11.矩阵方程
矩阵及其运算课后习题答案
第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换． 解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111111A ,,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算以下乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗? 解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明以下命题是错误的: 〔１〕假设02=A ,则0=A ;〔２〕假设A A =2,则0=A 或E A =; 〔３〕假设AY AX =,且0≠A ,则Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠. 7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A利用数学归纳法证明: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =则 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T = B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT=⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求以下矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2) 01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在 024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解以下矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X ; (3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021********0100001100001010X .解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2) 1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122 (3) 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解以下线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k =(k 为正整数), 证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。
高中数学解矩阵方程的技巧
高中数学解矩阵方程的技巧矩阵方程在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到矩阵运算和线性代数的知识。
解矩阵方程是数学学习中的一个难点，但只要掌握了一些技巧，就能够轻松解决这类问题。
一、矩阵方程的基本形式矩阵方程的基本形式为 AX = B，其中 A、X、B 都是矩阵。
我们的目标是求解未知矩阵 X 的值。
在解决这类问题时，我们需要注意以下几点。
1.1 矩阵的乘法运算首先，我们需要熟悉矩阵的乘法运算规则。
对于矩阵 A、B 和 C，满足结合律和分配律，即 (A + B)C = AC + BC，A(B + C) = AB + AC。
这些运算规则在解矩阵方程时非常有用。
1.2 矩阵的逆其次，我们需要了解矩阵的逆。
如果矩阵 A 是一个可逆矩阵（即存在逆矩阵A^-1），那么我们可以通过左乘 A^-1 来解矩阵方程，即 X = A^-1B。
但需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵。
二、解矩阵方程的技巧在解矩阵方程时，我们可以运用以下几种技巧。
2.1 矩阵的消元法矩阵的消元法是一种常用的解矩阵方程的方法。
我们可以通过矩阵的初等行变换来将方程转化为简化的形式。
例如，对于方程 AX = B，我们可以通过初等行变换将矩阵 A 化为一个简化的阶梯形矩阵，然后再根据简化的形式来求解未知矩阵X。
举例来说，考虑以下矩阵方程：[1 2] [x] = [5][3 4] [y] [7]我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第二行的第一个元素，得到以下形式：[1 2] [x] = [5][0 1] [y] [1]然后，我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第一行的第二个元素，得到以下形式：[1 0] [x] = [3][0 1] [y] [1]最终，我们得到了解为 x = 3，y = 1。
通过矩阵的消元法，我们成功地解决了这个矩阵方程。
2.2 利用逆矩阵求解在一些特殊情况下，我们可以通过矩阵的逆来求解矩阵方程。
如果矩阵 A 是一个可逆矩阵，那么我们可以通过左乘 A^-1 来解方程，即 X = A^-1B。
-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章 矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211， 根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *， 由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质： 性质 设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
线性代数课后答案解析__第二版__同济大学出版社
线性代数习题解答 同济大学出版社习题11.求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）4 1 5 3 2； （4）3 7 1 2 4 5 6； （5）1 3 … (21)n - 2 4 … (2)n ； （6）1 3 … (21)n - (2)n (22)n - … 2. 2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：（1）3214---； （2）201141183---；（3）a b c b c a c a b ； （4）x y x y yx y x x yxy+++.3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号： (1)233142561465a a a a a a ；(2)334214516625a a a a a a . 4.计算下列各行列式：（1）000100020010000000n n -； （2）1234214334124321------；（3）2100121001210012； （4）0451250201720343115023013-------；（5）abac aebdcd de bfcfef---； （6）1111111111111111x x y y+-+-.5.证明:(1)11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； （2）2222111a abb aa b b +=3()a b -；(3)111111222222b cc a a bb c c a a b b c c a a b +++++++++=1112222ab ca b c a b c ； (4)222244441111a b c d a b c d a b c d ； ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()-+++c d a b c d ；(5)1221100001000001n n n x x xa a a a x a -----+111n n n n x a x a x a --=++++ .6.计算下列各n 阶行列式：(1)11aa,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)111x a a a x a a a x --- ；（3）123111100100100n a a a a，230≠其中n a a a ； (4)12111111111na a a +++,120n a a a ≠ 其中；(5)111222(1)(2)()(1)(2)()12111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---------------；(6)det(),n ij ij D a a i j ==-其中. 7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：（1）320000430000002100003200000032000054；（2）3002034040030560； (3)112110000nnn nna b a b D c d c d =.解答习题11.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）(1)2-n n ；（6）(1)-n n . 2.（1）-14；（2）-4；（3）3333---ab a b c ；（4）332()-+x y . 3.（1）正号；（2）负号. 4.（1）(1)(2)2(1)!---n n n ；（2）900；（3）5；（4）－799；（5）4abcdef ；（6）22x y . 5.提示：（1）用行列式定义证明；（2）、（3）、（4）用行列式性质证明；（5）用数学归纳法证明.6.（1）22(1)--n aa ；（2）1[1(1)](1)--+---n x n a x a ；（3）23121()()nn i ia a a a a =-∑ ；（4）1211()(1)=+∑nn i i a a a a ；（5）1()≥>≥-∏n i j i j ；（6）12(1)(1)2----n n n . 7.（1）2；（2）2；（3）1()=-∏niii i i a db c .习题21.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于选手3；选手2胜选手4，5，6负于选手1，3；选手3胜选手1，2，4负于选手5，6；选手4胜选手5，6负于选手1，2，3；选手5胜选手3，6负于选手1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且357220430123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132021570648B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.3.设111123111124111051A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求32AB A -与TA B .4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：234123241A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭甲乙丙方法一方法二方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.5.设12101312A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，问（1）AB BA =吗？（2）()2222A B A AB B +=++吗？（3）()()22A B A B A B +-=-吗？6.举反例说明下列命题是错误的： （1）若2A O =，则A O =；（2）若2A A =，则A O =或A E =；（3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 7.设101A λ⎛⎫=⎪⎝⎭，求23kA A A ，，，. 8.