排列组合题以及公式
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Anm(n为下标,m为上标))Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标,m为上标))Cnm=Anm/Amm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标)=1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列,从N个元素取R个进行排列。
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Anm(n为下标,m为上标))Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标,m为上标))Cnm=Anm/Amm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标)=1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列,从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式和各类例题
组合恒等式排列组合常见公式基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
⒉第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
⒊分类的要求:每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。
⑵乘法原理和分步计数法⒈乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。
3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。
4例题【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有多少个?分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差,∴2b=a+c,可知b由a,c决定,又∵2b是偶数,∴a,c同奇或同偶,即:分别从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,A(10,2)*2=90*2,因而本题为180。
【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法?分析:对实际背景的分析可以逐层深入:(一)从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步;(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法;(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右;从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数。
排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)
排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架:加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念:乘法原理:一般地,如果完成一件事情需要n 步,其中,做第一步有a 种不同的方法,做第二步有b 种不同的方法,…,做第n 步有x 种不同的方法,那么,完成这件事一共有:N =a ×b ×…×x种不同的方法。
加法原理:一般地,如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有a 种不同的做法,第二类方法中有b 种不同的做法,…,第n 类有x 种不同的做法,那么,完成这件事一共有:N =a +b +…+x种不同的方法。
排列、排列数一般地,从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
记做mn A 。
m n A =n(n -1)(n -2)(n -3)…(n -m +1)组合、组合数一般地,从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组,不计组内各元素的次序,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。
记座mn C 。
m nC =m n m m A A =n(n -1)(n -2)(n -3)…(n -m +1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反,等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信,投入4个邮筒,一共有多少种不同的投法?2.甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局,则谁赢.如果没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止,问有多少种可能情况?3.在6名女同学,5名男同学中,选4名女同学,3名男同学,男女相间站成一排,问共有多少种排法?4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数?5.如下图:在摆成棋盘眼形的20个点中,选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形,问总共能作多少个三角形?6.小文和小静两位同学帮花店扎花,要从三只篮子中各取一只花扎在一起,已知每只篮子里都有3种不同的花,问她们可以扎成多少种不同式样的花束?7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项;在山的南坡也有两条路,一条直通山顶,另一条通向山腰小亭,从小亭有两条路通向山顶;山的西坡有两条路通向山间寺庙,由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路?8.从5个声母,3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种?9.4名男生5名女生站成一排,如果男生不分开,女生也不分开,有多少种不同的站法?10.五对孪生兄妹排成一排,每对兄妹不能分开,共有多少种排法?11.7人站成一排,其中4名男生,3名女生;如果限定女生不站两头,且女生站在一起,一共有多少种不同的站法?四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点,如右图,以这些点为顶点,可以画出多少个三角形?方法一解:三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C =35(个)两个顶点在半圆弧上,一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C =105(个)一个顶点在半圆弧上,两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C =70(个)由加法原理得:35+105+70=210(个)答:略方法二(排除法)解:312C -35C =220-10=210(个)答:略2、如下图,问:①右图中,共有多少条线段? A B C D E F G②下右图中,共有多少个角?解:①图中任何两点都可以得到一条线段,这是一个组合问题,图中共有7点,所以:27C =21共有21条线段。
排列组合问题的基本解法
排列组合问题是数学中的一类问题,它涉及到从一组物品中选择出某种特定排列或组合的问题。
比如,从n个不同的物品中取出m (m≤n)个物品,求出所有可能的组合数。
排列组合问题的解决方法有多种,其中最常用的是排列组合的基本解法,也就是组合数学中的组合数公式。
组合数公式是一种计算从n个不同的物品中取出m(m≤n)个物品的所有可能组合数的方法,它的公式如下:C(n, m)=n!/(m!(n-m)!)其中,C(n, m)表示从n个不同的物品中取出m个物品的所有可能组合数,n!表示n的阶乘,m!表示m的阶乘,(n-m)!表示(n-m)的阶乘。
举例来说,如果从5个不同的物品中取出3个物品,那么求出所有可能的组合数,可以用组合数公式来计算:C(5, 3)=5!/(3!(5-3)!)=5!/6!=5×4×3/6×5×4=10因此,从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数为10。
组合数公式是排列组合问题中最常用的解法,它可以用来计算出任意给定n个不同物品中取出m(m≤n)个物品的所有可能组合数。
但是,在某些特殊情况下,组合数公式可能会有一定的局限性,比如当n和m都比较大的时候,计算出的组合数可能会比较大,这时候可能无法用组合数公式来求解。
除了组合数公式,还可以使用枚举法来解决排列组合问题。
枚举法是一种比较简单的解决方法,它的基本思想是通过枚举出所有可能的排列或组合,然后用穷举的方法来求解问题。
举例来说,如果要求从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合,那么可以枚举出所有可能的组合,如下:ABCABDABEACDACEADEBCDBCEBDECDE从上面的例子可以看出,通过枚举法可以得到10种可能的组合,这正是从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数。
