指数与指数函数图像及性质(教师版)
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根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.
【变式2】已知 且 ，求 的值.
【答案】
【变式3】已知 ，求 的值.
易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．
(2) 是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制， ，但 的值受 的奇偶性影响.
【变式1】求下列各式的值：
（1） （ ）；（2） .
【例2】计算
【答案】
【变式2】化简 的结果为（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【答案】B
【解析】 ，故选
【变式3】 × 0＋ × － ＝________.
【答案】
【解析】原式＝ ×1＋ × － .
A．(1，＋∞) B．( ，＋∞) C．(－∞，1)D．(－∞， )
【例4】函数 的单调递增区间是________．
易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．
正确解析：令 ，得函数定义域为 ，
所以 在 上递增，在 递减．根据“同增异减”的原则，
函数 的单调递增区间是 .
温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.
第二课时
题型三指数函数的概念
【例1】已知函数 是指数函数，求实数 的值。
【变式1】若函数 且 的图象经过点 ，则 =_______.
【答案】
【解析】依题意可知 ，解得 ，所以 ，所以 .
【变式2】已知函数 若 ，则实数 的值等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 ，故选B.
题型四指数函数的单调性
【例2】比较下列各题中的两个值的大小:
(1)1.72.5与1.73; (2)0.8-0.1与0.8-0.2; (3)1.70.3与0.93.1.
【变式1】比较 的大小。
【变式2】已知 ， ， ，则（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，故选A．
【例3】指数函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（）
正确解析：由于 ，所以 =
温馨提醒：
条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.
【变式4】（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 .
【例4】计算下列各式的值：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【变式5】化简或计算出下列各式：
（1） ；
（2）化简 ；（3） .
A．(－1，－1) B．(－1,0) C．(0，－1)D．(－1，－3)
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝( )－1.5，则()
题型四指数函数的性质应用
【例6】求下列函数的定义域、值域。
(1)y=0.4 ; (2)y=3 ; (3)y=2x+1; (4)y= .
【变式1】求下列函数的定义域与值域。
（1） ；（2） （3）
【课堂练习】
1．若集合 ， ，则（）
A．A B B． C. B A D．
2．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点()
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于指数函数 ，当 时，函数在 上是增函数，当 时，函数在 上为减函数.由题意可知： 即， ，选 .
【变式3】使不等式23x－1＞2成立的x的取值为()
A．( ，＋∞) B．(1，＋∞) C．( ，＋∞) D．(－ ，＋∞)
【变式4】若( )2a＋1<( )3－2a，则实数a 的取值范围是()
【课堂练习】
1.若 有意义,则 的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
2.下列表述中正确的是( )
A. B.
C.无理数指数幂 ( 是无理数)不是一个确定的实数D.
3.已知 ,则 为( )
A. B.4 C. D.
4.计算： ______.
【思维拓展】
1.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
指数与指数函数图像及性质
【知识要点】
1．根式
（1）如果 ，那么 叫做 的 次方根.其中 ，且 。
（2）如果 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时， .其中 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数.其中 ，且 。
(3) 。
(4) 其中 ，且 。
2.分数指数幂
(1)正பைடு நூலகம்数指数幂的定义:
(2)负分数指数幂的定义:
题型二根式、指数幂的条件求值
1. 时，
2. 时， ；
3.若 则 ；
4. ；
5. .
【例3】已知 ，求下列各式的值.
（1） ；（2） ；（3）
【答案】
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 .
（2）将 两边平方得 ，所以 .
（3）由（1）（2）可得
【变式1】已知 是方程 的两根，且 求 的值.
【答案】
【方法规律技巧】
4．指数函数的概念：
一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 。
5．指数函数的图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数 且 叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
(3)要注意四点：
①分数指数幂是根式的另一种表示形式；
②根式与分数指数幂可以进行互化；
③0的正分数指数幂等于0；
④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:
① ；
② ；
③ .
3.无理数指数幂
(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近;
(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
题型三指数型函数的图像
【例5】 如下图所示是指数函数① ；② ；③ ；④ 的图象，试判断 与１的大小关系。
【变式1】当 时，函数 和 的图象只可能是( )
【变式2】已知函数 ，则函数 的图象可能是()
【答案】B
【解析】|f(x)|=|2x-2|=
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.
第一课时
【典例精讲】
题型一根式、指数幂的化简与求值
1. 叫做 的 次幂， 叫做幂的底数， 叫做幂的指数，规定： ；
2. , ；
3. ， .
【例1】计算下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
正确解析：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
温馨提醒：(1) 中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要 有意义，其值恒等于 ，即 ；
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.
