材料力学 第十一章压杆稳定(1,2)

变形与载荷有关，可由借助B、A、∂三个数描述 0 1 1 1 1 A 0 k 0 0 0 k B 0 0 0 sin kl coskl 0 sin kl cos kl 0
1 4.临界压力 k cos kl 0 k 0, kl (2n 1) 2
Fy
Fcr
(l x)
w A sin kx B coskx
Fy Fcr
(l x)
l x 0时：w 0 0 A B F Fy 0 3.边界条件： cr 1 kA 0 B Fy 0 x 0时：w 0 Fcr
x l时：w A sin kl B cos kl 0

arctg(ctg )
2
作业9-2，9-4，9-6，9-7
作业：9-2，9-4， 9-6，9-7
谢谢大家!
Fcr
M ( x) Fcr w Fcr EI w M ( x) Fcr w 即w w 0
Fcr 令k EI
2
2.杆曲线的微分方程
则w k w 0
2
EI
3.微分方程的解 特征方程 2 k 2 0
有两个共轭复根 ki
w C1e C2e
二.一端固定一端自由细长压杆临界压力公式 1.弯矩方程 M FCR ( w) EI w M ( x) Fcr ( w) Fcr F F
即w
2
cr
EI
w
cr
EI
w
x
y

Fcr
Fcr 令k EI
k 2 w k 2 则w
3.微分方程的解 特征方程 1,2 ki
Pmax 2 Pcr
2 Ed Pmax 2 64a
3
4
பைடு நூலகம்
[例10-2]图示结构，①、②两杆截面和材料 相同，为细长压杆（设0<θ <π /2） 。

① 90
求载荷P为最大值时的θ 角。
②
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为 ： N1 P cos ， N 2 P sin
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
压杆的失稳
§10-2细长压杆临界 压力的欧拉公式
一.两端铰支细长压杆 的欧拉公式
1.压杆截面上的弯矩
M ( x) Fcr w
弯矩的符号由 坐标和应力的 符号共同决定： I z M y
tan kx kl 4.49
4.49 kx1 1.35 x1 1.35 x1 0.3l l 4.49 kx2 4.49 x2 4.49 x2 l l
由于EIw M (x) 知道: M(0.3L)=M(L)=0 长为0.7L的细长杆两端受轴向压力，其 临界压力为： 2 EI
(n 0,1,2,)
nmin 1 k 2l 2 EI
Fcr (2l ) 2

Fcr E I 2l
三.一端固定一端铰支细长压杆临界压力公式
Fcr
Fy
1.弯矩方程 M FCR w Fy (l x)
Fcr
L-x
Fy Fcr 即w w (l x) EI EI
第十一章压杆稳定
安徽建筑工业学院
§13-1 压杆稳 定性的概念
一.研究压杆 稳定的意义 1907年加拿大魁 北克桥的失稳
(跨度548m,重9000T。 86人施工，死75人)
莫尔兹桥行架失稳
二.失稳的定义
1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定 平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
CL13TU15
解（a）BD杆受压其余杆受拉
BD杆的临界压力
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2a
2
Pcr
Ed
3
4
128a
2
（b）BD杆受拉其余杆受压 四个杆的临界压力
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
变形与载荷有关，可由借助B、A、∂三个数描述
0 k sin kl 1 0 cos kl
, B 5.位移函数 A kFcr Fcr Fy x w [sin kx kl cos kx kl(1 )] kFcr l
Fy
Fy l
6.拐点 (M=0) Fy w (k 2 sin kx k 3l coskx) 0 kFcr sin kx kl cos kx 0
1 x 2 x
C1e C2e
i x
ix
通解： w
A sin kx B cos kx
3.边界条件
x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0 sin kl 0 kl n (n 0,1,2,)
n Fcr n k EI l l 2 2 2 n EI EI nmin 1 Fcr 2 Fcr 2 l l
2
EI w M ( x) Fcr w Fy (l x)
w
L
w
M
Fcr
w A sin kx B coskx
*
3.微分方程的解 齐次方程的通解
Fy 2 Fcr 2 令k 则w k w k (l x) EI F
cr
x
y
非齐次方程的特解 w 微分方程的解
l Fcr 1 0 Fcr 0
1 (kl cos kl sin kl) 0 tan kl kl kl 4.49 0.7 Fcr Fcr 2 EI Fcr 4.临界压力 k E I 0 .7 l (0.7l ) 2 0 .7 l
l 1 0 Fcr A 1 k 0 B0 Fcr F sin kl cos kl y 0

CL13TU16
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2 N1、N 2都达到临界压力时 最大，即 P 2 EI P cos （） 1 2
l1 2 EI P sin 2 l2 （2）
两杆的临界压力分别为
①
90
②
将式(2)除以式(1),便得 l1 2 2 tg ( ) c tan l2
Fcr (0.7l ) 2
四.不同约束条件下细长压杆的临界压力通式 2 EI Pcr ( l) 2
称为长度系数
l称为相当长度。
几种典型约束下的细长压杆临界压力 公式如表所示。
不同约束压杆的临界压力欧拉公式（表）
[例10-1]五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性 模量为E。 求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所 能承受的最大载荷。
w A sin kx B coskx Fcr 非齐次方程的特解 w 微分方程的解 w A sin kx B cos kx
w
M
齐次方程的通解
*
边界条件：
x 0时：w 0 x 0时：w 0 x l时：w
0 A B 0 kA 0 B 0 0 A sin kl B cos kl 0