高一数学复数的四则运算知识点分析
复数知识点总结
复数知识点总结复数在数学中是一个很重要的概念，它帮助我们解决了很多实际问题。
在我们学习的过程中，复数的知识点也是必须掌握的。
下面，我将针对复数的一些重要知识点进行总结和讲解。
一、复数的概念和表示方法复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a和b都是实数，而i则表示单位虚数，即√-1。
在复平面上，a和b分别代表复数的实部和虚部，而复数本身则是一个有序数对。
例如(2,3)就是由实部为2，虚部为3所组成的复数。
二、共轭复数和复数的表示法共轭复数是指虚部符号相反而实部相同的两个复数，如a+bi和a-bi就是一组共轭复数。
其表示法为，把原来的复数中虚部的符号取反即可。
复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
其中，模是指一个复数在复平面上与原点之间的距离，幅角则是指该复数向复平面正半轴的夹角。
这种表示方法在解决复数乘法、除法等问题时非常有用。
三、复数的四则运算类似于实数，复数也可以进行加减乘除运算。
在这些运算中，复数的实部和虚部分别进行相应的运算。
（1）加减运算对于复数a+bi和c+di的加减运算，实部和虚部分别相加减即可得到结果。
例如：(3+4i)+(5-6i)=8-2i。
（2）乘法运算复数的乘法运算也可以通过分别计算实部和虚部来实现。
例如：(3+4i)(5+6i)=(3×5-4×6)+(3×6+4×5)i=(-9+38i)。
（3）除法运算对于复数a+bi和c+di的除法运算，我们需要找到它们的共轭复数，即a-bi和c-di，然后将它们相乘得到分母的实部，再将分子乘以分母的共轭复数得到分子，最后将分子的实部和虚部除以分母的实部即可得到结果。
例如：(3+4i)/(5+6i)=(-11+18i)/61。
四、极坐标形式下的复数乘除法复数的极坐标形式可以帮助我们更方便地进行乘除法运算。
对于复数r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)的乘法运算，我们只需要将它们的模和幅角相乘即可得到结果的模和幅角。
高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算
3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有1．复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。
.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+【解析】│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,2．【解析】3．【解析】化简得│W-(b+i)│≤1∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B=B即B A∴两圆内含即(b-2)2≤0，∴b=24．计算下列各式①②【解析】(1)(2)5【解析】由│z│=4得a2+b2=4……①∵复数0，z,z对应的点构成正三角形，∴│z-z│=│z│把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0。
复数四则运算
复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。
同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。
本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。
一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。
它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。
二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。
例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。
除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
复数的四则运算法则公式
复数的四则运算法则公式
我们要探讨复数的四则运算法则。
首先，我们需要了解复数的基本形式和定义。
一个复数可以表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
接下来，我们将探讨复数的加法、减法、乘法和除法规则。
1. 加法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和是 (a+c) + (b+d)i。
2. 减法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差是 (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积是 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di（其中c ≠ 0），它们的商是 ((ac + bd) / c) + ((bc - ad) / c)i。
加法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和是 (a+c) + (b+d)i。
减法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差是 (a-c) + (b-d)i。
乘法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积是 (ac - bd) + (ad + bc)i。
除法规则：
给定两个复数 a + bi 和 c + di（其中c ≠ 0），它们的商是 ((ac + bd) / c) + ((bc - ad) / c)i。
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解数学课程中学习复数代数形式的四则运算时,重点理解四则运算法则、运算律以及复数加减法的几何意义。
下面是店铺给大家带来的高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解，希望对你有帮助。
高一数学复数的四则运算知识点(一)复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
高中数学总结归纳 复数的四则运算导学
“复数的四则运算”学习指南一、知识要点1、复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12,z a bi z c di =+=+，（,,,a b c d R Î以下不再说明）加减法：()()()()a bi c di a c b d i +?=??乘法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++ 除法：a bi c di +=+2222()()()()a bi c di ac bd bc ad i c d c d+-++-=++ 重要等式：①22z z z z ?=②若z 为虚数，则22z z ¹2、复数的加法、乘法运算满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律。
实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中，即m n m n z z z +?； ()m n mn z z =； 1212(),(,*)n n n z z z z m n N ?孜3、加、减法的几何意义（了解）复数加法可以按向量的平行四边形法则进行。
复数12z z -与连接两向量终点并指向被减数的向量对应。
两点间距离公式12d z z =-是建立解析几何体系的重要公式，是求曲线方程的重要依据，因此用复数形式的两点间距离公式表示曲线方程十分简明。
二、学法建议1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。
2、了解复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可对照学习，温故而知新。
3、要熟练掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
4、在化简求值运算中,如能合理的运用i 和w 的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用：（1）2(1)2i i ??；（2）11,11i i i i i i+-==--+（3）当12w =-+时，23121,1,,0(*)n n n n N w w w w w w w w ++===++=?； （4）1230(*)n n n n i i i i n N ++++++=?5、性质：22z z z z ?=是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。
复数代数形式的四则运算-除法运算
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
(c di)(c di)
c2 d2
ac bd bc ad i (c di 0).
