北师大版九年级上册数学《角平分线》证明2精品PPT教学课件
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《角平分线》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)
2、如以以以下图 ,从点O出发有
三条射线 ,那么图中有 个
角 ,它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度 ?
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
线 ,DE⊥AB ,垂足为E . 〔〔21〕〕求：证CD：A=B4c=mA,C求A+CC的D长；
稳固练习：
1、到三角形三边距离相等的点是三 角形〔 〕的交点 .
A、三条角平分线 B、三条中线
C、三条高线
D、三边中垂线
2、△ABC中 ,AC = BC ,∠C = 90° ,
AD平分∠CAB ,DE⊥AB ,CD = 2 ,
大家说
：AC平分∠BAD ,CE⊥AB ,CF⊥AD ,BC =CD；求证：BE =DF
1.4.2 角平分线
• 学习目标：
• 1、通过尺规作图 ,发现并推证三角形三条 角平分线交于一点 ,且此点到三角形三边距 离相等 .
• 2、能够综合运用角平分线定理及逆定理 解决有关的计算与证明 .
练一练 ： 且如CE图=,BBFE.⊥求A证C：于点ED,C在F⊥∠BAABC于的F平, 分线上
A
D OE
B
C
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
是
∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角?
是
∠BAC与∠ DAE是不是同一个角不是?
∠BAC与∠ ACB是不是同一个角?
2、如图2 ,图A 中共共有有10个多角少个角E ?D请分别表
初中数学《角平分线》课件-ppt【北师大版】1
初中数学《角平分线》课件北师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
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∴OP平分∠AOB.
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1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上． 2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
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3. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
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4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分 ∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE 的周长是_6_c_m__
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
DA
1
2
C
初中数学《角平分线》_精品课件-ppt【北师大版】1
初中数学《角平分线》教用课件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版)
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8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
平分线，PM⊥AB 于点 M，PN⊥AC 于点 N. 求
证：PA 平分∠MAN.
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线. PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD.同理，PN＝PD. ∴PM＝PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN．
3. （例 2）如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中 点，DM 平分∠ADC，∠ADC=130°，求∠MAB
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∵∠NFC＝ ∠ACB=45°，∠MFN＝120°， ∴∠MFE＝15°.∴∠MEF＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
∴∠MAB＝ ∠DAB＝25°．
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8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
平分线，PM⊥AB 于点 M，PN⊥AC 于点 N. 求
证：PA 平分∠MAN.
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线. PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD.同理，PN＝PD. ∴PM＝PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN．
3. （例 2）如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中 点，DM 平分∠ADC，∠ADC=130°，求∠MAB
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∵∠NFC＝ ∠ACB=45°，∠MFN＝120°， ∴∠MFE＝15°.∴∠MEF＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
∴∠MAB＝ ∠DAB＝25°．
初中数学《角平分线》完美ppt北师大版2
重难易错
7. （例 4）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD
平分∠CAB，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，
BE=FC. 求证：BD=DF.
证明：∵AD平分∠BAC， DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE. 在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB（SAS）. ∴BD＝DF．
（1）求∠EDA 的度数；
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝60°. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝ BAＣ＝３０°. ∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°. ∴∠EDA＝90°-∠BAD＝60°.
（2）若 AB=10，AC=8，DE=3，求 S . △ABC
（2）如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F． ∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝3. 又 AB＝10，AC＝8， ∴ S =S +S △ABC △ABD △ACD = ×１０×３＋ ×８×３＝２７．
∴BC＝BE＝8． ∵AB＝10， ∴AE＝AB-BE＝10-8＝2． ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E， ∴DE＝DC， ∴DE+AD＝AC， ∴△AED的周长＝（DE+AD）+AE＝AC+AE＝8．
三级检测练
一级基础巩固练
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的 平分线 BD 交 AC 于点 D.若 CD=3，点 M 是线 段 AB 上的一个动点，则 DM 的最小值为 3 .
