第三章人寿保险的精算现值
《寿险精算》教学大纲
《寿险精算》教学大纲开课学期：第5学期学时数：51先行课程：高等数学、概率论、适用专业：保险学、应用数学、统计学、计算机基础金融工程、风险管理等学分：3 执笔人：张运刚一、说明（一）本课程的教学目的和要求《寿险精算》是保险专业的一门重要的必修专业基础课。
精算学是以现代数学和概率数理统计学为基础，从数量方面研究保险业经营管理的各个环节的规律和发展趋势，通过反映保险运行机制的随机模型的研究来开发保险产品，提取准备金，进行偿付能力与风险管理，为保险公司进行科学的决策及提高管理水平提供依据和工具的专门学科。
本课程着重介绍寿险精算的基本概念、基本原理和基本技能。
通过本课程的学习，使学生掌握寿险精算的基本理论。
明确寿险精算是作为人身保险经营的科学基石，在保险风险管理中发挥着十分重要的作用。
要求学生掌握生命表的编制原理、人寿保险各基本险种的费率和责任准备金的计算方法，了解多元生命和多偶然因素情况下的各种保险函数及养老保险等的计算方法和技能，使学生对寿险精算的应用过程有一个比较深入的了解，从而能运用到寿险产品的开发中去。
同时，为学生进一步学习保险定量分析方面的课程奠定必要的理论基础。
（二）教学基本规划学分：3学分学时：51学时左右（周3学时，17周，不含讨论课、习题课、期末复习、期末考试）教学课时安排表章次内容授课时数1寿险精算概论5或32利息的度量与应用63确定年金4或61实验1利息与确定年金的应用14生命函数65生存年金76人寿保险77年缴纯保险费5实验2生命表与替换函数表的构建18均衡纯保费准备金4实验31-1对应替换函数表的应用19毛保险费110实际责任准备金211※资产份额与利源分析1合计51说明：（1）实验2可排在第6章后进行。
（2）实验3可排在第9章后进行。
（3）带※号的内容可选讲或略讲。
（4）为便于创建网站起见，在网站上将实验1、实验2、实验3合并成第12章。
二、讲授大纲第一章 寿险精算概论一、教学目的与要求本章要求了解寿险精算的概念与分类、寿险精算的发展历程、研究意义与面临的挑战、寿险精算教育与精算师资格考试。
保险精算2人寿保险的精算现值分析
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
Z
b K
v K
0,
其他
表示其趸缴纯保费。
E(Z)
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
n1
A v p q 1
k 1
x ：n|
k x xk
k 0
A v k1 p q
x
k x xk
k 0
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
m
Ax
Ax
A1 x:m
A1
k0 0
sk x
xks
补充： 非整数年龄的生命分布假设
年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）
令：S(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) 0 t 1
1、
t qx
s(x) s(x t) s(x)
s(x) [(1 t)s(x) ts(x 1)] s(x) s(x 1) t
同理，
i 1
1
A A x：n|
x：n|
对于两全保险有
A A A 1
1
x：n|
x：n|
x：n|
i1
1
A A x：n|
保险精算课程三(寿险精算)
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
第三章 人寿保险的精算现值
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n| A
趸缴净保费
n 1
给付现值随机变量
k 1 1 1 ( DA)1 ( n k ) v p q A A k x xk x: n | x:1| x:2| k 0
A1 x: n |
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
10000 vq40 v 2 1| q40 v3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i) 49.28 8591.34 8640.62(元)
K 1
保险金给付在签单时的现值随机变量
v , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 0, K n, n 1, 趸缴净保费
A
1 x: n|
E (Z ) v
k 0
n 1
k 1
k | q x v
k 0
n 1
k 1
k p x q xk
n 1
n 1| A1 x :1|
（八）递减型寿险
(人寿保险的精算现值)
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
年龄
x
nE x
现时值
1
tE x
x+t
E n t x t
1
x+n 1 S
第二十九页，编辑于星期四：十六点 十七分。
4、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人 即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末 支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (z T ) v n n p x e n n p x
现值随机变量的方差：
Var(zT)v2nnpx(vnnpx)2
21
Ax:n
(Ax:1n)2
第二十八页，编辑于星期四：十六点 十七分。
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
ln v
ln 0.9 )
P(T
ln0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
lnv 0.9 60
ln0.9 6ln v 0.9 v6 e6
第二十六页，编辑于星期四：十六点 十七分。
3、n 年定期生存保险
假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函(数x )关系
vt vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zTbTvT vvnT,,T Tnn
第三十页，编辑于星期四：十六点 十七分。
保险精算李秀芳1-5章习题答案
第一章生命表1．给出生存函数()2 2500xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s ss sqsP X ssps<<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=，Pr ［T(60)＞5］=，求q 65。
()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s s q p s s s s q s -====-∴==4. 已知Pr ［T(30)＞40］=，Pr ［T(30)≤30］=，求10p 60Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）= S （70）=×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60）==5.给出45岁人的取整余命分布如下表：k求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（++++）=6.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人(1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（+）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500××=1500×≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
第三章生命年金的精算现值47课件
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
2024/8/2
4
其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
3.2.1按年付的定额生命年金
按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次
