2019年高中数学 黄金100题系列 第61题 三视图与直观图问题 理

2019年高中数学 黄金100题系列 第61题 三视图与直观图问题 理

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图

计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位：

cm ，π取3.14，结果精确到2

1cm ，可用计算器）

【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm 的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm 、4cm 的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm 、8cm 的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm 、4cm 的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10cm 、8cm 的矩形，下底面是边长分别20cm 、16cm 的矩形，直棱台的高为2cm ，所以它的表面各和体积分别为11933

cm 、10673

cm ．

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视 图 想象出空间几何体的形状并画出其直观 图,具体方法为；

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标1理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】B

【解析】分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1

2(24)2122

⨯+⨯⨯

=，故选

B.

【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.

【例3】【2017课标II 理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的

三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A ． 90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

【答案】B

个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积

2

13436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，

高为4的圆柱的一半，其体积()221

36272

V ππ=

⨯⨯⨯=该组合体的体积为：12362763V V V πππ=+=+=。 故选B 。

【例4】【2016年全国1卷理】如图，三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

283

π

，则它的表面积是（ ）

A ．17π

B ．18π

C ．20π

D ．28π 【答案】A

【解析】由三视图知：该几何体是

7

8

R ，则37428V R 833

π

π=⨯=

，解得R 2=223

422174

πππ⨯+⨯⨯=，故选A ．

高考新课标2理数】下图是由圆柱 ）

（B ）24π

（C ）（D ）32π

2416π⋅=，圆锥的侧面积为

248ππ⋅⋅=，圆柱的底面面积为

24π=，故该几何体的表面积为

2328S π+=，故选C.

2015高考新课标2理6】一个正方体被．

1 C ．61 D ．5

1

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133

111326

A A

B D V a a -=

⨯=，故剩余几何体体积为33315

66a a a -=，

所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1

，故选D ．

1

【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题．

【例7】【2017浙江3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3

）是

A ．12

+π

B ．32

+π

C ．

12

3+π

D ．

32

3+π

【答案】A

【解析】：12

)122121(3312+=⨯⨯

+⨯⨯⨯=π

πV ，选A

．

【例8】【2017北京理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）2

【答案】B

【解析】几何体是四棱锥，如图

红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l =，故

选B.

【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视

图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，

便于分析问题.

【例9】【2017山东，理13】由一个长方体和两个1

4

圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为

.

【答案】22

π

+

【解析】试题分析：该几何体的体积为

21V 112211242

π

π=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．

【名师点睛】1.

想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中线、面之间的位置关系及相关数据．3.式计算.

【例10】【 2014湖南7】已知棱长为1是一个面积为1可能．．

等于

A ．1

B

C ．2

D ．2

【答案】 C

【解析】由题知，正方体的棱长为1当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时， ；因此满足棱长为1俯视图是一个面积为1[1.

人教版A 版必修二第29页习题1.3B 本题根据球、柱、台组合的组合体

（1）根据三视图确定出几何

本类题通常主要考查识图能力与空 这类试题在考查题型上，通常基本. 根据三视图求几何体的体积与表面