枚举法有一定的缺点,即当n和m都比较大的时候,可能会出现计算量太大的情况,导致程序运行时间过长。
除了组合数公式和枚举法,还有一种比较常用的解决排列组合问题的方法,即递归法。
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
3.排列数公式:4.组合数公式:5.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。
例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。
8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法。
根据乘法原理,共有的不同坐法为种。
结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法。
即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2 、5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法。
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。
即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数R 参与选择的元素个数!-阶乘,如9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1从N 倒数r 个,表达式应该为n* ( n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-叶1)个数为n—(n-叶1) = r举例:Q1: 有从1 到9 共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?A1: 123 和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的,既属于“排列P'计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997 之类的组合,我们可以这么看,百位数有9 种可能,十位数则应该有9-1 种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。
计算公式=P(3,9) = 9*8*7,(从9 倒数 3 个的乘积)Q2: 有从1 到9 共计9 个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?A2: 213 组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有3 名学生和4 个课外小组.( 1)每名学生都只参加一个课外小组;( 2 )每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?解( 1)由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例 2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共 3 类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:•••符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算岀结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?(4)有8盆花:①从中选岀2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选岀2盆放在教室有多少种不同的选法?分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.1) ①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次)•2) ①是排列冋题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.3) ①是排列冋题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.4) ①是排列冋题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.证明.证明左式右式.等式成立.点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.例 5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.例 6 解方程:(1 );(2).解(1)原方程解得.( 2 )原方程可变为* 5 5•••原方程可化为•即,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排组合中列、有关问题提供了理论根据.例 1 5 位高中毕业生,准备报考 3 所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?解: 5 个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3 种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3X 3X 3X 3X 3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.例 2 由数字1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000 的偶数共有()A.60 个B.48 个C.36 个D.24 个解因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有6,得P13F33P12= 36(个)由此可知此题应选 C.例 3 将数字1、2、3、 4 填入标号为1、2、3、 4 的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解:将数字 1 填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1 填入第3方格,也对应着3种填法;将数字 1 填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P;=9(种).例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都是由选择题或填空题考查.例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各1 台,则不同的取法共有()A.140 种B.84 种C.70 种D.35 种解:抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C4・C25种;甲型2台乙型1 台的取法有C •C15种根据加法原理可得总的取法有氏•C25+C24 ・「5=40+30=70(种)可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1项, 丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?解:甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C;种;乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C5种;丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C4种;丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C?2种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8XC15XC24XC22= X仁1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则,在数学中它是常用的基础知识,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题.例6 在(x- )10的展开式中,x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C:。
排列组合题以及公式
