湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618法》教案 新人教A版
黄金分割法教案
黄金分割法【教学目标】1、掌握黄金分割法原理。
2、理解黄金分割法流程。
【教学重点】1、黄金分割法原理。
【教学难点】1、黄金分割法原理。
2、黄金分割法流程。
【教学准备】多媒体课件、多目标优化方法学习资料。
【教学过程】一、创设问题，引入课题以社会热点巴黎圣母院起火为切入点，巴黎圣母院、中国国旗、蒙娜丽莎三者有什么共同的特点。
二、黄金分割法又称作0.618法是一种等比例缩小区间的直接搜索方案，适用于单谷函数的求极小值问题。
三、黄金分割法原理指一条线段分为长短两部分，较长部分的长度与总长的比值，适用于较短部分的长度与较长部分的长度的比值。
在函数f(x)的已知区间[a,b]内搜索区间适当插入两点x1和x2（x1＜x2），得到其函数值f(x1)和f(x2)。
两个插入点将线段分割成三段。
黄金分割法要求插入点x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，即|ax2|=|x1b|，|ax1|=|x2b|，如下图所示。
设|ab|=l，|ax2|=|x1b|=c，|ax1|=|x2b|=l-c。
已知x2点将线段ab分为ax2和x2b两部分，若|ax2|/|ab|=|x2b|/|ax2|，则有c/l=（l-c）/c设c/l=λ，故λ2+λ-1=0，可得λ≈0.618λ（λ≈0.618）称为黄金分割比，x2是线段ab的黄金分割点。
x2=a+0.618（b-a）x1=a+0.382（b-a）黄金分割法每一次搜索区间都是取相同的区间多段率。
每次缩小区间后，新搜索区间是原区间的0.618倍，消去的区间是原区间的0.382倍。
比较f(x1)和f(x2)，根据区间消去原理来逐步缩小搜索区间：（1）如果f(x1)＜f(x2)，则新的搜索区间是[a,x2]。
已知x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，c/l=（l-c）/c=λ，可知|ax1|/|ax2|=λx1点则是线段ax2|的黄金分割点由于|x1x2|/|x1b|≈0.382，可知x2点则是线段x1b黄金分割点的对称点。
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 四、分数法》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 四、分数法》教案 新人教A 版一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.ΛΛ, , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138F F =10=11=22=F 33=F 54=85=136=F来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：阻值(K Ω) 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 排列(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的nn n n F F F F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.4F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》第一讲第四课时.。
高中数学 第1讲 优选法 三 黄金分割法——0.618法(二)练习 新人教A版选修4-7-新人教A版
三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL 到110 mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL. 答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618]. 答案 [1.382，1.618] 二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236； 若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764. 答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度. 解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为 2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n－1的结果比试验点a n要好，即a n－1与a n中a n－1为好点.(1)如果b2＝b1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b2n－1＝b2n时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？解(1)由b2＝b1，说明a2与a1的试验效果一样好.又因为目标函数f(x)是[m，n]上是一个单峰函数，x＝c是最佳点，且f(a2)＝f(a1)，则根据f(x)在[m，c]和[c，n]上单调，可知a2，a1不会同在[m，c]或[c，n]上，因此a2，a1分别在c的两侧，即c在保留的中间范围[a2，a1]上，故存优范围是[a2，a1].(2)当b2n－1＝b2n时，由(1)可知，最佳点c保留在中间范围[a2n，a2n－1]上.由a2，a1是区间[m，n]两个黄金分割点知，若n－m＝1，则有a1－a2＝0.618－0.382＝0.236，即经过2次试验后，存优范围缩小为原来的0.236.每经过2次试验，可得出存优范围是前面的0.236倍.即经过2n次试验后的精度δ2n＝0.236n.三、探究与创新10.膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料.由于产品产量低、成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用.为了解决这一问题，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验.在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300 ℃～1 400 ℃范围内进行优选.(精确到10 ℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50 kg/m3(每立方米50公斤).(2)又找出第二试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65 kg/m3.两试点比较，1 360℃时质量较好，故将______________________________________.(3)再找出第三试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55 kg/m3，并有少量粘炉.两试点比较，1 360 ℃时质量较好.根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定.解析(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340，1 400]之间，故把1 340以下部分舍去.(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340，1 380]之间，故把1 380以上部分舍去.从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360知，可把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度. 答案(1)1 360 (2)1 340 1 340 ℃以下部分舍去(3)1 380 1 360。
2017_2018版高中数学第1讲优穴三黄金分割法__0.618法二练习新人教A版选修4_7
