[高中数学]10B-5-教师-任意角的三角比
高三数学专题教案任意角的三角比
芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学专题教案：任意角的三角比一、知识梳理1、1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角2、角度与弧度的换算：18010π=弧度，1弧度=0180⎪⎭⎫ ⎝⎛π 3、任意角⎪⎩⎪⎨⎧零角负角正角，会写出终边一样的角的集合4、弧长公式、扇形的面积公式180r n r l πα==，360212122r n r lr s πα===，其中n ,α分别是扇形的圆心角的弧度制大小，和角度制大小，r 是扇形所在的圆的半径5、任意角的三角比的定义：设),(y x P 是角α的终边上异于原点的点，OP r =，那么yr x r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin 6、单位圆的定义及三角函数线的定义二、例题讲解例1．根底练习（1） 判断以下角是第几象限的角①05460-②π792③π8193-④03815 〔2〕写出满足以下条件的角的集合①终边在x 轴上的角的集合终边在y 轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合终边在二、四象限的角平分线上的角的集合②βα,的终边关于直线x y =对称，且65πα=，那么=β例2、α是第一象限角，试求〔1〕2α的终边所在的象限 〔2〕3α的终边所在的象限 例3、角θ的终边上一点),3(m P -，且m 42sin =θ，求θcos 和θtan 的值 例4、利用单位圆求满足以下条件的θ的取值范围〔1〕23sin >θ〔2〕22cos ,21sin ><θθ且〔3〕1tan -<θ 例5、求周长为20cm 的扇形面积的最大值，并计算当扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数。
三、稳固练习1、将411π-表示为()Z k k ∈+θπ2，使θ最小的值是θ。
2、圆内一条弦的成等于半径，这条弦所对的圆心角为〔〕A 等于1弧度B 大于1弧度C 小于1弧度D 无法判断3、点()4.-x M 在角α的终边上，且0<x ，54sin -=α，那么αcos =。
高中数学三角比公式归纳(最全)
三角比全章基础知识归纳1、常见的角度与弧度的相互转化2、扇形的弧长与面积角度值下．．．．的弧长公式与面积公式（其中n 为扇形的圆心角的角度数，R 为扇形半径） 弧长公式：________=l ；面积公式：________=S ；弧度制下．．．．的弧长公式与面积公式 弧长公式：________=l ；面积公式：________=S ；3、一些特殊角的三角比值4、各三角比在每个象限的符号5、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 第1组()=+απk 2sin ____________________；()=+απk 2cos ____________________； ()=+απk 2tan ____________________；()=+απk 2cot ____________________；第2组()=-αsin ____________________；()=-αcos ____________________； ()=-αtan ____________________；()=-αcot ____________________；第3组()=-απsin ____________________；()=-απcos ____________________； ()=-απtan ____________________；()=-απcot ____________________；第4组()=+απsin ____________________；()=+απcos ____________________； ()=+απtan ____________________；()=+απcot ____________________；第5组=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2sin ____________________；=⎪⎭⎫⎝⎛-απ2cos ____________________； =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2tan ____________________；=⎪⎭⎫⎝⎛-απ2cot ____________________； 第6组=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2sin ____________________；=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos ____________________； =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2tan ____________________；=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cot ____________________； 6、同角三角比关系 【商数关系】________cos sin =αα； ________sin cos =αα； 【平方关系】=+αα22cos sin ____________________； =+α2t a n 1____________________；=+α2cot 1____________________；【倒数关系】=αsec ____________________；αcsc ________________；=αtan ____________________； 三点总结：①切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”； ②弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos 或2cos 得到“切”； ③1的代换，通过平方关系，将1带换成所需的三角比；7、三角恒等变换【两角和与差的正弦、余弦、正切公式】()=+βαsin ____________________； ()=-βαsin ____________________； ()=+βαcos ____________________； ()=-βαcos ____________________；()=+βαtan ____________________； ()=-βαtan ____________________；【辅助角公式】sin cos a b αα+=_____________________________________________；常见类型：⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±4sin 