北师大版九年级上册数学《角平分线》证明2精品PPT教学课件

观察这三条角平分线,你又
P
发现了什么?与同伴交流.
结论:
B
C
三角形的三条角平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
你能写出规范的证明过程.
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咋证 思考分析 三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
A
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线
NP
M
相交只有一个交点.要想
A
B
C
提示:
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,
这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.
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小结 拓展 回 味 无 穷
定理 角平分线上的点到这个角的两 边距离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两 O 边距离相等的点,在这个角的平分 线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相 等(这个交点叫做三角形的内心).
DA
1 2
P
C
E B
A
ND P
F M
三角形一个内角和与它不相 B 邻的两个外角的平分线交于一点,
HE
C
这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.
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作业
１、基础作业：
课本Ｐ37页习题1.9第1、2、3题
2、预习作业：
课本P38页“回顾与思考”
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独立作业 1
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
1.4角平分线
A
ND P
F M
B
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HE
C
1
回顾 思考 1
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
用尺规作角的平分线
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 E
内心 这个2020交/11/2点4 叫做三角形的
.
8
练一练P35
小试牛刀
如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
A
(1)如果CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
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E
C
D
B
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Biblioteka Baidu
试一试
挑战自我
如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点 有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的 距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
1 2
是D,E(已知),
P
C
∴点P在∠AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离
E B
相等的点,在这个角的平分线上).
提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上
2020/11/24 (或直线经过某一点)的根据之一.
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想一想,做一做 ☞
亲历知识的发生和 发展
利用尺规作出三角形三
A
个角的平分线.
定理2 到一个角的两边的距 逆定理 和一条线段两个端点
离相等的点，在这个角的平分 距离相等的点，在这条线段的垂
线上。
直平分线上。
角的平分线是到角的两边 距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线可以看作是和 线段两上端点距离相等的所有点 的集合
点的集合是一条射线
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点的集合是一条直线 16
且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
A
且∵PBDM⊥,CANB,,APHE分⊥别BC是,P△F⊥ABACC的(已三知条)角, 平分线N,D P
F M
∴BM,CN,AH相交于一点P,
且PD=PE=PF
B
(三角形的三条角平分线
HE
C
相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一,
C
为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
O
则射线OC就是∠AOB的平分线.
DB
提示:
作角202平0/11分/24 线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握2 .
回顾 思考 2
角平分线的性质
定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,
∵OC是∠AOB的平分线,
A D
P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
点P在BM上,
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF. ∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的
两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
∴202△0/11/A24BC的三条角平分线相交于一点P.
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议一议
几何的三种语言
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并
1
垂足分别是D,E(已知)
O2
P
C
∴PD=PE(角平分线上的点到这个
提示: 角的两边距离相等).
E B
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
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3
回顾 思考 3
角平分线的判定
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上.
DA
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 O
作业分析
1、已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是 Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
A
B
D
C
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独立作业 2
作业分析
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分 线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上. A
B
C
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D
F
E
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独立作业 3
作业分析
3、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
A C
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O P
DB
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角的平分线
线段的垂直平分线
A
M
D P
C
P
O
E
B
A
B
N
定理1 在角的平分线上的点 定 理 线段垂直平分线上的点和 到这个角的两边的距离相等。这条线段两个端点的距离相等。
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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证明三条直线相交于一点, B
C
只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即
可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
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我能行
命题的证明
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
过点P分别作BC,AC,AB的垂
A
线,垂足分别是E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,
ND P
F M