.【变式2-4】已知2{|}10P x x =<<-，11{|}Q x m x m =-<<+，若P 是Q 的必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．19m -<≤B ．19m -≤≤C ．1m ≤-D ．9m ≥【答案】B【解析】因为P 是Q 的必要条件，∴Q P ⊆，又2{|}10P x x =<<-，11{|}Q x m x m =-<<+，∴12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得19m -≤≤.故选：B. 题型三 根据充要条件求参数范围【例3】若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．【答案】0【解析】1111x m m x m -<-<⇒-<<+，则{x |11x -<<}＝{x |11m x m -<<+}，即11011m m m -=-⎧⇒=⎨+=⎩. 故答案为：0.【变式3-1】集合{}2320A x ax x =++=中至多有一个元素的充要条件是_____ .【答案】{9|8a a ≥或0}a =【解析】由已知得方程2320ax x ++=至多一个根，9800a a ∆=-≤⎧∴⎨≠⎩或0a =，解得908a a ≥=或 故答案为{9|8a a ≥或0}a =【变式3-2】方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是________．【答案】a ≤1【解析】当0a =时，原方程可化为：210x +=，解得：12x =-符合题意；当0a ≠时，方程显然没有根等于0，若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：0a <；若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：12124402020a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：01a <≤； 综上所述：方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 故答案为：a ≤1【变式3-3】设*N n ∈，一元二次方程240x x n +=-有实数根的充要条件是n =__．【答案】1或2或3或4【解析】一元二次方程240x x n +=-有实数根,∴()24411640n n ∆=--⨯⨯=-≥，解得4n ≤，又*N n ∈，∴1,2,3,4n =.故答案为：1或2或3或4．题型四 根据命题的真假求参数范围【例4】已知命题p ：实数x 满足1x ≤-或3x ≥．命题q ：实数x 满04x <<．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．【答案】(,1][4,)-∞-⋃+∞【解析】∵命题p 为真命题， ∴1x ≤-或3x ≥又命题q 为假命题，∴0x ≤或4x ≥，∴1x ≤-或4x ≥．所以实数x 的取值范围为(,1][4,)-∞-⋃+∞．【变式4-1】已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根. （1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 为真命题，q 为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵关于x 的方程20x x a -+=有实数根，∴140a ∆=-≥，即14a ≤， ∴若q 为真命题，实数a 的取值范围为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）∵p 为真命题，q 为假命题，∴2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得124a <<. ∴1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【变式4-2】已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),3-∞【解析】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.当0a ≥时，因为230m +>，所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立， 又233m +≥，所以03a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.故答案为：(),3-∞.【变式4-3】已知m ∈R ，命题p ：3x ∃≥，21x m -<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),5-∞ B ．()5,+∞ C ．(],5-∞ D ．[)5,+∞【答案】C【解析】命题p 的否定：3x ∀≥，21x m -≥.因为p 为假命题，所以命题p 的否定为真命题，故5m ≤.故选：C.【变式4-4】若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.【变式4-5】若命题“2,2120x ax ax ∀∈-+>R ”是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,12D ．[)0,12【答案】D【解析】当0a =时，符合题意；当0a >时，2Δ4480a a =-<，解得012a <<;当0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围为[)0,12.故选：D.。
常用逻辑用语知识例题梳理
常用逻辑用语一、知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
高考常用逻辑用语总复习知识题型总结
选项 A ，命题“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题是： “若 a＜b，则 am2＜bm2”， m 0 时，am2＜bm2 不成立，选项 A 为错误；
选项 B ，命题“存在 x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是
“对任意的 x R, x2 x 0 ”，选项 B 为错误；（命题的否定只否定结论） 选项 C ，“p 或 q”为真命题，命题 p 和命题 q 至少一个为真命题， 但不一定都为真命题，选项 C 为错误； 选项 D ，已知函数 f（x）在 R 上可导，则 f'（x0）＝0 时， f（x0）不一定是 f（x）的极值，如 f (x) x3, f (x) 3x2 ， f (0) 0 ，但 f (0) 不是极值点；如果 f（x0）为函数 f（x）的极值， 则 f (x0 ) 成立，所以选项 D 为正确.
又命题 q :若 a 1, 2,1 ， b 1, 0,1 ，
a b 1 0 1 2 0 ，则 a 与 b 不垂直，
D． p q
命题 q是假命题． p q 为真命题．
3.下列命题中真命题的个数是（ ）
①函数 y sin x ，其导函数是偶函数；
②“若 x y ，则 x2 y2 ”的逆否命题为真命题；
2．已知命题
p
:若
a
1,
2, 3
，
b
2, 4,
6
，则
a
/
/b
；命题
q
:若
a
1,
2,1
，
b
1,
0,1
，则
a
b
.下列命题为真命题的是（
）
A． p q
B b 2, 4, 6 ，
可知 b 2a ， a / /b ，命题 p 是真命题；
[逻辑]常见的十种逻辑典型题型
![[逻辑]常见的十种逻辑典型题型](https://img.taocdn.com/s3/m/860bd97402768e9951e73808.png)
[逻辑]常见的十种逻辑典型题型1、推断型这类题型要求以题干为前提，在选项中确定合乎逻辑的结论；或者从题干出发，推不出什么样的结论。
这类题目中最简单的，只需运用日常逻辑推理就可以找到答案。
而稍微复杂的题目通常在题干中给出若干表面上看没有明显的统一特征的条件，要求考生从这些条件推出某种结论。
这类题型多涉及复合判断推理，特别是对假言、联言和选言等推理的综合运用。
2、加强削弱型这是在MBA逻辑考试中出现最多的题型。
加强型主要有加强前提型和削弱结论型，削弱型刚好相反。
加强型考题是要寻找与题干一致的选项。
削弱型考题的解答则首先应明确题干的推理关系，即什么是前提，什么是结论；在此基础上，寻找削弱的对象，可以是针对前提，也可以针对结论，还可以针对论证本身，具体情况具体处理。
比如：针对前提，则直接反对原因，即直接说明原文推理的前提不正确，就达到推翻结论的目的；针对结论，则指出由该前提存在其他可能解释，则结论不一定成立；针对论证本身，则要指出论证上的漏洞，说明推理存在逻辑缺陷。
3、集合型可根据基本的集合概念和逻辑常识解决该类题型，解这种题型的重点放在集合的“部分与全体”上，同时要善于分辨可能重合的部分和绝不会重合的部分。
这类题目最好借助图形解答，非常直观，也不易出错。
4、排序型这种题型也比较简单，这类题型一般在题干部分给出不同对象之间的若干个两两对比的结果，要求从中推出具体的排序。
解这类题主要要把所给条件转化为最简单的排序形式。
比如列出几个不等式（等式）。
5、数字型数字型考题也比较常见，主要是在简单精确的数字背后隐藏有陷阱。
主要类型有：平均数陷阱，在对平均数的模糊理解做文章；百分比陷阱，一般题干仅提供两种事物的某种比率就比较出两种事物的结果，其实其陷阱就在于该百分比所赖以计算出来的基数是不同的；错误比较，或者不设定比较的对象，不设定比较的根据，表面上在进行比较，实际上根本就不可比。
6、真假话型解决这类问题的突破口是：运用对当关系等逻辑知识在所有叙述中找出有互相矛盾的判断，从而找出必然存在的一真一假或者某一项必真或者必假。
常用逻辑用语名校重难点题型分类-高分必刷题(解析版)
专题02 常用逻辑用语名校重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《常用逻辑用语》这一节的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：充分条件与必要条件的判定、充分条件与必要条件的探求、充分条件与必要条件的应用、命题的否定、确定命题中参数的范围、命题否定的应用。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：充分条件与必要条件的判定1．（长郡）“|x|≥2”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|≥2得x≤﹣2或x≥2，此时x＞3不一定成立，当x＞3时，|x|≥2成立，∴“|x|≥2”是“x＞3”成立的必要不充分条件，故选：B．2．（师大）对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（）（多选）A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件D．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件【解答】解：A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，因为c＝0时，ac＝bc对任意的a、b均成立，故A错误；B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，B正确；C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C正确；D．“a＞b”，则“ac2≥bc2”（c＝0时取“＝”），故“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件，D正确，故选：BCD．3．（雅礼）已知a，b∈R，则a≥0且b≥0是a+b≥2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a+b≥2⇔（﹣）2≥0，∴a≥0，b≥0，因此a≥0且b≥0是a+b≥2的充要条件．故选：C．4．（周南）2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID﹣19（新冠肺炎）．新冠肺炎患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征．“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：某人表现为发热、干咳、浑身乏力”，则其不一定是“新冠肺炎患者”，充分性不成立，若某人为新冠肺炎无症状感染者，则无表现，必要性不成立，故选：D．题型二：充分条件与必要条件的探求5．（雅礼）使ab＞0成立的充分不必要条件可以是（）（多选）A．a＞0，b＞0B．a+b＞0C．a＜0，b＜0D．a＞1，b＞1【解答】解：使ab＞0成立的充分必要条件为a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故选项ACD符合题意，故选：ACD．6．（一中）以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为（）（多选）A．a﹣b＞0B．C．a+b＜0D．a+2b＜1【解答】解：由a＜0，b＜0，可得：a+b＜0，a+2b＜0＜1．而a与b大小关系不确定，＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为CD．故选：CD．题型三：充分条件与必要条件的应用7．（雅礼）设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，集合B＝{x||x+a|＜1}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）解不等式x2+2x﹣3＜0，得﹣3＜x＜1，即A＝（﹣3，1），…（2分）当a＝3时，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B＝（﹣4，﹣2），…（4分）所以A∪B＝（﹣4，1）；…（6分）（2）因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集…（8分）又集合A＝（﹣3，1），B＝（﹣a﹣1，﹣a+1），…（10分）所以或，…（12分）解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2…（14分）8．（明德）已知m＞0，p：﹣2≤x≤6，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若￢q是￢p成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设A＝[﹣2，6]，B＝[2﹣m，2+m]，∵p是q成立的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则，解得0＜m≤4．又当m＝4时，A＝B，不合题意，舍去，∴m的取值范围是（0，4）．（2）∵￢q是￢p成立的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，则，m≥4，又当m＝4时，A＝B，不合题意，舍去，∴m的取值范围是（4，+∞）．题型四：命题的否定9．（长郡）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D．10．（雅礼）已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，那么命题p的否定是（）A．∃x0∈R，x02+1＞0B．∃x0∈R，x02+1≥0C．∀x∈R，x2+1≥0D．∀x∈R，x2+1＜0【解答】解：命题的特称命题，则否定是：∀x∈R，x2+1≥0，故选：C．11．（师大）命题：∃x0≤0，x02﹣x0﹣1＞0的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x﹣1≤0B．∃x0＞0，x02﹣x0﹣1＞0C．∃x0≤0，x02﹣x0﹣1≤0D．∀x≤0，x2﹣x﹣1≤0【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x≤0，x2﹣x﹣1≤0，故选：D．12．（明德）设p：x或x＞2；q：x＜﹣1或x＞2．则￢p是￢q的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵p：x或x＞2；q：x＜﹣1或x＞2，∴￢p：≤x≤2，￢q：﹣1≤x≤2，根据充分必要条件的定义可判断：￢p是￢q的充分不必要条件．故选：A．13．（周南）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0有实根；（2）每个正方形都是平行四边形；（3）∃m∈N，∈N；（4）存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°．【解答】解：（1）∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0有实根，其否定为：∃a∈R，一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0无实根，由△＝a2+4＞0，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；（2）每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题；（3）∃m∈N，∈N，其否定为：∀m∈N，∉N，由m＝0时，＝1∈N，则原命题为真命题，其否定为假命题；（4）存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°，其否定为任意四边形ABCD，其内角和等于360°，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360°，可得原命题为假命题，其否定为真命题．题型五：确定命题中参数的范围14．（长郡）已知对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（）A．m≥3B．m＞3C．m＞1D．m≥1【解答】解：∵对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，∴m≥3，故选：A．15．（师大）已知函数y1＝m（x﹣2m）（x+m+3），y2＝x﹣1，若它们同时满足条件：①∀x∈R，y1＜0或y2＜0，②∃x∈{x|x＜﹣4}，y1y2＜0．则m的取值范围是．【解答】解：设y1＝f（x），y2＝g（x），当x≥1时，g（x）＝x﹣1＜0，不成立，所以当x≥1时，f（x）＜0．所以f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0，在x≥1时，恒成立．由二次函数的性质可知开口方向只能向下，且二次函数与x轴的交点都在（1，0）的左侧，则：，解得﹣4＜m＜0，即①成立的m的范围为﹣4＜m＜0．又x＜﹣4时，g（x）＝x﹣1＜0，所以f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0，在x＜﹣4时成立，所以2m＜﹣4，解得m＜﹣2②，由①②得：﹣4＜m＜﹣2．故参数m的取值范围为（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）题型六：命题否定的应用16．（雅礼）已知命题“∃x∈R，使4x2+x+”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜0B．0≤a≤4C．a≥4D．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使4x2+x+（a﹣2）≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2+x+（a ﹣2）＞0”是真命题，即判别式△＝12﹣4×4×（a﹣2）＜0，即a＞，故选：D．17．（师大）已知命题p：∃m∈R，mx2+1≤0；命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0．若p，q都是假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≤﹣2B．m≥2C．m≥2或m≤﹣2D．﹣2≤m≤2【解答】解：命题p：∃m∈R，mx2+1≤0为真命题，所以m＜0，当命题p为假命题时，m≥0；对于命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，当命题q为假命题时，m≥2或m≤﹣2．所以当命题p和命题q为假命题时，，解得m≥2．故选：B．18．（雅礼）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1＝0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1＝0为真，则方程x2+2x﹣m﹣1＝0有实根，∴4+4（m+1）≥0，∴m≥﹣2．（4分）（2）2x＞m（x2+1）可化为mx2﹣2x+m＜0．若p：∀x∈R，2x＞m（x2+1）为真．则mx2﹣2x+m＜0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为﹣2x＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜﹣1．（12分）￢q：m＜﹣2又p∧￢q为真，故p、￢q均为真命题．∴∴m＜﹣2．（15分）。