三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg 0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL.答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618].答案 [1.382，1.618]二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764.答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度.解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n －1的结果比试验点a n 要好，即a n －1与a n 中a n －1为好点.(1)如果b 2＝b 1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b 2n －1＝b 2n 时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？ 解 (1)由b 2＝b 1，说明a 2与 a 1的试验效果一样好.又因为目标函数f (x )是[m ，n ]上是一个单峰函数，x。
黄金分割法教案
黄金分割法教案介绍：黄金分割法是一种常用于艺术、设计和数学等领域的比例原则。
它的起源可以追溯到古希腊时期，被认为是一种美学上最具吸引力和对称感的比例。
在本教案中，我将向你介绍黄金分割法的背景、原理以及如何应用于不同的艺术创作中。
一、黄金分割法的背景和意义（200字）黄金分割法或黄金比例最早出现在古希腊，古希腊建筑师和数学家发现，黄金比例可以创造出最和谐、平衡和美丽的形状。
黄金分割法的核心概念是将一个整体分割成两个部分，其中较小部分与较大部分的比例等于整体与较大部分的比例。
这种比例通常被表示为1:1.618（约等于）。
黄金分割法的意义在于它提供了一种直观且可衡量的美学准则，帮助艺术家和设计师在他们的作品中创建吸引人的比例和对称感。
它被广泛应用于绘画、摄影、建筑和平面设计等领域，为作品带来了视觉上的平衡和和谐。
二、黄金分割法的原理（300字）黄金分割法的原理基于黄金比例的数学特性。
黄金比例是指两个数之间的比例，其中较大数与较小数的比例等于整个数与较大数的比例。
具体来说，如果用A代表总长度，B代表较大部分的长度，C代表较小部分的长度，那么黄金比例可以表示为以下公式：A/B = B/C = φ（黄金比例）黄金比例的近似值约为1.618。
在艺术中，黄金分割法的应用体现在将画面分成合适的比例，使元素之间达到平衡和和谐。
例如，将画布按照黄金分割法划分为三个水平或垂直部分，将关键元素放置在这些分割线的交叉点上，可以增强画面的对称感和视觉吸引力。
三、黄金分割法的应用（500字）1. 绘画和摄影中的黄金分割法黄金分割法在绘画和摄影中被广泛应用，可以帮助艺术家和摄影师创造出吸引人的构图和视觉效果。
在绘画中，艺术家可以利用黄金分割法的原理来决定物体的尺寸和位置，以达到视觉上的平衡和美感。
例如，水平和垂直分割线可以用来决定背景、前景、主体和元素之间的关系。
在摄影中，摄影师可以使用黄金分割法来决定照片的主体位置和背景布局。
高中数学 1.3 黄金分割法 0.618法教案 新人教A版选修4
三黄金分割法——0.618法1．黄金分割常数2．黄金分割法——0.618法课标解读1.了解0.618法进行试验设计的原理．2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.1．黄金分割常数(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则： ①使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同． (2)黄金分割常数常用ω表示，且ω＝5－12≈0.618. 2．黄金分割法——0.618法(1)定义：利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一． (2)确定试点的方法类别 第一试点第二试点… 第n 试点计算 方式 x 1＝小＋0.618×(大－小) x 2＝小＋大－x 1 …x n ＝小＋大－x m 原理用黄金分割 法确定x 1 加两头减中间…加两头减中间①定义：用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为δn ＝n 次试验后的存优范围原始的因素范围. ②0.618法中，n 次试验后的精度δn ＝0.618n －1_.1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？【提示】 先在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a ，b ]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？ 【提示】 当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间． 3．在存优范围[a ，x 1]内取第三个试点x 3，则x 3与x 2的相对位置如何？ 【提示】 如图所示：结合黄金分割常数原理可知x 2，x 3关于区间[a ，x 1]的中心a ＋x 12对称且x 3在x 2的左侧.用0.618法确定试点为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？【思路探究】 第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．【自主解答】 在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1， 满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.第二个试点x2满足，x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1 382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.示意图如下：0．618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？【解】由于x2的效果比x1的效果好，消去x1＝1 618以上部分，此时的存优范围为[1 000,1 618]，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236.∴第三个试点应选在1 236处.0.618法的应用调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g到2 000 g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．(1)写出这个试验的操作流程．(2)达到精度0.001需要多少次试验？【思路探究】(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→利用对称性确定第二个试点x2―→利用x n＝小＋大－x m来确定第n个试点(2)确定精度―→求试验次数【自主解答】用一张纸条表示1 000～2 000 g，以1 000为起点标出刻度．(1)试验可按以下步骤进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为：(2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)，即取1 618 g柠檬汁进行第一次试验．②做第二次试验：取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量为：1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1 618 g以上的部分：如果第一点较好，则去掉1 382 g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1 382 g以下的部分，即存优范围为[1 382,2 000]，在此范围找出第一点(即1 618)的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：2 000－1 618＋1 382＝1 764(g)．④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1 764 g以上部分，如果第三点好些，则去掉1 618 g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分(即[1 618,2 000])找出第三点(即1 764)的对称点做第四次试验．第四点加入量为：2 000－1 764＋1 618＝1 854(g)．⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．(2)精度σ≤0.001.所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg 0.001/lg 0.618＋1，即n≥16.故需要16次试验．黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．【解析】由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.【答案】 2.618(教材第10页习题1.3第3题)举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．已知一种材料的最佳加入量在100 g到200 g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【命题意图】本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法，属基础题．【解析】用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(200－100)×0.618＋100＝161.8.第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝200－(200－100)×0.618＝138.2.【答案】161.8或138.21．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A．1.618 B．1.5C．1.382 D．1.618或1.382 【解析】用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382.【答案】 D2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．( )A．[0,0.1] B．[0.1,1]C．[0,0.2] D．[0.2,1]【解析】如图所示：∵峰值在(0,0.1)内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．【答案】 C3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．【解析】上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.【答案】0.84．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．【解析】由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.【答案】0.6183(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A．12 B．13C．14 D．15【解析】在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.【答案】 C2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL 或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )A．4 500,3 500 B．4 382,3 618C．4 236,3 764 D．4 618,3 618【解析】x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.【答案】 C3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml 到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )A．35 ml B．40.9 mlC．33.6 ml D．86.4 ml【解析】由黄金分割法可知，第一个试点为x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为：x2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.【答案】 C4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )A．8 B．9 C．10 D．11【解析】由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥lg 0.01lg 0.618≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．【解析】第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.【答案】 2.7646．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【解析】第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．【答案】171.8或148.2三、解答题(每题10分，共30分)7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．【解】由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？【解】由题意设面积为S，则S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．当x＝500时，S＝700 000，x＝700时，S＝700 000.x1＝623.6，x2＝576.4，∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，∴x5＝601.314 425 6，x6＝598.685 574 4，∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.此时601.314 425 6－598.685 574 4＝2.628 851 2＜10.∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x ＝600 m.创新应用9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度 1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．【解析】(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．【答案】(1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉(3)1 380 1 360教师备选10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以a n表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．(1)a1＝________；(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.【解析】(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774.【答案】(1)718 (2)774。
三、黄金分割法——0.618法
我们希望能“最快” 我们希望能“最快”找到或接近最佳 点的方法不只针对某个具体的单峰函数， 点的方法不只针对某个具体的单峰函数， 而是对这类函数有普遍意义.由于在试验 而是对这类函数有普遍意义 由于在试验 之前无法预先知道哪一次试验效果好， 之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪 一次差，即这两个试点有同样的可能性作 一次差， 为因素范围[a, 的分界点 的分界点， 为因素范围 b]的分界点，所以为了克 服盲目性和侥幸心理， 服盲目性和侥幸心理，在安排
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 假设因素区间为 ， 、 10 1 1 中的单峰函数， ，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图 ； 两次试验便去掉了长度为 的区间 图 1)； 5 2 的函数， 但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图 ，试验效率就不理想了. 为 的区间 图 2)，试验效率就不理想了 10
课后作业 1.阅读教材 阅读教材P.5-10 阅读教材
怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？ 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？ ？ ？