c2 d 2 c2 d 2
分母实 数化
四、学以致用
例1.计算 (1+2i) ÷(3-4i)
解: (1)原式= 252-（52（5i 374i（i)（) 3344ii））
= 21 - 25i - 4i2 32 + 42
=1-i
(2) 2i 2i
解：(2)原式 = 2i(2 +i) (2 -i)(2 +i)
= 4i + 2i2 22 + 12
= 4i - 2 5
= -2+ 4i
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六、课堂小结
即：(a bi ) (c di ) a bi
c di
ac
bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
bc ad c2 d2
i
不难发现，第二种方法更易于操作
三、复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母
都乘以分母的共轭复数,最后化简后写成代数形
式(分母实数化).即
那么x=？，y=？
经计算可得 （cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a，dx+cy=b
因此
x
ac c2
bd d2
,
y
bc c2
ad d2
于是
(a bi) (c di)
ac bd c2 d 2
复数的四则运算及其几何意义分析总结
添加标题
复数三角形式：a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚 数单位
添加标题
几何意义：复数三角形式可以表示为平面上的一个点， 其中a是横坐标，b是纵坐标
添加标题
复数三角形式的加法：两个复数三角形式的和，可以 表示为两个点在平面上的连线的中点
添加标题
复数三角形式的乘法：两个复数三角形式的积，可以 表示为两个点在平面上的连线的斜率
复数乘法的几何意义：复数乘法的几何意义是旋转和平移。
复数乘法的应用：复数乘法在工程、物理、计算机科学等领域有广泛应用。
• 复数除法：将两个复数相除，得到另一个复数
• 除法公式：a/b=c/d，其中a、b、c、d为复数
• 除法运算的几何意义：将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将
专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为 ，对应的复数为 ，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为 ，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，
高一复数的四则运算知识点
高一复数的四则运算知识点复数的四则运算是高中数学中的重要内容之一。
在高一阶段学习复数的四则运算，对于后续的数学学习和应用有着重要的作用。
下面我们将介绍高一复数的四则运算的知识点。
一、复数及其表示形式复数是由实数和虚数单位构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，实部对应平面上的横坐标，虚部对应平面上的纵坐标。
二、复数的加法复数的加法遵循实部相加，虚部相加的原则。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法复数的减法即加上相反数，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法复数的乘法使用分配律和i的平方等于-1的性质。
即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
即(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))。
六、实部和虚部对于一个复数a+bi，a为实部，b为虚部。
实部和虚部可以通过提取系数的方式得到，实部为a，虚部为b。
七、复数的共轭复数的共轭是将虚部取相反数。
即对于a+bi，它的共轭是a-bi。
以上就是高一复数的四则运算的知识点。
通过学习这些知识，我们可以灵活地进行复数的加减乘除运算，并且理解复数在平面上的几何含义。
掌握这些知识将有助于我们在高中数学学习中的应用和解题。
复数的四则运算是高中数学中的基础内容，希望同学们能够认真学习和理解这些知识，通过练习和应用掌握复数的四则运算的方法和技巧。
加强对这些知识的掌握，对于提高数学水平和解题能力都是非常重要的。
祝同学们在学习复数的四则运算中取得好成绩！。
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数的叠加组成的，它的应用范围极为广泛，并且与实数运算同样重要。
关于复数的运算，其核心就是复数四则运算。
首先，让我们来了解一下什么是复数四则运算。
一般来说，复数四则运算就是指给定两个复数，通过加、减、乘、除运算来求出一个新的复数。
具体而言，复数四则运算可以总结为下面几条规则。
一、复数的加法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其和$c=c_1+ic_2$是：$c_1=a_1+b_1$，$c_2=a_2+b_2$二、复数的减法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其差$d=d_1+id_2$是：$d_1=a_1-b_1$， $d_2=a_2-b_2$三、复数的乘法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其积$e=e_1+ie_2$是：$e_1=a_1b_1-a_2b_2$，$e_2=a_1b_2+a_2b_1$四、复数的除法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其商$f=f_1+if_2$是：$f_1=dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{b_1^2+b_2^2}$，$f_2=dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1^2+b_2^2}$以上就是复数四则运算的基本规则，即加减乘除。
在实际应用中，我们可以根据需要，运用这些四则运算，来解决一系列复数问题。
接下来，我们来看几个实例，这些实例有助于我们加深对复数四则运算的理解。