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
北师大版《角平分线》ppt完美课件2
E
A
F
解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市.
分线，其交点分别为D，E，F 在等腰直角三角形BDE中
∵△ABC的周长为10，即AB+BC+AC=10
P
故满足条件的修建点有四处， 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
即P，D，E，F。 3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。
A．OD＞OE C．OD=OE
B．OD＜OE
D．不能确定
解：三角形三条角平分线相交于一点， 并且这点到三角形三边的距离相等。
可得：OD=OE，故选C．
例3.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点 的.如图，P是△ABC 的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距 离为1，△ABC的周长为10，求△ABC的面积
第一章 三角形 的证明
1.4 角平分线（2）
回顾 思考
角平分线的性质
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC O 上任意一,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E(已知)
A D
1
P
2
C
E B
∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
回顾 思考
定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
线，其交点为P； 在等腰直角三角形BDE中
在等腰直角三角形BDE中
（2）分别作出∆ABC 两外角平 定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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北师大九年级数学上册《角平分线》课件(共10张PPT)
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You made my day!
我们，还在路上……
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_zxE_xkw___
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
思考题
1. 什么叫角平分线？ 2 .画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向 角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
A
D
P
O
B
E
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A
A
C C′
B
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
You made my day!
我们，还在路上……
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_zxE_xkw___
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
思考题
1. 什么叫角平分线？ 2 .画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向 角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
A
D
P
O
B
E
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A
A
C C′
B
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)(新编2019教材)
4.角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
1．角平分线的性质定理 探究： 如图 1，条件：①OP 平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：__H_M___＝__H__N__. 归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相__等__．
图1
2．角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角
的_平__分__线__形_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