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 假设因素区间为 ， 、 10 1 1 中的单峰函数， ，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图 ； 两次试验便去掉了长度为 的区间 图 1)； 5 2 的函数， 但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图 ，试验效率就不理想了. 为 的区间 图 2)，试验效率就不理想了 10
往往取其近似值0.618.相应地，也把黄 相应地， 往往取其近似值 相应地 金分割法叫做0.618法. 金分割法叫做 法
二、黄金分割法——0.618法 黄金分割法 法 例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的 炼钢时通过加入含有特定化学元素的 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求. 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求 假设为了炼出某种特定用途的钢， 假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨 需要加入某元素的量在1000g到2000g之 需要加入某元素的量在 到 之 间，问如何通过试验的方法找到它的最 优加入量？ 优加入量？
黄金分割教案
黄金分割教案教案题目：黄金分割教案目标：1.了解黄金分割的定义和原理；2.掌握黄金分割的计算方法；3.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力。
教学重点：1.黄金分割的概念和原理；2.黄金分割的计算方法。
教学难点：1.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力；2.理解黄金分割的原理。
教学准备：1.计算器；2.黄金分割的相关教学图片。
教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）通过展示一张黄金分割的例图，提问学生是否觉得该图看起来很美观，引导学生思考美学与黄金分割的关系。
Step 2：讲解黄金分割的原理（15分钟）1.向学生介绍黄金分割的概念，即将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例，这个比例约为1:0.618。
2.解释黄金分割的原理，即黄金分割点的位置是一种具有视觉和美学上的平衡和和谐感。
Step 3：计算黄金分割（15分钟）1.向学生演示如何计算黄金分割，即将一段线段的长度乘以0.618，得到黄金分割点的位置。
2.让学生自己计算一些线段的黄金分割点。
Step 4：艺术鉴赏（15分钟）通过展示一些著名艺术作品，引导学生分析其中是否存在黄金分割，并让学生讨论这些作品是否看起来很美观。
Step 5：总结与拓展（5分钟）总结黄金分割的概念、原理和计算方法，并鼓励学生在日常生活中观察和欣赏黄金分割的存在。
教学方法：1.讲解法：通过向学生讲解黄金分割的概念、原理和计算方法；2.示范法：向学生演示如何计算黄金分割；3.讨论法：引导学生讨论艺术作品中的黄金分割。
教学评估：1.课堂讨论：根据学生的回答和讨论情况，评估学生对黄金分割的理解程度；2.作业检查：布置相关作业，检查学生对黄金分割的计算方法的掌握情况。
板书设计：黄金分割教案黄金分割的定义和原理：- 将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例；- 黄金分割点位置具有视觉和美学上的平衡和和谐感。
第一讲 三(一)
预习导学
课堂讲义
要点三 例 3
用 0.618 法确定试点 为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选 .
已知此因素范围为[1 000，2 000]，用 0.618 法安排试验，第一 个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第 三个试点应选在何处？
解
在因素范围[1 000，2 000]内，用 0.618 法安排试验，第一
个试点 x1 满足 x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618； 第二个试点 x2 满足 x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382. 试验结果，如果 x1 的效果比 x2 好，舍去 x2＝1 382 以下部分，则 第三个试点 x3 满足 x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764. 示意图如下：
解析 ②③④正确.①中黄金分割常数为较大部分和较小部分之间 的比例等于较大部分与整体之间的比，故①错.
答案
C
预习导学 课堂讲义
规律方法 跟踪演练 1 自主学习；
黄金分割常数就是方程 x2＋x－1＝0 的正根，在自然 下列实际问题与黄金分割常数有关的为 ( )
界与几何图形中普遍存在. ①一名有经验的教师在 45 min 的课堂里至少要留 10.7 min 给学生 ②设计师在许多图案选择中，常常采用五角星； ③腿短的女生喜爱穿高跟鞋； ④人们最喜欢春秋气温. A.②③ C.②③④ B.②④ D.①②③④
预习导学
课堂讲义
1.通过缩小存优范围来寻找最优点的方法： (1)在因素范围[a，b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果 确定好点与差点.(2)在差点处把区间[a，b]分为两段，截掉不含 好点的一段，留下存优范围[a1，b1]，(3)再在[a1，b1]内重复上 述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的. 2.利用黄金分割法寻找最优点的原则： a＋ b (1)使两个试点关于[a，b]的中心 2 对称； (2)保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等.
黄金分割点教案
黄金分割点教案第一篇：黄金分割点教案黄金分割点教案教学目标：（一）知识技能目标：（1）知道黄金分割的定义．（2）会找一条线段的黄金分割点．（二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．（三）情感态度目标：（1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，认识到数学上解决实际问题和进行交流的重要工具。
（2）通过对黄金分割的理解和掌握，明确黄金分割的作图方法，体会数形结合的思想。
（3）通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神。
教学重点：黄金分割的定义和简单应用。
教学难点：黄金点的画法和验证。
教学方法和手段1、采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的学习方式。
2、利用多媒体教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性，创设和谐、轻松的学习氛围。
学法指导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索，发现问题，小组之间互相合作，取长补短。
养成自主学习和合作学习相结合的良好习惯。
教学准备教师准备多媒体课件，黄金分割的学习资料直尺圆规教学流程设计（一）、创设问题情境，激发学生兴趣向学生展示与“黄金分割”有关的图片：以激发学生兴趣，引起学生探索的欲望。
问：为什么它们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉?（二）、实例引入，导出定义。
1、（这是本节课的重点。
学生学习“线段的比”仅有两节课，掌握程度比较浅，而黄金分割的定义又使用了这一知识点，所以在课件使用过程中应注意帮助学生体会、理解定义中出现的“线段的比”。
）以五角星为例引入黄金分割的定义，在五角星中也存在黄金分割。
首先，《黄金分割》学习资料［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方．那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？［生］相等．［师］所以．[设计意图] 阅读是学生自主获取知识的一种重要学习方法，培养学生良好的学习习惯和数形结合的思想，加深对概念的理解。
黄金分割法0618法高中数学人教A选修47优选法与试验设计初步
x1=100+0.618×(1100－100)=718. 第二次 x2=100+1100－718=482.
