不定积分ppt课件
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高等数学-第七版-课件-8-1 不定积分概念与基本积分公式
高等教育出版社
dx 1 x
2
2
ln( x 1 x ) C ,
2
1 2 1 x dx x 1 x arcsin x C . 2
数学分析 第八章 不定积分
不定积分的几何意义
像是 f (x) 的一条积分曲线. y 所有的积分曲线都是
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
f ( x ) f ( x ) 0.
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知
F ( x ) G( x ) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
定义2
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上
5. e dx e C . x a x 6. a dx C. ln a
x x
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
8. sin xdx cos x C .
9. sec xdx tan x C .
定理8.1（原函数存在性定理）
若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函
数 F, 即
F ( x ) f ( x ).
在第九章中将证明此定理.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
不定积分分部积分法PPT课件
t
x
C
4积分时要注意换元法和分部积分法的综合使用。
5利用分部积分求单个函数的不定积分 例8 求积分
1 解： ln xdx x ln x xdx x ln x x C . x
例9 求积分
x arctan x
ln xdx
xdx arctan x
1 x
2
dx
1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C . 2
二、第四章复习
主要内容：直接积分法，换元法，分部积分法。 1、直接积分法中的基本函数积分表， 基本性质和基本的恒等变形。 2、第一换元法的四个步骤，关键在于第一步凑 微分。 3、第二换元法中的三个基本方法 4、分部积分法 5、几种方法的综合应用
例2 求积分 解
x xe dx
xe
x
dx .
xde x
xe x e x dx
xe e C .
x x
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 x arctan xdx arctan xd 2
x2 x2 arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
课堂练习题
求下列不定积分
dx 1. 5x 7
2.
3. x 1 x 2 dx
1 5. dx 2 x ln x
x
C
4积分时要注意换元法和分部积分法的综合使用。
5利用分部积分求单个函数的不定积分 例8 求积分
1 解： ln xdx x ln x xdx x ln x x C . x
例9 求积分
x arctan x
ln xdx
xdx arctan x
1 x
2
dx
1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C . 2
二、第四章复习
主要内容：直接积分法，换元法，分部积分法。 1、直接积分法中的基本函数积分表， 基本性质和基本的恒等变形。 2、第一换元法的四个步骤，关键在于第一步凑 微分。 3、第二换元法中的三个基本方法 4、分部积分法 5、几种方法的综合应用
例2 求积分 解
x xe dx
xe
x
dx .
xde x
xe x e x dx
xe e C .
x x
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 x arctan xdx arctan xd 2
x2 x2 arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
课堂练习题
求下列不定积分
dx 1. 5x 7
2.
3. x 1 x 2 dx
1 5. dx 2 x ln x
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
不定积分公式大全优秀课件
2 x x 2 d e x e x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例7 求tanxdx
解:tanxdxcsionxxsdx 设u＝cosx，则du＝-sinxdx
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxd x
1x3x2xC 3
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽ a2 1x2dxarca txaC n
⑾
1 dxarcsxinC
a2x2
a
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2d x 1x 4 x1 211x2d x (x21)d x 11x2dx
1x3xarcxt aC n 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3 xe xd x(3 e )xd x(3 e )x C 3 xe x C
解:tanxdxcsionxxsdx 设u＝cosx，则du＝-sinxdx
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxd x
1x3x2xC 3
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽ a2 1x2dxarca txaC n
⑾
1 dxarcsxinC
a2x2
a
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2d x 1x 4 x1 211x2d x (x21)d x 11x2dx
1x3xarcxt aC n 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3 xe xd x(3 e )xd x(3 e )x C 3 xe x C
不定积分ppt课件
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人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
目录
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结束
一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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返回
结束
例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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结束
一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
目录
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返回
结束
例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
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1
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea
x
dx
1பைடு நூலகம்a
d
(ea
x)。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (co6s ax) a
精品ppt
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan xd x d (secx)
1 1 x2
dx
d (arctan
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
F(x) f (x)
f (x)dx F (x) C 。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
1 x2
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax C ax
dx ln x x2 a2 C 。 x2 a2
三、 常见凑微分
5
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
精品ppt
x
dx
1 2
d(
x2
)
1 2a
d(ax2
b)
x d x 1 d ( x1)
dx
ax ln a
C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec
2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式.