常用逻辑用语
第8讲 常用逻辑用语一、重点1.四种命题的相互关系及其真假判断；2.充分性、必要性的判断；3.命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断；4.全称量词与存在量词的意义.难点：1.充分性、必要性的判断；2. 对含有一个量词的命题的否定. 三、典例分析【题型一】四种命题及其关系知识梳理1．命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的可以 的陈述句．(2)特点：能判断真假,是陈述句． (3)分类：真命题、假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ． ②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性 ． 【例1】1、判断下列命题的真假（1）若B A x ⋂∉，则A x ∉且B x ∉; （2）若022≠+y x ，则0≠xy ； （3）若y x ≠或y x -≠，则y x ≠2、下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题； ④“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题；⑤“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”， 而由ab ≠0可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命 题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”为真命题． 答案 ②③⑤【题型二】 充分、必要、充要条件的判断 知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假 “若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系 p qp q条件关系p 是q 的_____条件 q 是p 的_____条件p 不是q 的_____条件 q 不是p 的_____条件注：在逻辑推理中p ⇒q ，能表达成以下5种说法：①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件；④q 的充分条件是p ；⑤p 的必要条件是q. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示p ⇒q ，只是说法不同而已．2. 充要条件：一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称_________．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的_________ ，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．3. 充分条件、必要条件、充要条件的判断（1）若p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分而不必要条件； （2）若q ⇒p ，但p q ，则p 是q 的必要而不充分条件； （3）若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；（4）若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【例2】1．（2016年江西师大附中高三上学期期末） “”是“曲线为双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当3>m 时，02>-m ，121)2(2222=--⇒=--m y m x y m mx ，原方程是双曲线方3m >22(2)1mx m y --=程；当原方程为双曲线方程时，有202,0>⇒>->m m m ；由以上说明可知3>m 是“曲线1)2(22=--y m mx 是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A.2、(2016届安徽合肥中学等六校高三第二次联考）在等差数列{}n a 中，“13a a <”是“数列{}n a 是单调递增数列”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要件 【答案C 】3. (2015—2016学年度內蒙古巴彥一中高二理数检测题）设()1:210,:021x p x m m q x -+<>>-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．【答案: (]02，】【变式训练2】1. 若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 .2. 已知p ：020-8-2≤x x ，q ：0-12-22≤+m x x （m>0）,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
高中数学,常用逻辑用语题型归纳(解析版)
第一章常用逻辑用语第一节：简单命题‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．1.1.对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假。
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．‖题型归纳‖题型一命题及其真假的判断例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x 2＋4x ＋5>0(x ∈R )； (3)x 2＋3x －2＝0；(4)一个数不是正数就是负数； (5)4是集合{1,2,3,4}中的元素； (6)求证y ＝sin 2x 的最小正周期为π. 【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x ∈R 时，x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x ，在没给定x 的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题． (4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题． (5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题． (6)是祈使句，不是命题．练习1、下面命题中是真命题的是( )A ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期是2π B ．等差数列一定是单调数列 C ．直线y ＝ax ＋a 过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB →·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确． 答案：C题型二 命题的结构形式例题2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形； (4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行． 【解】(1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题． (4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．练习2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．‖随堂练习‖1．下列语句为命题的个数有( )①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．下列命题中是假命题的是( )A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 解：(1)条件p ：整数a 能被2整除，结论q ：整数a 是偶数．(2)条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直且平分． 5．把下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)函数y ＝x 3是奇函数； (2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x ，y 是正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2. 解：(1)若一个函数是y ＝x 3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题． (4)已知x ，y 是正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，它是假命题． 6．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D四种命题及其相互关系‖知识梳理‖1．四种命题的概念2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．‖题型归纳‖题型一四种命题的概念例题1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．练习1、“若a≥2，则a2≥4”的否命题是( )A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系例题2、下列说法中，不正确的是( )A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】 C练习2、若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断例题3、有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】 B练习3、下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四、等价命题的应用例题4、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】 解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 若a <1，则4a －7<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题． 解法二：判断原命题的真假．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．练习4、已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0. 证明：原命题的逆否命题是：若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<0.∵a ＋b <0，∴a <－b . 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )． ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0. ∴原命题的逆否命题为真命题． 故原命题成立．‖随堂练习‖1．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．若a >b ，则a －1≤b －1B ．若a >b ，则a －1<b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1 解析：否命题应同时否定条件和结论． 答案：C2．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D 正确． 答案：D3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题解析：C 中，原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题． 答案：C 4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________． 解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题． 答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题． 逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．6．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，在命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”及其逆命题中( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．两个命题都真D ．两个命题都假解析：原命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC 不是直角三角形，则a 2＋b 2≠c 2”是真命题．故选B.充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p⇒q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p 的充要条件．若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．4．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．③若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．4.从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：‖题型归纳‖题型一充分条件、必要条件的判定例题1、指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B．【解】(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且q p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p q，所以p是q 的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则p q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则q p.所以p是q的既不充分也不必要条件．练习1—1、“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习1-2、“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A (2)A题型二充分条件、必要条件的应用例题2、已知命题p：对数log a(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】 (1)由对数式有意义，得－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52，∴若命题p 为真命题，则实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0， 可化为(t －1)(t －a －2)<0.若p 是q 的充分不必要条件，则1<t <52是不等式解集的真子集．则a ＋2>52，∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.练习2、已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ，集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，集合B ＝{x |f (x )≤0}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 解：∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则f (x )≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即x 2－x ＋a ≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即f (x )max ≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋a ≤0，1－1＋a ≤0，即a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]．