河南省数学竞赛预赛高二试卷
2007年全国高中数学联赛河南省预赛_高二试卷及解析
2007年全国高中数学联赛河南省预赛_高二试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知=25.则tana=（）.A. 34 B. 43 C. 247 D. 7242.设f (n )为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和（如f (123)=12+22+32=14）.记f 1(n )=f (n )，f k+1(n )=f (f k (n ))(k =1,2,⋯)，则f 2007(2007)=（）.A. 20B. 4C. 145D. 423.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan A ＝12，cos B ＝10.若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为( )A.5 B. 5 C. 5 D. 54.凸四边形ABCD 中，AB =√3，BC=CD=DA=1.设S 、T 分别为△ABD 、△BCD 的面积，则S2+T 2的最大值是（）.A. 87B. 1C. 78 D. 25.直角三角形的三个内角的正弦值成等比.则该三角形的最小角等于（）. A. arcsin √5−12 B. arccos√5−12C. arcsin√5+14D. arccos√5+146.在正2008边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（）. A. 2008 B. 10042C. 10042−1004 D. 10042−1003第II 卷（非选择题）二、解答题的侧棱OA 、OB 、0C 两两垂直，且OA=1，OB=0C=2，E 是OC 的中点.（1）求点O 到面ABC 的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E-AB-C 的大小.8.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有自然数n ，都有S n=3n+12−n2a n（1）写出数列{a n }的前三项；（2）求数列{a n }的通项公式（写出推证过程） （3）令b n=1a n−1(n ∈N +)，求数列{b n }的前n 项和. 9.已知抛物线x 2=4y 及定点P (0,8)，A 、B 是抛物线上的两动点，且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明：点M 的纵坐标为定值.（2）是否存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有∠AQP =∠BQP ?证明你的结论.10.已知偶函数f (x )=5cosθ⋅sinx −5sin (x −θ)+(4tanθ−3)sinx −5sinθ的最小值为-6.（1）求f (x )的最大值和此时的x 的集合. （2）设函数g (x )=λf (ωx )−f (ωx +π2)(λ>0,ω>0).已知y =g (x )在x =π6处取最小值并且点(2π3,3−3λ)是其图像的一个对称中心，试求λ+ω的最小值.三、填空题11.抛物线x +y +1=0的距离的最小值为________.12.已知方程sinx +√3cosx =M 在π4≤x ≤5π4上有两个不同的解.则M 的取值范围是____.13.设O (0,0)、A (1,0)、B (0,1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP→ =λAB→ .若OP → ⋅AB→ ≥PA → ⋅PB→ 则实数λ的取值范围是________.14.已知n 是整数，且方程(n +1)2x 2−5n (n +1)x +(6n 2−n −1)=0(n ≠−1)有两个整数根，则n=________.15.已知O是△ABC的外心，|AB|=2，|AC|=1，∠BAC=2π3.设AB=a，AC=b.若AO=λ1a+λ2b，则λ1+λ2=________.16.设a、b是正实数，则a 3+b3+4(a+1)(b+1)的最小值等于________.参考答案1.D【解析】1. 由252=(7sina +24cosa )2+(7cosa −24sina )2，有7cosa −24sina =0. 故tana =724.选D.2.C【解析】2.将f 1(2007)=53记作2007→53.于是，2007→53→34→25→29→85→89→145→42→20→4→16→37→58→89→⋯从89开始，f n 是周期为8的周期数列.故f 2007(2007)=f 7+8×250(2007)=145. 选C. 3.D【解析】3.由cosB 知B 为锐角，∴tanB ＝13， 故tanC ＝tan (π－A －B )＝－tan (A ＋B )＝－tan tan 1tan tan A BA B+-＝－1，所以∠C ＝135°，故边c 最长，从而c ＝1，又tanA ＞tanB ，故b 边最短，∵sinB ＝10，sinC ＝2，由正弦定理得sin sin b cB C =，所以sin sin c B b C == 本题选择D 选项.4.C【解析】4.如图，设BD=x ，∠DAB=θ，作CE ⊥BD .则√3−1<x <2，E 为BD 的中点.x 2=12+(√3)2−2×1×√3cosθ，CE 2=12−x 24.故S2+T2=34sin2θ+14x2(1−x24)=−x48+3x24−14=−18(x2−3)2+78.当BD=√3时，S2+T2取最大值78.选C.5.A【解析】5.设三边为1、x、x2(0<x<1).则该三角形的最小角的正弦值就是x2.由12=x2+(x2)2，解得x2=√5−12.选A.6.C【解析】6.正2n边形A1A2⋯A2n，对角线共有12×2n(2n−3)=n(2n−3)（条）.计算与一边A1A2平行的对角线条数.因A1A2∥A n+1A n+2，所以，与A1A2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条.故与某一边平行的对角线共n（n-2）条.由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n−3)−n(n−2)=n(n−1)（条）.选C.7.（1）√63（2）arccos 25（3）arccos7√618【解析】7.（1）如图，以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z).由n1⊥AB，知n1⋅AB=2x−z=0；由n1⊥AC，知n1⋅AC=2y−z=0.取n1=(1,1,2)，则点O到面ABC的距离为d=|n1⋅OA||n1|=√1+1+4=√63.（2）EB=(2,0,0)−(0,1,0)=(2,−1,0)，AC=(0,2,−1)cos <EB ，AC >=√5⋅√5=−25.故BE 与AC 所成的角为arccos 25. （3）设平面EAB 的法向量为n =(x,y,z ).由n ⊥AB ，知n ⋅AB =2x −z =0； 由n ⊥EB ，知n ⋅EB =2x −y =0.取n=(1,2,2)，则（1）知平面ABC 的法向量为n 1=(1,1,2).则cos<n ，n 1>n⋅n 1|n ||n 1|=9⋅6=36=7√618.结合图形可知，二面角E-AB-C 的大小为arccos 7√618.8.