排列与组合的共同点是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.下面通过实例来体会排列与组合的区别.【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数.(1)高二年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?(2)高二数学课外活动小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?(3)有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数:①从中任取两个数求它们的商,可以有多少个不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?【思考与分析】(1)①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关,是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.解:(1)①是排列问题,共通了=110(封);②是组合问题,共需握手==55(次)(2)①是排列问题,共有=10×9=90(种)不同的选法;②是组合问题,共=45(种)不同的选法;(3)①是排列问题,共有=8×7=56(个)不同的商;②是组合问题,共有=28(个)不同的积;(4)①是排列问题,共有=56(种)不同的选法;②是组合问题,共有=28(种)不同的选法.【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.排列与组合的概念与计算公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列的计算公式:第一位的可能性×第二位的可能性×....×第N位的可能性例如5个人排队,第三个人的位置不变,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40种组合的公式:我举例来说吧第一规则:从五个事物里取三种事物组合与从五个事物里取二种事物组合是相同的第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数(5×4×3)÷(3×2×1)从五个事物里取二种事物组合的组合数(5×4)÷(2×1)从十里取八与从十里取二相同(10×9×8×7...取几个数就依次乘几个数)÷(8的阶乘)备注:8阶乘就是从8依次乘到1数学补差(4)———计数原理1.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有A.81B.64C.12D.14 2.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有A .33AB .334AC .523533A A A -D .2311323233A A A A A +3.,,,,a b c d e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法总数是 A.20 B .16 C .10 D .64.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是A .男生2人女生6人B .男生3人女生5人C .男生5人女生3人D .男生6人女生2人.5.在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是A.7 B .7- C .28 D .28-6.5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是A.120 B .120- C .100 D .100-7.22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是A .180B .90C .45D .3608.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 A .60个 B .48个 C .36个 D . 24个9.3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是A .1260B .120C .240D .720 10.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A .5569n n A --B .1569n A -C .1555n A -D .1469n A -11.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为 A .120 B .240 C .280 D .60 12.把10)x -把二项式定理展开,展开式的第8项的系数是 A .135 B .135- C.- D.13.2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数是224,则21x 的系数是A.14 B .28C .56 D .112 14.不共面的四个定点到面α的距离都相等,这样的面α共有几个A .3 B .4 C .6 D .715.4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法.16.在220(1)x -展开式中,如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等,则r = ,4r T = .17.在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有_________________个.18.用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x = .19.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果?20.已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.21.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3x 的系数是___________ 22.{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.23.8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 24.50.991的近似值(精确到0.001)是多少?25.7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头:(2)甲不排头,也不排尾:(3)甲、乙、丙三人必须在一起: (4)甲、乙之间有且只有两人: (5)甲、乙、丙三人两两不相邻: (6)甲在乙的左边(不一定相邻):(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序: (8)甲不排头,乙不排当中:26.已知5025001250(2),a a x a x a x =++++其中01250,,,a a a a 是常数,计算220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++15、8640 16、1530204,C x - 17、840 18、219、n2 20、 23 21、15 22、105 23、480 24、0.95625.解:(1)甲固定不动,其余有66720A =,即共有66720A =种;(2)甲有中间5个位置供选择,有15A ,其余有66720A =,即共有16563600A A =种; (3)先排甲、乙、丙三人,有33A ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于5人的全排列,即55A ,则共有5353720A A =种;(4)从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间,有25A ,甲、乙可以交换有22A ,把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于4人的全排列,则共有224524960A A A =种;(5)先排甲、乙、丙之外的四人,有44A ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 这五个空位,有35A ,则共有34541440A A =种;(6)不考虑限制条件有77A ,甲在乙的左边(不一定相邻),占总数的一半,即77125202A =种; (7)先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有47A ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即47840A = (8)不考虑限制条件有77A ,而甲排头有66A ,乙排当中有66A ,这样重复了甲排头,乙排当中55A 一次,即76576523720A A A -+=6.解:设50()(2)f x =,令1x =,得5001250(2a a a a ++++=令1x =-,得5001250(2a a a a -+-+=220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=50500125001250()()(23)(21a a a a a a a a ++++-+-+=-=4.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5.(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128,则求展开式中二项式系数最大项。
排列组合[1]
7、错位排列
满足 i1 ≠ 1, i2 ≠ 2, ⋅⋅⋅in ≠ n 则称 { i1 , i2 , ⋅⋅⋅in }为{ 1,2,∙ ∙ ∙ n}的一个错位排 列 其所有的错位排列数为:
若{1,2,∙ ∙ ∙n }的一个排列为{1
i , i2 , ⋅⋅⋅in
}
1 1 1 (−1) n 1 − + − + ⋅⋅⋅ + Dn = n! ) n!( 1! 2! 3!