题型三 充要条件的证明例题3、已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.【证明】 证法一：①充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1y >1x ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y，得1x －1y<0， 即y －xxy<0. ∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0. 由①②知，1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0.故y －xxy <0⇔xy >0. ∴1x <1y ⇔xy >0.即1x <1y的充要条件是xy >0.练习3、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：①充分性：∵a －b ＋c ＝0，∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，∴－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根． ②必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是－1， ∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0， 即a －b ＋c ＝0.由①②知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.题型四 充要条件的探求例题4、设集合A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }，M ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，求使M ⊆B 的充要条件．【解】 ∵A ＝{x |－2≤x ≤a }．∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}． 当－2≤a <0时，M ＝{z |a 2≤z ≤4}； 当0≤a ≤2时，M ＝{z |0≤z ≤4}； 当a >2时，M ＝{z |0≤z ≤a 2}． 故当－2≤a ≤2时，M ⊆B ， 得2a ＋3≥4，即a ≥12.∴12≤a ≤2. 当a >2时，M ⊆B ，得 2a ＋3≥a 2，解得－1≤a ≤3. ∴2<a ≤3.综上知，M ⊆B 的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12≤a ≤3.练习4、直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________． 解析：∵直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m |2＝2，∴m ＝－4或m ＝0. 当m ＝－4或m ＝0时，直线与圆相切． 答案：m ＝－4或m ＝0‖随堂练习‖1．设a >0，b >0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ≥ab ＋1，得a －1＋b －ab ≥0，即(a －1)(1－b )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<b ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ≥1，∴a 2＋b2≥1，即a ＋b ≥ab ＋1⇒a 2＋b 2≥1，但当a ＝b ＝2时，有a 2＋b 2≥1，而a ＋b <ab ＋1.∴“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由p 成立，得a ≤1；由q 成立，得a >1，∴当﹁p 成立时，a >1，∴﹁p 是q 的充要条件． 答案：C3．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，反之，若m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B. 答案：B4．已知p ：函数f (x )＝|x －a |在(2，＋∞)上是增函数，q ：函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则a ≤2；若q 为真，则0<a <1.则q ⇒p ，pq ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选A. 答案：A5．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，又p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，m ＞0，(等号不能同时成立)，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．6．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由|x －1|<1，得0<x <2，∴“0<x <5”是“0<x <2”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B简单的逻辑联结词‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.(3)复合命题的真假①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．3．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．4．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：5.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁U A＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．6．命题的否定形式与否命题的关系：命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．‖题型归纳‖题型一命题的构成例题1、分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.练习1、试写出下列命题中的p ，q .(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； (3)一元二次方程至少有三个根． 解：(1)是p 且q 形式的命题．p ：梯形有一组对边平行； q ：梯形有一组对边相等．(2)是p 或q 形式的命题．p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p 的形式．p ：一元二次方程最多有两个根．题型二 复合命题的真假判断例题2、分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题的真假：(1)p ：π>3，q ：π<2；(2)p ：若x ≠0，则xy ≠0，q ：若y ≠0，则xy ≠0；(3)p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边； (4)p ：函数y ＝x 12的定义域为R ，q ：函数y ＝x 2是偶函数．【解】 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题，﹁p 是真命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题． (4)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是真命题．练习2—1、命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ，命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ，下列选项正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真练习2—2、已知命题p ：不等式－x 2＋2x <0的解集是{x |x <0或x >2}，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sinB 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p ∨q 假C ．p ∧q 真D ．p 假q 真解析：(1)p 为真命题，q 为真命题，∴p 且q 为真，故选D.(2)由－x 2＋2x <0，得x >2或x <0，故p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ，故q 为真命题，所以p ∧q 为真，故选C. 答案：(1)D (2)C题型三 命题的否定与否命题例题3、写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0； (3)等腰三角形有两个内角相等．【解】 (1)命题的否定：若abc ＝0，则a ，b ，c 中都不为0，为假命题；否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0，为假命题； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0，为真命题． (3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题； 否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．练习3、“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是___________；否命题是___________． 解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除． 答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四 逻辑联结词“或”“且”“非”的应用例题4、设命题p ：ln a <0；命题q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .(1)若命题q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是@⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.(2)若命题p 为真，则0<a <1，由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a <12，得0<a <12；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．练习4、已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：二次函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解：若函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0<a <1，∴p ：0<a <1.若曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点， 则(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.∴q ：a <12或a >52.若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，a >0且a ≠1，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.若p 假q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，a >0且a ≠1，得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.‖随堂练习‖1．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则﹁p 是( )A ．x ∉A ∪B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B解析：由x ∈A ∪B ，知x ∈A 或x ∈B .﹁p 是：x ∉A 且x ∉B .故选C. 答案：C2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：x >a ，则﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．下列三个结论：①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C. 答案：C5．已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：若a<b，则ac2<bc2，下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q) D．p∨q解析：若a＝－1，b＝－2，满足a>b，但a2<b2，∴p为假命题，当c＝0，a<b时，但ac2＝bc2，q为假命题．∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，故选C.答案：C6．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q：若S n为等差数列{a n}的前n项和，则S m，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧qA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵p为假命题，q为假命题，∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假命题．故选B. 答案：B全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题2.存在量词和特称命题3．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．4．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．。
常用逻辑用语题型归纳
《常用逻辑用语》一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ）A ．221,sin cos 222x x x R ∃∈+=B ．(0,),sin cos x x x π∀∈>C ．2,1x R x x ∃∈+=-D ．(0,),1x x e x∀∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨⌝（”为假命题，则（ ）A. p,q 均为假命题B. p,q 均为真命题C. p,q 中至少有一个为真命题D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒ x+y=2π 其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p4、给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )A ．“p∨q”为假B ．“p∨q”为真C ．“p∧q”为真D ．以上都不对6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( )7、下列命题中的假命题．．．是 ( )A. ,lg 0x R x ∃∈=B. ,tan 1x R x ∃∈=C. 3,0x R x ∀∈>D. ,20x x R ∀∈>8、下列命题中的假命题是 （ ）A ．∀x R ∈,120x -> B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题：①ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件；②若命题:,sin 1,P x R x ∀∈≤则:,sin 1p x R x ⌝∀∈>；③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。
高三一轮复习：常用逻辑用语
常用逻辑用语一、【知识梳理】（一）四种命题及其关系：1、一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ；逆命题： ； 否命题： ； 逆否命题： 。
2、一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真； （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（4）逆命题为真，它的否命题一定为真。
（二）充分条件和必要条件：1、“若p 则q ”是真命题，即q p ⇒；“若p 则q ”为假命题，即q p ⇒。
2、 （1）若q p ⇒，但q p ⇐，则p 叫q 的 ；（2）若q p ⇒，但q p ⇐，则p 叫q 的 ；（3）若q p ⇒，且q p ⇐，则p 叫q 的 ；（4）若q p ⇒，且q p ⇐，则p 叫q 的 ； 3、证明p 是q 的充要条件分两步：（1）充分性，把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出q ； （2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p ；（三）逻辑联结词：1、或、且、非这些词叫做逻辑联结词。
或：两个命题中至少一个成立； 且：两个命题都成立； 非：对一个命题的否定；2、了解真值表：（四）含有一个量词的命题：1、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
2、将含有变量x 的语句用p(x)、q(x)、r(x )……表示，变量x 的范围用M 表示，那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可用符号简记为 。
3、短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
4、存在性命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可用符号简记为 。
5、全称命题M x ∈∀，p(x)，它的否定： ，全称命题的否定是存在性命题。
典型例题：常用逻辑用语主要题型及解题指导