【变式2】已知 且 ，求 的值.
【答案】
【变式3】已知 ，求 的值.
易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．
(2) 是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制， ，但 的值受 的奇偶性影响.
【变式1】求下列各式的值：
（1） （ ）；（2） .
【例2】计算
【答案】
【变式2】化简 的结果为（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【答案】B
【解析】 ，故选
【变式3】 × 0＋ × － ＝________.
【答案】
【解析】原式＝ ×1＋ × － .
A．(1，＋∞) B．( ，＋∞) C．(－∞，1)D．(－∞， )
【例4】函数 的单调递增区间是________．
易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．
正确解析：令 ，得函数定义域为 ，
所以 在 上递增，在 递减．根据“同增异减”的原则，
函数 的单调递增区间是 .
温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.
第二课时
题型三指数函数的概念
【例1】已知函数 是指数函数，求实数 的值。
【变式1】若函数 且 的图象经过点 ，则 =_______.
【答案】
【解析】依题意可知 ，解得 ，所以 ，所以 .
【变式2】已知函数 若 ，则实数 的值等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 ，故选B.
题型四指数函数的单调性
【例2】比较下列各题中的两个值的大小:
(1)1.72.5与1.73; (2)0.8-0.1与0.8-0.2; (3)1.70.3与0.93.1.
【变式1】比较 的大小。
【变式2】已知 ， ， ，则（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，故选A．
【例3】指数函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（）
正确解析：由于 ，所以 =
温馨提醒：
条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.
【变式4】（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 .
【例4】计算下列各式的值：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【变式5】化简或计算出下列各式：
（1） ；
（2）化简 ；（3） .
A．(－1，－1) B．(－1,0) C．(0，－1)D．(－1，－3)
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝( )－1.5，则()
题型四指数函数的性质应用
【例6】求下列函数的定义域、值域。
(1)y=0.4 ; (2)y=3 ; (3)y=2x+1; (4)y= .
【变式1】求下列函数的定义域与值域。
（1） ；（2） （3）
【课堂练习】
1．若集合 ， ，则（）
A．A B B． C. B A D．
2．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点()
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于指数函数 ，当 时，函数在 上是增函数，当 时，函数在 上为减函数.由题意可知： 即， ，选 .
【变式3】使不等式23x－1＞2成立的x的取值为()
A．( ，＋∞) B．(1，＋∞) C．( ，＋∞) D．(－ ，＋∞)
【变式4】若( )2a＋1<( )3－2a，则实数a 的取值范围是()
【课堂练习】
1.若 有意义,则 的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
2.下列表述中正确的是( )
A. B.
C.无理数指数幂 ( 是无理数)不是一个确定的实数D.
3.已知 ,则 为( )
A. B.4 C. D.
4.计算： ______.
【思维拓展】
1.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
指数与指数函数图像及性质
【知识要点】
1．根式
（1）如果 ，那么 叫做 的 次方根.其中 ，且 。
（2）如果 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时， .其中 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数.其中 ，且 。
(3) 。
(4) 其中 ，且 。
2.分数指数幂
(1)正பைடு நூலகம்数指数幂的定义:
(2)负分数指数幂的定义:
题型二根式、指数幂的条件求值
1. 时，
2. 时， ；
3.若 则 ；
4. ；
5. .
【例3】已知 ，求下列各式的值.
（1） ；（2） ；（3）
【答案】
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 .
（2）将 两边平方得 ，所以 .
（3）由（1）（2）可得
【变式1】已知 是方程 的两根，且 求 的值.
【答案】
【方法规律技巧】
4．指数函数的概念：
一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 。
5．指数函数的图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数 且 叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
(3)要注意四点：
①分数指数幂是根式的另一种表示形式；
②根式与分数指数幂可以进行互化；
③0的正分数指数幂等于0；
④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:
① ；
② ；
③ .
3.无理数指数幂
(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近;
(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
题型三指数型函数的图像
【例5】 如下图所示是指数函数① ；② ；③ ；④ 的图象，试判断 与１的大小关系。
【变式1】当 时，函数 和 的图象只可能是( )
【变式2】已知函数 ，则函数 的图象可能是()
【答案】B
【解析】|f(x)|=|2x-2|=
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.
第一课时
【典例精讲】
题型一根式、指数幂的化简与求值
1. 叫做 的 次幂， 叫做幂的底数， 叫做幂的指数，规定： ；
2. , ；
3. ， .
【例1】计算下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
正确解析：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
温馨提醒：(1) 中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要 有意义，其值恒等于 ，即 ；