（1）43,1312,3130（2）a n =1+2n (n+1)(n+2)（3）S ′n =n (n+1)(n+2)(n+3)8【解析】8. （1）由题意S n =3n+12−n2a n (a n>0). 当n =1时，S 1=3+12−12a 1=a 1，解得a 1=43. 当n =2时，S 2=6+12−22a 2=a 1+a 2，解得a 2=1312. 当n=3时，S 3=9+12−32a 3=a 1+a 2+a 3，解得a 3=3130. 故该数列的前三项为43,1312,3130. （2）由题意有S n =3n+12−n2a n(n ∈N +). 由此得S n+1=3n+42−n+12a n+1. 因此，a n+1=S n+1−S n =32+n 2a n −n+12a n+1.整理得(n+3)2(a n+1−1)=n2(a n −1). 故(n+3)(n+2)(n+1)2(a n+1−1)=(n+2)(n+1)n2(a n −1)=⋯=(1+2)(1+1)×12(a 1−1)=1.则a n=1+2n (n+1)(n+2). （3）显然，b n =n (n+1)(n+2)2=n (n+1)(n+2)(n+3)8−(n−1)(n+1)(n+2)8.从而，S ′n=n (n+1)(n+2)(n+3)8.9.(1)见解析；（2）存在点Q (0,−8).【解析】9.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).抛物线方程为y=14x 2，求导得y ′=12x .所以，过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别为y =12x 1(x −x 1)+y 1，y =12x 2(x −x 2)+y 2，即y=12x 1x −14x 12，y =12x 2x −14x 22. 解得M (x 1+x 22,x 1x 24).又由AP =λPB ，得(−x 1,8−y 1)=λ(x 2,y 2−8)，即−x 1=λx 2，①8−y 1=λ(y 2−8).②将式①两边平方并代入y 1=14x 12，y 2=14x 22得y 1=λ2y 2，再代入式②得λy 2=8. 解得y 1=8λ，y 2=8λ，且有x 1x 2=−λx 22=−4λy 2=−32. 所以，点M 的纵坐标为-8. （2）存在点Q (0,−8). 此时，k AQ =y 1+8x 1，k BQ =y 2+8x 2. 故k AQ +k BQ =x 124+8x 1+x 224+8x 2=x 1x 2(x 1+x 2)+32(x 1+x 2)4x 1x2=0 所以，∠AQP=∠BQP .10.(1) f (x )的最大值为0，此时，x 的集合为{x |x =2kπ,k ∈Z }. (2) √3+7【解析】10. 化简得f (x )=5cosx ⋅nθ+(tanθ−3)sinx −5sinθ.因f (x )是偶函数，所以，(4tanθ−3)sinx =0对一切x ∈R 恒成立.则4tanθ−3=0，tanθ=34.故f (x )=5cosx ⋅sinθ−5sinθ=5sinθ(cosx −1)，其最小值为-6，此时，有sinθ=35，cosx =−1.故f (x )=3(cosx −1).因此，f (x )的最大值为0，此时，x 的集合为{x |x =2kπ,k ∈Z }. （2）g (x )=λf (ωx )−f (ωx +π2)=3λcosωx −3λ−3cos (ωx +π2)+3=3λcosωx −3λ+3sinωx +3.由g (x )在x =π6处有最小值，知g (x )的图像关于x =π6对称，有g (−π3)=g (2π3)=3−3λ.故3λcos (−ωπ3)+3sin (−ωπ3)=0，且3λcos 2ωπ3+3sin2ωπ3=0.从而，λ=tan2ωπ3=−tan 2ωπ3=tan (−2ωπ3)=tan (kπ−2ωπ3).则ωπ3=kπ−2ωπ3，即ω=k ∈Z .又ω>0，ω是正整数，所以，ω=3l −2（l 是正整数，）λ=√3. 当ω=1时，g (x )=3√3cosx +3sinx +3−3√3.显然，g (x )在x =π6处有最大值，而不是最小值.矛盾.当ω=4时，g (x )=3√3cos4x +3sin4x +3−3√3.显然，g (x )在x =π6处既不是有最大值，也不是最小值.矛盾.当ω=7时，g (x )=3√3cos7x +3sin7x +3−3√3.显然，g (x )在x=π6处取最小值，且y =g (x )的图像关于点(2π3,3−3√3)中心对称.所以，λ+ω的最小值为√3+7. 11.√24【解析】11. 设点P (b 22,b)到直线x +y +1=0的距离最小.则d =|b 22+b+1|2≥√24.12.(−2,−√6+√22]【解析】12. 原式可变形为sin (x+π3)=M2，利用其图像及对称性可得到方程sinx +√3cosx =M在π4≤x ≤5π4上有两个不同的解时，M 的取值范围是(−2,−√6+√22].13.[1−√22,1]【解析】13.利用图像可设点P(1−λ,λ)(0<λ<1).则OP=(1−λ,λ)，AB=(−1,1)，PA=(λ,−λ)，PB(λ−1,1−λ)，由OP⋅AB≥PA⋅PB，得λ−1+λ≥λ2−λ+λ2−λ.解得1−√22≤λ≤1.故实数λ的取值范围是[1−√22,1].14.0或-2【解析】14.把方程分解为[(n+1)x−(3x+1)][(n+1)x−(2n−1)]=0.求得两根为x1=3n+1n+1=3−2n+1，x2=2n−1n+1=2−3n+1.所以，要使x1为整数，n+1只能为±1，±2；要使x2为整数，n+1只能为±1，±3. 从而，要使x1、x2都是整数，n+1只能为±1，即n=0或-2.15.136【解析】15.建立如图所示的直角坐标系.则A(0,0)、B(2,0)、C(−12,√32).显然，AC的中点为M(−14,√34).可设O(1,y).由OM⊥AC，有OM⋅AC=0，即−54×(−12)+(√34−y)×√32=0.解得y=2√33，AO=(1,2√33).由AO=λ1a+λ2b，得1=2λ1+(−12)λ2且2√33=√32λ2. 解得λ2=43，λ1=56.故λ1+λ2=136.16.32【解析】16.原式=(a3+1+1)+(b3+1+1)+(a3+b3+1)+32(a+1)(b+1)≥3a+3b+3ab+32(a+1)(b+1)=32.。
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案