《常用逻辑用语》主要题型及解题指导常用逻辑用语在各级考试中主要以考查基本概念、基本关系与其它知识相结合为主的客观题形式出现，难度低，重基础学习中只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、全称量词与特称量词的关系、充要条件的意义、四种命题及相互关系，针对不同试题，应用不同的求解策略，解题时才会得心应手1、命题的真假判断此类问题包括四种类型：1一般命题的真假判断，可根据定义直接判断；2四种命题的真假判断，可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解；3命题p∨q”﹑“p∧q”﹑“p”的真假判断：首先要确定命题的构成形式，然后指出其中子命题p与q 的真假，最后利用真值表获得命题的真假性；4含有量词的命题的真假判断，注意反例的应用例1命题p：若a、b、c∈R，则“y＝a2＋b＋c为二次函数”是“y＝a＋b为一次函数”充要条件．命题q：函数y＝的定义域是－∞，－1∪3，＋∞则A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真分析：根据一次函数与二次函数的解析式的结构特点就可判断命题p的真假，根据根式满足的条件，通过解绝对值不等式可确定命题q的真假．解：当y＝a2＋b＋c为二次函数时，a≠0，则y＝a＋b为一次函数反过来，当y＝a＋b为一次函数时，a≠0，则y＝a2＋b ＋c为二次函数，故命题p真由|－1|－2≥0可得≤－1或≥3，即q为真命题，∴“p且q”为真，故选A．点评：本题解答关键是要对一次函数与二次函数的定义理解透彻及掌握函数定义域的求法，同时把握住复合命题真假的判断规律．2、命题的合成与分解主要有两种题型：一是利用基本简易逻辑词将子命题合成为p∧q﹑p∨q﹑p的命题形式；二是将具有p∧q﹑p∨q﹑p形式的命题分解为子命题p与q，此类题型要注意有些命题中没有明显的逻辑联结词，解答时要首先对命题进行适当的改写例2命题p：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝；命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－，则命题p∨q为_______________分析：根据p∨q定义复合原则直接合成即可解：命题p∨q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝或命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－点评：本题易错写为直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝或－，＝或－，因此命题p与命题q都是假命题，于是p∨q假，也就是说解答此类试题，可以利用复合命题的真值表进行验证3、对全称命题和存在性命题的否定一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称命题与存在性命题互为否定，肯定与否定互为否定．而对一个命题的否定时，注意区分命题的“否定”与“否命题”，命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件，否命题则是既要否定结论，又要否定条件例2 命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是A奇函数的图象不关于原点对称B任意奇函数的图象关于原点对称C存在一个奇函数图象不关于原点对称D存在奇函数的图象关于原点对称分析：此题实际上也是一道对全称命题的否定，因为原命题省略了全称量词“所有的”，同时命题中省略了判断词“是”，因此命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”后再否定解：命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”，由此对全称量词“所有的”与判断词“是”进行否定即可得到原命题的否定：存在一个奇函数的图象不关于直线y＝对称，故选C点拨：解答本题的关键就是要找出命题中省略了的全称量词“所有的”与判断“是”4、充要条件主要有三类题型一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，主要分为四种关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是根据探求某结论成立时的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题而充要条件判断主要有定义法、集合法、命题法三种方法，同时判断时要做到：①确定命题的条件和结论；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件例4已知条件p：|＋1|＞2，条件q：＞a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥－1 D．a≤－1分析：首先通过解不等式确定p，进而确定p，然后结合条件要求，利用集合关系，结合数轴可得a的取值范围解析：解不等式|＋1|＞2，得条件p：＜－3或＞1，则p：－3≤≤1，又q：≤a，则要使p是q的充分不必要条件必有a≥1，故选A点评：与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，根据集合与充要条件之间的关系来求解一般地，若集合A、B满足：AB，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件5、四种命题的关系改写注意三点，一是如果命题中无明显的“若p，则q”形式，可以先对命题形式进行改写，再进行四种命题之间的转换；二是注意区分命题的否定形式与否命题；三是四种形式的命题中，逆命题、否命题、逆否命题都是针对原命题而言的，所涉及的四种命题，谁是原命题是相对的例5命题“若2＜1，则3＜＜4”的逆否命题是A．“若≤3或≥4，则2＞0”B．“若3＜＜4，则2≥0”C．“若≤3或≥4，则2＜0”D．“若≤3或≥4，则2≥0”分析：对原命题既向要进行逆向叙述，又要同时否定条件和结论，但要注意将条件“3＜＜4”改写为“＞3且＜4”，同时注意“且”的否定是用“或”解：根据逆否命题的定义，得逆否命题：若“若≤3或≥4，则2≥0”，故选D．点评：本题主要考查命题四种命题形式之间的转换转换时要注意两点：①如果命题中无明显的“若p，则q”形式,可以先对命题进行改写；②“或”与“且”的互否性．。
高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳
§．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p 则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q”为假，即“若p 则q”为真 .8．充分条件与必要条件 ：①pq ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件； ②p q ：p 是q 的充要条件 . 9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明p 的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 关键词 是 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 任意 存在否定 不是 不都是（全是） ≤（≥） 一个也没有 至少有两个 存在 任意2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-h b h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<- 故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22 同理也可得h b a 2<-因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4] 已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因 ：对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解：当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5，故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1).同样，a 1≠,且b 3≠时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1≠且b 3≠为真时，必须a 1≠,b 3≠同时成立.[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立，所以q p ⇒,但q 成立不能推出p 成立，所以选A 解：选A[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)① mx 2－4x ＋4＝0 ② x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1.方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ，解得.45-≥m ,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m =－1或m =0或m =1. 当m =－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m =1.[例7] 用反证法证明：若a 、b 、c R ∈，且122+-=b a x ，122+-=c b y ，122+-=a c z ，则x 、y 、z 中至少有一个不小于0证明： 假设x 、y 、z 均小于0，即：0122<+-=b a x ----① ；0122<+-=c b y ----② ；0122<+-=a c z ----③；①+②+③得0)1()1()1(222<-+-+-=++c b a z y x ，这与0)1()1()1(222≥-+-+-c b a 矛盾，则假设不成立， ∴x 、y 、z 中至少有一个不小于0[例8] 已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．分析：“p 或q ”为真，则命题p 、q 至少有一个为真，“p 且q ”为假，则命题p 、q 至少有一为假，因此，两命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. 解： 若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2，即命题p ：m ＞2若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0解得：1＜mq ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 解得：m ≥3或1＜m ≤2.四、典型习题导练1．方程0122=++x mx 至少有一个负根，则（ ）A.10<<m 或0<mB.10<<mC.1<mD.1≤m2．“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数,,a b c 不全为0的充要条件是 （ ）A.,,a b c 都不是0.B.,,a b c 中至多一个是0.C.,,a b c 中只有一个是0.D.,,a b c 中至少一个不是0.4．由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _.5．若,a b R ∈，试从A.0ab =B.0a b +=C.220a b +=D.0ab >E.0a b +>F.220a b +> 中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使,a b 都为0的充分条件是 ；（2）使,a b 都不为0的充分条件是 ；（3）使,a b 中至少有一个为0的充要条件是 ；（4）使,a b 中至少有一个不为0的充要条件是 ．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p : 梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．（2）p : 1是方程0342=+-x x 的解；q ：3是方程0342=+-x x 的解． （3）p : 不等式0122>+-x x 解集为R ；q : 不等式1222≤+-x x 解集为． 7．命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a 、b 、c 、d 均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x 、y 、z 、t 四个数中，至少有一个不大于1．。
专题02 常用逻辑用语(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题02常用逻辑用语．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若p q 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)；（4）若p q 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立).二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝.（2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝.注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件.2.常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于)(=大于)(>小于)(<是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于)(≠小于等于)(≤大于等于)(≥不是不都是某个至少有两个一个都没有(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（）A ．m α⊥且n α⊥B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++>【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________.例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4 -B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________.例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ．(1)若1a =，求()U A B ⋂ ．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（）A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x >C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >D ．[],x a b ∀∈，()()f xg x >例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（）A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ= ，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（）A ．∀x ∈R ，2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >；（2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦；（3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >；（4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >．【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（）．A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（）A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，2002n n +<D ．*0N n ∃∈，2002n n +<例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C ．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（）A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <-B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥-C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥-例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（）A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数C ．任意一个无理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方是无理数例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________.【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.1.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．16m <D ．1m <例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦ D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．1a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>；3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+；4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p 6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（）A ．02x ∃≥，204x <B ．2x ∀≥，24x <C ．02x ∃<，204x <D ．2x ∀<，24x <7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，且关于x 的不等式|()|f x m <的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（）A ．