竞赛中的排列组合问题
安庆一中Βιβλιοθήκη 程乐根一、出题情况
排列组合出题,主要在第一试中 出题,大多以客观题形式呈现,但这 一内容是抽象数学的基础,渗透性很 强,在其它分支里用得很多,特别是 在组合数学和数论中应用更为广泛。
二、常见定义公式:
1、排列 从n个不同元素中,任取m个不同元素的排列数是: n! m A = n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − m += 1) n ( n − m)! 2、组合 从n个不同元素中,任取m个不同元素的 n! m 组合数是:
(a1 − 1) + (a2 − a1 − 3) + (a3 − a2 − 3) + (14 − a3 ) = 7
其中 a1 ≥ 1, a2 − a1 ≥ 3, a3 − a2 ≥ 3,14 − a3 ≥ 0, 将上 变形为
3 C 这个方程的正整数解的个数是 10=120种 点评:奇特方法,贵在发现
3 C 解:由题设知,在xy平面上有16个整点,共 16 = 560
个三点组,要从中减去那些三点共线的。平面上 有4条垂直线和4条水平线,每条上有4个点,这8 条线上含有 8C43 = 32 个三点共线的三点组。 类似地,在斜率为±1的线上共线的三点组 3 3 2 C + 4 C 有4 3 =8+4=12(个)。 此外,没有其他的三点共线的三点组,组 成的三角形的个数是560-32-12=516(个)
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分,咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式,从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 A(n, m) ,公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说,从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排,那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式,从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作C(n, m) ,公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动,选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上,给学生们讲排列组合的时候,发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题:在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生,要选 3 个同学去参加比赛,其中至少有一个女生,有多少种选法?同学们开始埋头苦算,有的皱着眉头,有的咬着笔杆。
这时候,有个平时很调皮的男生突然举手说:“老师,这题太难啦,能不能少选几个同学啊?”大家都被他逗笑了。
我笑着说:“别着急,咱们一步步来分析。
”首先,我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后,算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法,即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解,同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况,比如可重复排列,从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数,公式是 n^m 。
还有环形排列,n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中,排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖,从一堆号码里抽出中奖号码,这就是组合;而把获奖的人排个名次,这就是排列。
再比如安排座位,教室里有 30 个座位,让 25 个同学去坐,这也是一种排列组合的问题。
排列组合分组分配问题公式
排列组合分组分配问题公式排列组合分组分配问题,这可是数学里挺有意思的一块呢!咱先来说说排列。
比如说,从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排,有多少种排法?这就是排列问题。
排列的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘,比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
再讲讲组合。
还是从 5 个水果里选 3 个,不考虑顺序,这就是组合问题。
组合的公式是 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
那分组分配问题又是什么呢?给您举个例子,有 6 本不同的书,分成 3 组,每组 2 本,这就是分组问题。
如果再把这 3 组书分别分给 3 个人,这就是分配问题啦。
我记得有一次,学校组织活动,要从班里选几个同学去参加不同的项目。
这可就用到了排列组合分组分配的知识。
当时老师说要从 20 个同学里选 5 个参加绘画比赛,选 8 个参加歌唱比赛,剩下的 7 个参加朗诵比赛。
这可把我难住了,我就在心里默默算着。
先算选 5 个参加绘画比赛,用组合公式 C(20, 5) 得出结果,再算选 8 个参加歌唱比赛的组合数 C(15, 8) ,最后选 7 个参加朗诵比赛的组合数 C(7, 7) 。
然后把这三个结果乘起来,就是总的分组方案数啦。
分组问题里还有平均分组的情况,要注意除以重复的组数的阶乘。
比如说把 8 个人平均分成 4 组,那就要先算出总的分组数 C(8, 2)×C(6,2)×C(4, 2)×C(2, 2) ,然后再除以 A(4, 4) ,这样才能得到不重复的分组方案数。
分配问题也有不同的情况,比如相同元素的分配,可以用隔板法。
比如说把 10 个相同的苹果分给 3 个小朋友,每人至少一个,那就在 9 个空隙里插 2 个隔板,方案数就是 C(9, 2) 。
总之,排列组合分组分配问题,看起来挺复杂,但是只要咱把公式弄明白,多做几道题,其实也不难。
排列组合知识点归纳总结
排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义:排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程;组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合,不考虑顺序称
作组合。
2. 公式:排列公式A(n,m):n(n-1)...(n-m+1);组合公式C(n,m):
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题:
(1)从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动,这
次活动一共有多少种选择?
用排列的方法来求的话,总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800;用组合方法来求的话,总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。
(2)如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组?