20120122年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:327766373636=××+++C C C .填:327.2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x −−3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(<−−<<<<<=Ωy x y x y x ,面积29=ΩS ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:}3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >−−+>−−+−−>+<−−<<<<<=面积89=A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==ΩS S A P A .填:41.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ∆是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=−=OC MC MO .填:1.4.解:原式可化为o 10tan 322tan2tan1=−αα,两边平方得o 10tan 3222cos2sin 2sin 2cos=−+αααα，o 10tan 322sin 2+=α,oo o o o o o oo o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤<x 时,根据)()(b f a f =可得1=ab ,当4>x 时,根据)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<<c ,所以abcd 36)6()12(2+−−=−==c c c cd ,当54<<c 时,3532<<abcd .填:)35,32(.6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=−−+a a a a 可化为8)2(2122122=+−+a a q a q a ,8)1)(2(212=−+q a a ,182212−=+q a a ,且1>q ,令12−=q t ,则0,12>+=t t q .782a a +=61622q a q a +=t t q q q a a 326612)1(818)2(+=−=+=)133(82t t t +++.设)(t f =)133(82t t t +++,则=)(/t f ))12()1((8)132(8132(8222232tt t t t t t t −+=−+=−+.所以)(t f 在)21,0(上是减函数,在),21(+∞是增函数.54)21()(min ==f t f .填:54.7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当22,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.填:312.8.解:当122+<≤k kx 时,[]k x =2log ,因为204822012210241110=<<=,所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=−×.[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,32222++=−S +…+921029×−=81942282922101010−=−×−=×−−,8194=S .所以原式=8194+9890=18084.填:18084.二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.又,60AB BC ABC =∠=�∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形.CO ∴=,又2,EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ⊂平面,∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E −−，)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=−==,.………8分设平面DCE 的法向量),,(z y x =.⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==−0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎩⎨⎧=−=+0303c a b a ,令1=a ,则3,3=−=c b ，m =)3,3,1(− (12)分772,cos ==〉〈n m .所以二面角A EC D −−的余弦值为7.………………………16分三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+−+x x x ,22/)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,022)1ln(>+−+x xx ,即22)1ln(+>+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此22)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kxx f ++<11)(可化为0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .令2)1ln()1()(kx x x x x g −−++=，则kx x x g 2)1ln()(/−+=，k xx g 211)(//−+=.当0>x 时,1110<+<x,令12≥k ,则0)(//<x g ,)(/x g 在),0(+∞是减函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,…………………15分所以当21≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .当01<<−x 时,111>+x,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(−是增函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在)0,1(−是减函数,因此0)0()(=>g x g .所以当21≤k 时,对于01<<−x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kxx f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++−+xx kx x x .令=)(x g x x kx x ++−+1)1ln(2,则2/)1()12()(x k kx x x g +−+−=当⎩⎨⎧≥−≥0120k k ,即21≥k 时,在),0(+∞上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,所以xkxx f ++<11)(.………………………15分当⎩⎨⎧≤−≤−+−012012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(−上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=>g x g ,所以xkxx f ++<11)(.因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.……………20分四.解:(1))21)(2()21()2(222121112111++−++=++++=+++=+=++n nn n n n n n x x x x x x x a =n n a x 2121211212121211+−++=++−++.…………………5分)221(21212211−+−=−+n n a a ,又44232212112211−=−+=−a .所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧−221n a 是以4423−为首项,2121+−为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:1)2121(4423221−+−−=−n n a ,即1)2121(4423221−+−−+=n n a .