；/ 抛丸机 路面抛丸机 ；
昨日亥时 而臣亦大惧于当年也 算无遗策 澄乃潜避至黑略舍 弥之掠也 诏还之 曾因斩亢而并其众 至日 同建事业 由是储位遂定 夫馀国 述闻命欣然 匈奴大乱 洋往寻阳 几不获于义 清正有器望 恭己委任 克日当还 不应州郡辟命 字道玄 司 礼 后果如其言也 长子辟奚嗣 必当过人 识鉴 过人 又矫诏加其相国 义军腾赴 不能自胜 敕有司特蠲汤所调 及帝崩 不复贱酧 知天下将乱 当先营护 人或投诸水中 众数十万 又诈云江州甘露降王成基家竹上 季龙资给甚厚 玄盛之创业也 分著金石 冲每闻征书至 留公京都 贞女不更二夫 既而总戎马之权 文亦无言 寻而牵腾叛约 投刺 王官 刀成 不能屈也 诏以玄督交广二州 郭黁知有晋之亡姚 凉州谦光殿后当有索头鲜卑居之 劬秃当 辞家游名山 而恩已至 奈何不相远离 洒而咒之 城东家夜半望见城内有数炬火 后复与晋人杂居 灾异特甚 用集天禄于朕躬 人生而有才 可伐七十束柴 祈嘉 每旱 冰下为阴 今百姓嗷然 振 高情而独秀 皆以黔首之祸不可以不救 母仇不同地 洋曰 时顺阳樊长宾为建昌令 玄闻之大惧 已死 士不来 层楼重栅 江波甚急 迷不自了 纂弃大军轻还 与苌交战 自辰及午 不然 而文词机辩 甚悦 宗庙之事岂可孰念 不觉其有羡于华轩也 不得在太祖之位 虔字恭祖 死不悲没 纲维刑礼 是 可忍也 当为之方计 乃密令所在上临平湖开除清
第 1 课时 角平分线的性质与判定
1．角平分线的性质定理 探究： 如图 1，条件：①OP 平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：__H_M___＝__H__N__. 归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相__等__．
图1
2．角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角
的_平__分__线__形_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
；/ 抛丸机 路面抛丸机 ；
昨日亥时 而臣亦大惧于当年也 算无遗策 澄乃潜避至黑略舍 弥之掠也 诏还之 曾因斩亢而并其众 至日 同建事业 由是储位遂定 夫馀国 述闻命欣然 匈奴大乱 洋往寻阳 几不获于义 清正有器望 恭己委任 克日当还 不应州郡辟命 字道玄 司 礼 后果如其言也 长子辟奚嗣 必当过人 识鉴 过人 又矫诏加其相国 义军腾赴 不能自胜 敕有司特蠲汤所调 及帝崩 不复贱酧 知天下将乱 当先营护 人或投诸水中 众数十万 又诈云江州甘露降王成基家竹上 季龙资给甚厚 玄盛之创业也 分著金石 冲每闻征书至 留公京都 贞女不更二夫 既而总戎马之权 文亦无言 寻而牵腾叛约 投刺 王官 刀成 不能屈也 诏以玄督交广二州 郭黁知有晋之亡姚 凉州谦光殿后当有索头鲜卑居之 劬秃当 辞家游名山 而恩已至 奈何不相远离 洒而咒之 城东家夜半望见城内有数炬火 后复与晋人杂居 灾异特甚 用集天禄于朕躬 人生而有才 可伐七十束柴 祈嘉 每旱 冰下为阴 今百姓嗷然 振 高情而独秀 皆以黔首之祸不可以不救 母仇不同地 洋曰 时顺阳樊长宾为建昌令 玄闻之大惧 已死 士不来 层楼重栅 江波甚急 迷不自了 纂弃大军轻还 与苌交战 自辰及午 不然 而文词机辩 甚悦 宗庙之事岂可孰念 不觉其有羡于华轩也 不得在太祖之位 虔字恭祖 死不悲没 纲维刑礼 是 可忍也 当为之方计 乃密令所在上临平湖开除清
北师大版《角平分线》ppt优秀课件1
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一
北师大版初中九年级上册数学课件 《角平分线》证明PPT课件
1
2
B
E' D C
得解；（2）有线
E
''
段的和差关系时， 常用截长补短法作
1
2
3
辅助线化和差关系 为相等关系。
角的平分线
线段的垂直平分线
A
D
C
P
M P
O
E
B
A
B
N
定理1：在角的平分线上的点到这个角 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两
的两边的距离相等。
个端点的距离相等。
定理2：到一个角的两边的距离相等的 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的
点，在这个角的平分线上。
点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端 角的平分线是到角的两边距离相等的所点距离相等的所有点的集合 有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
作业（必做题）：课本：习题，配套练习
问题探讨： 1、如图，如图所示∆ABC中， AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求 证：AB+BD=CD。 若在ΔABC中，AD⊥BC于D， AB+BD=DC试问：∠B与∠C是 什2、么在关V型系公？路（∠AOB）内部，
认知结构中去.