2cos sin πααα⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±6sin 2cos sin 3πααα⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±3sin 2cos 3sin πααα【倍角公式】=α2sin ____________________；=α2cos ____________________=____________________=____________________；=α2tan ____________________；【半角公式】=2sinα____________________； =2cosα____________________；=2tanα____________________； =2cotα____________________；=2tanα____________________=____________________；8、其他公式及恒等变换 【降幂公式】=2sin 2α____________________； =2cos 2α____________________；【升幂公式】=+αcos 1____________________； =-αcos 1____________________； =+αsin 1____________________； =-αsin 1____________________； =1____________________； =αsin ____________________；【万能置换公式】=αsin ___________________； =αcos ___________________；=αtan ___________________；【常见公式变形】_________cos 1=+α；_________cos 1=-α； _________2sin 1=+α；_________2sin 1=-α _______tan 1tan 1=-+αα；_______tan 1tan 1=+-αα；【常见角的变换】()ββαα-+=；22αα⋅=；⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=απαππ442； ()()βαβαα-++=2；()()βαβαβ--+=2；⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222；⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-βαβαβα2229、解三角形【三角形面积计算公式】=S ___________________=___________________=___________________；18、【正弦定理公式】=Aasin ________=_______=__________=_________； 19、【余弦定理公式】=2a ___________________； =A cos ___________________； =2b ___________________； =B cos ___________________； =2c ___________________； =C cos ___________________；10、三角形中常见结论。
任意角的三角比
视频1：在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。
设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为r OP ==，定义:①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。
②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =，则cos α=，且tan α与sec α ；③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =，则sin α=，且 与 无意义；④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。
⑤22sin cos αα+=练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。
6分钟视频2：正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。
练习：确定下列三角函数值的符号。
①cos 250︒；②sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭；③()tan 672︒-；④tan 3π 5分钟视频3：练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note1：常见的三角函数的定义域与值域①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。
任意角的三角比
总结：3
4
(1)直接法：求出 的范围，分类讨论.
ⅣⅠ Ⅰ O Ⅳx
n
ⅡⅢ
(2)几何法：把各象限均分n等份,从x轴的正向的上方起，
依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原
来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边
所在的区域.
n
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅱ.基本方法 3.扇形弧长、弦长、面积的求法：
例8一扇形的周长为c(c>0)，当扇形的圆心角α等于多少 弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
③终边在x轴上：
④终边在y轴正半轴上：
⑤终边在y轴负半轴上：
k k k
180O (k Z ) 360O +90O (k Z ) 360O +270O (k Z
)
k (k Z)
2k (k 2k 2 (k
Z Z
) )
⑥终边在y轴上： k 180O ⑦终边在坐标轴上： k
90O(k Z )
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅰ.基础知识
一、角的概念的推广
1.角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置旋
转到终止位置所形成的图形.
B
始边：射线的初始位置OA.
终边：射线的终止位置OB.
顶点：射线的端点O 2.角的分类：
O•
A
C
(1)正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角.
Ⅱ.基本方法
1.同终边角的求法： 8 例1.若边θ与角 的的终终边边与相同5的的角终为边＿相＿同＿，＿则＿在[0,2π]上终
总结：先写4 出同终边的角，然后按条件求出角.
