随机信号处理 题目整理

第一章1、某离散时间因果LTI 系统，当输入)1()31(41)()31(x(n)1n -+=-n n n εε时，输出)()21()(y n n n ε= （1）确定系统的函数H(Z) （3分） （2）求系统单位序列相应h （n ）（3分） （3）计算系统的频率特性H （e j θ）（3分） （4）写出系统的差分方程（3分）解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1+--=-+--==-Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ X Z Y Z H |Z|>21(2)41972192)41)(21(31)(++-=+--=Z Z Z Z Z Z Z H |Z| >21)()41(97)()21(92)(h n n n n n εε-+=（3）因为H （z ）收敛域为 |Z| >21，包含单位圆 所以H （e j θ）存在41972192|)()(++-===θθθθθθj j j j e Z j e ee e Z H e H j（4）21121281-41131-181-4131)()()(-----=--==Z Z Z Z Z Z Z Z X Z Y Z H==>121)(31)()(81)(41)(----=--Z Z X Z X z z Y z z Y z Y )1(31)()2(81)1(41)(--=----n x n x n y n y n y2、x(n)的z 变换为X(z)=1(1-z -1)(1-2z -1) , ROC ：1<│z │<2 ，z 的变换。

（12分） 设X(z)=A 1-z -1 +B1-2z -1 =X 1(z)+X 2(z) %写出此形式2分 则由部分分式分解法，可得A=（1-z -1)X(z)│z=1=-1, B=(1-2z -1)│z=2=2 %求出此结果6分 由ROC 的形式，可以判定x(n)是一个右边序列和一个左边序列之和。

x 1(n)=Z -1{X 1(z)}=A{u(n)},x 2(n)=Z -1{X 2(z)}=B{-2n u(n)} 所以，x 1(n)=-u(n);x 2(n)=-2n+1u(-n-1); %到此步骤结果10分 因此，x(n)=x 1(n)+x 2(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1) %最后一步得12分3. 某离散时间因果LTI 系统，当输入)1()31(41)()31(x(n)1n -+=-n n n εε时，输出)()21()(y n n n ε= （5）确定系统的函数H(Z) （3分） （6）求系统单位序列相应h （n ） （3分） （7）计算系统的频率特性H （e j θ） （3分） （8）写出系统的差分方程 （3分）解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1+--=-+--==-Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ X Z Y Z H |Z|>21(2)41972192)41)(21(31)(++-=+--=Z Z Z Z Z Z Z H |Z| >21)()41(97)()21(92)(h n n n n n εε-+=（4）因为H （z ）收敛域为 |Z| > 21，包含单位圆 所以H （e j θ）存在41972192|)()(++-===θθθθθθj j j j e Z j e ee e Z H e H j（4）21121281-41131-181-4131)()()(-----=--==Z Z Z Z Z Z Z Z X Z Y Z H==>121)(31)()(81)(41)(----=--Z Z X Z X z z Y z z Y z Y)1(31)()2(81)1(41)(--=----n x n x n y n y n y 4. 简述六种常用离散时间信号； 并计算下题：已知序列X （n ）的z 变换为：111,:34(13)(14)X ROC z z z --<<--（z ）=求逆z 变换六种离散时间信号：1、单位脉冲序列：{100,0(n)=n n δ=≠，(1) 单位阶跃序列：{100,0u(n)=n n ≥<， (2) 矩形序列：{110,0n R (n)=n N N n N≤≤-<≥，0或(3)实指数序列：x n =()n u n （）a 其中a 为不等于0的任意实数(4) 正弦序列：x n =Asin()nw （）(5) 复指数序列：[]()an x n =Ae e cos wn +jsin wn a jw n A +=（）（）（）解：设121-1()=(z)+X (z)121-3z A BX z X z -=+-则由部分分式分解法，可得4)()41(,3)()31(4131=-=-=-==-=-z z z X z B z X z A由ROC 的形式，可以判定想x （n ）为一个右边序列和一个左边序列之和。