用排列的方法来求的话,总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720;用组合
方法来求的话,总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。
4. 实际应用:排列组合在数学中极为重要,其应用贯穿于数学当中的
很多领域,如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。
诸如加密或者信息安全,以及网络安全等,其中也应用了排列组合的原理,以增强安全性。
同时,它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。
排列组合知识点和例题
排列组合知识点和例题1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=n1+n2+n3++nM种不同的方法.2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·nM种不同的方法.注:分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时,每一种方法都独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步。
3.排列的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元......素的一个排列.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从nm个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An表示.其中n,m∈N,并且m≤n.m排列数公式:Ann(n1)(nm1)n!(m≤n,n,mN)(nm)!当m=n时,排列称为全排列,排列数为n=n(n1)An21记为n!,且规定O!=1.mm1注:nn!(n1)!n!;AnnAn14.组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示.mAn!组合数公式:Cnn(n1)(nm1).Amm!m!(nm)!mmnm规定Cn1,其中m,n∈N+,m≤n.注:排列是“排成一排”,组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.组合数的两个性质:①Cmn因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法Cnmn;从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,是一一对应的,因此是一样多的.②Cm1nmCmnCn1根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有Cn种,依分类原理有Cmm1mmnCnCn1.m1n,如果不取这一元素,则常年授课开设班型:一对一和4-8人小班1业精于勤而荒于嬉行成于思而毁于随5.解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法:①直接法;②排除法;③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有Ann种,m(mn)个元素的全排列有Amm种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有AnnAmm种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略:①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。
排列组合计算公式举例说明
排列组合计算公式举例说明排列组合是数学中常用的计数方法,用于计算一些集合中的元素的不同组合和排列的总数。
排列是从集合中选择一定数量的元素进行组合,并按照一定的顺序进行排列。
组合是从集合中选择一定数量的元素进行组合,不考虑元素的顺序。
下面将分别说明排列和组合的计算公式,并给出具体的例子。
一、排列:排列的计算公式是P(n,r)=n!/(n-r)!,其中P表示排列,n表示集合中的元素总数,r表示选择的元素数量,!表示阶乘。
例1:有5只猫排成一排,问有多少种不同的排列方式。
解:根据排列的计算公式,可以得到P(5,5)=5!/(5-5)!=5!/0!=5!=5×4×3×2×1=120,所以有120种不同的排列方式。
例2:有10本书,从中选出3本书排成一排,问有多少种不同的排列方式。
解:根据排列的计算公式,可以得到P(10,3)=10!/(10-3)!=10!/7!=10×9×8=720,所以有720种不同的排列方式。
二、组合:组合的计算公式是C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!),其中C表示组合,n表示集合中的元素总数,r表示选择的元素数量,!表示阶乘。
例1:有6只猫,从中选择3只猫,问有多少种不同的组合方式。
解:根据组合的计算公式,可以得到C(6,3)=6!/(3!×(6-3)!)=6!/(3!×3!)=6×5×4/(3×2×1)=20,所以有20种不同的组合方式。
例2:有8个人,从中选出4个人组成一个委员会,问有多少种不同的组合方式。
解:根据组合的计算公式,可以得到C(8,4)=8!/(4!×(8-4)!)=8!/(4!×4!)=8×7/(2×1)=28,所以有28种不同的组合方式。
排列组合在实际生活中有很多应用,例如:1.彩票中奖号码的排列组合:在选择彩票号码时,我们有时会从1到49中选择6个数字组成一组号码,这就是一种排列组合的问题。
公务员考试 行测 排列组合问题及计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关(P和A是一个意思)组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标,m为上标))Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标,m为上标))Cnm=Anm/Amm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类方法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m 〔m ≤n 〕个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m 〔m ≤n 〕个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:假设12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕 ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块,找个推导都难!真是的!一、排列(在乎顺序)全排列:P(n,n)=n!n个人都排队。
第一个位置可以选n个,第二位置可以选n-1个,以此类推得: P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列:P(n,m)=n!-(n-m)!n个人,选m个出来排队,第一个位置可以选n个,…,最后一个可以选n-m+1个,以此类推得:P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。
二、组合(不在乎顺序)n个人,选m个人出来。
因为不在乎顺序,所以按排列算的话,每个组合被选到之后还要排列,是被算了m!遍的。
即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得:C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质:1、C(n,m)=C(n,n-m)。
就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。
2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排:Q(n,n)=(n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。
想想坐成一圈后,分别以每个位置为头断开,可以排成一个序列,就是将n个人全排列中的一种。
这样可以得到n个序列,但是在圆排中是视为同一种坐法的。