2.已知角α的范围，，；3 则n是2是第第＿＿＿＿象象限限角角. ； Ⅲy Ⅱ
第15讲 任意角的三角比(教师)
任意角的三角比三角比的基本概念一、知识整理： 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转)(2)终边相同角:0360()2()k k Z k k Z βαβπα=⋅+∈=+∈(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角。
2.角的度量(1)弧度制的概念：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度。
(2)角度制与弧度制的换算: 180180ππ⨯⨯角度弧度(3)弧长公式:l r α=⋅ 扇形面积公式:21122S lr r α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y rr y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:要熟记各象限的角的三角比的符号。
二、例题：例1．给出下列命题，其中正确的是 ( D ) （1）弧度角与实数之间建立了一一对应 （2）终边相同的角必相等 （3）锐角必是第一象限角 （4）小于900的角是锐角 （5）第二象限的角必大于第一象限角sin αtan ααA （1）B （1）（2）（5）C （3）（4）（5）D （1）（3） 例2．已知角︒=45α；（1）若角β与角α有相同的终边，且7200β-︒≤≤︒，求角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x M ,451802|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x N ,451804|，那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k解得 36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或1-=k代回︒-=675β或︒-=315β（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而，M N 是的真子集。
知识点总结2：任意角三角比的定义
任意角三角比----知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：{|,}k k Z ββπα=+∈ 与α角终边关于x 轴对称的角的集合：{|2,}k k Z ββπα=-∈ 与α角终边关于y 轴对称的角的集合：{|2,}k k Z ββππα=+-∈ ②一些特殊角集合的表示： 一些特殊的角的集合 弧度制角度制终边与X 轴正半轴重合 {}|2()ββκπκ=∈Z{}|360()k ββκ︒=⋅∈Z 终边与y 轴正半轴重合|2,()2πββκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|36090,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z 终边与X 轴负半轴重合 {}|2,()ββκππκ=+∈Z{}|360180,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z终边与y 轴负半轴重合3|2,()2πββκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭|2,()2πββκπκ⎧⎫=-∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|360270,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z {}|36090,()k ββκ︒︒=⋅-∈Z终边与X 轴重合 {}|()ββκπκ=∈Z{}|180()k ββκ︒=⋅∈Z 终边与y 轴重合|,()2πββκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭ |,()2πββκπκ⎧⎫=-∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|18090,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z {}|18090,()k ββκ︒︒=⋅-∈Z终边与坐标轴重合|()2κπββκ⎧⎫=∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|90()k ββκ︒=⋅∈Z终边在一、三象限的平分线上角的集合|,()4πββκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|18045,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z 终边在二、四象限的平分线上角的集合： 3|,()4πββκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|180135,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z终边在四个象限的平分线上角的集合：|,()24κππββκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|9045,()k ββκ︒︒=⋅+∈Z（3）区间角的表示象限角： 所在象限 弧度制角度制第一象限 |22,()2πακπακπκ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|36036090,()k k αακ︒︒︒⋅<<⋅+∈Z第二象限 |22,()2πακπακππκ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|36090360180,()k k αακ︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈Z第三象限 3|22,()2πακππακπκ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|360180360270,()k k αακ︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈Z第四象限3|222,()2πακπακππκ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭|22,()2πακπακπκ⎧⎫-<<∈Z ⎨⎬⎩⎭{}|360270360360,()k k αακ︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈Z{}|36090360,()k k αακ︒︒︒⋅-<<⋅∈Z（4）正确理解角：要正确理解“o o 90~0间的角”=090α︒︒<<“第一象限的角”=36036090,()k k ακ︒︒︒⋅<<⋅+∈Z ；“锐角”=090α︒︒<<； “小于o90的角”= 90α︒<；（5）由α的终边所在的象限，通过二等分每个象限来判断2α所在的象限；三等分每个象限 来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