}{}{3:,)(3)()(1111>==-z ROC n u A z X Z n x n}}{{4:,)1(4)()(2212<---==-z ROC n u B z X Z n x因此，X （z ）的逆z 变换为)1(4)(3)()()(1121----=+=++n u n u n x n x n x n n5. (1) 一线性时不变系统,其输入输出满足如下差分方程:1[][-1][]2[1][2]2y n y n x n x n x n -=+-+- 求其频率响应()j H e ω。

(2) 有一系统，其频率响应为32112()13124j j j j j e e H e e e ωωωωω-----+=++写出表征该系统的差分方程。

解：（9）差分方程：1[][][]2[1][2]2y n y n x n x n x n -=+-+- 两边同时傅里叶变换得：21()[1]()[12]2jwjw jw jw j w Y ee X e e e ----=++………(2分)因此频率响应：2()12()1()12j j j j j j Y e e e H e X e e ωωωωωω---++==-………(3分)（10）系统的频率响应：3211()2()13()124j j j j j j j e e Y e H e X e e e ωωωωωωω-----+==++………(3分) 相乘得：23131()[1]()[1]242jwjw j w jw jw j w Y ee e X e e e ----++=-+………(3分)反变换得差分方程：131[][1][2][][1][3]242y n y n y n x n x n x n +-+-=--+-………(3分)6. 判断右侧两个系统的线性和非移变性：)()()]([n x n g n x T =,b n ax n x T +=)()]([.<本题12分>解:①)()()]([n x n g n x T =；)()()]([111n x n g n x T =；)()()]([222n x n g n x T =)]()()[()]()([2121n x n x n g n x n x T +=+)]([)]([21n x T n x T +=，所以系统为线性系统。

··（3分） )()()]([o o n n x n g n n x T -=-)()(o o n n x n n g --≠，所以为移变系统。

·········（3分）②b n ax n x T +=)()]([11；b n ax n x T +=)()]([22b n x n x a n x n x T ++=+)]()([)]()([2121)]([)]([21n x T n x T +≠，所以为非线性系统。

····（3分）b n n ax n n x T o o +-=-)()]([)(o n n y -=，所以为非移变系统。

·············（3分）第二章1.复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：(1)[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；(2)信号的功率谱。

解： (1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=⎰⎰………(4分)0000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=⎰⎰⎰………(4分)(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-………(4分)2.一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:，求该系统的传递函数，差分方程。

（15分）解：由给定信号的功率谱，得（4分）其中，（1分），（1分），（1分）因此与之对应的最小相位系统为：（2分）系统的传递函数为：（3分）差分方程为：（3分）3.已知随机信号()()0X t sin t A ωφ=+，0ω为常数，φ是[0,2)π的均匀分布随机变量，讨论当A满足系列条件时，()Xt 的广义平稳性。

1. A 为常数时；（6分）2. 为时间常数()A A t =；（7分） 1、当A 为常数时，()()()20001X t sin t sin t 02E E A A d πωφωφϕπ=+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰；（2分）()()()()()()()21201022012010220,sin t sin t cos cos t t 22cos 2x R t t E A A E t t A ωφωφωωωφωτ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=--++⎣⎦=其中()12t t τ=-故此时()X t 是广义平稳的；（4分） 2、当()A A t =为时间函数时，()()()()()20001X t sin t sin t 02E E A t A t d πωφωφϕπ=+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰，（3分） ()()()()()()()()()()()()()12120102120120102120,sin t sin t cos cos t t 22cos 2x R t t E A t A t A t A t E t t A t A t ωφωφωωωφωτ=++⎡⎤⎣⎦⎡⎤=--++⎣⎦= 其中()12t t τ=-此时()Xt 不是广义平稳的；（4分）4.一个广义平稳随机信号(n)x 的自相关函数 ()|k|0.8x r k =，该信号通过一个系统函数为11(z)10.9H z-=-的LTI 系统，其输出为(n)y 。