…………………………………10分(2)因为1211)12(2211−<+−=−−=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(−<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …nb +()()+−+−<21212…()n12−+=()2222121212212=−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−n .……………………………20分五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :1411=+y y x x ,PB :1422=+y y xx ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和1422=+n y mx 同时成立,于是直线AB 的方程:14=+ny mx..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422ny x my x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=−+−+n mx x m n 所以222148m n mx x +=+,2222141616mn n x x +−=,)44(64)1616)(4(4642222222−+=−+−=∆n m n n m n m .又根据14=+ny mx得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +−=−⋅−=,2222121484)(2)(m n n x x m n y y +=+−=+.………10分于是22121221212211)()(),(),(nn y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++−+++−=−−⋅−−=⋅=6432022222−+++−n m mn m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m −=,代入上式得:⋅=11163442+−n ,又因为1602≤≤n ，所以16,022==m n ，即点)0,4(±P 时,⋅有最小值433,当0,1622==m n ,即点)4,0(±P 时,⋅有最大值16165.………………………20分。
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛（髙二）一.填空题(每小题8分,共64分)1.若实数,x y 满足22254x xy y -+=,则22x y +的取值范围是 .2.甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币,甲抛10次,乙抛11次则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为 .3.在ABC △中,2,1,AB AC BC ===O 为ABC △的外心,且OA AB AC λμ=+.则λμ+= .4.已知函数()321132f x x bx cx d =+++在区间()0,2内既有极大值又有极小值.则224b c c c ++的取值范围是 .5.集合{}1,2,,2016的元素和为奇数的非空子集的个数为. 6定义数列{}:n n a a 为12n +++的末位数字,n S 为数列{}n a 的前n 项之和,则2016S = .7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过点1F 作圆222x y a +=的切线,与双曲线的右支交于点P ,且1245F PF ∠=.则双曲线的离心率为 .8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75.这样的截面共可作出 个. 二,(16分)已知实数,x y 满足2349x y x y +=+.试求827x y U =+的取值范围. 三,(20分)如图所示,,AP AQ 为O 的切线,,P Q 为切点,M 为线段PQ 的中点,AKL 为一条割线,直线l AQ ,l 与,,QK QP QL 分别交于,,X Y Z 三点,证明：(1)2·PM KM ML =；(2)XY YZ =.四,(20分)如图所示,已知,A B 为椭圆22:1259x y Γ+=的左,右顶点,直线l 与椭圆Γ交于点,M N .设,AM BN 的斜率分别为12,k k ,且12:1:9k k =.(1)证明:直线l 过定点；(2)记,AMN BMN 的面积分别为12,S S ,求12S S -的最大值.五,(20分)定义数列{}n a :121,4a a ==,)2n a n =≥.证明:(1){}n a 为整数数列;(2)()1211n n a a n ++≥为完全平方数.。
2017年全国高中数学联赛河南赛区预赛(高二)
证明： （ １ ）
Ⅱｎ
一
一 ＜ ；
１ Ⅱｎ ｎ
的距离相等． 则 Ｍ 到点 ｃ 的距离 的最小 值为
５ ． 设 、 Ｂ为 椭 圆 ＋３ ｙ ＝１上 的两 个 动点 ， 且 Ｏ Ａ上 Ｏ Ｂ（ ０为坐标 原点 ） ． 则Ｉ Ａ Ｂ Ｉ
（ ２ ） 口 ＜ｎ （ ｎ∈ Ｚ＋ ） ；
对端点．
（ １ ） 证明： 线段 的 中点 为 双 曲线 的
中心 ；
（ ２ ） 求双 曲线 在 点 、 Ａ 处 的切 线 与直
线 的夹 角 的 大小 ．
四、 （ ２ ０分 ） 已知数列 ｛ ｝ 满足 ：
１ ｌ ，
ｎ
Ⅱ ０ Ｓ－ ， ｎｎ ｎｎ 一 １＋－ ｓａ 一 １ ・
１ ． 设 实数 、 Ｙ满 足 ４ ｘ 一５ ｘ ｙ＋４ ＝５ ．
二 、 （ １ ６ 分 ） 设一 詈 ≤ ≤ ， 且 方 程
Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ 一４ ａｃ ｏ ｓ 一 ＋ ２ ＝０
若Ｓ ＝ ＋ ， 记 Ｓ的最大值 、 最小值分别 为 Ｐ 、
棚 ｕ ｐ ＋ 寺 ｇ ＝
２ ０ １ ８年第 ７期
２ ３
２ ０ １ ７年全 国高 中数学 联赛 河南赛 区预赛 （ 高二 ）
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ５—６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ８ ） ０ ７— ０ ０ ２ ３—０ ４
一
、
填空题 （ 每小题 ８分 ， 共６ ４分 ）
６ ． ９ ８１ ．
３ ． ２ 。 —１
该数列的项即 为∑ ３ ， 其中，
ｉ＝０
．
对 于集合 ｛ ２ ， ３ ， …， ２ ０ １ ７ ｝ ， 共 有 非 空真 子集 ２ 仇 一１个 ， 设 其 中平 凡 集 ｍ 个 ， 其 他 ２ ｍ 一 １ 一 ｍ个． 则集合 的所 有真子集 中平
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二
２
－
（
４
０
）
．
则
Ｓ
ＰＬＫ Ｃ＾ Ａ ＭＱ Ｋ
＞ ＰＬ
－
ＱＫ
＝
ＬＫ
－
ＭＱ Ｓ
．
－
－
ｌ
故
，
ＰＫ ＬＱ
．
＝
ＰＬ Ｑ Ｋ
．
＾
＾
，
ＰＫ ＰＬ
．
／ｔ ｎ
３
（
Ｈ
，
：
①
＝
Ｚ 、 Ｆ 、Ｚ 三 点
）
证明
；
：
中
，
（
ｌ
ＰＭ
２
＝