任意角三角比
例4：若α是第三象限的角，则α/2是第几 象限的角 ；2α是第几象限的角 。 例5：已知扇形OAB的圆心角为1500，内 切圆的面积为36πcm2，求弧AB 的长 和扇形OAB的面积。 例6：已知角α与β的终边关于y轴对称， 则角α与β的关系 . 例7：已知扇形的周长为20cm，求它的 面积的最大值。
(1) 1005 ( 2 )
0
(3) 10
是第二象限角,则 3 是第几象限角. 解: 2 k 2 k ( k Z ) 2
5 2 kn 3 1 , 2 n 2 n ( n Z ) 63 3 5 0 3 k 3 n 2 , 2 n 2 n ( n Z ) 2 3 3 第一、二、四象限. 3
二．弧度制
1．角度制 ：周角的1/360叫做1度角，记 为10； 2．弧度制：弧长等于半径的圆弧所对的圆 心角叫做1弧度的角，用“弧度”做单位 来度量角的制度叫弧度制。 规定：正角的弧度数是正数； 负角的弧度数是负数； 零角的弧度数是零； 单位“弧度”两字常可略去。
3．弧长公式：圆弧的长等于 圆弧所对圆心角的弧度数的 绝对值与半径的积． l=α·r
=
1 2 1 3
5a 5 cosα= -13a =- 13 -12a 12 tgα= 5a =- 5
例6 已知：角β的顶点与坐标原点重 合，始边与x正半轴重合，且β的 终边上一点P到原点的距离为34， Sinβ=-8/17 ，求点P的坐标。
说明： 任意角的三角比是用坐标定义的， 因此，应特别注意终边上的点的坐 标的符号关系。
例8：已知角α的终边经过点P（2，-3）, 求α的六个三角函数值．
例9（1）将112°30′化成弧度制。 4 （2）将 4π 9 化成角度制。 9 °约等于多少弧度（保留四个 （3）10 有效数字）。 （4）3弧度约等于多少度（精确到整 数度）。
高三数学-高考复习讲义-任意角的三角比讲义资料(Word版)
高三数学-高考复习讲义-任意角的三角比1．角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ. （4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2． 弧度制（1）角度制与弧度制.用一个周角的3601（1度的角）作为度量单位来度量角的制度叫角度制.角度制在形数结合解决问题时会受到一定限制.弧度的角作为度量单位来度量角的制度叫弧度制.对于角α，以顶点O 为圆心，分别以'r r 、和'l ，则α==''r l r l 取弧的半径无关.（2集合与角的集合之间建立起一种一一对应的关系.（3）角度与弧度的换算.只要记住rad π=180 由rad π=⨯=1180180，rad 1801π=.由 1801=⨯=rad rad ππ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制，如：“ 3602⋅+k π”和“πk 290+ ”的写法都是不妥当的.（4）弧长公式和扇形面积公式.由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=. 3．任意角的三角比 三角比的定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r =，那么 ⑴ 比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； ⑵ 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； ⑶ 比值()0y x x≠叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=．三角比的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：① 正弦值yr 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（00y r <>，）；② 余弦值xr 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（00x r <>，）；③ 正切值()0yx x≠对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（x y ，异号）．注意：余切、正割、余割自行推导4．单位圆与三角函数线（1）单位圆：一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．如下图，角α的终边与单位圆交于点()P x y ，．过P 作x 轴的垂线，垂足为M ．过点(10)A ，作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T ．根据三角函数的定义，我们有：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==；|||tan |AT α=．坐标轴是规定了方向的直线，直角坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关．因此一个自然的想法就是以坐标轴的方向来规定线段OM MP ，的方向，以使它们的取值与P 点的坐标联系起来．当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点，M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负，且有负值x ．其中x 为P 点的横坐标．所以无论哪一种情况都有cos OM x α==．同理，可以得到，无论哪一种情况都有sin MP y α==；tan yAT xα==．