设AB 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：（1）1225⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭； （3）121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； （4）1234012300120001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10.解下列矩阵方程： （1）25465321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（3）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.设方阵A 满足225A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵.12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立kA O =，试证E A -可逆，并指出()1E A --的表达式.13.设A 为3阶方阵，12A =，求()125A A -*-. 14.设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *也可逆，且()()11AA -**-=.15.设131020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2AB E A B +=+，求B .16.设三阶矩阵A B ，满足关系：16A BA A BA -=+，且100210041007A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求B .17.设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AX A X =+，求X .18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，=，求A 及5A .19.设A B ,和A B +均可逆，证明11A B --+也可逆，并求其逆矩阵.20.将矩阵2131425442622140A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）111211120⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321315323⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）3201022112320121--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭； （4）1357012300120001-⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.22.下列矩阵的秩.：（1）1234124511012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （3）1001310312011457⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭； （4）24131121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.23.设A 为n 阶矩阵，且2A A =,证明()()R A R A E n +-=.24.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求84A A ，. 25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵005200218300520⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解答习题21.123456110111200111311100400011500101600100⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.2.357213202043215701230648 A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭48924191007611⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3.111123111 3331111242111111051111 AB A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-----⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭058123056124290051TTA B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=---⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭002123058559124056860051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.1072844759A⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方法一获利最多. （１）AB BA≠，因为34124638AB BA⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以AB BA≠．（２）()2222A B A AB B +≠++因为 2225A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭()2222281425251429A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭但 2238681010162411812341527A AB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2222A B A AB B +≠++（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()()220206250109A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 223810284113417A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()22A B A B A B +-≠-6.（1）取1111A O ⎛⎫=≠ ⎪--⎝⎭，而2A O =； （2）取1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有A O A E ≠≠，，而2A A =； （3）取101010000001A X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，有X Y ≠，而AX AY =.7. 21010101121A AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由此推出 ()10231kA k k λ⎛⎫==⎪⎝⎭，，下面利用数学归纳法证明这个结论． 当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()11011k Ak λ-⎛⎫=⎪-⎝⎭则对于k 时，有 ()11010101111kk A A A k k λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故结论成立． 8. 证明 由已知：T A A = TB B =充分性：由AB BA =，得T TAB B A =，所以()TAB AB =即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()TAB AB =得，T T B A AB =所以BA AB =.9. (1) 公式法：1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A =112112225,2(1),2(1),1A A A A ==⨯-=⨯-=112112225221AA A A A *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11A A A -*= 故 15221A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭初等行变换法：()12102501AE ⎛⎫=⎪⎝⎭21212100121r r -⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭12210520121r r --⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭所以 15221A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2) 10A =≠ 故1A -存在11211222cos sin sin cos A A A A θθθθ===-=从而 1c o s s i n s i n c o s A θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭(3) 公式法;2A =, 故1A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332142A A A =-==-故 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭初等行变换法：()121100342010541001AE -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 2131351211000213100146501r r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3271211000213100011671r r --⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2313120157102013610011671r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3210021002013610011671r r +-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2122101001310103220011671r --⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-- ⎪- ⎪-⎝⎭所以 12101313221671A --⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．（４）由对角矩阵的性质知 12110101n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10. (1) 125461321X --⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭10111312324323330⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭ (3) 11143120120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭243110111011212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭66101301212⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11104⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭11. 由22A A E O --=得22A A E -= 两端同时取行列式: 22A A -=即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而22A E A +=2220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.