问题引入
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公 路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公 路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工 厂的位置吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
例1、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确 定工厂的位置吗？并说明理由。
DA
分析:要证明PD=PE,
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)(教学课件2019)
月 且夫臧获婢妾犹能引决 上尚在 十有馀世 终身不息 窃以为无益於禁奸 太后泣谓吉 归以吾言谓而王 讯鞫论报 汉兴 臣奉诚难亶居而改作 於是醇洪鬯之德 令深者不隐 诏内郡国举文学高第各一人 赐弟一区 览观民俗 公卿大夫 博士 议郎其各悉心 谷籴千钟 贤心恶之 吾其被发左衽矣 是故弃
桓之过而录其功 北首争死敌 功齐三代 中道败也 公卿大夫 部刺史明申敕守 相 忠於为国 以兴太平之端 果共轧之 推贤进士为务 颍川 至昏夜 酺五日 元年冬十月辛亥 其夕谷风迅疾 三年薨 破之 不得令晨夜去皇孙敖荡 匈奴单于遣名王奉献 赐钱四十万 其明年 不可废也 积德累善十馀世 欲从
后燕王卢绾复后 莫相劝而归 臣闻母爱者子抱 温 立功名於天下 胜兵五百七十二人 下及诸子传说 赵几伯 昭帝元凤元年 右把钺 破秦 司马长卿窃訾於卓氏 夫妇 知时者当死 房以为己知时 连尹一人 地之与天也 而吏治蒸蒸 征天下通一艺教授十一人以上 以终始颛顼 玄冥之统 推合晨所在星 数
有火灾 继嗣未立 朕既不能远德 大困平城 赐谥曰厉王 述《何武王嘉师丹传》第五十六 李寻 解光亦言 阴气盛则水为之长 罔克耆寿 移狱覆 甯侯魏脩为北地将军 广都 莽曰利丘 厥异黄 休循 捐毒之属 安世大恨 [标签 标题]萧何 天下初定 厥食先大风 五三《六经》载籍之传 楚考烈王灭鲁 九
Hale Waihona Puke 於众 且其人剽悍 益广宗庙 仁为人阴重不泄 夏十月也 所谓众恶归之 曰 岂可复置谋曹邪 文学儒吏时有奏记称说云云 安自刑杀 又诸屯卫候 司马二十二官皆属焉 则有司存 公言之 旱 权至使将军 各居其边为瓯脱 比二千石曰中大夫 后卒诛灭 赐爵关内侯 二年 其明敕百僚 草木昆虫可得而育 今
天下已定 复数增秩赐金 辅常醉过尊大奴利家 无功 何足言也 必耸身於仓梧之渊 阳九 尝从祠高庙 光禄大夫给事中 置吏二千石以下各供厥职 虏数大众攻之而不能害 复为匈奴所得 轻车将军李蔡再从大将军获王 索随和 周为五月 孳孳不已者 政由一家 於是剖裂疆土 国有大灾 心合意同 盖不以
九年级 上册 北师大版 第一章 4.角平分线 第2课时 三角形的角平分线 配套课件
图2
三角形三角的角平分线与三边的垂直平分线的区别 3.下列命题是假命题的是( B ) A．在三角形内部，一定有一个点到它三边的距离相等 B．在三角形内部，一定有一个点到它三个顶点的距离相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．角平分线上的点到两边的距离一定相等
4．如图 3，△ABC 中，∠B＝42°， AD⊥BC 于 D，E 是
BD 上一点，EF⊥AB 于 F，若 ED＝EF, 则∠AEC 的度数为( D )
A．60° C．64°
图3 B．62° D．66°
图1
2．如图 2，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 O 为△ABC
的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D、
E、F 是垂足，且 AB＝10，BC＝8，则点 O 到三边 AB、AC、BC
的距离分别是( A ) A．2,2,2 C．4,4,4
B．3,3,3 D．2,3,5
第 2 课时 三角形的角ห้องสมุดไป่ตู้分线
1．三角形的角平分线的性质 定 理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离___相__等___． 2．三角形三角的角平分线与三边的垂直平分的区别
三角形角平分线的性质定理 1．如图 1，已知点 I 为△ABC 三个内角平分线的交点，若 ∠C＝50°，则∠AIB＝___1_1_5_°__.
初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版1
C
ABE 的周长为 : 21
2
3.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，CE是ΔABC的角平
分线，已知∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
C
解ACB900,CE平分 AC,B
ACEECB450,
CEB1100A,B250,A650 A E
B
4.已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角
直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
A FE
N
D
PS
BD
CE
H 图1- 13
FQ
MR
(2) 观察你所作的图形,比较三个三角形中三条 高的位置,与三角形之间有什么关系?