有向线段：像MP ，OM ，AT 这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．（2）与单位圆有关的有向线段，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线．① 三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．② 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．③ 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后． 6．终边相同角的三角函数值 公式一：ααsin )360sin(=⋅+k ， ααcos )360cos(=⋅+k ， ααtan )360tan(=⋅+k . )(Z k ∈也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为0到360角的三角函数.一、角的概念的推广1、角的概念【例1】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【例2】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.2、终边相同的角【例3】找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角：（1） 1000； （2） 700-； （3） 950- .【例4】写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β 写出来： （1）60； （2）21-； （3）36314'．【例5】设 {| 36045,}A k k Z αα=⋅︒+︒∈＝，{| 360225,}B k k Z αα=⋅︒+︒∈＝{| 18045,}C k k Z αα=⋅︒+︒∈＝ ， {| 360135,}D k k Z αα=⋅︒-︒∈＝{| 36045 360225,}E k or k k Z ααα=⋅︒+︒=⋅︒+︒∈＝，则相等的角集合为_ _。
任意角的三角比教案
任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。
在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。
可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。
2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。
可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。
3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。
通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。
4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。
可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。
5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。
在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。
同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。
任意角的三角比讲义
任意角的三角比讲义一、角度的定义和表示1. 角度的定义角度是度量两条射线之间旋转的大小。
角度的度量单位是度（°）或弧度（rad）。
2. 角度的表示角度可以用三种形式进行表示：度（°），分（’）和秒（’’）。
例如，一个角度为60度15分20秒，则可以表示为60°15’20’’。
二、任意角的三角比1. 任意角任意角是指一个角度可以不是90度的角度。
2. 正弦、余弦、正切函数在任意角的情况下，我们仍然可以计算三角函数的值。
例如，对于一个任意角A，我们可以定义其正弦、余弦和正切函数分别为SIN(A)、COS(A)和TAN(A)。
其中，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
3. 三角函数的性质在任意角的情况下，三角函数仍然具有一些重要的性质。
3.1 周期性正弦函数和余弦函数的周期均为360度或2π弧度，即它们在每经过360度或2π弧度时会重复一次。
正切函数的周期为180度或π弧度，即它们在每经过180度或π弧度时会重复一次。
3.2 值域正弦函数和余弦函数的值域均为[-1,1]，即它们的函数值均在这个范围内。
正切函数的值域为所有实数，即正切函数可以取到任意实数的值。
4. 三角函数的应用在实际问题中，三角函数广泛应用于各种领域，如物理、工程、地理等。
例如，在三角学中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算两个角度之间的距离、高度等。
在物理学中，我们可以使用三角函数来计算力的大小和方向等问题。
三、小结任意角的三角比是三角函数的重要部分，它在数学、物理和工程等领域都有着广泛的应用。
我们需要了解三角函数的定义、性质和应用，以便能够在实际问题中进行计算和分析。
任意角的三角比PPT课件
解：x2，y–3， r 22 (3)2 13
cssctioaensstncryxyrrxyxy1231212332333132311313133
7
二、单位圆与三角函数线
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心、 以1为半径的圆为单位圆(unit circle)．
10
三角函数线
y
Y’
N
PT
α
o
M Ax
y
Y’
y
T α终边在第一象限
y
Y’
P
N
α
A
Mo
x
Y’
T
α终边在第二象限
Mo
PNΒιβλιοθήκη Axα终边在第三象限
o
MA x
N
P
T α终边在第四象限 11
例2、 求角7 的正弦、 余弦和正切的值．
4
解：如图 AOB 7
4
则BOA
4
y
在终边OB上取一点P，使OP=1
x2 y2
x y
1 3
10
x
y
13或xy
1 3
又 2 y 0
P(1， 3)
13
例4、填表：
α
点P的 坐标
OP
sinα
cosα tanα
cotα
secα cscα