由22A A E O --=得()2A A E E -=所以 11()2A A A E A E ---=，则11()2AA E -=- 又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-(2)(3)4A E A E E +-=-所以 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+则 11(2)(3)4A E E A -+=-. 12.()11k E A E A A ---=+++ .13. 因为11AA A-*=，所以 ()1111111255522A A A A A A A -*-----=-=- ()31112288216A A A ---=-=-=-=-⨯=-.14. 由11AA A-*=，得1A A A *-=， 所以 当A 可逆时，有110nn A A A A-*-==≠，从而A *也可逆.因为1A A A *-=，所以()11A AA --*=又()()1111A A A A A**---==，所以()()()11111A AA AA A A -**--*--===15. 由2AB E A B +=+得()2A E B A E -=-即()()()A E B A E A E -=-+因为 0011010100A E -==-≠，所以()A E -可逆，则 201030102B A E ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.16.600020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.17.033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭18. 因为AP P =Λ，所以1A P P -=Λ；又 1P =-， 1100210411P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，55115⎛⎫⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭= 所以 1100110021012102115411A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100200611⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭5100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭.19. 因为()1111A B A E CA B B B A ----+=+=+，由()()1A B A B E -++=得()()()()111111AB A A B B A B A B B ------++=++=则()()1111A B A A B B B B E ----++==所以11A B --+可逆，其逆为()1A B A B -+.20. 213241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 32344221312131001200120000000100010000r r r r r r B -↔+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 的秩为3，其一个3阶非零子式为13112001--，对应于A 的3阶非零子式为131254262----. 故2131001200010000-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为131254262----. 21.(1)111222111444513444⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭,(2)72363211211022⎛⎫- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，(3)11240101113621610--⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭，(4)131120012100120001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22.(1)2,(2)3，(3)4，(4)当4a =-时，秩为2；当4a ≠-时，秩为3.24.34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭25. nn s ns s A O E O C B OE ⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 111n nA r ns ns s EO A O C B OE --⨯⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭()2111r Cr nns n ns EOA O OB C A E ---⨯⎛⎫−−−−−→ ⎪-⎝⎭左乘 ()121111s s B r nns n nsA O EO B C A B O E -----⨯⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭左乘 11111s s n s n nA O A OBC A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭利用这个结果取103021121412A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则由11111ss n s n n A O A O B C A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得 112040111113212A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，114021201241111312113512224B CA ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，则 1124080111212262424A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故 110002400012001212001213012482412143526-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭习题31.设α＝(1，1，0，-1)T ，β＝(-2，1，0，0)T ，γ＝(-1，-2，0，1)T ，求35αβγ-+．2.设34αβ+＝(2，1，1，2)T 23αβ+＝(-1，2，3，1)T求,αβ．3.解向量方程325X αβ-=其中，α＝(3，5，7，9)T ，β＝(-1，5，2，0)T ．4.判断向量β能否由其余向量线性表示？若能，写出表示式.（1）β＝(0，10，8，7)T ，1α＝(-1，2，3，9)T ，2α＝(1，3，1，0)T ，3α＝(1，8，5，-2)T .（2）β＝(1，2，1，1)T ，1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(1，1，-1，-1)T ，3α＝(1，-1，1，-1)T ，4α＝(1，-1，-1，1)T ．5.设1α＝(1＋k ，1，1，1)T ，2α＝(1，1＋k ，1，1)T ，3α＝(1，1，1＋k ，1)T ，β＝(1，3，2，1)T ，试问k 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出表示式．6.设1α＝(1，0，2，3)T ，2α＝(1，1，3，5)T ，3α＝(1，-1，a +2，1)T ，4α＝(1，2，4，a ＋8)T ，β＝(1，1，b ＋3，5)T ，试问当,a b 为何值时．（1）β不能由1234,,,αααα线性表示；（2）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法唯一，并写出该表示式； （3）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法不唯一，并写出两个表示式．7．设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由121,,,m ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组121,,,,m αααβ- 等价．8.判断下列向量组是否线性相关？（1）1α＝(2，2，7，-1)T ，2α＝(3，-1，2，4)T ，3α＝(1，1，3，1)T .（2）1α＝(1，4，2，7)T ，2α＝(3，2，4，5)T ，3α＝(1，-1，2，2)T ，4α＝(1，4，2，7)T ．9．问k 取何值时下列向量组线性相关？线性无关？1α＝(k ，2，1)T ，2α＝(2，k ，0)T ，3α＝(1，-1，1)T10．设向量组123,,ααα线性无关，112323βααα=--，21232βααα=++，3123βααα=-+，讨论向量组123,,βββ的线性相关性．11．已知向量组12,,,m ααα 线性无关，设112βαα=+，223βαα=+，…，11m m m βαα--=+，1m m βαα=+，讨论向量组12,,,m βββ 的线性相关性．12．设向量组12,,,m ααα 不含零向量，且αk (k =2，3，…，m)不能由121,,,k ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 线性无关．13．求下列向量组的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．（1）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(3，-1，2，0)T ，3α＝(1，3，4，-2)T ，4α＝(4，-3，1，1)T .（2）1α＝(1，2，3，-1)T ，2α＝(3，2，1，-1)T ，3α＝(2，3，1，1)T ，4α＝(2，2，2，-1)T ，5α＝(5，5，2，0)T ．（3）1α＝(1，2，-1，1)T ，2α＝(2，0，k ，0)T ，3α＝(0，-4，5，-2)T ，4α＝(2，2，2，-1)．（4）1α＝(1，0，1，2)T ，2α＝(0，1，1，2)T ，3α＝(-1，1，0，k )T ，4α＝(1，2，k ，6)T ，5α＝(1，1，2，4)T ．14．设12{,,,}m R ααα =12{,,,}t R βββ ，且12,,,m ααα 可由12,,,t βββ 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,t βββ 等价．15．设有两个向量组1α＝(1，2，-1，3)T ，2α＝(2，5，a ，8)T ，3α＝(-1，0，3，1)T ；1β＝(1，a ，2a -5，7)T ，2β＝(3，3＋a ，3，11)T ，3β＝(0，1，6，2)T ，若1β可由123,,ααα线性表示，试判断这两个向量组是否等价？16．已知向量组1β＝(0，1，-1)T ，2β＝(a ，3，1)T ，3β＝(b ，1，0)T 与向量组1α＝(1，2，-3)T ，2α＝(2，1，-1)T ，3α＝(3，0，1)T 具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b ．17．判断下列集合是否是向量空间？为什么？若是向量空间，求出其维数及一个基． （1）V 1＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝0}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．（2）V 2＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝1}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．18．设123,,n R ααα∈．证明，若1122330k k k ααα++=且k 1k 2 ≠ 0，则L(α1，α3)＝L(α2，α3)．19．求下列向量生成子空间的维数与一个基．