所以:Q(n,n)*n=P(n,n),即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排:Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个):n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球,每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak,求这n个球的全排列数。
把每种球重复的除掉就好了。
假如第一种球有a1个,那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法,然而它们都是一样的,就是说重复了a1!次。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式排列组合计算公式在我们的日常生活和学习中,经常会遇到需要计算可能性数量的情况,比如抽奖的中奖概率、体育比赛的对阵安排等等。
这时候,排列组合公式和计算公式就派上用场了。
首先,咱们来聊聊什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中,按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说,从数字 1、2、3中选取两个数字进行排列,那么可能的情况有 12、21、13、31、23、32 这六种。
排列的计算公式是:A(n, m) = n! /(n m)!这里的“!”表示阶乘,比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
在这个公式中,n 表示总元素的数量,m 表示选取的元素数量。
举个例子,从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列,那么排列的数量就是 A(5, 3) = 5! /(5 3)!= 5 × 4 × 3 = 60 种。
接下来,咱们再说说组合。
组合则是从给定的元素集合中,选取若干个元素,不考虑它们的顺序。
比如说,从数字 1、2、3 中选取两个数字的组合,就只有 12、13、23 这三种情况。
组合的计算公式是:C(n, m) = n! / m! ×(n m)!同样,n 表示总元素的数量,m 表示选取的元素数量。
比如说,从 6 个不同的元素中选取 4 个元素的组合数量,就是 C(6, 4) = 6! /(4! ×(6 4)!)= 15 种。
为了更好地理解排列组合的概念和公式,咱们来做几道实际的题目。
假设一个班级有 10 名学生,要选出 3 名学生参加比赛。
如果是排列,那么这 3 名学生的出场顺序是有讲究的,可能的排列数就是 A(10, 3) = 10! /(10 3)!= 720 种。
但如果只是组合,也就是不考虑这 3 名学生的出场顺序,那么组合数就是 C(10, 3) = 10! / 3! ×(10 3)!= 120 种。
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排列与组合的共同点是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.下面通过实例来体会排列与组合的区别.【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数.(1)高二年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?(2)高二数学课外活动小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?(3)有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数:①从中任取两个数求它们的商,可以有多少个不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?【思考与分析】(1)①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关,是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.解:(1)①是排列问题,共通了=110(封);②是组合问题,共需握手==55(次)(2)①是排列问题,共有=10×9=90(种)不同的选法;②是组合问题,共=45(种)不同的选法;(3)①是排列问题,共有=8×7=56(个)不同的商;②是组合问题,共有=28(个)不同的积;(4)①是排列问题,共有=56(种)不同的选法;②是组合问题,共有=28(种)不同的选法.【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.排列与组合的概念与计算公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式一个组合;从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类,每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列的计算公式:第一位的可能性×第二位的可能性×....×第N 位的可能性例如5个人排队,第三个人的位置不变,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40种组合的公式: 我举例来说吧第一规则:从五个事物里取三种事物组合 与 从五个事物里取二种事物组合是相同的 第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数 (5×4×3)÷(3×2×1)从五个事物里取二种事物组合的组合数 (5×4)÷(2×1)从十里取八与从十里取二相同(10×9×8×7...取几个数就依次乘几个数)÷(8的阶乘) 备注:8阶乘就是从8依次乘到1数学补差(4)———计数原理1. 将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有A .81 B .64 C .12 D .14 2.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有A .33AB .334AC .523533A A A -D .2311323233A A A A A +3.,,,,a b c d e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法总数是 A.20 B .16 C .10 D .64.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是A .男生2人女生6人B .男生3人女生5人C .男生5人女生3人D .男生6人女生2人.5.在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是A.7 B .7- C .28 D .28- 6.5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是A.120 B .120- C .100 D .100-7.22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是A .180B .90C .45D .3608.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 A .60个 B .48个 C .36个 D . 24个9.3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是A .1260B .120C .240D .720 10.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于A .5569n n A --B .1569n A -C .1555n A -D .1469n A - 11.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为A .120B .240C .280D .6012.把10)x -把二项式定理展开,展开式的第8项的系数是A .135B .135-C .-D .13.2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数是224,则21x 的系数是A.14 B .28C .56 D .112 14.