0 (1,0) 1
0
1
0 不存在 1 不存在
思考1：如图，已知角的终边 与单位圆的交点为P，如何求点 P坐标？
单位圆上点P的坐标为 (cos,sin)
y P(x, y)
高一数学上《任意角的三角比》教案_
芯衣州星海市涌泉学校任意角三角比一、任意角三角比教学内容分析任意角的三角比分为4个课时。
第一课时学习与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
第二课时通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题。
第三课时通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明。
第四课时领会象限角的三角比的符号及坐标角的三角比值，并在此根底上进展计算、判断和求值等。
二、教学目的设计1、知识与技能领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示；通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题；学会使用单位圆中的有向线段表示三角比；通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明；领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。
2、过程与方法通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念；通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。
3、情感态度与价值观在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律提醒生活中的空间形式和数量关系。
培养学生的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点：理解任意角的相关概念，掌握弧度制与角度制的关系和运用，掌握任意角三角比的值与符号，并能进展应用。
难点：弧度制的应用，任意角三角比的值与符号形成与认识。
四、教学流程设计第一课时：任意角及其度量〔1〕 华东师范大学附属东昌中学杨雪教学目的：1、 通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念。
2、 领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
3、 树立辩证唯物主义的世界观。
教学用具： 多媒体。
第五章第一节任意角的三角比
§5.1任意角的三角比一、知识点复习1、任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角， (,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则=αsin ，=αcos ，=αtan =αcot ，=αsec ，=αcsc2、把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．1︒= rad,1rad= ︒3、sin α的值在第 象限为正；cos α在第 象限为正； tan α在第 象限为正4、弧长l = ．扇形面积s=二、课前练习1、0518______=_____12π=弧度；度2、已知扇形的面积是277,46cm cm ππ弧长是，则扇形的中心角是______度 3、终边落在第一象限的角的集合可表示为 ；4、终边落在X 轴上的角的集合可表示为 ；5、若角α终边过点P （1），则=αsin ，=αcos ， =αtan =αcot ，=αsec ，=αcsc三、典型例题例1、已知扇形OAB 的圆心角为120︒，面积为243cm π，求»AB 的长，并求含于扇形内，且以AB 为弦的弓形面积.例2、已知点P （t ，-4）在角α的终边上，O 为原点，且5,sin cos ,tan ,cot OP αααα=求，例3、已知角α的终边过点P ),2(y -且=αsin 32-，求tan ,sin cos ααα+四、课后作业（一）基础题：1、下列各命题正确的是 （ ）A ．终边相同的角一定相等B ．第一象限的角都是锐角C. 锐角都是第一象限的角D.小于090的角都是锐角2、0570- = __________ 弧度，是第______________象限的角；=π53 度，与它有相同终边的角的集合为__________________，在[－2π，0]上的角是______3、已知角α的终边上一点的坐标为（－4，3），则ααcos sin 2+的值为4、终边落在坐标轴上的角的集合可表示为5、若,cos sin θθ>且,0cos sin <⋅θθ则θ是第 象限的角6、已知扇形的周长为8cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积7、已知角α的终边在直线x y 2=上,求a sin ,a cos（二）提高题：1、角θ为第一或第四象限角的充分必要条件是 ( ) A.0tan sin <θθ B.0tan sin >θθ C.0tan cos >θθ D.0tan cos <θθ 2、已知角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sin ππ）,则角α的最小正值为( ) A.65π B.32π C.35π D.611π 3、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标是（ ， ） 4、设θ是第二象限角，则点(sin(cos ),cos(cos ))P θθ在第 象限.5、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是 6、已知一扇形的中心角是α,所在圆的的半径是R .(1)若,12,75cm R ==οα求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值)0(>C C ,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积？7、若0sin <α，0cos >α，且=αtan a ，求αsin 和αcos。
5.2《任意角的三角比》教案
例 2 ：求下列各角的六个三角比值
(1)
(2)
3 2
( 3)
5 4
答：(1) sin 0 , cos 1, tan 0,
cot 不存在， sec 1 ， csc 不存在