ＫＭ ＭＬ
－
．
在
４５
＝
２
，
４ Ｃ ＝ １
＝
，
５Ｃ
／
＝
Ｗ
，
．
（
２）
ＸＹ
＝
ＹＺ
０
为△
Ａｆ ｉＣ
的 外 心 且庙
，
＋
／
立
则
４
？
已知 函数 ／
（
（
＊
）
＋
舍
＋
ｃａ
ｔ
＋
＜／
ｉ
）
在区 间
２
ｉ
３
＾
＝
＞
Ａ
＋
８
／
ｉ
＝
＿
６
故
Ｓ
ｌ
－
６
６６
，
河南省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题(河南卷)
2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分140分一、填空题（满分64分）1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为22，则点M 到面ABC 的距离为_________________.4、若锐角α满足23tan10tan2tan2oαα=+，则角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=L二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD-的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,2AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 三、（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=（1）当时0x >，求证：（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，求实数的值.四、（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++（1）设na =，求数列{}n a 的通项公式.（2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五、（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值.2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分)2+x x ＞01.｛5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为2xx ＜0（A ） 8. （B ） 11. （C ）13·1/4 （D ）15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c 的不同的两个根，则a 、b 、c 之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x ²-2x ，则f(x)在x ∈[-4,-2]上的最小值为（A）-1/9 （B）-1/3 （C）1/3 （D）1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+和无理数π=3.14159265358...满足f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)若函数f(f(n)的值域记为M ，则A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，则S△CPN-S△BPM等于（A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则P，Q，R的大小关系为（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。
高中数学联合竞赛预赛试题河南卷 试题
2021年全国高中数学联赛预赛试题本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本套试卷满分是140分一、填空题〔满分是64分〕1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和可以被3整除，那么不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，那么这三段可以组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的间隔 为22，那么点M 到面ABC 的间隔 为_________________.4、假设锐角α满足123tan10tan2tan2o αα=+，那么角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，假设,,,a b c d互不一样，且()()()()f a f b f c f d ===，那么abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，那么872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的外表到达顶点1C 的最短间隔 为6，那么长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，那么[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=二、〔此题满分是16分〕如图，四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABCπ∠=,2AB EC ==,AE BE ==.〔1〕求证：平面EAB ABCD ⊥平面；〔2〕求二面角A EC D --的余弦值.三、〔此题满分是20分〕函数ln(1)()x f x x+=〔1〕当时0x >，求证：〔2〕当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，务实数的值.四、〔此题满分是20分〕数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++〔1〕设na ={}n a 的通项公式.〔2〕设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <. 五、〔此题满分是20分〕 椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.2021年中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分是36分，每一小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或者不答均记0分)2+x x＞01.｛5 x=0 那么f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值是2x x＜0〔A〕 8. 〔B〕 11. 