(2) 因为[700, 710]包含存优范围．所以最优点在区间[700, 710]内. 由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482, 1100]， 所以a3=482+1100－718=864，
量一下它的宽度与长度之比， 算下比值大约是多少？
黄金分割法—0.618法
a
x2 x1
b
教师：平江二中数学组 余胜荣
1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法
***探究*** 对于一般的单峰函数，如何安排
试点才能迅速找到最佳点？
问题一：观察下面三个图形，你的结论是什么？
y 最佳点
好点
y
y
最佳点 好点
最佳点
好点
差点
差点
差点
o
xx o
xo
x
结论：最佳点与好点一定在差点的同一侧
问题二：由以上结论，你如何安排实验找最佳点？
可按如下想法安排试点:先在因素范围 [a, b]内任选两点各做一次试验，根据试验 结果确定差点与好点，在差点处把[a, b]分 成两段，截掉不含好点的一 段，留下存优
范围[a1, b1]，显然有[a1, b1][a, b]；重复 上述步骤，可使存优范围逐步缩小.
定义
把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,
就是黄金分割法.（适用于单峰函数）
怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳 点呢?这是我们今天要解决的问题.
• 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使 炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某 种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 五、其他几种
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 五、其他几种常用的优选法》教案 新人教A 版复习1. 0.618法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ2. 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…Λ,55,34,21,13,8,5,3,2,1,198********==========F F F F F F F F F F3.黄金分割常数ω的近似分数列3. 分数法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.4. 0.618法和分数法的区别0.618法:适合[a ,b ]区间上的实数试点问题分数法:适合[a ,b ]区间上的有限试点问题5. 分数法的最优性2次试验可以最多处理2个试点问题3次试验可以最多处理4个试点问题4次试验可以最多处理7个试点问题5次试验可以最多处理12个试点问题6次试验可以最多处理20个试点问题…n 次试验可以最多处理(F n +1－1)个试点问题新课一、对分法案例1 有一条10km 长的输电线路出现了故障，在线路的一端A 处有电，在另一端B 处没有电，要迅速查出故障所在位置.0.618法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB 之间的任意点C 做检查，就能根据点C 是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢？第一个检查点C 安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC 而在CB 段，接着在ΛΛ, , ,138 ,85 ,53 ,32 ,211+n n F FCB 中点D 检查，如果没有电，说明故障在CD 部分，再在CD 中点E 检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较0.618法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的问题都可以用对分法呢？不是的.如果每做一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向，就可以用对分法. 例如案例1中，根据有没有电就可以判断是哪段线路有故障，下次就在有故障的一段 检查.决定下次试验方向，只要满足以下两个条件就可以：一是要有一个标准，对分法每 次只有一个试验结果，如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果的好坏，案例1中的标准 是有没有电；二是要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试验的结果 直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，案例1中，根据检查点是否有电，知道下一个应该离A 点更近些还是更远些.如果没有这一条件就不能确定下一次应该在哪个因素范围 进行试验.案例2 在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格？因为每次给出估价都会得到“高了”或“低了”的提示语，于是，我们可以根据提示语确定下一次该往高还是往低估.这说明可以用对分法给出商品估价，每次给出的估价都是存优区间的中点.每给一次估价，可以使价格范围缩小21 ，迅速猜中商品价格. 可以发现对分法和0.618法及分数法，在确定下一个试点时，比较的对象是不同的.后两种方法是两个试点上的试验结果的比较，而对分法是一个试点上的试验结果与已知标准（或要求）的比较.所以在满足目标函数为单峰的假设下，使用对分法还需要满足具有已知标准这个条件.