3 3 3 1, cos 0 , tan (2) sin 不存在, 2 2 2 3 3 3 0 ， sec 1 不存在， csc 2 2 2
(1) 当角 的终边在纵轴上时，即 k
2
(k Z ) 时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0 ，所以
tan 、 sec 无意义
(2) 当角 的终边在横轴上时，即 k ( k Z ) 时，终边上任意一点 P 的纵坐标 y 都为 0，所以 cot 、
角 的终边 y
P( x, y)
o
x
设 是一个任意角，在 的终边上任取一点 P( x, y) （除原点） ，
则 P 与原点的距离 r
x2 y 2 0 ，
y sin r
的正弦
记作：
的正割
x r
记作：
sec
的余弦
的正切
记作：
记作：
cos
tan
cot
(3) sin
5 2 5 2 5 , cos , tan 1 , 4 2 4 2 4
5 5 5 cot 1 ， sec 2 ， csc 2 4 4 4
例 3：设角 终边在直线 y 3x 上，求 的 6 个三角比值
解：(1) 在第二象限，取点 P（1，-3） r
解： sin
2 m ，求没的值. 4
《任意角的三角比》高中数学
课后练习
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
解： 1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2 ，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 1 5 2 ,cos , tan 2 5 5 1 5 5
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固
求
提高
练习 1、已知角
的终边过点
P 12,5 ，
的三个三角比的值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
2当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2，则r
1 2
2
2
5
sin
2 2 5 1 5 2 ,cos , tan 2 5 5 1 5 5
归纳
总结
1. 内容总结： 三角比的概念. 2 .解题方法总结： 运用了定义法、数形结合法、分类讨论法解题. 3 .体现的数学思想： 数形结合的思想 、分类讨论的思想
单位圆中定义任意角
实例
例1
剖析
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
，
5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
高一数学任意角的三角比1.doc
5.2(2) 任意角的三角比上海市杨浦高级中学 方耀华一、教学目标设计(1) 根据任意角的正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割的定义，掌握这些三角比的值在各象限的符号；并能根据角α的某种三角比值的符号，反馈出α可能存在的象限；(2) 掌握诱导公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切值分别转化为求[0,2)π的这三种三角比的值．二、教学重点及难点任意角的正弦、余弦、正切在各象限内的符号及诱导公式一．三、教学流程设计一、情景引入设角,αβ均是第二象限角，依任意角三角比的定义，为了求,αβ的六个三角比值，只要分别在,αβ终边上取点1122(,),(,)P x y Q x y ，由比值11111111||||,,,,,||||y x y x OP OP OP OP x y x y 、22222222||||,,,,,||||y x y x OQ OQ OQ OQ x y x y 可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于,P Q 均在第二象限，故12,x x 同号，12,y y 同号，因而可见，,αβ的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同的.那么，当,αβ分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就讨论这一问题．二、学习新课1、任意角的三角比的符号今后我们还要经常用到三角比值在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值，根据任意角三角比的定义可知，三角比值的符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角比值的符号．观察六个三角比，可发现sin α与csc α，cos α与sec α，tan α与cot α互为倒数，因此它们的符号规律相同．s i n y rα=，csc r y α= (1) 当α在第一、二象限时，0,0y r >>，所以sin ,csc αα为正；(2) 当α在第三、四象限时，0,0y r <>，所以sin ,csc αα为负． 同理cos ,sec x r r xαα==，对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． tan ,cot y x x yαα==，对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限的角是负的． 现在我们将以上讨论结果整理成图1．图1[说明] 可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．同学们还可以自己用口诀“全正， 正， 正， 正”来记忆．记法多种多样，老师可自由发挥.2、诱导公式一上节课我们已学过终边重合的角，例如94π和74π-的终边都与4π终边位置重合． ∵ 9244πππ=+，7244πππ-=-+ ∴由任意角三角比的定义可知它们的三角比值相同，即9s i n s i n 44ππ= 9cos cos 44ππ= 9tan tan 44ππ= 7s i n ()s i n 44ππ-= 7cos()cos 44ππ-= 7tan()tan 44ππ-= 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边重合的角的同一三角比值相等，即 sin(2)sin k παα+= （k Z ∈）cos(2)cos k παα+= （k Z ∈）tan(2)tan k παα+= （k Z ∈）cot(2)cot k παα+= （k Z ∈）sec(2)sec k παα+= （k Z ∈）csc(2)csc k παα+= （k Z ∈）[说明]这组公式的作用是把任意角的三角比值问题转化为[0,2)π角的三角比值问题．