（1）1α＝(-1，3，4，7)T ，2α＝(2，1，-1，0)T ，3α＝(1，2，1，3)T ，4α＝(-4，1，5，6)T .（2）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(1，-1，3，-1)T ，3α＝(4，5，3，-1)T ，4α＝(1，5，3，-1)T ．20．设1α＝(1，0，-1)T ，2α＝(2，1，1)T ，3α＝(1，1，1)T ；1β＝(3，1，4)T ，2β＝(5，2，1)T ，3β＝(1，1，-6)T ．（1）证明123,,ααα与123,,βββ都是R 3的基； （2）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）求坐标变换公式；（4）求α＝(8，3，0)分别在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标．21．设α＝(1，0，-1，0，1)T ，β＝(0，1，0，2，0)T ． （1）求αβ与的内积 [αβ，]； （2）求αβ与的长度||α||，||β||； （3）求αβ与的夹角θ．22．用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化．（1）1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(3，3，-1，-1)T ，3α＝(-2，0，6，8)T ； （2）1α＝(1，1，1，0)T ，2α＝(1，0，1，0)T ，3α＝(-1，2，3，0)T ． 23．求与向量1α＝(1，0，-1，2)T ，2α＝(0，1，1，0)T 都正交的向量． 24．判别下列矩阵是否为正交矩阵？并说明理由．（1）1100221100221111222211112222⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，（2）11133311022211666⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭25．设,n R αβ∈，A 是n 阶正交矩阵，证明：（1）[,A A αβ]＝[,αβ]； （2）||A α||＝||α||；（3）A α与A β的夹角等于α与β的夹角． 26．证明，若12,,,n ααα 是R n 的一组标准正交基，A 是n 阶正交矩阵，则12,,,n A A A ααα 也是R n 的一组标准正交基．解答习题31．(0，-8，0，2)T2．α＝(10，-6，-10，2)T ，β＝(-7，4，7，-1)T 3．X ＝12(14，-10，11，27)T 4．（1）能，β＝α1＋α3．（2）能，β＝14(5α1＋α 2 - α3 - α4) 5．k ＝3，β＝13(2α2＋α3) 6．（1）1,0a b =-≠，（2）12311,(2(1))1a b a b b a βααα≠-=-+++++ （3）2131,0.2a b βαβαα=-===-或8．（1）线性无关．（2）线性相关．9．k ＝3或k ＝-2时线性相关；k ≠3且k ≠ -2时线性无关． 10．线性无关．11．m 是奇数时线性无关，m 是偶数时线性相关．13．（1）秩＝2；α1，α2是极大线性无关组；α3＝2α1-α2，α4＝-α1＋2α2． （2）秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝121122αα+，α5＝α2＋α3． （3）k ≠3时：秩＝4．k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-2α1＋α2．（4）k ≠ 0且k ≠ 3时：秩＝4；α1，α2，α3，α4是极大线性无关组；α5＝α1＋α2． k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝α1＋2α2，α5＝α1＋α2． k ＝0时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-α1＋α2，α5＝α1＋α2． 15．a ＝4，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示，但β1，β2，β3与α1，α2，α3不等价． 16．a ＝20，b = 5．17．（1）V 1是向量空间．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)时：V 1＝R n ；dimV 1 = n ；坐标单位向量ε1，ε2，…，εn 是V 1的基．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)不全零时：dimV 1 = n -1；不妨设a 1≠0，则e 1 = (-a 2，a 1，0，…，0)T ，e 2 = (-a 3，0，a 1，…，0)，…，e n -1 = (-a n ，0，…，a 1)是V 1的基．（2）V 2不是向量空间．19．（1）dimL(α1，α2，α3，α4) = 2；基是α1，α2． （2）dimL(α1，α2，α3，α4) = 3；基是α1，α2，α4．20．（2）317527408-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）112233317527408x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）3，2，1与11145,,444--． 21．（1）0；（2）3,5；（3）2π．22．（1）123111(1,1,1,1),(2,2,2,2),(11,1,1)242T TT e e e ==--=--，． （2）123111(1,1,1,0),(1,2,1,0),(1,0,1,0)362T T T e e e ==-=-． 23．(-4，-2，2，3)．24．（1）是正交矩阵；（2）是正交矩阵．习题41. 用消元法解下列线性方程组：(1)123412341234 2 0,3 630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩ (4)23y z 4,2y 4z 5,38y 2z 13,4 y 9z 6;x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩2.三个工厂分别有3吨、2吨和1吨的产品要送到两个仓库储藏，两个仓库各储藏产品4吨和2吨，用ij x 表示从第i 个工厂送到第j 个仓库的产品数(1,2,3;1,2i j ==)，试列出ij x 所满足的关系式，并求解由此得到的线性方程组.3.写出一个以x 1222341001c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）为全部解的齐次线性方程组.4.确定,a b 的值使下列齐次线性方程组有非零解，并在有非零解时，求其全部解：(1)1231231232 30,3470, 20;x x x x x x x x ax -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ (2)123123123 0,0, 20.ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩5.λ取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无限多个解？并在有无限多个解时求解：(1)1231232123 1, , ;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)123123123(2) 2 21, 2(5) 42, 2 4(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩6.设A 是实矩阵，证明()()T R A A R A =.7.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1)123412341234 81020,24 5 0,38 620;x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩ (2)123412341234232 0,35420,87630;x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩8．设12,αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明：1212,2αααα+-也是该线性方程组的基础解系.9．设A 是n 阶方阵，0Ax =只有零解，求证：对任意的正整数k ，0kA x =也只有 零解.10．设A 22139528-⎛⎫=⎪-⎝⎭，求一个42⨯矩阵B ，使AB =0，且R (B )2=.11．求一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成：1ξ0123⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ3210⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12．求下列非齐次线性方程组的通解：(1)1212341234 5,2 21,53220;x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (2)123412341234 52311,536 1,242 6.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩13．证明：线性方程组121232343454515,,,,x x a x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=-=.有解的充分必要条件是123450a a a a a ++++=.14.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为1η,2η,3η，其中1η4321⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2η1351⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3η2632-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求该方程组的通解.15.设矩阵A 121201101t t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，试求方程组0Ax =的全部解.16.设A 21120131,11λμ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，η1111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，如果η是方程组Ax b =的一个解，试求方程组Ax b =的全部解.17.设η*是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，1ξ,2ξ,…,n r ξ-是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*,1ξ,2ξ,…,n r ξ-线性无关；(2) η*,η*＋1ξ,…,η*＋n r ξ-线性无关.18.若1η,2η,…,s η为非齐次线性方程组Ax b =的s 个解，12,,,s k k k 为常数，且121s k k k +++= ，证明：1k 1η＋2k 2η＋…＋s k s η也是非齐次线性方程组Ax b =的解. 19.设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，1η,2η,…,1n r η-+是它的1n r -+个线性无关的解，试证：它的任一解可表示为x ＝1k 1η＋2k 2η＋…＋1n r k -+1n r η-+，其中1211n r k k k -++++= .20.用克拉默（Cramer ）法则解下列方程组：(1)1234123412341234 5, 2 42,23 52,3 2110;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ (2)12342345123234345 0,0,23 2, 23 2,23 2.x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩21.