从效果上看，对分法比0.618法及分数法好，每一次试验可以去掉一半的因素范围.相对于0.618法及分数法，对分法更简单，易操作.思考分别用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法会更有效呢？为什么？二、盲人爬山法在实际的生产实践和科学试验中，某些因素不允许大幅度调整.例如，设备正在运行 中，如果坏一次损失会很大；某些成分含量的多少对结果影响很大，甚至由于该成分的 过量破坏了试验装置的清洁度，而影响下一次试验结果的正确性.这些试验用0.618法、分 数法或对分法就不很合适.这种限制要求我们在原有生产条件的基础上逐步探索，逐步提 高，就像盲人爬山一样，在立足处，对前后两个方向进行试探，如果前面高了就向前走 一步，否则试探后面，如果前后都比某点低，就说明达到山顶了.盲人爬山法的操作步骤是：先找一个起点A (可以根据经验或估计)，在A 点做试验后 可以向该因素的减少方向找一点B '做试验.如果好，就继续减少；如果不好，就往增加方 向找一点C 做试验.如果C 点好就继续增加，这样一步一步地提高.如果增加到E 点，再增加到F 点时反而坏了，这时可以从E 点减少增加的步长，如果还是没有E 点好，则E 就是该因素的最佳点.这就是单因素问题的盲人爬山法.C B A E D盲人爬山法的效果快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多次试验.所以对爬山来说，试验范围的正确与否很重要.另外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大.在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法.也就是说，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再改为小步.如果由于估计不正确，大步跨过最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用小步进行.一般说来，越接近最佳点的时候，效果随因素的变化越缓慢.这个方法还可以应用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.像改变气体和液体的流速、温度；仪器调试中的可变电容、可变电阻；等等，采用爬山法比较合适.试验中，可以边调整边检查，调到最佳点时就固定下来.一般在大生产中爬山法较常用.三、分批试验法(1)均分分批试验法(2)比例分割分批试验法从效果上看，比例分割法比均匀法好.但是比例分割法每批中的试验点挨得太近，如果试验效果差别不显著的话，就不好鉴别.因此，这种方法比较适用于小的因素变动就能引起结果的显著变化的情形.究竟一批安排几个试验合适呢？这要根据具体的情况而定.如果做一次试验很方便，消耗很少，时间很短；或检验很麻烦，时间又长；或代价很大，而且每次检验可以有好多样品同时进行，在这种情况下每批试验可多做几个，即将试验范围分得细一些；否则就少做几个.四、多峰的情形一般可以采用以下两种方法.(1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理单峰的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先应用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻找).(2)先做一批分布得比较均匀的试验，看它是否有“多峰”现象.如果有，则分区寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来.第一批分布均匀的试点最好以下述比例分：α：β＝0.618：0.382..(图1)这样有峰值的范围总是成(α,β) 或(β, α)形式(图2).课后作业1.阅读教材P. 18-P.22；2.《学案》第一讲 第五课时.βαβαβαβα图1图2。
黄金分割教案范例讲解
黄金分割教案范例讲解第一章：黄金分割的概念与历史1.1 黄金分割的定义1.2 黄金分割的历史发展1.3 黄金分割在艺术和建筑中的应用案例分析第二章：黄金分割在绘画中的应用2.1 黄金分割法则在绘画构图中的应用2.2 著名绘画作品中黄金分割的应用案例分析2.3 学生绘画创作实践：运用黄金分割法则进行构图第三章：黄金分割在建筑设计中的应用3.1 黄金分割法则在建筑设计中的应用3.2 著名建筑作品中黄金分割的应用案例分析3.3 学生建筑设计实践：运用黄金分割法则进行设计第四章：黄金分割在摄影中的应用4.1 黄金分割法则在摄影构图中的应用4.2 著名摄影作品中黄金分割的应用案例分析4.3 学生摄影创作实践：运用黄金分割法则进行构图第五章：黄金分割在时尚设计中的应用5.1 黄金分割法则在时尚设计中的应用5.2 著名时尚作品中黄金分割的应用案例分析5.3 学生时尚设计实践：运用黄金分割法则进行设计第六章：黄金分割在音乐创作中的应用6.1 黄金分割法则在音乐结构中的应用6.2 著名音乐作品中黄金分割的应用案例分析6.3 学生音乐创作实践：运用黄金分割法则进行创作第七章：黄金分割在文学创作中的应用7.1 黄金分割法则在文学作品结构中的应用7.2 著名文学作品中黄金分割的应用案例分析7.3 学生文学创作实践：运用黄金分割法则进行创作第八章：黄金分割在自然界中的应用8.1 黄金分割法则在自然界中的发现和应用8.2 著名自然景观中黄金分割的应用案例分析8.3 学生自然观察实践：运用黄金分割法则观察自然界第九章：黄金分割与现代科技的应用9.1 黄金分割法则在现代科技产品设计中的应用9.2 著名科技产品中黄金分割的应用案例分析9.3 学生科技设计实践：运用黄金分割法则进行科技产品设计第十章：黄金分割在个人生活中的应用10.1 黄金分割法则在日常生活中的应用案例分析10.2 学生日常生活实践：运用黄金分割法则进行个人空间布置重点和难点解析重点环节一：黄金分割的定义黄金分割是一个数学概念，指的是将整体一分为二，使得整体与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例，即(a+b)/a = a/b = φ（φ为黄金分割比，约等于1.618）。