3、例题分析例1．确定下列三角比值符号：（1） 16cos 5π；（2）sin()4π-；（3）'tan(55612)- 答：（1）负；（2）负；（3）负.例2. 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 sin 0,tan 0θθ<>．证明：必要性：当θ为第三象限角时，sin 0,tan 0θθ<>；充分性：∵sin 0θ<成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵tan 0θ>成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．例3. 求下列三角比值：（1）sin1470；（2）15cos()4π-；（3）25tan 3π．答：（1）12； （2）2；（3 例4. 如果θ在第二象限，那么sin(cos )cos(sin )θθ⋅的值是什么符号？答：∵θ在第二象限，∴1cos 0,0sin 1θθ-<<<<，∴sin(cos )0,cos(sin )0θθ<>，∴ sin(cos )cos(sin )0θθ⋅<.例5. 若α是第二象限的角，且|cos |cos 22αα=-，问2α是第几象限角？ 答：2α是第三象限的角． 例6. 求值：sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+答：原式＝0.三、巩固练习练习5.2（2）四、课堂小结(1) 任意角的三角比的值在各象限的符号；(2) 诱导公式一.五、课后作业练习册 P15-17习题5.2 A组 3，4，5，6，7，8 习题5.2 B组 2，3。
20170127高一第1讲任意角的三角比
第1讲 任意角的三角比一、知识梳理： Ⅰ、三角比定义：设角α是一个任意角，将角α置于平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 轴的正半轴重合， 在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)， 有点P 到原点的距离 02222>+=+=y x yx r则我们规定：y rx ry y xx x yr xr y ==≠=≠===ααααααcsc sec )0(cot )0(tan cos sin例1已知角α的终边经过点P （—3，4）,求角α的六个三角比的值。
例2已知角α的终边经过点P （2a ，—3a ）(a≠0)，求sin α—cos α的值。
例3求65π的六个三角比的值。
例4应用三角比的定义证明： （1）平方关系222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（2）倒数关系sin αcsc α=1,cos αsec α=1，tan αcot α=1， （3）商数关系sin cos tan ,cot cos sin αααααα==针对性练习: 1、分别求0、2π、π、23π、π的三角比值。
2、分别求6π、4π、3π、65π、43π、32π的三角比值。
3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。
4、已知角α的终边与x 轴重合，求cos α得值.Ⅱ、三角函数线： 1、正弦线：无论α是第几象限角,过α的终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，有向线段MP 的符号与点P 的纵坐标y 的符号一致，长度等于｜y ｜．所以有→MP =y=sinα．我们把有向线段→MP 叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．2、余弦线：有向线段→OM 叫做α的余弦线.3、正切线:过A （1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线)，设α的终边 或其反向延长线与这条切线交于T 点，那么有向线段→AT 叫做 角α的正切线。
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【知识精要】
一、终边相同角的认识
1、一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角,其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角,其度量值是负的.
2、当一条射线没有旋转时,我们也认为形成了一个角,这个角叫做零角.
3、所有与角错误!未找到引用源。
有重合终边的角（包括角错误!未找到引用源。
本身）的集合表示为错误!未找到引用源。
例1、如图所示,写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
答案：错误!未找到引用源。
例2、在直角坐标系中,若角错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
的终边互为反向延长线,则角错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
之间的关系一定是（）
A、错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。
D、错误!未找到引用源。
答案：D
例3、如果错误!未找到引用源。
是第二象限角,那么错误!未找到引用源。
是第几象限的角？
答案：（1）当错误!未找到引用源。
时,第一象限角
（2）当错误!未找到引用源。
时,第二象限角
（3）当错误!未找到引用源。
时,第四象限角
二、弧度制
1、把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用符号rad表示,读作弧度
2、用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3、一个角的大小可以用角度制表示,也可以用弧度制表示,他们之间的换算关系是：错误!未找到引用源。
弧度,1°=错误!未找到引用源。
弧度,1弧度=错误!未找到引用源。
★注：一个角的度数乘以错误!未找到引用源。
就是这个角的弧度数,一个角的弧度数乘以错误!未找到引用源。
就是这个角的度数.
例4、下列各数按大小顺序排列,其中排法正确的是（）
错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。
D、错误!未找到引用源。