解: x 0 时，f ( x ) g(x)1 f ( x ) g ( x) x C 1 C 1 0
f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1 f ( x ) g(x)3x2 1
f ( x ) g(x) x3xC2 C 2 2 x 0 时， f (x) 2x1
精品ppt
若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa
(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
… B1x C1 B2x C2 Bk x Ck
x2 p x q (x2 p x q)2
(x2 p x q)k
tanx
sinx
12sin2x1sisni2nx2x
1 sin2
x
2sin2
x
f (x) 1 2x x
f ( x ) (1x 2x)dx ln|x|x2C
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
13
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
精品ppt
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
。
精品ppt
六. 分部积分公式 10 u dv u v v du uv uvd x 注：下列题型用分部积分法 xn ea xd x； x n sin a x d x.； x n cos a x d x. x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
11
精品ppt
（典型例题）
一、由 例1
f ( x) 求 f ( x )
12
f(sin2x)cos2x( 1)2 ，求 f ( x )
tanx
精品ppt
解： f(sin2x)cos2x( 1)2 12sin2x(cosx)2
g(x) x 1 g(x) x3x1
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
14
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f ( x ) g(x)1 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式。
x2 a2 令 x asect
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) Q(x)
a0xn a1xn1 an b0xm b1xm1 bm
9
(n m)
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 m in{x2,x6}dx
解:
y x2
x 6, x 2
2
m in{x2,x6} x 2 , 2 x 3
x
6
,
x3
1 2
x2
6x
C1
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
1 2
x2
6x
C3
x3
精品ppt
y16 x6 3
1 2
x2
6x
C1
精品ppt
答案：
f(x ) 2 x 1 ,(x 0 ) x1, x0
g(x)x3x1, x0
二、分段函数求不定积分：
15
例3
m in{x2,x6}dx
精品ppt
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
17
精品ppt
1 2
x2
6x
C3
x3
在 x2 连续，
212C1
8 3
C
2
C1
22 3
C2
在 x 3 连续，
9C2
9 2 18 C3
C3
27 2
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C。
sec xdx ln sec x tan x C
4
精品ppt
csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2
arctan
x
C
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
dx arcsin x C
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
7
n axb t
n
axb cxd
t
。
精品ppt
精品ppt
2. 被积函数含 8 a2 x2 令 x asin t a2 x2 令 x a tant
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea
x
dx
1பைடு நூலகம்a
d
(ea
x)。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (co6s ax) a
精品ppt
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan xd x d (secx)
1 1 x2
dx
d (arctan
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
F(x) f (x)
f (x)dx F (x) C 。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
1 x2
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax C ax
dx ln x x2 a2 C 。 x2 a2
三、 常见凑微分
5
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
精品ppt
x
dx
1 2
d(
x2
)
1 2a
d(ax2
b)
x d x 1 d ( x1)
dx
ax ln a
C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec
2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式.
解: x 0 时，f ( x ) g(x)1 f ( x ) g ( x) x C 1 C 1 0
f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1 f ( x ) g(x)3x2 1
f ( x ) g(x) x3xC2 C 2 2 x 0 时， f (x) 2x1
精品ppt
若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa
(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
… B1x C1 B2x C2 Bk x Ck
x2 p x q (x2 p x q)2
(x2 p x q)k
tanx
sinx
12sin2x1sisni2nx2x
1 sin2
x
2sin2
x
f (x) 1 2x x
f ( x ) (1x 2x)dx ln|x|x2C
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
13
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
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x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
。
精品ppt
六. 分部积分公式 10 u dv u v v du uv uvd x 注：下列题型用分部积分法 xn ea xd x； x n sin a x d x.； x n cos a x d x. x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
11
精品ppt
（典型例题）
一、由 例1
f ( x) 求 f ( x )
12
f(sin2x)cos2x( 1)2 ，求 f ( x )
tanx
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解： f(sin2x)cos2x( 1)2 12sin2x(cosx)2
g(x) x 1 g(x) x3x1
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
14
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f ( x ) g(x)1 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式。
x2 a2 令 x asect
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) Q(x)
a0xn a1xn1 an b0xm b1xm1 bm
9
(n m)
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 m in{x2,x6}dx
解:
y x2
x 6, x 2
2
m in{x2,x6} x 2 , 2 x 3
x
6
,
x3
1 2
x2
6x
C1
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
1 2
x2
6x
C3
x3
精品ppt
y16 x6 3
1 2
x2
6x
C1
精品ppt
答案：
f(x ) 2 x 1 ,(x 0 ) x1, x0
g(x)x3x1, x0
二、分段函数求不定积分：
15
例3
m in{x2,x6}dx
精品ppt
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
17
精品ppt
1 2
x2
6x
C3
x3
在 x2 连续，
212C1
8 3
C
2
C1
22 3
C2
在 x 3 连续，
9C2
9 2 18 C3
C3
27 2
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C。
sec xdx ln sec x tan x C
4
精品ppt
csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2
arctan
x
C
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
dx arcsin x C
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
7
n axb t
n
axb cxd
t
。
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2. 被积函数含 8 a2 x2 令 x asin t a2 x2 令 x a tant