〔C〕13·1/4 〔D〕15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c的不同的两个根，那么a、b、c之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，那么f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为〔A〕-1/9 〔B〕-1/3 〔C〕1/3 〔D〕1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)假设函数f(f(n)的值域记为M ，那么A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，假设AN=1，那么S△CPN-S△BPM等于〔A〕1/8 〔B〕√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，假设P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；那么P，Q，R的大小关系为〔A〕R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分是64分，每一小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.假设[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2021的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公一共局部作一内接正方形ABCD。
2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)
2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题
考生注意：1. 本试卷共五道大题，满分140分.
2. 解答书写时不要超过密封线.
一． 填空题（共8小题，每小题8分，满分64分）
1．已知数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 都是1,2,,n 的一个排列，则
1n i i i a b =∑的最大值为 ．
2．若长方体的一条体对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别记为α，β，γ
，则
的最小值为 ．
3．已知x ，y 为实数，则的最小值为 ． 4．ABC ∆
中，三边长分别为AB =
BC =
，CA =
AB BC CA AB ⋅+⋅⋅ 的值为 ．
5．已知a ，b ，且，则23a b c ++的最小值为 ． 6．从不超过2013的正整数确定的集合{1,2,3,,2013} 中先后取出两个正整数a ，b （a ，b 可以相等）组成数对（a ，b ），则（a ，b ）恰为方程3322
x y x y +=的解的概率为 ． 7．四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，对角线2AC =，
BD =AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，1AE =，
2CF =，则四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分体积
为 ．
8．平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A --，B ，C 是曲线。
年全国高中数学联赛河南省预赛高二
m n 10 x b ( a -2006 年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)一、选择题(每小题 5 分 ,共 30 分)1. 已知关于 x 的方程| x | = ax + 1 有一 值是 .3. 已知数列{ a n }满足 :个负根而且没有正根. 则实数 a 的取值范围a 1 = 3 , an + 1 = a 2- ( n + 1) a n + 1.是() . (A ) { a | a ≥1}(B ) { a | a ≥1 或 a ≤- 1} (C ) { a | a < - 1 或 a > 1} 则数列{ a n }的前 n 项和等于 .4. 边长为整数且面积(的数值) 等于周长的直角三角形的个数为.x2y2(D ) { a | 0 < a < 1}5. 过椭圆62+ 22 = 1 的一个焦点 F 作弦 2. 当θ取遍全体实数时 ,直线 AB . 若| A F | = m , | B F | = n , 则 1 + 1 =n x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+π4 ()1 x2 x 5 x所围成的图形的面积是 .6. 设 t = 2 + 3 + 6. 则关于(A )π (B ) 4π (C ) 9π(D ) 16π3. 数列{ a n } 中 , 相邻两项 a n 、a n + 1 是方程 x 2+ 3 nx + b = 0 的两根 ,已知 a = - 17. 则 b 51 的值等于( ) .(A ) 5 800 (B ) 5 840 (C ) 5 860 (D ) 6 000 4. 已知 a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数 , 且 ( a + c ) ( a + d ) = 1 , ( b + c ) ( b + d ) = 1. 则( a + c ) ( b + c ) 的值等于( ) .(A ) 2(B ) 1(C ) 0 (D ) - 15. 设函数 f ( x ) = x 2+ 6 x + 8. 如果 f ( bx + c ) = 4 x 2+ 16 x + 15 ,那么 , c - 2 b = () .(A ) 3(B ) 7(C ) - 3(D ) - 7x 的方程( t - 1) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的所有实数解之和等于 .三、( 20 分) 如图 1 , 在矩形 ABCD 中 , AB =3 , BC = a . 又 PA ⊥ 平面 ABCD , PA = 4.(1) 若在边 BC 上存在一点 Q ,使 PQ ⊥QD ,图 1 求 a 的取值范围 ;(2) 当 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥QD 时 ,求异面直线 AQ 与 PD 所成的角 ;(3) 若 a = 4 ,且 PQ ⊥QD ,求二面角 A - PD - Q 的大小.6. 已知 p 、p + 14 、p + q 都是质数 ,并且p 有唯一的值和它对应. 则 q 只能取() . (A ) 40 (B ) 44 (C ) 74 (D ) 862四、(20 分) 已知椭圆 C : 4+ y 点 P ( t ,0) ( t > 0) , 1= 1 及定l 经过点二、填空题(每小题 5 分 ,共 30 分)1. 直线 l 过抛物线 y 2= a ( x + 1) ( a > 0) 的焦点 ,并且与 x 轴垂直. 若 l 被抛物线截得的线段长为 4 ,则 a = .斜率为 2的直线P 并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、B ,且对于椭圆上任意一点 M ,都存在θ∈[ 0 ,2π] ,使得 OM = cos θ·OA + sin θ·OB 成立. 试求出满2. 设 a > b > 0. 则 a 4+32的最小 足条件的实数 t 的值.n . 2a 2 +b 2 x + 2 y + z2n2 2 2 2 n + 1 五、( 20 分) 已知菱形 ABCD 是椭圆 C :x 2y2a 2 + b2 = 1 ( a > b > 0) 的内接四边形. (1) 求证 :1 + 1 为定值 ; OA OB(2) 求菱形 ABCD 面积的最值. 