湖南省蓝山二中高二数学(第一讲 优选法 六、多因方素方法)教案 新人教A版 教案
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 六、多因方素方法》教案 新人教A 版知识与技能：通过本节内容的学习，结合具体实例了解多因素方法.对于多因素问题，应抓住主要因素，略去次要因素，当剩下的因素不能再略去时，就只能用多因素方法了，处理双因素问题的方法有纵横对这法，从好点出发法，平行线法，平行线加速法、双因素盲人爬山法. 情感、态度、价值：通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力. 教学过程; 一、纵横对折法用x ，y 表示两个因素的取值，z =f (x ,y )表示目标函数(并不需要z =f (x ,y )的真正表达式).双因素的优选问题，就是迅速地找到二元目标函数z =f (x ,y )的最大值(或最小值)及其对应的(x ,y )点的问题.假设函数z =f (x , y )在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面z =f (x ,y )看作一座山，顶峰只有一个.双因素的优选问题就是找出曲面z =f (x ,y )的最高峰.把试验范围中z =f (x ,y )取同一值的曲线叫作等高线，就如山上同一高度的点的连线在水平面上的投影.等高线一圈套一圈，越高越在里边.所以双因素问题就是通过试验、比较的方法来寻找比较靠里边的等高线，直到找到最里边的一圈等高线(即最佳点)为止.以横坐标表示因素I ，纵坐标表示因素II.假设因素I 的试验范围为[a 1, b 1]，因素II 的试验范围为[a 2, b 2].先将因素I 固定在试验范围的中点c 1，即)(2111b a +处，对因素II 进行单因素优选，得到最佳点A 1.同样将因素II 固定在中点c 2，即)(2122b a +处，对因素I 进行单因素优选，得到最佳点B 1.比较A 1和B 1的试验结果，如果B 1比A 1好，则沿坏点A 1所在的线，丢弃不包括好点B 1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：a 1≤I ≤c 1,a 2≤II ≤b 2.然后再在因素I 的新范围即(c 1，b 1]的中点d 1，用单因素方法优选因素II ，如果最佳点为A 2，而且A 2比B 1好，则沿坏点B 1所在的线，丢弃不包括好点A 2所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：c 1≤I ≤b 1，a 2≤II ≤c 2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止.这个方法称为纵横对折法. 思 考是否每次都要固定在该因素试验的中点？还有没有改进的余地? 不一定．实践证明，用以下的方法更好. 二、从好点出发法先固定因素I 于原生产点(或0.618点)c 1，用单因素方法优选因素II ，得到最佳点为A 1 (c 1,c 2),然后把因素II 固定在c 2，用单因素法优选因素I,得到最佳点B 1(d 1，c 2)，则去掉A 1右边的平面区域，试验范围缩小到a 1≤I ＜c 11，a 2≤II ≤b 2.再将因素I 固定在d 1，优选因素II ，得到最佳点A 2 (d 1，d 2)，则去掉B 1以上部分，试验范围缩小到：a 1≤I ＜c 1，a 2≤II ＜c 2再将因素II 固定在d 2，用单因素方法在[a 1,c 1)范围内优选因素I ，这样继续下去，就能找到所需要的最佳点.这个方法的要点是：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上(除第一次外)，所以称为从好点出发法.案例1 阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为温度：55℃~75℃， 时间：30min~210min. 用从好点出发法对工艺条件进行优选:(1) 参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为150min ，其产率为41.6%. (2) 固定时间为150min ，用单因素法优选温度，得最优温度为67℃，其产率为51.59%.(3) 固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为80min，其产率为56.9%.(4) 再固定时间为80min，又对温度进行优选，结果还是67℃好.试验到此结束，可以认为最好的工艺条件为温度：67℃，时间：80min(图).实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了15%.三、平行线法设影响某试验结果的因素有I、II两个，而因素II难以调整.首先把难以调整的因素II固定在0.618处，用单因素方法对另一个因素I的进行优选，例如最佳点在A1处．然后再把因素II固定在0.618的对称点0.382处，再用单因素方法对因素I进行优选，例如最佳点在A2处.比较A2和A1两点上的试验结果，如果A1比A2好，则去掉A2以下的部分(图中阴影部分)，即好点不会在因素II的0~0.382之间(如果A2比A1好，则去掉A1以上的部分，即好点不会在因素II的0.618~1之间).然后按0.618法找出因素II的第三点0.764.第三次试验时，将因素II固定在0.764，用单因素优选方法对因素I进行优选，例如最佳点在A3处.比较A3和A1，如果仍然是A1好，则去掉0.764以上部分(图).如此继续下去，直到找到满意的结果为止.