支付的金额均相等的生命年金
2024/8/2
24
以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年 金的精算现值:
设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的 精算现值
2024/8/2
14
比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期 定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身 生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。 年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付 型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1） 终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年 的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
了连续递增的连续支付型终身生命年金。 这种年金的现值随机变量
2024/8/2
20
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变
成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2024/8/2
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。
前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。
非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。
而这次我们主要讨论人寿保险。
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。
2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
人寿保险精算现值
其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有 Ax A1x:mmAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K 0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1 ,K m ,m 1 , ,m n 1
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4
v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0
1 l35
4
( v k 1d 35k
k 0
v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2,L,m1 Z vK1, Km ,m1,L
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqx k kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]
E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
vk1, k0,1,2,,n1 Z
第三章 人寿保险的精算现值
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch3
vn
fx
(t)dt
A1 +A 1 x:n x:n
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
+
2
A1 x：n
Ax：n
2
例3.5
• （30）购买10年定期两全险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
（1）趸缴净保费； （2）赔付现时值方差； （3）被保险人赔付成本小于趸缴净保费的概率。
• 假定二：被保险人的未来寿命分布已知，可以用经验生命 表或者某个参数寿命模型进行拟合。这个假定意味着被保 险人的索赔概率已知。
• 假定三：金钱的时间价值可以采用利率贴现的方式进行测 算。这个假定意味着保险人能预测未来的利息因素的影响。
精算模型的构造思路
保险受益金的现值函数
• 现值（present value）函数是指在未来任意时刻赔付的保 险受益金，考虑到钱的时间价值，贴现到现在（保单发行 日）值多少钱。
Var(Zt ) 2Ax Ax 2
例3.2
• （30）购买终身寿险，死亡即刻赔付1。假设复利计息， 年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。 请计算：
（1）赔付现时值期望； （2）赔付现时值方差； （3）被保险人缴纳的趸缴净保费大于赔付现时值的概率。
（1）已知
S0
函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
第三章人寿保险的算现值总结
. n px
记 A
2
1
e
2 n
x :n
. n px ，则
2 2
Var (Z ) A 1 ( A 1 )
x:n
寿险精算
x :n
24
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数：
1) Dx v x .l x 2)C x
1
0
v
x t
.l x t . x t d t
vt
3.赔付现值变量
vt ,t n v n ,t n
Zt bt .vt
寿险精算
vt ,t n v n ,t n
26
4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为即刻赔付n年两全保险的趸缴纯保费 n年两全保险是n年定期死亡保险与n年纯生 存保险的组合产品 即：
Ax:n A A 1
bt 1,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt v n , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt
寿险精算
0,t n vn ,t n
22
4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为n年期生存保险的趸缴纯保费 在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生 的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率
E (Zt ) E (bT vT ) Zt . fT (t )dt
寿险精算 9
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即 精算现值＝ E(Zt )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
2 0
n
1 2 x:n
《寿险精算现值》幻灯片
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用IA 表示这种保险的现值，则 x
IA x
(t 1)vt1t qx
t0
1 vxlx
(t 1)vxt1dxt
t0
1 Dx
(t 1)Cxt
t0
1
Dx
Cxt
t0
Cx1t
t0
Cx2t
t0
1 Dx
Mxt
t0
引进转换函数：Rx Mxt t0
《寿险精算现值》幻灯片
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保费:是投保人购置保险产品支付的价格，它是由保险公司的精算师根据保险 产品的本钱、利润目标、市场竞争因素等制定的。理论上，保险费又称为总保费或 毛保费，可以分为净保费和附加保险费两局部。
1
vt
t
px
x
t
dt
k 0
v p 1 k s
0
ks x
xk sds
k 0
vk 1 k
px
v p 1 s1
0
s xk
xk sds
k 0
在死亡均匀分布假设下，有
p q s xk xk s
xk
0 s 1
then
Ax
vk 1 k
px
qxk
k 0
1vs1ds i
0
Ax .