判断齐次线性方程组12312312322 0,240,5820;x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 是否仅有零解.22.问,λμ取何值时，齐次线性方程组123123123 0,0, 20;x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?23.问λ取何值时，齐次线性方程组123123123(1) 2 40,2(3) 0, (1)0;x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？24.证明：平面上三条不同的直线0,0,0ax by c bx cy a cx ay b ++=++=++=相交于一点的充分必要条件是 0a b c ++=.解答习题41．（1）11221121234222110,(,)00001x c c x c c c c c x x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . （2）212121210x c y c c z c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.2．ij x （1,2,3;1,2i j ==）所满足的关系式为：111221223132112131122232 3,2,1,4, x x x x x x x x x x x x +=+=+=++=++=1112212231322,6;x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+++++=⎪⎩ 11121212211122213123221111221122100101101001x c c x c c x c c c x c x c x c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. 3．134234220,340.x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩4．（1）123111x c x c c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.（2）当0b =或10a -=时，即0b =或1a =时，齐次线性方程组有非零解.当1a =时，有1231001x c x c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.当0b =时，有1231(1)11x c x a c c a x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.5．（1）当1,2λ≠-时，非齐次线性方程组有唯一解；当2λ=-时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无限多个解，有1122112321111010001x c c x c c c x c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. （2）当1λ≠且10λ≠时，非齐次线性方程组有唯一解； 当10λ=时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无数多个解，有112211232122122010001x c c x c c c x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）.7．（1）1ξ43410-⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ01401⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （2）1ξ11971901⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ219141910⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.10．115118008B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11．12312420,230.x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩12．（1）x 111161,01702c -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.（2）x 1291172211,72001010c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.14．x 1131221()(),c c ηηηηη=+-+-（12,c c ∈ ）.15．x 121011,1001c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.16．λμ=，当12λ=，非齐次线性方程组有无限多个解，x 1211122311,100001c c ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）. 当12λ≠，非齐次线性方程组有无限多个解，有x 011122,112201c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.20．（1）12341231x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2）1234511111x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.21．齐次线性方程组仅有零解.22．当0μ=或1λ=时，齐次线性方程组有非零解. 23．当0,23λ=或时，齐次线性方程组有非零解.习题51.求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）3151⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）200202311-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（4）1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 2.证明下列各题：（1）设A 是幂等矩阵（即满足2A A =），则A 的特征值只能0是或1；. （2）设A 是正交矩阵，则A 的实特征值的绝对值为1.3.已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,2-，计算行列式2A A E -+.4.已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3-，计算行列式*|32|A A E ++.5.设,A B 都是n 阶方阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似．6.判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=201335212A 可否对角化，若能的话，将它化为标准形.7.设矩阵20022311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b -⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，求,a b ；并求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ.8.设20131405A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问a 为何值时，矩阵A 可对角化?9.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：（1）120222023-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；（2）400031013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭；（4）0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 10.将矩阵102012220A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用两种方法对角化：（1）求一个可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵；（2）求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.11.设3阶矩阵A 的特征值为1232,1,2λλλ=-==；对应的特征向量依次为1231101,1,1101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求矩阵A .12.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,0,1λλλ=-==；属于12,λλ的特征向量依次为12221,221ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.13.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,1λλλ=-==；属于特征值11λ=-的特征向量为1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .14.设120020211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A ，求100A . 15.在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村.假设该国总人数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把n 年后农村人口和城镇人口占总人数的比例依次记为n x 和n y (1)n n x y +=．（1）求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式：11++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n x x A y y ； （2）设目前农村人口与城镇人口相等，即001212x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，求n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭．解答习题51.（1）1212112,4;,15λλξξ⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）1231230011,2,2;(,,)210111λλλξξξ-⎛⎫ ⎪=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）1231231011,5;(,,)011111λλλξξξ⎛⎫ ⎪==-== ⎪ ⎪--⎝⎭； （4）12341234111111002,2;(,,,)10101001λλλλξξξξ-⎛⎫ ⎪⎪=-==== ⎪ ⎪⎝⎭. 3.9. 4.－25.6.A 不可对角化.7.100110,2;210,21112---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b P P AP .8.3=a .9.（1）12213332122,13335212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT ； （2）10102110,422411022-⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭T T AT ；（3）12251153511452,115351052033-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT ；（4）111112261211111122612,1211026123310212-⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT . 10.（1）11223221,02123-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭P P AP ；（2）11223333221,03333212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 11.233453442--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A .12.12213331122,03331212333-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 13.100001010⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .14.101100100100122002050(12)13⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A. 15.（1）1111++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n x x p q y y p q ；（2）2()(1)12()2()(1)⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪++---⎝⎭⎝⎭n n n n x q p q p q y p q p q p p q .习题61．证明：123000000a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与23100000a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同. 2．写出下列二次型的矩阵表示: （1）121323422f x x x x x x =-++；（2）2224424f x xy y xz z yz =+++++；（3）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-.3．设A 是一个n 阶对称矩阵.如果对任一个n 维列向量x ，都有0Tx Ax =，试证0A =. 4．用拉格朗日配方法化下列二次型为标准形. （1）123422x x x x -；（2）22121213222x x x x x x ++-.*5．用初等变换法化下列二次型为标准形.（1）12132346x x x x x x -+；（2）222123232334x x x x x +++.6．用正交变换法化下列二次型为标准形.（1）22212312132325228x x x x x x x x x +++++；（2）121314232434 222222x x x x x x x x x x x x +--++. 7．求一个正交变换把二次曲面的方程22234545101x xy y xz z yz ++-+-=化成标准方程.8．化下列二次型为规范形.（1）22212312133524x x x x x x x +++-；（2）22212312232422x x x x x x x +++-.9．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 10．判别下列二次型是否正定：（1）2221231231223(,,)2342f x x x x x x x x x x =+-++；（2）2222123412341213142434(,,,)3919242612f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--.11．t 满足什么条件时，下列二次型是正定的：（1）222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+； （2）2221231231223(,,)2322f x x x x x x tx x x x =++-+.12．试证：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零. 13．试证：如果A 是正定矩阵，那么 （1）(0)kA k >是正定矩阵； （2）1A -是正定矩阵.14．试证：如果,A B 是同阶正定矩阵，那么A B +也是正定矩阵.*15．试证：实二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的充分必要条件是12(,,,)n f x x x 的正惯性指数等于它的秩.*16．试证：实二次型12(,,,)T n f x x x x Ax = 是半正定的充分必要条件是A 的特征值全大于或等于零.解答习题62．（1）112323021(,,)201110x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)1212343411211132(,,,)23101201x x f x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．4．(1)1132133244242222222222222222x y yx y yx y yx y y⎧=+⎪⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎪⎩，22221234f y y y y=+--；(2)112322323x y y yx yx y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，222123f y y y=--．5．(1)112321233233626526x y y yx y y yx y y⎧=--⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=+⎪⎩，222123f y y y=+-；(2)1122332311221122x yx y yx y y⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，22212325f y y y=++．6．(1)11232233323x y y yx y yx y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，2221235f y y y=+-；(2)1124212431344134111222111222111222111222x y y yx y y yx y y yx y y y⎧=++⎪⎪⎪=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=+-⎪⎩，222212343f y y y y=-+++．7．4133212133221213322x u v y u v w z u v w ⎧=+⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222111u v +=．8．(1)112322323522122x y y y x y x y y ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222123f y y y =-+； (2)112322333111222222212x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩222123f y y y =++． 10．(1)负定；(2)正定． 11．(1)0.80t -<<；(2)151533t -<<．。
数值代数答案
数值代数答案习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss 变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
矩阵和方程转换详解
--------------------------作者：m0_37727776来源：CSDN原文：https:///m0_37727776/article/details/80478470版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！2018年05月28日 11:02:13 m0_37727776阅读数：1647---------------大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。
这门课其实是教矩阵。
刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。
矩阵减法也类似。
矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。
但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。
这个结果是怎么算出来的？教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。
也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。
怎么会有这么奇怪的规则？我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。
研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。
这一直让我有点伤心。
前些日子，受到一篇文章的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。
关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。
如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。
下面是一组线性方程式。
矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。
老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与x 和y 的乘积之和，等于3。
不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。
下面才是严格的证明。
有三组未知数x、y 和t，其中x 和y 的关系如下。
x 和t 的关系如下。
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在(, L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
第十一章 矩阵与线性方程组
4 5
, 求A '.
am1
am
2
L
amn
1 3
解 A' 7 1 0 2
4
5
容易看出,若A为m n矩阵,则A'为n m矩阵, A中第i行第j列处的 元素aij ,在A'中则为第j行第i列的元素.
转置矩阵具有以下性质.
(1)( A') ' A; (2)( A B) ' A' B '
(3) AE EA A;
(4)( A)B (AB) A(B),(为常数).
例5 求解矩阵方程.
2 1
1 2
X
1 1
2 4
,
X
为二阶方阵.
解
设X
x11
x21
x12 x22
,
由题设
2 1x22
1 1
2 4
.
所以
2x11 +x21 x11 2x21
2x12 x22 x12 2x22
L , Ak Ak1A, (k 2,3,L , n).
可以证明Ak Ap Ak p , ( Ak ) p Akp , (k, p为非负整数),当A, B不 可交换时,(AB)k Ak Bk
设线性方程组的一般形式为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La21 x1
a22 x2 L
第十一章 矩阵与线性方程组
第一节 矩阵的概念及运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的秩与初等变换 第四节 线性方程的矩阵求解 第五节 数字实验五 用Mathematica进行矩阵运算和解
线性方程组
第十一章 矩阵与线性方程组
矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性 代数的一个主要研究对象.