m a ≥B ．m a ≤C ．2m a ≥D ．2m a ≤8．（2022·全国·高三专题练习）定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是A B C =∅ 的（）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件二、多选题9．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（）A ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件B ．设,A B 是两个集合，则“A B A = ”是“A B ⊆”的充要条件C ．“0,0x x e ∀>>”的否定是“0,0x x e ∃≤≤”D ．8名同学的数学竞赛成绩分别为：80,68,90,70,88,96,89,98，则该数学成绩的15%分位数为70（注：一般地，一组数据的第P 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有%P 的数据小于或者等于这个值，且至少有()100%P -的数据大于或者等于这个值．)10．（2022·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知x ，y 均为正实数，则下列各式可成为“x y <”的充要条件是（）A ．11x y>B ．sin sin x y x y ->-C ．cos cos x y x y -<-D ．22e e x y x y -<-12．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．“关于x 的不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是14m >B ．设,x y ∈R ，则“2x 且2y ”是“224x y + ”的必要不充分条件C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．命题“[]0,1,0x x a ∃∈+ ”是假命题的实数a 的取值范围为{0}aa >∣三、填空题13．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若命题“20001,30x x ax a ∃>-++<”是假命题，则a 的取值范围是_______.14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.15．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2221f x x ax a a =-+-∈R ，则“方程()0f x =在区间(),0 -和()1,+∞上各有一个解”的一个充分不必要条件是a ＝______．（写出满足条件的一个值即可）16．（2022·全国·高三专题练习）已知():ln p f x x a x =-在[)2+∞，上单调递增，:q a m <.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____________.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()g x =B ，(1)当0a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，p q 是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合11122x A x ⎧⎫-=-<⎨⎬⎩⎭，{}227100B x x ax a =-+<，a ∈R .(1)当0a >时，x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若R B A ⊆ ，求实数a 的取值范围.19．（2022·全国·高三专题练习）已知p ：22114x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，q ：2,10x R x mx ∃∈-+<，(1)若p 是真命题，求m 的取值范围；(2)若p ，q 都是真命题，求m 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设:24p x ≤<，q ：实数x 满足()222300x ax a a --<>.(1)若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x A y y x ==≤，{}21,R B x a x a a =+≤≤-∈.求：（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围22．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．。
常用逻辑用语(解析版)
常用逻辑用语【考纲要求】1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否一、充分条件与必要条件【思维导图】【考点总结】一、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件二、全称量词与存在量词【思维导图】【考点总结】一、全称量词与全称量词命题1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x ,验证p (x )成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个0x ∈M ,使得p (0x )不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:存在M 中的一个0x ,使p (0x )成立,可简记为:∃0x ∈M ,p (0x ),读作“存在M 中的元素0x ,使p(0x )成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,能找到一个0x ,使得命题p (0x )成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 【常用结论】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； 【易错总结】(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况； (3)对充分必要条件判断错误．【题型汇编】题型一：充分条件与必要条件 题型二：全称量词与存在量词【题型讲解】题型一：充分条件与必要条件 一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.2．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3．（2022·全国·一模（理））设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（ ） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂C ．//l n ，n α⊥D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误； 对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确； 对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量(1,),(2,4)a k b ==，则“12k =-”是“222a b a b +=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】由222a b a b +=+，得22222a a b b a b +⋅+=+，得0a b ⋅=，得(1，k )·(2，4)＝0，解得12k =-，反之，当12k =-时，0a b ⋅=，所以22222a a b b a b +⋅+=+，所以222a b a b +=+，所以“12k =-”是“222a b a b +=+”的充要条件.故选：C. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题 5．（2022·全国·模拟预测（理））设a >0，b >0，则“94a b +≤”是“49ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由均值不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为a >0，b >0，所以4929=6a b a b ab ≥+≥⋅则49ab ≤，当且仅当9=2a b =时，等号成立，所以94a b +≤可以推出49ab ≤，所以充分性成立. 当1=981a b =，，满足49ab ≤，但19=9+9481a b +⨯>，所以49ab ≤推不出94a b +≤，所以必要性不成立.故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解． 【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥， 所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-， 则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件． 故选：A ．7．（2022·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断. 【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选B.8．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论. 【详解】因为A 、()0,B π∈，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数， 在ABC 中，cos cos sin sin A B A B a b A B >⇔<⇔<⇔<. 因此，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件. 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）“1a b +>”是“2221a b b -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从而确定充分性和必要性． 【详解】若2221a b b -+>成立，则2212a b b >-+成立，即()221a b >-， 即1a b >-，由1a b +>可得1a b >-，但不一定得到1a b >-， 相反由1a b >-也不一定能得出1a b >-， 故选:D ．10．（2022·全国·模拟预测）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的． 故选：A. 【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数0a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示圆可构造不等式求得a 的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程2230x y x y a +-++=表示圆，则()221341040a a -+-=->，解得：52a <； 502a a <⇒<，502a a <<，∴甲是乙的充分不必要条件.故选：A.12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“20a b +=”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出20a b +=，不满足充分性；当20a b +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“20a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2022·全国·模拟预测）设R x ∈，则“215x -≤”的必要不充分条件是（ ） A ．[)2,3- B ．(),3-∞C ．[]2,4-D ．[)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合[]2,3-，由此可判断答案. 【详解】由215x -≤，得5215x -≤-≤，即23x -≤≤，则选项是“23x -≤≤”的必要不充分条件，即[]2,3-是选项中集合的真子集，结合选项，A,B 中集合都不含3，不符合题意，D 中集合[)3,+∞不能包含[]2,3-，不符合题意， 而C 集合满足[][]2,32,4--，故选：C.14．（2022·全国·模拟预测）已知m ，n ，p 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．“m α∥”是“m 平行于平面α内的任意一条直线”的充分不必要条件 B ．“m α∥，//n α”是“//m n ”的必要不充分条件C ．“p m ⊥，p n ⊥”是“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”的必要不充分条件D ．已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.解：对于A 选项；“m 平行于平面α内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的； 对于B 选项：“//m α，//n α”是“m n ∥”的既不充分也不必要条件； 对于C 选项：“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”可以证明“p m ⊥，p n ⊥”，由“p m ⊥，p n ⊥”要证明“p α⊥”，还需添加条件“m α⊂，n ⊂α，且m 和n 相交”， 所以C 正确；对于D 选项：已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充分不必要条件. 故选：C15．（2022·全国·模拟预测（文））已知0,0m n >>，条件:53p m n mn +=，条件:3564q m n +≥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断； 【详解】解：因0,0m n >>，由53m n mn +=，得：531n m +=，则()531515353464m n m n n m n m ⎛⎫+⋅+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当8m n ==时取等号，因此p 推得出q ，即充分性成立，取2,12m n ==，满足3564m n +≥，但53m n mn +≠，即q 推不出p ，即必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选 ：A16．（2022·全国·模拟预测（理））“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l 平行，故充分条件成立； 当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立． 故选：A ．17．（2022·上海奉贤·二模）在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（ ）．A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】C 【解析】 【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为sin sin A B >，可得a b >.故充分性满足； 必要性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为a b >，可得sin sin A B >.故必有性满足. 故α是β的充要条件. 故选：C18．（2022·上海普陀·二模）“0x y >>”是“11x y x y->-”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】由221111(1)()()x y xy x y x y x y x y xy--+----=-=，又0x y >>，所以11()0x y x y --->，即11x y x y->-，充分性成立； 当11x y x y ->-时，即(1)()0xy x y xy+->，显然2,1x y ==-时成立，必要性不成立. 故“0x y >>”是“11x y x y->-”的充分非必要条件. 故选：A19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若0,0a b >>，则“222a b +≥”是“2a b +≥”的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分也非必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答. 【详解】依题意，取12,2a b ==，满足222a b +≥，而2a b +<， 当2a b +≥时，()()()22222122a b a b a ba b ++-+=≥+，当且仅当a b =时取“=”，则222a b +≥， “222a b +≥”是“2a b +≥”的必要不充分条件. 故选：B20．（2022·北京·北大附中三模）已知ABC ，则“sin cos 1A A +<”是“ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】在三角形中，由sin cos 1A A +<先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角A 为钝角成立，反之举反例得出必要性不成立，从而得出结论.【详解】解：ABC 中，0A π<<，sin cos 2)14A A A π++<，2sin()4A π∴+<444A ππππ<+<+，344A ππ∴+>，2A π∴>，所以ABC 是钝角三角形，充分性成立；若ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：6A π=,此时sin cos =sincos166A A ππ++>，必要性不成立； 故选：A.21．（2022·海南海口·二模）已知x ，R y ∈且0x ≠，则“x y >”是“21yx x>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为0x ≠，所以20x >，则“x y >”两边同除以2x 即可得到“21yx x>”，反过来同乘以2x 即可，故“x y >”是“21yx x >”的充要条件． 故选：C.22．