最新等比数列及其前n项和(一轮复习)

怎么考
1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计 算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．
2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.
[归纳·知识整合] 1．等比数列的相关概念
相关名词
等比数列{an}的有关概念及公式
定义
aan＋n 1＝q(q 是常数且 q≠0，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 是常数
[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，
a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
()
A．7
B．5
C．－5
D．－7
(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a
2 5
＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝____.
B．10
C．8
D．2＋log35
解析：∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)
＝log3(a5a6)5＝5log3a5a6＝5log39＝10.
答案：B
3．(教材习题改编)在等比数列{an}中，若 a5－a1＝15，a4－a2 ＝6，则 a3＝________. 解析：∵aa54－－aa12＝＝165，， ∴aa11qq43－－1q＝＝165. ， ∴q2－1≠0，qq43－－1q＝52. ∴2q2－5q＋2＝0，解得 q＝12或 q＝2. 当 q＝2 时，a1＝1，∴a3＝a1q2＝4.
且 q≠0，n∈N*且 n≥2) 通项公式 an＝ a1qn－1 ＝am·qn－m
前n 公式
项和
_n_a_1_ Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq
q＝1 q≠1
等比中项
设 a，b 为任意两个同号的实数，则 a，b 的等比中项
G＝± ab
[探究] 1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件 ，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立， 但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有 b2＝ac. 2．如何理解等比数列{an}与指数函数的关系？ 提示：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 可改写为 an ＝aq1·qn.当 q>0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指数函数，而 y＝aq1·qx 是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的 图象是函数 y＝aq1·qx 的图象上的一群孤立的点．
2．等比数列的性质
(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q则 am·an ＝
ap·aq .
特别地，若m＋n＝2p，则
am·an＝a
2 p
.
(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等 比数列，即(S2m－Sm)2＝ Sm(S3m－S2m) (m∈N*，公比q≠－1)．
(3)由 S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2 作差可得 a3＋a4＝3a4 －3a2，即 2a4－a3－3a2＝0，所以 2q2－q－3＝0，解得
q＝32或 q＝－1(舍去)．
[答案] (1)D (2)2n (3)32
—————
———————————— 等比数列运算的通法
与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的
(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等
比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数 列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
[自测·牛刀小试]
1．在等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}
是
()
思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式 an＝a1·qn
na1，q＝1， －1(a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn，q≠1
中共有五
个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组
求另外两个变量，在求公比 q 时，要注意应用 q≠0 验证求得
的结果. ——————————————————————————
当 q＝12时，a1＝－16，∴a3＝a1q2＝－4. 答案：4或－4
4．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3 ＋a5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a＋2a3a5＋a＝25， 即(a3＋a5)2＝25，又an>0， 故a3＋a5＝5. 答案：5
a1＝－8， 所以q3＝－12，
或aq13＝ ＝－1，2，
所以aa11＝0＝－1，8， 或aa11＝ 0＝1－，8， 所以 a1＋a10＝－7.
(2)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1， ∴2an＋2an·q2＝5an·q，即 2q2－5q＋2＝0， 解得 q＝2 或 q＝12(舍去)． 又∵a25＝a10＝a5·q5， ∴a5＝q5＝25＝32. ∴32＝a1·q4，解得 a1＝2. ∴an＝2×2n－1＝2n，故 an＝2n.
5．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这 三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为 q，则 4＝q4.即 q＝± 2. 当 q＝ 2时，插入的三个数是 2，2,2 2. 当 q＝－ 2时，插入的三个数是－ 2，2，－2 2.
答案： 2，2,2 2或－ 2，2，－2 2
等比数列的基本运算
(3)(2012·浙江高考)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的
前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为 q， 由aa45＋ ·a6a＝7＝a42·a，7＝－8， 得aa47＝ ＝－4，2， 或aa47＝＝－4，2，
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．无法确定数列的增减性
解析：当a1>0,0<q<1，数列{an}为递减数列，当q<0， 数列{an}为摆数列{an}的各项均为正数，且a5a6
＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12