随机信号处理 题目整理
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第一章
1、某离散时间因果LTI 系统，当输入)
1()3
1
(41)()31(x(n)1n -+=-n n n εε时，输出)()2
1()(y n n n ε= （1）确定系统的函数H(Z) （3分） （2）求系统单位序列相应h （n ）（3分） （3）计算系统的频率特性H （e j θ
）（3分） （4）写出系统的差分方程（3分）
解：（1）)41)(21()
31
(3
141312
1
)()()(1+--=
-+--
==-Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z X Z Y Z H |Z|>21
(2)
4
19
72192
)41)(21(3
1)(++-=+--
=Z Z Z Z Z Z Z H |Z| >
2
1
)()4
1
(97)()21(92)(h n n n n n εε-+=
（3）因为H （z ）收敛域为 |Z| >2
1
，包含单位圆 所以H （e j θ
）存在
41972192|)()(+
+
-===θθθθθθj j j j e Z j e e
e e Z H e H j
（4）
211
2128
1-41131-181-4131)()()(-----=
--==Z Z Z Z Z Z Z Z X Z Y Z H
==>121)(3
1
)()(81)(41)(----=--
Z Z X Z X z z Y z z Y z Y )1(3
1
)()2(81)1(41)(--=----
n x n x n y n y n y
2、x(n)的z 变换为X(z)=1
(1-z -1)(1-2z -1) , ROC ：1<│z │<2 ，z 的变换。（12分） 设
X(z)=A 1-z -1 +B
1-2z -1 =X 1(z)+X 2(z) %写出此形式2分 则由部分分式分解法，可得
A=（1-z -1)X(z)│z=1=-1, B=(1-2z -1)│z=2=2 %求出此结果6分 由ROC 的形式，可以判定x(n)是一个右边序列和一个左边序列之和。 x 1(n)=Z -1{X 1(z)}=A{u(n)},x 2(n)=Z -1{X 2(z)}=B{-2n u(n)} 所以，x 1(n)=-u(n);
x 2(n)=-2n+1u(-n-1); %到此步骤结果10分 因此，x(n)=x 1(n)+x 2(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1) %最后一步得12分
3. 某离散时间因果LTI 系统，当输入)
1()3
1
(41)()31(x(n)1n -+=-n n n εε时，输出)()2
1()(y n n n ε= （5）确定系统的函数H(Z) （3分） （6）求系统单位序列相应h （n ） （3分） （7）计算系统的频率特性H （e j θ
） （3分） （8）写出系统的差分方程 （3分）
解：（1）)41)(21()
31(3
141312
1
)()()(1+--=
-+--
==-Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z X Z Y Z H |Z|>21
(2)
4
19
72192
)41)(21(3
1)
(++-=+--
=Z Z Z Z Z Z Z H |Z| >
2
1
)()4
1
(97)()21(92)(h n n n n n εε-+=
（4）因为H （z ）收敛域为 |Z| > 2
1
，包含单位圆 所以H （e j θ
）存在
419
72192|)()(+
+-===θθθθθθj j j j e Z j e e
e e Z H e H j
（4）
211
2128
1-41131-181-4131)()()(-----=
--==Z Z Z Z Z Z Z Z X Z Y Z H
==>121)(31
)()(81)(41)(----=--
Z Z X Z X z z Y z z Y z Y
)1(3
1
)()2(81)1(41)(--=----
n x n x n y n y n y 4. 简述六种常用离散时间信号； 并计算下题：已知序列X （n ）的z 变换为：
11
1
,:34(13)(14)X ROC z z z --<<--（z ）=
求逆z 变换
六种离散时间信号：1、单位脉冲序列：{10
0,0
(n)=n n δ=≠，
(1) 单位阶跃序列：{10
0,0
u(n)=n n ≥<， (2) 矩形序列：{11
0,0n R (n)=n N N n N
≤≤-<≥，0或
(3)
实指数序列：
x n =()n u n （）a 其中a 为不等于0的任意实数
(4) 正弦序列：
x n =Asin()nw （）
(5) 复指数序列：[]
()an x n =Ae e cos wn +jsin wn a jw n A +=（）（）（）
解：设
121-1()=(z)+X (z)
121-3z A B
X z X z -=
+-
则由部分分式分解法，可得
4
)
()41(,3)
()31(4
13
1=-=-=-==-=-z z z X z B z X z A
由ROC 的形式，可以判定想x （n ）为一个右边序列和一个左边序列之和。
}{}
{3
:,)(3)()(1111>==-z ROC n u A z X Z n x n
}}{{4
:,)1(4)()(2212<---==-z ROC n u B z X Z n x
因此，X （z ）的逆z 变换为
)1(4)(3)()()(1121----=+=++n u n u n x n x n x n n