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据1n n a a +>，求得21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，进而得到32λ<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则221(1)2(1)22120n n a a n n n n n λλλ+=+-+-+=+->-，即21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立， 当1n =时，1n 2+取得最小值32，所以32λ<， 所以“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的充分不必要条件. 故选：A.23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：①命题：“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”； ②抛物线216y x =的焦点坐标为(0,4)；③已知x ∈R ，则|1|3x +>是24x >的必要不充分条件； ④在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件. 其中真命题的个数为（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】①；因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”，因此本说法正确；②：2211616y x x y =⇒=，因此该抛物线的焦点坐标为：1(0,)64，所以本说法不正确； ③：由|1|32x x +>⇒>，或4x <-，由242x x >⇒>，或2x <-， 因此由|1|3x +>能推出24x >，但是由24x >不一定能推出|1|3x +>， 所以|1|3x +>是24x >的充分不必要条件，因此本说法不正确；④：在ABC 中，一方面，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >； 另一方面，由sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，所以在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，因此本说法正确， 所以真命题的个数为2个，24．（2022·山东烟台·三模）若a 和α分别为空间中的直线和平面，则“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答. 【详解】若a α⊥，则a 垂直α内所有直线，因此，命题“若a α⊥，则a 垂直α内无数条直线”正确，a 垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a 可以在平面α内，即不能推出a α⊥，所以“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A25．（2022·山东淄博·三模）已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断 【详解】当直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行时，21112a a +=≠，解得12a =-，当1a =时，直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=重合，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，二、多选题1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若0MN >，则log log log a a a MN M N =+ D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ：求出不等式11a<的解集，即可判断出两个命题的关系； 对于B ：根据命题的否定规则即可判断； 对于C ：根据对数定义域的限制条件即可判断； 对于D ：根据不等式的性质即可进行判断. 【详解】 因为11a <，1110aa a --=<，解得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 错误；命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”，所以选项B 正确；当0M <且0N <时，log a M 与log a N 没有意义，所以选项C 错误；若22ac bc >，可得20c >，则a b >，所以选项D 正确.故选：BD.2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．n S 是关于n 的二次函数C ．{}n na 不可能是等差数列D ．“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解：由11(1)2n S na n n d =+-知，11(1)2n S a n d n =+-，则1112+-=+n n S S d n n ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故A 正确； 当0d =时，1n S na =不是n 的二次函数，故B 不正确； 当0d =时，11,n n a a na na ==，则()111n n n a na a ++-=，所以{}n na 是等差数列，故C 不正确； 当0d >时，1102n n n S S d S -+=->+，故112n n n S S S -++>，11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d -++-+++>⇔->-⇔>⇔-=>， 所以“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件，故D 正确. 故选：AD.3．（2022·江苏南京·三模）设2P a a=+，a ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．22P ≥B ．“a ＞1”是“22P ≥的充分不必要条件 C ．“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件 D ．∃a ∈（3，＋∞），使得P ＜3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解. 【详解】解：A 错误，当0a <时，显然有P 小于0B 正确，1a >时，22222P a a a a=+⋅≥22P ≥0a >即可；C 正确，23P a a=+>可得01a <<或2a >，当2a >时3P >成立的，故C 正确； D 错误，因为3a >有22333a a +>+>，故D 错误； 故选：BC.4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( ) A ．“5x >是“25x >”的充分不必要条件B ．2πtan 18π21tan 8=+ C ．已知在前n 项和为Sn 的等差数列{n a }中，若75a =，则1375S = D ．已知001a b a b >>+=，，，则14ba b-+的最小值为8【答案】AD 【解析】 【分析】A ：求解不等式25x >，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；B ：根据同角三角函数的商数关系、平方关系、正弦的二倍角公式即可化简求值；C ：根据等差数列与下标和有关的性质及等差数列前n 项和公式即可求解判断；D ：()14141411b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++- ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解判断． 【详解】对于A ，由255x x >⇔>5x <-A 正确；对于B ，22222πsin8ππππtancossin cos 1π28888sin ππππ241tan sin sin cos88881πcos 8====+++B 错误；对于C ，11313713()13652a a S a +===，故C 错误； 对于D ，()14141444114248b b a b a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++-=++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1233a b ==，时取等号，故D 正确﹒ 故选：AD ．5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B ．在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．两个向量,a b 共线的充要条件是存在实数，使b a λ=D ．对于非零向量,a b ，“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案. 【详解】对于A ：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；对于B ：若sin2sin2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=即ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于C ：若0,0b a ≠=，满足向量,a b 共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确； 对于D ：若“0a b +=”，则“//a b ”；若“//a b ”，则“0a b +=”不一定成立.所以该命题正确； 故选：AD6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线,m n 和两个平面,αβ，则αβ⊥”的充分条件是（ ）A ．,m mα⊥βB ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥C ．,m mα⊂,n n β⊥D ．,,m n m n αβ⊥⊥⊥ 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可. 【详解】对于选项A ，m β ， 则有m β内的一条直线,l 因为m α⊥， 所以,l α⊥ 又,l β⊂所以αβ⊥，即条件“,m m α⊥β”能够得到αβ⊥,所以选项A 是αβ⊥的充分条件；对于选项B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥不一定能够得出结论αβ⊥，,βα 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项C ，n β⊥，m n ，所以m β⊥，又因为,m α⊂所以αβ⊥，因此该选项正确；对于选项D ，因为,,m n m α⊥⊥ 所以,n α或,n α⊂又因为n β⊥，所以αβ⊥.故选：ACD.7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A ：由a b =有ac bc =，当ac bc =不一定有a b =成立，必要性不成立，假命题；B ：若12a b =>=-时22a b <，充分性不成立，假命题；C ：5a <不一定3a <，但3a <必有5a <，故“5a <”是“3a <”的必要条件，真命题；D ：5a +是无理数则a 是无理数，若a 是无理数也有5a +是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦【答案】AC【解析】【分析】当1a =-时，可判断直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相平行，判断A;根据直线的方程可求得斜率，进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a 的值，判断C;求出曲线234y x x =-数形结合，求得b 的范围，判断D.【详解】对于A,当1a =-时，30x y ++=与直线10x y --+=互相平行，即“1a =-”不是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分条件，故A 错误；对于B, 直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ满足tan cos [1,1]θα=∈- ，故30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故B 正确； 对于C ，圆221:64120C x y x y +-++=的圆心为3,2-（），半径1r =，圆222:1420C x y x y a +--+=的圆心为(7,1) ，半径50,(50)R a a =-<，两圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，()()223721550a -+--==-()()2237215150a -+--==-，解得34a = 或14a = ，故C 错误；对于D, 曲线234y x x =-22(2)(3)4,(3)x y y -+-=≤ ，表示以(2,3) 为圆心，半径为2 的半圆，如图示：直线y x b =+与曲线234y x x =-y x b =+与圆相切或过点(0,3), 22= 22= ，解得122b =-， 当直线过点(0,3)时，3b = ，则数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦，故D 正确，故选：AC9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x R ∃∈，00e 1x x <+”，则P ⌝：“x R ∀∈，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()23E ξ= D ．已知随机变量()23,XN σ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a = 【答案】BCD【解析】【分析】 选项A ：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B ：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C ：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D ：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项A ：若αβ=，则sin sin αβ=；若sin sin αβ=，则2k αβπ=+，k Z ∈，从而“αβ=”是“sin sin αβ=”的充分不必要条件，故A 错误；选项B ：由特称命题的否定的概念可知，B 正确；选项C ：因为12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12233E ξ=⨯=，故C 正确； 选项D ：结合已知条件可知，正态曲线关于3x =对称，又因为()()213P X a P X a >-=<+，从而21323a a -++=⨯，解得43a =，故D 正确. 故选：BCD10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称量词命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.题型二：全称量词与存在量词1．（2022·全国·模拟预测（理））若“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【解析】【分析】 写出全称量词命题为真命题，利用辅助角公式求出()[]2,2f x ∈-，从而求出实数a 的取值范围.【详解】因为“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则“x ∀∈R ，使得sin 3x x a ≠”为真命题，因为()[]πsin 32sin 2,23f x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+故选：D2．（2022·全国·模拟预测）命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（ ）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x <C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x <【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】 解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（）A ．2x ∀≥，2440x x -+<B ．2x ∃<，2440x x -+<C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<【答案】D【解析】【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<.故选：D.4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“0x R ∃∈，00e 1x x -≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1x x -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D【解析】【分析】 根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】命题“0R x ∃∈，00e 1x x -≥”为特称量词命题，其否定为R x ∀∈，e 1x x -<；故选：D5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是（ ）A ．R x ∀∈，20x <B ．R x ∀∈，20x ≥C ．0R x ∃∈，200x < D ．0R x ∃∈，200x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.【详解】由全称量词命题的否定为特称命题，所以原命题的否定为：0R x ∃∈，200x <. 故选：C6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是（ ）A ．00x ∃<，001x e x -<B ．00x ∃≥，001x e x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<【答案】D【解析】【分析】将特称命题的否定改为全称量词命题即可【详解】命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D7．（2022·全国·模拟预测）命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（ ）A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +> 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（ ）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可判断A ,由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ,通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”,正确；B. 在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a b R R≥(R 为外接圆半径)，a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；。