这个方法的特点是，每次试验都是在相互平行的直线上做，因此叫做平行线法.因素II上的取点方法是否一定要按0.618法？不一定，也可以用其他方法，例如可以固定在原有生产水平上，这样可以少做试验.在用平行线法处理两因素问题时，不能保证下一条平行线上的最佳点一定优于以前各条平行线上的最佳点，因此,有时为了较快地得到满意的结果，常常采用平行线加速法.所谓“平行线加速”是在求得两条平行直线l1与l2上的最佳点A1与A2后，比较A1与A2两点上的试验结果，若A1优于A2，则去掉下面一块.然后在剩下的范围内过A2，A1作直线L1，在L1上用单因素法找到最佳点，设为A3.显然A3优于A1.如果对A3的试验结果还不满意，则再过A3作l1的平行线l3，在如l3上用单因素法求得最佳点A4.显然A4优于A3(若A4与A3重合，则可以认为A4即为最佳点)，因此可去掉图的下边一块.若A4的试验结果还不满意，则在剩下的试验范围内过A1，A4作直线L2，在L2上用单因素法进行优选.依次进行，直到结果满意为止.对于A2优于A1的情况也可以类似地讨论.案例2“除草醚”配方试验中，所用原料为硝基氯化苯，2.4一二氯苯酚和碱,试验目的是寻找2.4一二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、产量高.碱的变化范围：1.1~1.6(克分子比)；酚的变化范围：1.1~1.42(克分子比).首先固定酚的用量1.30(即0.618处)，对碱的用量进行优选，得最优用量为1.30，即图上的点A1.再固定酚的用量1.22 (即0.382处)，对碱的用量进行优选，得碱的最优用量为1.22，即图上的点A2.过A1，A2作直线L(直线L上的点是酚:碱=1:1)，在直线L上用单因素法进行优选(因为A2优于A1,所以酚的用量低于1.22时就不必做了)，最佳点为A3，即酚与碱的用量均为1.27.四、双因素盲人爬山法是否一定要找出第一个因素的最佳点，然后再找另一个因素的最佳点呢？不一定，在双因素寻找最佳点的过程，就像盲人爬山可以朝前后左右四个方向前进一样.盲人在山上某点，想要爬到山顶，怎么办？从立足处用明杖向前一试，觉得高些，就往前一步；如果前面不高，向左一试，高就向左一步；不高再试后面，高就退后一步；不高再试右面，高就向右走一步；四面都不高，就原地不动.总之，某个方向高了就朝这个方向走一步，否则试其他方向，这样一步一步地走，就一定能走上山顶.在寻找最佳点时也可以以起点为中心，向四周探索一下，找出有利于寻找目标的方向，在这个方向上跨一步，然后再探索.这样边探索边前进，直到找到最佳点为止.这就是双因素问题的盲人爬山法.案例3 对某种物品镀银时，要选择氯化银和氰化钠的用量，使得镀银速度快，质量好.为此采用爬山法选择最佳点.起点：氰化钠85g/ml，氯化银55g/ml，步长：氰化钠10g/ml，氯化银5g/m1.试验过程如图所示.从起点1开始，向右试探，结果2比1好，继续向右试探，结果3比2好，再向右试探，结果4不如3好，回到3再向上试探，5比3好，继续向上试探，6比5好，再继续试探,直到其他三个方向不如6号，并且6的结果满足生产条件，即可以停止试验.课后作业1.阅读教材P. 23-P.28；2.《学案》第一讲第六课时.。
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湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618
法》教案 新人教A 版
一、黄金分割常数
对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？
假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)10
1,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为
54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度 为
10
1的区间(图2)，试验效率就不理想了.
怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？
在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2
b a + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 黄金分割常数：2
51+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于
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5-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618
法.
二、黄金分割法——0.618法
例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？
人
我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值 叫做精度，即n 次试验后的精度为
原始的因素范围
次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此， n 次试验后的精度为
1618.0-=n n δ
一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn
即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618
.0lg lg +≥δn 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.
课后作业
1.阅读教材P. 5-P.10；
2.《学案》第一讲第三课时.。