不共面的四个定点到面α的距离都相等,这样的面α共有几个A .3 B .4 C .6 D .715.4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法.16.在220(1)x -展开式中,如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等,则r = ,4r T = .17.在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有_________________个.18.用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x = .19.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果?20.已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.21.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3x 的系数是___________22.{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 23.8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 24.50.991的近似值(精确到0.001)是多少?25.7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头:(2)甲不排头,也不排尾:(3)甲、乙、丙三人必须在一起: (4)甲、乙之间有且只有两人: (5)甲、乙、丙三人两两不相邻: (6)甲在乙的左边(不一定相邻):(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序: (8)甲不排头,乙不排当中:26.已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L15、8640 16、1530204,C x - 17、840 18、2 19、n220、 23 21、15 22、105 23、480 24、0.95625.解:(1)甲固定不动,其余有66720A =,即共有66720A =种;(2)甲有中间5个位置供选择,有15A ,其余有66720A =,即共有16563600A A =种;(3)先排甲、乙、丙三人,有33A ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于5人的全排列,即55A ,则共有5353720A A =种;(4)从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间,有25A ,甲、乙可以交换有22A , 把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于4人的全排列,则共有224524960A A A =种;(5)先排甲、乙、丙之外的四人,有44A ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排这五个空位,有35A ,则共有34541440A A =种;(6)不考虑限制条件有77A ,甲在乙的左边(不一定相邻),占总数的一半, 即77125202A =种; (7)先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有47A ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即47840A =(8)不考虑限制条件有77A ,而甲排头有66A ,乙排当中有66A ,这样重复了甲排头,乙排当中55A 一次,即76576523720A A A -+=6.解:设50()(2)f x =-,令1x =,得5001250(2a a a a ++++=L令1x =-,得5001250(2a a a a -+-+=L220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=L L50500125001250()()(2(21a a a a a a a a ++++-+-+==L L4.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5.(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128, 则求展开式中二项式系数最大项。
(数学选修2--3) 第一章 计数原理[综合训练B 组]一、选择题 二、填空题 [提高训练C 组]一、选择题4.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ,则T S的值为A.20128 B .15128 C .16128 D .211285.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++,则2202413()()a a a a a ++-+的值为A.1 B .1- C .0 D .2 二、填空题2.在△AOB 的边OA 上有5个点,边OB 上有6个点,加上O 点共个点,以这12个点为顶点的三角形有 个.5.若2222345363,n C C C C ++++=L 则自然数n =_____.三、解答题1.6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?2.有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A 组]一、选择题1.B 每个小球都有4种可能的放法,即44464⨯⨯=2.C 分两类:(1)甲型1台,乙型2台:1245C C ;(2)甲型2台,乙型1台:2145C C1221454570C C C C +=3.C 不考虑限制条件有55A ,若甲,乙两人都站中间有2333A A ,523533A A A -为所求 4.B 不考虑限制条件有25A ,若a 偏偏要当副组长有14A ,215416A A -=为所求 5.B 设男学生有x 人,则女学生有8x -人,则2138390,x x C C A -=即(1)(8)30235,3x x x x --==⨯⨯=6.A 148888833188811()((1)()(1)()222r r r r r r r r r r r r r x T C C xC x ------+==-=- 令6866784180,6,(1)()732r r T C --===-= 7.B 555332255(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+ 233355(416)...120...C C x x =-+=-+8.A 只有第六项二项式系数最大,则10n =,551021101022()2r rrr r r r T C C x x --+==,令2310550,2,41802r r T C -==== 二、填空题1.(1)10 3510C =;(2) 5 455C =;(3)14 446414C C -=2.8640 先排女生有46A ,再排男生有44A ,共有44648640A A ⋅=3.480 0既不能排首位,也不能排在末尾,即有14A ,其余的有55A ,共有1545480A A ⋅=4.1890 10110(r rr r T C x -+=,令466510106,4,91890r r T C x x -==== 5.1530204,C x - 4111521515302020162020,41120,4,()r r C C r r r T C x C x -+=-++===-=- 6.840 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有25A ,其余的27A ,共有2257840A A ⋅= 7.2 当0x ≠时,有4424A =个四位数,每个四位数的数字之和为145x +++24(145)288,2x x +++==;当0x =时,288不能被10整除,即无解8.11040 不考虑0的特殊情况,有32555512000,C C A =若0在首位,则314544960,C C A = 3253145555441200096011040C C A C C A -=-=三、解答题1.解:(1)①是排列问题,共通了211110A =封信;②是组合问题,共握手21155C =次。