例一：$(2+3i) + (4+5i)$解：根据复数的加法运算，我们可以得出$ (2+3i) + (4+5i) = 6+8i$例二：$(2+3i) - (4+5i)$解：根据复数的减法运算，我们可以得出$ (2+3i) - (4+5i) = -2-2i$例三：$(2+3i) (4+5i)$解：根据复数的乘法运算，我们可以得出$ (2+3i) (4+5i) = -7+22i$例四：$dfrac{2+3i}{4+5i}$解：根据复数的除法运算，我们可以得出$ dfrac{2+3i}{4+5i} = dfrac{13}{41}+dfrac{2}{41}i$ 以上只是复数四则运算的简单介绍，在实际应用中，我们还可以运用复数的平方、立方、n次方等操作，来解决一些复杂的问题。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
高一数学必修二复数知识点笔记
高一数学必修二复数知识点笔记一、复数的概念和表示方法复数是由一个实数和一个虚数组成，通常写作a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
表示复数的常用形式包括标准形式、三角形式和指数形式。
二、复数的四则运算1. 加法和减法复数加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i复数减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法和除法复数乘法：(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i复数除法：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) ÷ (c² + d²)] + [(bc - ad) ÷ (c² + d²)]i3. 幂运算复数的n次幂：(a + bi)ⁿ = (rⁿcos(nθ)) + (rⁿsin(nθ))i其中，r为复数的模，θ为复数的幅角。
三、复数共轭和模1. 复数的共轭设有复数z = a + bi，则z的共轭复数记作z* = a - bi。
具体来说，如果一个复数的虚部为正数b，则它的共轭复数则为虚部为负数-b。
2. 复数的模设有复数z = a + bi，则z的模记作|z| = √(a² + b²)。
复数模的计算公式即为将复数的实部和虚部的平方和开方。
四、复数的三角形式和指数形式1. 复数的三角形式设有复数z = a + bi，其模为r，幅角为θ，则z可表示为z= r(cosθ + isinθ)。
具体来说，复数的三角形式包括两部分，一部分是mod_r= r，另一部分是arg_z = θ。
2. 复数的指数形式复数的指数形式可以通过欧拉公式得到，即z = r^(iθ) = e^(iθ)。
其中，e为自然对数的底，i为虚数单位。
五、复数在解析几何中的应用1. 复数与向量复数可以用来表示平面上的向量，实部和虚部分别表示向量的x和y坐标。
复数方程知识点公式总结
复数方程知识点公式总结一、复数及其性质1、定义复数是由实数和虚数部分组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2、性质（1）复数共轭：设z=a+bi是一个复数，则其共轭复数为z的共轭复数为a-bi，通常用z*表示。
（2）模：复数z=a+bi的模记作|z|，它表示复数到原点的距离，计算公式为|z|=√(a²+b²)。
（3）幅角：复数z=a+bi的幅角记作θ，它表示与正实轴的夹角，计算公式为θ=arctan(b/a)。
二、复数的四则运算1、加法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i。
2、减法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
3、乘法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
4、除法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁/z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i。
三、复数方程的解法1、复数方程的一元一次方程（1）形如az+b=0的一元一次方程，解为z=-b/a。
（2）形如az²+bz+c=0的一元二次方程，解为z=（-b±√(b²-4ac)）/2a。
2、复数方程的代数方程利用代数方式求解复数方程，通常需要将方程转化为标准形式，然后解方程求得解。
3、复数方程的几何解法复数方程可以用几何手段进行解题，通常在复平面上表示复数，然后通过图形的相交情况来求解复数方程的解。
四、复数方程的应用复数方程的解法在数学和物理学中有着广泛的应用，例如电路分析、信号处理、振动问题等方面都会涉及到复数方程的解法。
在实际应用中，我们通常需要将实际问题转化为复数方程，然后利用复数方程的知识和方法去求解。
高一数学复数模式总结知识点
高一数学复数模式总结知识点复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以用方程形式表示为a+bi，其中a是实部，bi是虚部。
在高一数学中，我们学习了复数的基本概念、运算规则、常见表示形式、共轭复数等知识点。
本文将对这些知识进行总结，帮助我们更好地理解和应用复数。
一、复数的基本概念复数是数学中引入的一个新的数概念。
它由实部和虚部组成，实部是实数部分，虚部是以虚数单位i（i²=-1）相乘的部分。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
二、复数的运算规则1. 加法：复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法：复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法：复数相乘时，按照分配律展开，同时利用i的平方等于-1。
例如：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法：复数相除时，乘以分子的共轭复数，再进行乘法运算。
例如：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
三、复数的常见表示形式复数可以有不同的表示形式，常见的有代数形式、三角形式和指数形式。
1. 代数形式：即复数的一般形式，例如：a+bi。
2. 三角形式：将复数表示为模长与辐角的形式，模长表示为r，辐角表示为θ。
例如：r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
3. 指数形式：利用欧拉公式，将复数表示为指数形式，即e^(iθ)。
其中e为自然对数的底，i为虚数单位，θ为辐角。