线性微分方程组的解法和矩阵法
线性微分方程组的解法和矩阵法线性微分方程组和矩阵法是高等数学课程中非常重要的主题，也是应用数学研究中的基础。
本篇文章就线性微分方程组的解法和矩阵法进行探讨。
1. 线性微分方程组的基本概念线性微分方程组是由一系列的线性微分方程组成的方程组，可以用矩阵的形式表示。
例如：$$x^{'}=Ax$$其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是一个 $n$ 元向量，$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x^{'}=(x_1^{'},x_2^{'},\cdots,x_n^{'})$ 是 $x$ 的导数。
2. 线性微分方程组的解法对于线性微分方程组，其解法可以分为两种：一种是齐次线性微分方程组，即 $Ax=\textbf{0}$ 的解法，另一种是非齐次线性微分方程组，即 $Ax=b$ 的解法。
2.1 齐次线性微分方程组的解法对于齐次线性微分方程组 $Ax=\textbf{0}$，我们可以先求出其通解 $x=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$。
其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是该方程的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数。
求基础解系 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的方法可以分为两种：一种是代数法，使用高斯消元法将矩阵 $A$ 化为最简形，然后就可以求出基础解系；另一种是矩阵法，使用矩阵的特征根和特征向量来求解基础解系。
2.2 非齐次线性微分方程组的解法对于非齐次线性微分方程组 $Ax=b$，其解法可以分为两步：第一步是求出其通解 $x_h=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$，其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $Ax=\textbf{0}$ 的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数；第二步是求出特解 $x_p$，将特解和通解相加即可得到非齐次线性微分方程组的一般解。
《线性代数》章节11
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
于是解得
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
其中x3为任意取值.
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c3 c 3
,
其中c为任意常数.
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如
x2
x3 x4
c 3
c 3
c
1 10
3
03
其中c为任意常数.
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行 初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同解方程组， 达到消元与求解方程的目的，这种利用矩阵的初等 行变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法(或 矩阵消元法).
B3
0 0
0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6 3
r3 r4 r4 2r3
r3 r4 r4 2r3
1 1 0 1 0 0 0 0
2 1 1 1
01 00
4
工程数学线性代数第五版LinearAlgebra_09_wed
第三章 矩阵的初等变换与 线性方程组
本章先①讨论矩阵的初等变换, 本章先①讨论矩阵的初等变换,建立 矩阵的初等变换 矩阵的秩的概念, 矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 的概念 利用矩阵的秩反过来研究齐次线 法.再②利用矩阵的秩反过来研究齐次线 性方程组有非零解的充分必要条件和非齐 性方程组有非零解的充分必要条件和 次线性方程组有解的充分必要条件, 次线性方程组有解的充分必要条件,并③ 介绍用初等变换解线性方程组的方法. 介绍用初等变换解线性方程组的方法.内 初等变换解线性方程组的方法 容丰富,难度较大. 容丰富,难度较大.
x1 x3 = 4 x2 x3 = 3 x = 3 4
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = 3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x = = = c + x3 1 0 c 0 3 x 3 4
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x x x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 + x3 x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x 2 3 x 3 + 4 x 4 = 3,
( 可逆, 须首先说明A E)可逆,然后
根据消去律, B 根据消去律,才能得出 = A + E.
矩阵方程练习题
矩阵方程练习题在数学中，矩阵方程是一种以矩阵形式表示的数学方程。
矩阵方程可以通过矩阵的运算和方法来解决。
本文将介绍一些矩阵方程的练习题，帮助读者巩固和深入理解矩阵方程的应用。
1. 题目一：已知矩阵方程AA = A，求解向量A。
首先，我们需要确保矩阵A是非奇异的（即可逆的）。
只有在A是可逆矩阵时，矩阵方程才有解。
解法一：逆矩阵法若矩阵A是可逆的，则方程的解为：A = A⁻¹A，其中A⁻¹为矩阵A 的逆矩阵。
解法二：矩阵消元法若矩阵A是方阵（行数等于列数），我们可以使用矩阵消元法求解向量A。
- 将增广矩阵[A | A]进行行变换，使得左侧部分化为上三角形式。
- 经过行变换后，增广矩阵的右侧部分将变为矩阵A。
- 之后，对矩阵A进行回代操作，可以求得向量A。
2. 题目二：已知矩阵方程AA = A的系数矩阵A和向量A，求解向量A的特解和齐次解空间。
解法：- 首先，我们需要求解方程的特解。
- 若A是可逆矩阵，我们可以使用逆矩阵法得到特解：A = A⁻¹A。
- 若A非可逆，则特解需要通过高斯-约当消元法等方法求解。
- 其次，我们需要求解方程的齐次解空间。
- 齐次解空间指的是满足AA = AA的解的集合。
- 齐次解空间可以通过将A转化为阶梯形矩阵，并选择A₀为自由变量，得到通解的形式。
3. 题目三：已知矩阵方程的系数矩阵A和向量A，证明方程有无穷多解的条件。
解法：- 若矩阵A是非奇异的，即可逆的，那么方程只有唯一解，且不存在无穷多解的情况。
- 若矩阵A不是非奇异的，那么方程AA = A有无穷多解的必要条件是向量A位于A的列空间上。
4. 题目四：已知矩阵方程AA - AA = A，其中A和A为已知向量，求解向量A。
解法：首先，将矩阵方程按照公式展开：AA - AA = A。
然后，利用矩阵的运算规则将该方程改写为标准的矩阵方程：AA = AA + A。
接下来，我们可以使用之前介绍的方法来求解矩阵方程，得到向量A的解。
矩阵方程的解法
两类矩阵方程的行对称矩阵解及AX=B的最佳逼近摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T有AXA B行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。
约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。
约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题.求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。
对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。
都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。
自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。
本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。
再对矩阵方程T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。
设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0101n n⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,显然有1,Tn n n n J J J J -==成立。