六、(20 分) 设三个正实数 x 、y 、z . 试求3代数式16 x + 9 2 xy + 9 3 xyz 的最大值.参 考 答 案c - 2 b = - 3.6. A.q 只能取 40. 当 p = 3 k 时 , p 只能等于 3 ,符合要求 ;当 p = 3 k + 1 时 , p + 14 不是质数 ; 当 p = 3 k + 2 时 , p + 40 不是质数.二、1. 4.因抛物线 y 2 = a ( x + 1) 与抛物线 y 2 = ax 具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长 ,故可用标准方程y 2= ax 替换一般方程 y 2 = a ( x + 1) 求解 ,而 a 值不变.由通径长公式得 a = 4.2. 48.a 4 +32 ≥a 4 + 32 = a 4 + 128一、1. A.利用数形结合 ,易得实数 a 的取值范围.b ( a - b ) ( b + a - b ) 2a 242. D.直线方程可变为( x - 1) cos θ+ ( y - 1) sin θ= 4. 于是 ,点 A (1 ,1) 到直线的距离为d =4= 4. cos 2θ+ sin 2θ= a 4 + 64 + 64 ≥3 3 212= 48 ( a = 2 时取等号) .aa3.n ( n + 5) .2利用归纳可得 a n = n + 2. 则有a = ( n + 2) 2- ( n + 1) ( n + 2) + 1 = n + 3 ,所以 ,当θ∈R 时 ,直线x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+π4并且 a 1 = 3 = 1 + 2 满足条件. 所以 , a n = n + 2.从而 ,数列{ a n }的前 n 项和为所围成的图形是以点 A 为圆心、4 为半径的圆.3. B.因为 a n + a n + 1 = - 3 n ,则a n + 2 - a n = ( a n + 2 + a n + 1 ) - ( a n + 1 + a n )= - 3 ( n + 1) - ( - 3 n ) = - 3.所以 , a 1 , a 3 , , a 2 n + 1 和 a 2 , a 4 , , a 2 n 都是公S = 3 + 4 ++ ( n + 2) = n ( n + 5).24. 2.设直角三角形的三边长分别为 a 、b 和 c =( a ≤b ) ,则有1ab = a + b + a 2 + b 2 .2差为 - 3 的等差数列. 故a 52 = a 10 + 21 ×( - 3) = - 80 , a 51 = a 11 + 20 ×( - 3) .又 a 10 + a 11 = - 30 , 所 以 , a 11 = - 13. 故 a 51 = - 73 , b 51 = a 51 a 52 = 5 840.4. D.由题意得a 2 + ( c + d ) a + cd - 1 = 0 ,b 2 + (c +d ) b + cd - 1 = 0.则 a 、b 是方程 x 2 + ( c + d ) x + cd - 1 = 0 的两根. 于是 ,有所 以 , 1 ab - a - b = a 2 + b 2 .两边平方并整理得ab - 4 a - 4 b + 8 = 0.则 ( a - 4) ( b - 4) = 8.因为 a 、b 都是正整数 ,所以 ,当 a = 5 时 , b = 12 ;当 a = 6 时 , b = 8.故满足题意的三角形有 2 个.5. 3.如图2 ,作 AA 1 垂直准线于点 A 1 ,AE ⊥x 轴于点 E .a +b = - (c +d ) , ab = cd - 1.所 以 , ( a + c ) ( b + c ) = ab + ( a + b ) c + c 2 .因为c= e = | FA || AA 1 |故 ( a + c ) ( b + c ) = - 1.5. C.取 x = - 2 , 有 f ( c - 2 b ) = 16 - 16 ×2 + 15 = - 1. 而当 x 2 + 6 x + 8 = - 1 时 ,有 x = - 3. 所以 ,= | FA | | DF | + | FE |=m,图 2b2m cos α+ ca36 SA 2 + AC 2 19 3 + (4 - t ) 2m n2. 5 7或 146 所以 , 1 同理 , 1 a - c cos α b2 . = a + c cos αbNQ =则 cos ∠MNQ = MN NQ.=4(4 - t ) . 19 + t 2 × 1 m6. 4.+1 n=2 a= 3. b2x2 x5 x由式 ①得 t = 1 或 t = 3.当 t = 1 时 ,cos ∠MNQ =15; 定义 : f ( x ) = +3 +6.xxx当 t = 3 时 ,cos ∠MNQ = 7 . 变形为 f ( x ) + 4 6+ 5 .6故二面角 A - PD - Q 的大小为易发现函数 f ( x ) = 3x 4 + 6x 5x+ 6arccos15arccos 57 .7 是定义在实数集上的减函数.又因为 f (3) = 1 , f (1) = 2 , f (0) = 3 ,从而 ,关于 x 的方程( t - 1) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的解分别是 0 、1 、3.三、(1) 设 BQ = t ,则四、设点 M ( x , y ) 及点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) . 直线 AB 的方程为 x - 2 y - t = 0.联立方程可得2 x 2 - 2 tx + t 2 - 4 = 0 和 8 y 2 + 4 ty + t 2 - 4 = 0.PQ 2 = 19 + t 2 , QD 2 = 3 + ( a - t ) 2, PD 2 = 16 + a 2 .所以 , x 1 x 2 = t 2 - 42 和 y 1 y 2 = t 2 - 4 8. 由 PQ ⊥QD , 得 19 + t 2 + 3 + ( a - t ) 2= 16 + a 2 , 即 t 2 - at + 3 = 0.①由Δ = a 2 - 12 ≥0 ,解得 a ≥2 3 .(2) 因为 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥QD .由Δ = a 2 - 12 = 0 ,解得 a = 2 , t = 3 .由 OM = cos θ·OA + sin θ·OB ,可得 x = x 1 cos θ+ x 2 sin θ,y = y 1 cos θ+ y 2 sin θ.利用 4 = x 2 + 4 y 2= ( x 1 cos θ+ x 2 sin θ) 2 + 4 ( y 1 cos θ+ y 2 sin θ) 2 = ( x 2 + 4 y 2 ) cos 2θ+ ( x 2 + 4 y 2 ) sin 2θ+1122故 Q 是 BC 的中点.如图 1 ,取 AD 的中点 R , PA 的中点 S ,联结 RS 、RC . 有 RS ∥PD , RC ∥AQ . 