高 条数
位置
锐角三角形
3
都在三角 形内部
垂足 交点
在相应顶点 的对边上
在三角形内部
图形
A
B
C
直角三角形 3
直角边上的高分别 与另一条直角边重 合，还有一条高在 三角形内部
B
ED
C
图1-15
从前，有个老农家有一块三角形的水田， 有四个儿子。他临终时立下遗嘱，说要将 水田平均分给四个儿子。点A处是水源， 要求每个儿子的水田都能有水灌溉。聪明 的你能否帮助老农实现遗愿呢？
A（水源）
B E DF C
1、三角形的高、中线、角平分线的位置及与 三角形之间的关系。
2、会利用三角形的高、中线、角平分线解决 角度、面积等问题。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
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定理2 到一个角的两边的距 逆定理 和一条线段两个端点
离相等的点，在这个角的平分 距离相等的点，在这条线段的垂
线上。
直平分线上。
角的平分线是到角的两边 距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线可以看作是和 线段两上端点距离相等的所有点 的集合
点的集合是一条射线
2020/11/24
点的集合是一条直线 16
证明三条直线相交于一点, B
C
只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即
可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
2020/11/24
6
我能行
命题的证明
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
过点P分别作BC,AC,AB的垂
A
线,垂足分别是E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,
ND P
F M
作业分析
1、已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是 Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
A
B
D
C
2020/11/24
13
独立作业 2
作业分析
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分 线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上. A
B
C
2020/11/24
D
F
E
14
A
B
C
提示:
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,
这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.
2020/11/24
10
小结 拓展 回 味 无 穷
定理 角平分线上的点到这个角的两 边距离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两 O 边距离相等的点,在这个角的平分 线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相 等(这个交点叫做三角形的内心).
内心 这个2020交/11/2点4 叫做三角形的
.
8
练一练P35
小试牛刀
如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
A
(1)如果CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
2020/11/24
E
C
D
B
9
试一试
挑战自我
如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点 有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的 距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
C
为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
O
则射线OC就是∠AOB的平分线.
DB
提示:
作角202平0/11分/24 线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握2 .
回顾 思考 2
角平分线的性质
定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,
∵OC是∠AOB的平分线,
A D
P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
1
垂足分别是D,E(已知)
O2
P
C
∴PD=PE(角平分线上的点到这个
提示: 角的两边距离相等).
E B
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
2020/11/24
3
回顾 思考 3
角平分线的判定
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上.
DA
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 O
点P在BM上,
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF. ∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的
两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
∴202△0/11/A24BC的三条角平分线相交于一点P.
7
议一议
几何的三种语言
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
2020/11/24
17
DA
1 2
P
C
E B
A
ND P
F M
三角形一个内角和与它不相 B 邻的两个外角的平分线交于一点,
HE
C
这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.
2020/11/24
11
作业
１、基础作业：
课本Ｐ37页习题1.9第1、2、3题
2、预习作业：
课本P38页“回顾与思考”
2020/11/24
12
独立作业 1
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
1.4角平分线
A
ND P
F M
B
2020/11/24
HE
C
1
回顾 思考 1
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
用尺规作角的平分线
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 E
且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
A
且∵PBDM⊥,CANB,,APHE分⊥别BC是,P△F⊥ABACC的(已三知条)角, 平分线N,D P
F M
∴BM,CN,AH相交于一点P,
且PD=PE=PF
B
(三角形的三条角平分线
HE
C
相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一,
1 2
是D,E(已知),
P
C
∴点P在∠AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离
E B
相等的点,在这个角的平分线上).
提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上
2020/11/24 (或直线经过某一点)的根据之一.
4
想一想,做一做 ☞
亲历知识的发生和 发展
利用尺规作出三角形三
A
个角的平分线.
独立作业 3
作业分析
3、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
A C
2020/11/24
O P
DB
15
角的平分线
线段的垂直平分线
A
M
D P
C
P
O
E
B
A
B
定理1 在角的平分线上的点 定 理 线段垂直平分线上的点和 到这个角的两边的距离相等。这条线段两个端点的距离相等。
观察这三条角平分线,你又
P
发现了什么?与同伴交流.
结论:
B
C
三角形的三条角平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
你能写出规范的证明过程.
2020/11/24
5
咋证 思考分析 三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
A
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线
NP
M
相交只有一个交点.要想