四、共轭复数共轭复数是指虚部符号相反的复数，即实部相同，虚部的符号相反。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数的性质包括：实数的共轭复数仍然是它本身，两个复数的积的共轭等于两个复数的共轭的积。
高中数学总结归纳 复数代数形式的四则运算导学
复数代数形式的四则运算导学一、建立复数运算的原则作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.二、复数的加法和减法1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ u u u r ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =u u u r ，，且1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则1212OZ OZ OZ z z =+=+u u u r u u u u r u u u u r ，211212Z Z OZ OZ z z =-=-u u u u u r u u u u r u u u u r ，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．三、复数的乘法和除法1．规定复数的乘法按照如下法则进行：设12z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci bdi ac bd bc ad i ++=++=-++．说明：复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把2i 换成1-，再把实部、虚部分别合并．2．虚数单位i 的乘方：计算复数的乘积要用到复数的单位i 的乘方，n i 有如下性质：1i i =，21i =-，32i i i i ==-·，4321i i i i i i ==-=-=··．从而对于任何n *∈N ，都有4144()n n n i i i i i i +===··，同理可证421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．这就是说，如果n *∈N ，那么有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．说明：（1）上述公式中，说明n i 具有周期性，且最小正周期是4．（2）n 可推广到整数集．（3）4()k k ∈Z 是i 的周期．3．复数的除法：已知z a bi =+，如果存在一个z '，使1z z '=·，则z '叫做z 的倒数，记作1z，有了倒数的概念我们可以规定除法的运算法则：将商a bi c di++看作分数，分子分母同乘以分母的共轭复数c di -，把分母变为实数，化简可得运算结果，即()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++- 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++． 4．共轭运算性质：1212z z z z ±=±，1212z z z z =··，11222(0)z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，z z =． 5．模运算性质：1212z z z z =··，11222(0)z z z z z =≠， 22221212122()z z z z z z ++-=+，121212z z z z z z -±+≤≤． 其中两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即22z z z z ==·．6．常用结论：①2(1)2i i ±=±；②11i i i +=-，11i i i -=-+；③设12w -=+， 则21210(0)n n n w w w w w n ++++=++=∈N ，且31w =．。
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高一数学复数的四则运算知识点分析
复数的概念：
形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复
数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫
做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：
(1)复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点
Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原
点外，虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合
是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距
离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=
虚数单位i：
(1)它的平方等于-1，即i2=-1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，
z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
复数集与其它数集之间的关系：
复数的运算：
1、复数z1与z2的和的定义：
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-
d)i;
3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中
把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：
设
为邻边画平行四边形
就是复数
对应的向量。
复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设
，则这两个复数的差
对应，这就是复数减法的几何意义。
共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和
=a-bi(a、b∈R)互为共轭复数。
复数的运算律：
1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1;
结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);
2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1 z2+z1z3。