常用逻辑用语典型例题
常用逻辑用语1．命题及其真假判断(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．[例1]下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．①方程x2－2x＝0的根是自然数；②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；③垂直于同一个平面的两个平面平行；④函数y＝12x＋1是单调增函数；⑤非典型肺炎是怎样传染的？⑥奇数的平方仍是奇数；⑦好人一生平安！⑧解方程3x＋1＝0；⑨方程3x＋1＝0只有一个解；⑩3x＋1＝0.[解析]①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．[点评]⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．[误区警示]含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．[例2]判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．[解析]其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，∴原命题为假．2．四种命题的关系(1)注意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．[例3]写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则∈N；(2)∀a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.[解析](1)逆命题：∀n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真)否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则n∉N.(真)逆否命题：∀n∈N，若n∉N，则n不是完全平方数．(真)(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)[误区警示]①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”．②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.3．量词与复合命题(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[解析](1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.(3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.[误区警示]若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．[例5]写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：有些三角形是直角三角形．(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．(3)p：三角形的两边之和大于第三边．(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．[解析](1)綈p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)(2)綈p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)(3)綈p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)綈p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)4．充要条件(1)若“p⇒q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有q 成立，即使p 不成立，q 也可能成立；q 不成立，则p 一定不成立．(2)区分“p 是q 的充要条件”，“p 的充要条件是q ”说法的差异．[例6] (09·四川理)已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．[答案] B[解析] 由a －c >b －d 变形为a －b >c －d ，因为c >d ，所以c －d >0，所以a －b >0，即a >b ，∴a －c >b －d ⇒a >b .而a >b 并不能推出a －c >b －d .所以a >b 是a －c >b －d 的必要而不充分条件．故选B.[例7] 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0得p ：A ＝{x |x >10，或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得q ：B ＝{x |x >1＋a ，或x <1－a ，a >0}．依题意，p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤101－a ≥－2，且等号不同时取得，解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.5．反证法如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况[例8] 求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.[证明]假设p ＋q >2，则p 2＋q 2＝12[(p －q )2＋(p ＋q )2] ≥12(p ＋q )2>12×22＝2， 即p 2＋q 2>2，这与题设矛盾．因此假设不成立．即p ＋q ≤2成立．。
集合与常用逻辑用语7大题型
集合与常用逻辑用语7大题型1、集合集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。
2、常用逻辑用语常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见考查真假命题的判断；全称量词、特称量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。
但一般很少单独考考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点是“充要条件”，考生复习时需多注意这方面。
一、与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．二、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．三、集合中常见的参数求法1、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若A B⊆，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.3、根据集合运算的结果确定参数的取值范围法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。
专题02 常用逻辑用语3题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题02常用逻辑用语3题型分类1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)（一）充分、必要条件的判定成立的一个充分不必要条件为（（二）充分、必要条件的应用（三）全称量词与存在量词A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知命题“[]1,2x ∀∈，20x x a +->”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],5-∞B ．[)6,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞一、单选题1．（2024高三·安徽合肥·阶段练习）设非空集合P ，Q 满足P Q P ⋂=，则下列选项正确的是（）A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．x Q ∃∉，使得x P∈D ．x P ∃∈，使得x Q∉2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a ++=-∈R ，直线21:2l y x =-，给出下列命题：①R a ∃∈，使得12//l l ；②R a ∃∈，使得12l l ⊥；③R a ∀∈，1l 与2l 都相交；④R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为2.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④4．（2024·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数5．（2024高一上·湖南·阶段练习）若命题:P “()()22R,14130x k x k x ∃∈-+-+≤”是假命题，则k 的取值范围A ．()17，B ．[)1,7C ．()71-，D ．(]7,1-6．（2024高三·全国·专题练习）“x 为整数”是“21x +为整数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要7．（2024高三上·上海杨浦·期中）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2024·北京）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2024·广西南宁·一模）有下列四个命题，其中是假命题的是（）A ．已知()()1i 12i z =+-，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC 中，“π6A >”是“12A >”的必要不充分条件D ．命题“1x ∀>，32x x >”的否定是“1x ∃>，32x x ≤”10．（2024·安徽黄山·三模）“1a <”是“函数()()2log 11f x a x =--⎡⎤⎣⎦在区间()1 ∞,+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．（2024·重庆·三模）将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()g x 的图象，则“38πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）定义[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-.例如：[]3.23=，{}3.20.8-=.①[][][]x y x y +≤+；②存在0x ∈R 使得{}00x ⎡⎤≠⎣⎦；③1x y -<是[][]x y =成立的充分不必要条件；④方程{}210x x x --=的所有实根之和为1-，则上述命题为真命题的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④13．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题）命题：“[]1,2x ∀∈，2230x -≥”的否定是（）A ．[]1,2x ∀∉，2230x -≥B ．[]1,2x ∀∈，2230x -<C ．[]01,2x ∃∈，20230x -<D ．[]01,2x ∃∉，20230x -<14．（2024·天津河北·二模）若,,R a b c ∈，则“ac bc =”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（2024·北京）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2024·天津）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件18．（2024高三·全国·专题练习）设α，β是两个平面，直线l 与α垂直的一个充分条件是（）A ．//l β且αβ⊥B ．l β⊥且αβ⊥C ．l β⊂且αβ⊥D ．l β⊥且αβ∥19．（2024高一上·山东烟台·期中）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．（2024·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2024·广东揭阳·二模）下列结论正确的是（）①“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分非必要条件．②随机变量ξ服从正态分布()222N ，，则()2D ξ=③线性回归直线至少经过样本点中的一个．④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有c b a>>A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④22．（2024·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（）条件．A ．充分B ．必要C ．充分必要D ．既非充分又非必要23．（高考广西桂林、崇左市2022届高三5月联合模拟考试数学（文）试题）设,αβ为两个不同的平面，则αβ∥的一个充分条件可以是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．,αβ垂直于同一条直线C ．,αβ平行于同一条直线D ．,αβ垂直于同一个平面24．（2024·浙江嘉兴·二模）若0a >，0b >，则“1a b +=”是“11+4a b≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2024·广东湛江·二模）已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m αβ= ，则“m n ⊥”是“n β⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．（天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题）设x ∈R ，则“502x x->-”是“14x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2024·北京通州·一模）若a ，b ∈R ，则“224a b +≤”是“2ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件28．（2024·山东枣庄·一模）命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A ．n ∀∈Z ，n ∉QB ．n ∀∈Q ，n ∈ZC ．n ∃∈Z ，n ∈QD ．n ∃∈Z ，n ∉Q29．（2024·江西九江·二模）已知命题p ：0x ∀≥，cos e x x ≤，则p ⌝为（）A ．0x ∀≥，cos e x x >B ．00x ∃<，00cos e xx >C ．0x ∀<，cos e xx >D ．00x ∃≥，00cos e xx >30．（2024高三下·湖南衡阳·开学考试）下列有关命题的说法正确的是()A ．若+=- a b a b ，则a b⊥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则命题p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥D ．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，n β ，那么αβ⊥31．（重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题）命题p 的否定为“0x ∃<，使得22x x +>”，则命题p 为（）A ．0,22x x x ∀<+>B ．0x ∃，使得22x x +>C ．0,22xx x ∀<+D ．0x ∃，使得22xx +32．（2024·全国）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件33．（2024·山东）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件34．（2024·北京）已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件35．（甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（文）试题）“x =1”是“2320x x -+=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件36．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件37．（2024·全国·模拟预测）“153a >”是“253a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件38．（2024·山东临沂·一模）已知圆C ：()()22233x y R -+-=，点()0,2A ，()2,0B ，则“28R >”是“直线AB 与圆C 有公共点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件39．（山东省淄博市2023-2024学年高三模拟考试（一模）数学试题）若向量(),3a m =- ，()3,1b =r，则“1m <”是“向量a ，b夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件40．（2024·河北·模拟预测）“b 是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件41．（2024·山东·模拟预测）“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件42．