高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
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1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且
)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f 例3 求证),1(2
2
1321
N n n n C C C C
n n n
n
n
n
∈>⋅>++++- .
例4 已知22
2121n a a a ++
+=，222
121n x x x ++
+=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n
n a n x f x
x x x 给定
求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1
1211
1,(1).2
n n n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828
e ≈）
例8 已知不等式
211
11
[log ],,223
2
n n N n n *+++
>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,]
[log 222≥+ a n 再如：设函数 ()x f x e x =-。 （Ⅰ）求函数 ()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N * ∈，有 1 ().1n n k k e n e =<-∑ 例9 设n n n a )1 1(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4 3. 部分放缩 例10 设++ =a n a 21111 ,23 a a a n ++ ≥,求证：.2 {}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有： 2)(+≥n a i n ； 2 1 111111)(21 ≤+++++ +n a a a ii . 4 . 添减项放缩 例12 设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(8)32( ++ a 满足).,2,1(1 ,211 =+ ==+n a a a a n n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立； 5 利用单调性放缩: 构造函数 例14 已知函数2 2 3)(x ax x f - =的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=< 1 011，证明.11+< n a n 例15 数列 {}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+ =+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n ≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x 6 . 换元放缩 例16 求证).2,(1 2 11≥∈-+ << *n N n n n n 例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4 )1(2 2-> a n a n . 7 转化为加强命题放缩