则 ∠SRC 就是异面直线 AQ 与 PD 所成的角.2sin θ·cos θ·( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) = 4 (cos 2θ+ sin 2θ) + 2sin θ·cosθ· ( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) ,可得 2sin θ·cos θ·( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) = 0. RS = 12PD = , RC = AQ = ,又因为θ∈[ 0 ,2π]的任意性 ,知 t 2 - 4t 2 - 42SC == ,x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 =2+ 4 ×8= t- 4 = 0.所以 ,cos ∠SRC =RS 2 + RC 2 - SC 22 RS ·RC= - 42. 14解得 t = 2.代入检验 ,满足条件.故异面直线 AQ 与 PD 所成角为 arccos42 . (3) 过点 Q 作 QM ∥CD 交 AD 于点 M ,则 QM ⊥AD , AM = t .因 PA ⊥平面 ABCD ,则 PA ⊥QM . 又 QM ⊥AD ,则 QM ⊥平面 PAD . 过点 M 作 MN ⊥PD 于点 N ,联结 NQ . 由三垂线定理知 QN ⊥PD .故 ∠MNQ 是二面角 A - PD - Q 的平面角.故满足条件的实数 t 的值是 2. 五、( 1 ) 如图 3 , 在菱形 ABCD 中 , 设OA = m , OB = n ,∠AOx = α. 则 点A ( m cos α, m sin α) , B ( - n sin α, n cos α) . 又因为点 A 和点 B 都在椭圆 C 上 ,则有 图 3m 2 cos 2α m 2 sin 2αMNMD 4 - ta2+b2= 1.在 Rt △PAD 中 ,由 PA = PD ,有 MN = 2.从而 , m 2 =1 .NQ DQcos 2α sin 2α12= 367 19 + t 2× 3 + (4 - t ) 2 4 2= 故又在 Rt △PQD 中 , 由PQ = PD,有a 2 +b 24x又 2 2 2第 17 届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第 一 试一、选择题(每小题 4 分 ,共 40 分)1. 设 S = { ( x , y ) | xy > 0} , T = { ( x , y ) |x > 0 且 y > 0} . 则() .( ) . (A ) b = 0 (B ) c = 0 (C ) d = 0(D ) b = d = 06. 若 △ABC 的三边长依次为 a = sin 3,(A ) S ∪T = S (B ) S ∪T = T b = cos 34, c = 1 ,则 ∠A 、∠B 、∠C 的大小顺 (C ) S ∩T = S (D ) S ∩T = Ø2. 若 f ( x ) =1的定义域为 A , g ( x ) = f ( x + 1) - f ( x ) 的定义域为 B ,则() . 序为( ) .(A ) ∠A < ∠B < ∠C (B ) ∠B < ∠A < ∠C (A ) A ∪B = R (B) A ‰ B (C) ∠C < ∠B < ∠A(D) ∠C < ∠A < ∠B(C ) A Α B (D ) A ∩B = Ø3. 已知 tan α> 1 ,且 sin α+ cos α< 0. 则() .(A ) c os α> 0 (B ) cos α< 0(C ) cos α= 0 (D ) cos α的符号不确定 4. 设 a > 0 , a ≠1. 若 y = a x的反函数的7. 若实数 x 满足 log 2 x = 3 + 2cos θ,则 | x - 2| + | x - 33| 等 于() .(A ) 35 - 2 x (B ) 31(C ) 2 x - 35(D ) 2 x - 35 或 35 - 2 x8. 区间[ 0 , m ]在映射 f : x →2 x + m 所得的像集区间为[ a , b ] . 若区间[ a , b ] 的长度图像经过点 2 , - 1, 则 a = () . 比区间[ 0 , m ]的长度大 5 ,则 m = () . 24(A ) 5 (B ) 10 (C ) 215 (D ) 1(A ) 16(B ) 4(C ) 2(D ) 25. 已知 a ≠0. 函数 f ( x ) = ax 3+ bx 2+ cx + d 的图像关于原点对称的充要条件是9. 设数列{ a n } ( a n > 0) 的前 n 项和是S n ,且 a n 与 2 的算术平均值等于 S n 与 2 的几何平均值. 则{ a n }的通项为( ) .同理 ,2= 1. 4 a 2 b 2n cos 2α b2 + sin 2αa 2a 2 + b2和 2 ab .故1 +1= 1 + 1 .六、因x + 2 y + zm 2 n2 1 1 a2 b 21 1 1 1216 x +9x ·18 y +3x ·18 y ·36 z(2) m2 + n2 = a2 + 2 ≥2bm 2 ×n 2 = mn . =3 2x + 2 y + z1m 2 n 2 cos 2αa2 + sin 2αb 2 cos 2α b2 + sin 2α a 2 16 x +3 ( x + 18 y ) + 2 x + 18 y + 36 z2≥ cos α+ sin α= 1 ,≤x + 2 y + z = 18 ,故当且仅当 x ∶y ∶z = 36∶2∶1 时 ,等号成立.ababa 2b 2(杨英辉 提供)316 x + 9 2 xy + 93 xyz 3。
2007年全国高中数学联赛河南省预赛高二
设点 P 离最小 . 则
b d=
2
2
, b 到直线 x + y + 1 = 0 的距
2
+ b+1 2
≥ 2. 4
显然 , AC 的中点为
M
8.
- 2,-
6+ 2 . 2
原式可变形为 sin x +
π M = , 利用其 3 2
1 3 . 可设 , 4 4 O (1 , y ) . 5 1 × 4 2
5. 直角三角形的三个内角的正弦值成等 ). 比 . 则该三角形的最小角等于 ( (A) arcsin ( C) arcsin 5- 1 2 5 +1 4 (B) arccos (D) arccos 5- 1 2 5 +1 4
6. 在正 2 008 边形中 , 与所有边均不平 ). 行的对角线的条数为 ( (A) 2 008 ( C) 1 0042 - 1 004 (B) 1 0042 (D) 1 0042 - 1 003
). f k + 1 ( n ) = f ( f k ( n) ) ( k = 1 ,2 , … ). 则 f 2 007 ( 2 007) = ( (A) 20 (B) 4 ( C) 145 (D) 42 3. 在 △ABC 中 , ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边
二、 填空题 ( 每小题 5 分 ,共 30 分) 2 7. 抛物线 y = 2 x 上一点到直线 x + y + 1 = 0 的距离的最小值为 . π 8. 已知方程 sin x + 3cos x = M 在 ≤x 4 π 5 ≤ 上有两个不同的解 . 则 M 的取值范围是 4 . 9. 设 O ( 0 ,0 ) 、 A ( 1 ,0 ) 、 B ( 0 ,1) , P 是线 段 AB 上的一个动点 , AP = λAB . 若 OP・ AB ≥PA ・ PB , 则实数 λ的取值范围是 . 10. 已知 n 是整数 ,且方程 ( n + 1) 2 x2 - 5 n ( n + 1) x + (6 n2 - n - 1) = 0 ( n ≠- 1) 有两个整数根 . 则 n = .