（2024·北京西城·模拟预测）设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件43．（2024·山东潍坊·一模）已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件44．（2024·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =- ，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件45．（2024·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件46．（2024·黑龙江·一模）已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠二、多选题47．（2024·全国·模拟预测）设m ，n 是空间中两条不同直线，α，β是空间中两个不同平面，则下列选项中错误．．的是（）A ．当αβ⊥时，“m α∕∕”是“m β∕∕”的充要条件．B ．当αβ∕∕时，“n α⊥”是“n β⊥”的充要条件．C ．当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．D ．当m α⊂时，“n α∕∕”是“m n ∕∕”的必要不充分条件．48．（2024·全国·模拟预测）下列四个条件中，是αβ>的一个充分不必要条件的是（）A ．22αβ>B ．11αβ<<C ．22C C αβ>D ．22ln ln αβ>49．（2024·湖南·一模）下列选项中，与“2x x >”互为充要条件的是（）A ．1x >B ．222x x>C ．11x<D ．|(1)|(1)x x x x -=-50．（2024·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x ∃∈R ，00e 1xx <+”，则P ⌝：“x ∀∈R ，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()23E ξ=D ．已知随机变量()23,X N σ ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a =51．（2024高三上·湖北·阶段练习）关于充分必要条件，下列判断正确的有（）A ．“m>2”是“3m >”的充分不必要条件B ．“222log log 2log a c b +=”是“a ，b ，c 成等比数列”的充分不必要条件C ．“()f x 的图象经过点()1,1”是“()f x 是幂函数”的必要不充分条件D ．“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的倾斜角相等”的充要条件52．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个选项中，q 是p 的充分必要条件的是（）．A ．0:0a p b =⎧⎨=⎩，0:0a b q ab +=⎧⎨=⎩B ．1:1a pb =⎧⎨=⎩，2:1a b q ab +=⎧⎨=⎩C ．0:0a p b >⎧⎨>⎩，0:0a b q ab +>⎧⎨>⎩D ．1:1a pb >⎧⎨>⎩，2:1a b q ab +>⎧⎨>⎩53．（2024·重庆九龙坡·二模）下列说法正确的是（）A ．AB CD =是||||AB CD = 的充分不必要条件B ．幂函数223()()mm f x mx m R --=∈在区间(0,)+∞上单调递减C ．抛物线24y x =的焦点与椭圆22143x y +=的右焦点重合D ．函数()sin |||sin |f x x x =+的最大值为254．（2024·山东·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．若3412a b ==，则4a b +>B ．“1a =”是“直线10ax y +-=与直线(2)50ax a y +-+=垂直”的充分条件C ．已知回归直线方程2y x a=+$，且5x =，20y =，则 15=a D ．函数()cos 4f x x =的图象向左平移8π个单位，所得函数图象关于原点对称55．（2024·湖南常德·一模）下列说法正确的是（）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列说法不正确．．．的是（）A ．等比数列{}n a ，2104,8a a ==，则6a =±B ．抛物线24y x =-的焦点()1,0F -C ．命题“20,2x x x ∀>>”的否定是：“20,2x x x ∃≤≤”D ．两个事件A B 、，“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的充分不必要条件.57．（2024·山东淄博·三模）下列说法正确的是（）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取20名学生B ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小58．（2024·湖南岳阳·一模）下列叙述正确的是（）A ．命题“[)2,x ∀∈+∞，24x ≥”的否定是“[)02,x ∃∈+∞，204x <”B ．“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件C ．()51x -的展开式中3x 的系数为10-D ．在空间中，已知直线,,a b c 满足a b ⊥r r，a c ⊥，则b c∥59．（2024·海南·模拟预测）已知函数2()||sin f x x x =+，设12,x x ∈R ，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．121x x >60．（2024·重庆渝中·一模）下列命题中，正确的有（）A ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面βC ．“若11a b<，则a b >”的否命题为真命题D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>61．（2024·福建莆田·模拟预测）设0a >，0b >，且a b ¹，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>62．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2221e xf x ax x =-+，则（）A ．()f x 有零点的充要条件是1a <B ．当且仅当(]0,1a ∈，()f x 有最小值C ．存在实数a ，使得()f x 在R 上单调递增D ．2a ≠是()f x 有极值点的充要条件三、填空题63．（2024·上海长宁·二模）若“1x =”是“x a >”的充分条件，则实数a 的取值范围为．64．（2024·浙江·二模）命题“()1,x ∀∈+∞，0x >”的否定为．65．（2024·宁夏中卫·二模）命题0:0x p y >⎧⎨>⎩，命题1:0q xy >，则p 是q 的条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）66．（2024·北京顺义·一模）能说明“若()()2f x f ≤对任意的[]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上单调递增”为假命题的一个函数是．67．（2024·河南·模拟预测）设命题p ：2x ⎛∀∈ ⎝，1x a x +>.若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是.68．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）命题“0x ∃≥，2230x x --≤”的否定是．四、解答题69．（2024·广东中山·模拟预测）已知函数)()(log 21a f x x =+A ，不等式)()(110x m x m ⎡⎡⎤⎤-+⋅-->⎦⎦⎣⎣)(m R ∈的解集为集合B ．（1）求集合A 和B ；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．70．（2024·海南·一模）已知:p x R ∀∈，()241+>m x x ；:[2,8]∃∈q x ，2log 10+m x .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 与q 的真假性相同，求实数m 的取值范围.。
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一、判断命题真假1下列命题中,真命题是—2X 2X 1 A. X R,sin CoS = 2 2 2B . -X (0，二）,sin X cosx2C.-X R ） X x = —1XD.—X （0, ：:），e I X2、 如果命题“ (P q） ”为假命题,则（ A. p,q 均为假命题B. p ，qC. p ，q 中至少有一个为真命题 4、给出下列命题:① 在△ ABC 中，若∠ A>∠ B,贝U Sin A > Sin B ； ② 函数y = X 3在R 上既是奇函数又是增函数;③ 函数y = f （x ）的图象与直线X= a 至多有一个交点； ④ 若将函数y = Sin 2x 的图象向左平移 丁个单位，则得到函数 y= Sin 2x+∏的图象。
其中正确命题的序号是（）A 。
①②B .②③C 。
①②③ D。
①②④《常用逻辑用语》）均为真命题D. p,q中至多有一个为真命题.2X2X 1P I : T X R, Sin—+ COS-- 2 2 21 -cos2x P 3： - X 〔0 ,二 1, J ------------ =SinV 2其中假命题的是（)(A) Pl , P 4(B ) P 2 , P 4p 2: ^ X 、y 三 R, sin(x-y)=sinX-Sinyp 4: SinX=COSy=■ x+y=-2(C) P ，P 3(D)p 2，P 43、 有四个关于三角函数的命题：5、若命题 P:圆(X - 1）2+ (y — 2）2= 1 被直线 X= 1 平分;q ：在厶 ABC 中，若 Sin 2A= Sin 2B ， 则A= B ，则下列结论中正确的是 （）A 。
“p ∨ q”为假B .“p ∨ q”为真C 。
“p ∧ q”为真D 。
以上都不对6、已知命题p i :函数y = 2x - 2—x 在R 上为增函数；p 2：函数y= 2x + 2—X在R 上为减函数,则在命题 q i : p ι∨ p 2， q 2: p ι∧ p 2， q 3： (—p i ） ∨ p 2 和 q 4： p i ∧ ( 一 p 2）中，真命题是（ )7、下列命题中的假命题是（） A. T XR ，Ig X = OB. C. —X R ， X 3. 0D.8、下列命题中的假命题是 （ ）A. -X R ， 2XjL 0B.—X* N ，（X —1）2C. —.1 X R , Ig X ：: 1D 。
-。
1 X R , tan X = 29、有以下四个命题：① =ABC 中,“ A B ”是“ Si nA Sin B ”的充要条件; ② 若命题 P: -χ∙ R ，sin X -1,则一prχ∙ R ，sin X 1 ； ③ 不等式10xX 2在上恒成立；1 1 1一-3④ 设有四个函数 y=x ，y = X 2, y = X 3,y = X ，其中在 0,匸：上是增函数的函数有 3个.其中真命题的序号 ______、判断充分、必要条件X 三 R,tan X =1XR,2x 01、“a≠ 1 或 b≠ 2" 是“ a+ b≠3” 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要2、 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件， 则甲是丁的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要13、 “ m = 2 ”是“直线（m+2）x+3 my+1=0 与直线（m+2）x+（ m -2）y —3=0 相互垂直"的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要4、在下列结论中，正确的是(）① ”P q”为真是"P q"为真的充分不必要条件 ② ”P q”为假是”P q"为真的充分不必要条件 ③ "p q”为真是”-p”为假的必要不充分条件 ④ ”一P"为真是”P q”为假的必要不充分条件 A 。
①② B 。
①③ C.②④D 。
③④5、已知a 、b 为实数，则2a■ 2b是Iog 2a log 2b 的（）6、设 u = ： X, y X R ， y R ： A = ’ x, y 2x — y m 0 : B = ： x ， y x y — n _ 0：,那么点P （2， 3）A — C U B 的充要条件是 ________________________π7、“ X =2k 二• 一 k ∙ Z ”是“ tan x =1 " 成立的(）4(A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 （C ）充分条件（D)既不充分也不必要条件（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （D ）既不充分也不必要条Π2V 1 ”的8、设 0 V X V ,则“ X Sin X V 1” 是“ X SinX2(B) 必要而不充分条件(D ）既不充分也不必要条件9、下列4个命题其中的真命题是12、a ：：:0是方程ax 2 ■ 2X ^0至少有一个负数根的(14、 “ X 〉0” 是“ 3X 2〉0” 成立的（）(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件1 X1X x (。
，叫)七)P 2： T XW (0,1), ⅛ 1/2X> IOg 1/3XP 3： -X (0, ：：),( I)X 也1/2X2P 4： - X (0,1),( 1)X :::1Og 1/3 X3 2A. P 1, P 3(B ) Pl , P 4 C. P 2, P 3 D. P 2, P 4 110、已知条件P : X _1 ,条件q :<1, XA 充分不必要条件 B则P 是—q 成立的(•必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件11、在 ABC 中,π1A ”是“ Sin A ”的(6 2A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件13、设Ia n ［是首项大于零的等比数列，则 (A )充分而不必要条件 (B)(C)充分必(a 1 ：：：a 2”是“数列Ia ni 是递增数列”的必要而不充分条件 既不充分也不必要条件A .充分非必要条件C .非充分非必要条件B .必要非充分条件 D.充要条件15、设｛ a n ｝是等比数列，则 a 1 V a 2 V a 3 ”是数列｛ a n ｝是递增数列的()116、若a ，b 为实数，则“ O ：：：ab 门”是“ b ”的（）a17、设 x,y ∙ R ，则“ X _ 2 且 y _ 2”是“ χ2 y2_ 4 "的(aX, 2x 1 的（)XB 。
必要不充分条件 D 。
既不充分也不必要条件19、 设 P: f(x ）= 2χ2+ mx+ I 在（0, + ∞)单调递增，q ： mA 5 ，则一l q 是一lP 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分也不必要条件X — 420、 已知条件p ： X ≤ 2，条件q : ------- > 0，则F P 是F q 的 (）x- 3A .充分非必要条件B 。
必要非充分条件C •充要条件D •既非充分也非必要条件21、设a 、b 是非零实数，那么“ a 〉b”是“ lg(a-b)>0”的（)(A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 (C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(A )充分不必要条件 (C )充分必要条件(B )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件A.充分而不必要条件 C 充分必要条件B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件18、“1<a<2 ”是对任意正数A .充分不必要条件“充分、必要条件"参数范围1、已知p：1——≤2，q: χ2 _2x+1 _ m2≤ 0(m a O )，若一ι P 是一ι q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
2、已知函数y=lg（4-x)的定义域为A ，集合B=｛x｜x::：a｝,若p：“ X A”是Q：“ x∙ B ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 _____ .四、“全称命题、特称命题”参数范围1、若命题p： ? x∈ R, ax2 + 4x + a≥- 2x2+ 1是真命题,则实数 a的取值范围是（）A. a≤ - 3 或 a>2B. a ≥2C a>— 2 D・一2<a<22、已知命题P : X ∙R , x22ax 0 。
若命题P是假命题，则实数a的取值范围是___________ .3、若命题“ ” R，使X +（a—1)x+1cθ”是假命题，则实数a的取值范围为___________4、命题"τx（1,2)时，满足不等式χ2∙mx • 4 _ O "是假命题，则m的取值范五、“或且非”参数范围1、求实数a的取值范围，使得关于X的方程χ2 2 x 2a ^O..(1)有两个都大于1的实数根;(2)至少有一个正实数根。
2、已知命题p ：存在实数 m使m+1 ≤ 0,命题q：对任意X R都有χ2 mx 1 0，若P且q 为假命题,则实数 m的取值范围为2 2 23、已知命题甲：关于 X的不等式X + (a - 1)x + a ≤0的解集为？;命题乙:函数 y= （2a — a）x 为增函数,当甲、乙有且只有一个是真命题时,求实数a的取值范围。
4、已知命题P：不等式IX - 1∣〉m — 1的解集为 R命题q : f（x） =- （5 — 2m)x是减函数.若p∨ q为真命题，p∧ q为假命题，求实数 m的取值范围.I X — X— 6≤ 0，5、设命题p：实数X满足X — 4ax + 3a 〈0,其中a>0，命题q:实数X满足2IX + 2X— 8>0.(1）若a = 1，且P ∧ q为真，求实数X的取值范围；（2） -P是—q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
2 2X满足6、已知命题P :方程a X ax - 2 = 0在［-1,1］上有解；命题q ：只有一个实数2不等式X +2ax+2a ≤0 ,若命题P或q”是假命题，求实数 a的取值范围。
7、已知命题P函数y = log a (1 - 2x)在定义域上单调递增；命题Q不等式（a —2)x2∙ 2（a -2）x —4 ::： 0对任意实数X恒成立若P Q是真命题，求实数a的取值范围8、已知命题p: “一x「0，1】,a_e x”，命题q：“ T X R, X2 4x a = 0 ",若命题“p q”是真命题，则实数a的取值范围11。