2、定期寿险
x:n
x:n
,where
n1
2A1 x:n
e2k1 k qx
保险精算课件 第3章寿险精算现值
ω−x− 1
ω−x− 1
延期m年的 延期 年的n 年的 年定期寿险 延期m年的 延期 年的 终身寿险 n年期两全 年期两全 保险
A =A m
1 xn :
1 xm n : +
−A
1 xm :
1 xm :
m
A = A −A x x
1 xn :
A: = A +A xn
1 xn :
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 延期m年的 延期 年的n 年的 年期两全保险
k+ 1
(x) 的1单位元 年两全保险的精算现值为 单位元n年两全保险的精算现值为 单位元
A:n =∑ ⋅ k q +v ⋅ n p v x x x
k+ 1 n k= 0
n− 1
=A +A
1 x:n
1 x: n
其中 A 精算现值。 精算现值。
1 x: n
表示1单位元给付纯生存险的 表示 单位元给付纯生存险的 单位元给付
☆两全保险现值随机变量的方差 为两全保险现值随机变量， 设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 为两全保险现值随机变量 年 定期现值随机变量， 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 年纯生存保险现值 随机变量， 不会同时发生， 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
V r(Z) =V r(Z +Z ) a a 1 2 =V r(Z )+V r(Z )−2E Z )⋅ E Z ) a 1 a 2 ( 1 ( 2
1. 终身寿险
对 (x 的1单位元死亡年末赔付终身寿 ) 表示。 险，其精算现值以 A 表示。 x 记 K(x) =k 为 x岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 A x
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例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。
每年的赔付支出及其折现值如表所示：
年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值
（1 （2） ）
(3)=1000×(2 (4) )
(5)= (3) ×(4)
•
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求
期望值 精算现值=趸缴净保费
•
例3.2答案
•
（二）终身寿险
给付函数 给付现值随机变量 趸缴净保费
•
例3.3
张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知：
设预定利率为0.08 求这份保单的趸缴净保费。
•
例3.3答案
•
（三） n年期生存保险
被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金.
•
趸缴净保费的变形公式
•思考：该公式的含义？
•
自然保费 即 中n=1的趸缴净保费.
是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
•
例3.2
某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险 ，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为 5%，以中国人寿保险业经验生命表（19901993年，男女混合表），计算趸缴净保费。
型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到
保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
•
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定
给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
间的关系
•
保费的分类-按保费缴纳的方式
趸缴保费（一次性缴纳保费） 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保
费，年龄越大，缴纳的越多) 均衡保费（定期缴纳保费）
•
人寿保险给付方式的分类
分为：连续型寿险和离散型寿险 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续
型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散
•
一般变额寿险
给付现值随机变量 趸缴净保费
•
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示：
k
bk+1
qk+1
0
300 000 0.02
1
350 000 0.04
2
400 000 0.06
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
•
例3.5答案
•
死亡年末给付趸缴净保费公式归纳
第三章人寿保险的精算 现值
2020年7月8日星期三
本章结构
•离散型寿险的精算现值
•人寿保险的 •精算现值
•连续型寿险的精算现值 •两类寿险精算现值之间的关系
•
本章学习目标
理解寿险精算现值的含义 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计
算公式 熟练使用换算函数计算离散型各险种
的寿险精算现值 掌握离散型、连续型寿险精算现值之
由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
•
•第一节 离散型寿 险的趸缴净保费
•
本节的主要目标
理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净
保费
•
主要险种
n年期定期寿险 终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 递增终身寿险 递减n年定期寿险 一般变额寿险
11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
55
5000
1.03-5 • 4313.04
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值
平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
•
基本符号
—— 岁投保的人整值剩余寿命
bk+1——保险金在死亡年末给付函数 vk+1 ——贴现函数 zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
•
计算原理
K的不同上下限，对应着不同的险种
•
（一）n年定期寿险
给付函数 保险金给付在签单时的现值随机变量 趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
•
（六）延期m年的n年定期寿险
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
•
几个关系式
•
（七）递增型寿险
终身寿险
n年定期
•
（八）递减型寿险
给付函数
给付现值随机变量 趸缴净保费
趸缴净保费
•
例3.4
某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险 ，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为 5%，以中国人寿保险业经验生命表（19901993年，男女混合表），计算趸缴净保费。
•
例3.4答案
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（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任 范围内的死亡给付保险金。
只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定.
保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 .
•
给付函数: 给付现值随机变量 趸缴净保费
•
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数 给付现值随机变量
终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
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基本换算函数
在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制 成换算函数表。
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用换算函数表示常见险种的趸缴净保费
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例3.6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年末 赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司 赔付50 000元；在65岁到75岁之间死亡，受益 人可领取100 000元的保险金；在75岁后死亡 ，保险金为30 000元。利用换算函数写出这一 保单精算现值的表达式。