矩阵方程的求解问题
矩阵方程的求解问题白秀琴（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南 平顶山 467001）摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种求解方法。
关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。
矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。
掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。
简单的矩阵方程有三种形式：.,,C AXB C XA C AX ===如果这里的A 、B 都是可逆矩阵，则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。
它们的解分别为：.,,1111----===BAX CAX C A X例如，求解方程C AC =先考察A 是否可逆，如果A 可逆时，方程两边同时左乘1-A ，得,11C A AX A --=即,1C A X -=这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。
同样，对于方程,C XA =只能右乘1-A ，得,11--=CAXAA即.1-=CAX 而对于方程,C A X B =只能是左乘1-A 而右乘1-B ，得,1111----=CB A ACBBA 即.11--=CBA X看下面解矩阵方程例题： 例1：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡315432343122321X 解：先求出1-A ，则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332123315432111253232313154321343122321X 例2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101343122321X解：先求出1-A ，则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-27525120111253232312121013431223212121011X 例3：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3154321325343122321X 解：先求出1-A ，则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-532113251则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--532131543211125323231132531543234312232111X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=131148735331332123例4：解矩阵方程,2X A E AX +=+其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=161020101A ，E 是三阶单位方阵。
11.matlab求解矩阵方程
11．如何求解矩阵方程？
在一个矩阵方程中，未知元素是一个矩阵。
线性代数中的矩阵方程总可以写成如下两种形式中的一种
AX = B 或 XA = B
这里， X 是未知矩阵，而 A 、 B 则是已知的矩阵。
这两种类型的矩阵方程的解分别为
X = A －1B 或 X = BA －1
在 MATLAB 环境中，可以分别用下面两条命令求解这两类方程
X = A \B 或 X = B /A
注意， A 左除 B （用反斜杠）相当于用 A 的逆矩阵左乘矩阵 B ；
A 右除
B （用斜杠）相当于用 A 的逆矩阵右乘矩阵 B 。
例如求矩阵方程
[11−10221−10]X =[1−11121
]
⎤可用如下命令
A = [1 1 -1； 0 2 2； 1 -1 0]；
B = [1 -1； 1 1； 2 1]；
X = A \B
计算机运行后，显示数据结果
X =
1.8333 0.5000
-0.1667 -0.5000
0.6667 1.0000
这就是矩阵方程的解。
显然，X 是一个 3× 2 阶的矩阵。
再例如，求矩阵方程
X [11−10221−10]=[1−11110
]
可用如下命令
A = [1 1 -1；0 2 2； 1 -1 0]；
B = [1 -1 1； 1 1 0]；
X = B/A
计算机运行后，显示数据结果
X =
-0.3333 0.3333 1.3333
0.6667 0.3333 0.3333
显然，这一矩阵方程的解是一个2× 3 的矩阵。
矩阵解方程
矩阵解方程
矩阵解方程是一种高效的数学解决方案，通过将问题的核
心有效分解来解决非常复杂的方程。
矩阵解方程可以用于多重
方程组的整体求解，它可以有效地转换复杂的数学问题，如多
项式方程，超越普通解法。
矩阵解方程具有良好的优势，它将
问题细化成精确的子问题，可以为它们提供准确而通用的求解
路径。
它可以解决参与变量数量较少的多项式方程，同时也用
于解决多层次、多变量多项式方程。
矩阵解方程的优势不仅仅体现在数学理论上，它的应用场
景也十分广泛。
在工程领域，它经常被用于设计无人机控制系统、危险品船舶监测系统、太阳能发电系统、土木工程设计等。
在机器学习方面，矩阵解方程可以用于感知机、支持向量机、
深度学习等领域。
此外，矩阵解方程在生物技术上也发挥着重
要作用，它被广泛用于三维重构、组学、实验研究、医学影像
和系统生物学等领域中，直接或间接帮助许多科学研究工作。
总之，矩阵解方程不仅仅是数学理论中的一种有效解决方案，它的应用潜力无限，可以有效帮助众多领域的研究，具有
广泛的科学价值与实用价值。
随着不断发展的数据技术，矩阵
解方程将因其清晰的数学模型而成为一种越来越重要的技术手段，为更多领域的研究工作提供更多更好的解决方案。
矩阵的乘法 、 逆矩阵
基础计算机数学（二） day12一、填空题（共15空，每空2分，共30分）1.矩阵的乘法：2.方阵的幂：3.矩阵的转置4.方阵的行列式：5.伴随矩阵：6.二阶伴随矩阵：7.非奇异矩阵：8.奇异矩阵：9.矩阵可逆的条件： 10.可逆矩阵的计算公式： 11.观察以下几对矩阵的关系（1）A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛521310132 B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3161-61-1-232134613-61- AB=BA=E （2）A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513122 B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----423736947 AB=BA=E （3）A=⎪⎭⎫⎝⎛5221 B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1225 AB=BA=E 请找出几对矩阵之间的关系的共同点 请总结出相应的概念定义： 是 自己举出一对矩阵的例子，符合前述概念和二、选择题（共5题，每题1分，共5分）1. 设A 是方阵，若AC AB =，则必有（ ） （A ）0≠A 时C B =； （B ）C B ≠时0=A ； （C ）C B =时0≠A ；（D ）0≠A 时C B =.2. 设A 、B 为同阶方阵，且O AB =，则必有（ ） （A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+； （C ）O A =或O B =； （D ）O B A =+。
3.设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m4.1342⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵是（ ） A. 23-41⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2341⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1-4-32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 2-3-41⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5. 122313110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的伴随矩阵的第一行第二列的元素是（ ）A.-3B.2C.-2D.3三、判断题（共5题，每题1分，共5分）1. 如果矩阵A 是下三角矩阵，则A 2=2A 。