高中数学讲义圆锥曲线的性质

① 焦 点 在 x 轴 ： 设 双 曲 线 上 一 点 P x, y ， F1 c,0 , F2 c,0 ， 设 距 离 差 的 绝 对 值
PF1
PF2
2a ，则双曲线标准方程为：
x2 a2
y2 b2
1，其中 a 0,b 0,b2
c2 a2
② 焦 点 在 y 轴 ： 设 双 曲 线 上 一 点 P x, y ， F1 0, c , F2 0,c ， 设 距 离 差 的 绝 对 值
）
A. 5
B. 4 2
C. 3
D. 5
思路：先从常系数方程入手，抛物线
y2 12 x 的焦点为 3,0 ，即双曲线中的 c 3 ，所以
b2 c2 a 2 5 ，从而双曲线方程为：
x2
y2 1 ，其渐近线方程： y
45
5 x ，由对称
2
性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择
l : 5x 2 y 0 ，右焦点 F2 3,0 ，所以
11 e12 e22
m2 a2 c2 c2
m2 a2 c2
，本题与焦半 径相关，所以考虑
AF1 AF2 2m, AF1 AF2 2a 。结合 AF1 的中点与 F1F2 的中点可得双曲线的渐近线与
AF2 平行，从而 AF1
2
AF2 ，所以有 AF1
2
AF2
2
F1F2
4c2 ，联系上面条件可得：
4c2
b ：与虚轴的顶点有关： B1 0, b , B2 0,b ， B1B2 2b 称为虚轴长
c ：与焦点有关： F1 c,0 , F2 c,0 ， F1F2 2c 称为焦距 （ 2）对称性：双曲线关于 x 轴， y 轴对称，且关于原点中心对称
（ 3）双曲线上点坐标的范围：设 P x0, y0 ，则有 x0 a 或 x0 a ， y0 R
则p （
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以
p作
为 核 心 变 量 ， 抛 物 线 x2
2 py 的 焦 点 为
p 0,
， 所以 可得 b
p
，因为
2
2
2a 4 2
x2 4 y2
a 2 2 ，所 以双 曲线方 程为 8
p2 1 ， 可 求 得 渐 近 线 方 程 为
2 x ，进而与椭圆方程联立，
解：通过 C 2 可得 F1 5,0 , F2 5,0 ， c 5
b2 x2 a2 y2 a2 b2 不妨设 AB : y 2 x ，则
y 2x
x2
a 2b2 4a2 b2 ，所以 x
ab 4a 2 b2
利用弦长公式可得 d 1 22 x1 x2
2 5ab 2 a
4a 2 b2 3
PF1
PF2
2a ，则双曲线标准方程为：
y2 a2
x2 b2
1，其中 a 0,b 0,b2
c2
a2
焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数
2、双曲线的性质：以焦点在
x2 x 轴的双曲线为例： a2
y2 b2 1 a 0, b 0
（ 1） a ：与实轴的顶点有关： A1 a,0 , A2 a,0 ， A1A2 2a 称为实轴长
0,b2
a2
c2
焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大
2、椭圆的性质：以焦点在
x 轴的椭圆为例：
x2 a2
y2 b2 1 a b 0
（ 1） a ：与长轴的顶点有关： A1 a,0 , A2 a,0 ， A1A2 2a 称为长轴长
b ：与短轴的顶点有关： B1 0, b , B2 0,b ， B1B2 2b 称为短轴长
dF2 l
35
5
2
2
5
2
答案： A 小炼有话说： （ 1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联 接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标， 进而解出其他圆锥曲线的要素 答案： A
x2 y2 例 2 ： 已知双曲线 a 2 b 2 1 a 0,b 0 的实轴长为 4 2 ，虚轴的一个端点与抛物线 x2 2 py p 0 的焦点重合，直线 y kx 1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，
a,b,c 的关
系。
（ 6）通径：
① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段
外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段
②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦
PQ x 轴， PQ 2b2 a
（ 7）焦半径公式：设双曲线上一点 P x0, y0 ，左右焦点分别为 F1, F2 ，则
① PF1 a ex0 , PF2 a ex0 （可记为“左加右减” ）
y
p x ，不妨设 y kx 1 与 y
p x平行， 则有 k
p
。从相切可想到与抛物线
42
42
42
联立消元后的方程
0：
y px 1 42
x2 2 py
x2 p2 x 2 p 0 ， 所 以 22
2
p
8p 0 解得 p 4
22
答案： A
例 3：如图，F1, F2是椭圆
x2 C1 : m2
y2
x2
n 2 1 m n 0 与双曲线 C2 : a 2
② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为
ca
（ 8）焦点三角形面积： 设双曲线上一点 P x0, y0 S ，则 VPF1F2
（三）抛物线：
b2 cot （其中 2
PF1F2 ）
1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹 为抛物线
2、抛物线的标准方程及焦点位置：
x2 a2
y2 b2 1 a 0,b 0 中，求渐近线即解：
x2 a2
y2 b2
0 ，变
形为 y
b x ，所以 y a
b x 即为双曲线的渐近线 a
② 渐近线的几何特点： 直线 x a, x a, y b, y b 所围成的矩形， 其对角线即为双曲线
的渐近线
③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现
1
2百度文库2
2 1 cosPF1F2 sin F1PF2
b 2 sin F1PF2
b 2 tan F1PF2
1 cos F1PF2
2
S 因为 VPF1F2
1 2 2c y0
c
y0
，所以
b2
tan F1PF2 2
c y0 ，由此得到的推论：
① F1PF2 的大小与 y0 之间可相互求出
② F1PF2 的最大值： F1PF2 最大
2
AF1
21
AF2
2
AF1
1 1 m2 a2
e12 e22
c2
2
2
AF2
AF1
2
AF2
2m2 2a 2
，
所
以
答案： A
x2 例 4：已知椭圆 C1 : a2
y2 b2
1a
b
0 与双曲线 C2 : x2
y2 1 有公共的焦点， C2 的一
4
条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点， 若 C1恰好将线段 AB 三等分， 则（ ）
微专题 67 圆锥曲线的性质
一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：
（ 1）平面上到两个定点 F1, F2 的距离和为定值（定值大于 F1F2 ）的点的轨迹称为椭圆，其中
F1, F2 称为椭圆的焦点， F1F2 称为椭圆的焦距
（ 2）标准方程：
① 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点 P x, y ， F1 c,0 , F2 c,0 ， 设 距 离 和
又因为 a 2 b 2 c 2 5
答案： C
2 5ab 4a2 b2 a2 b2 5
2a
a2
3 解得：
b2
11 2 ，故选 C 1 2
例 5：（2014 ，山东， 10）已知 a
b
0 ，椭圆 C1 的方程为
x2 a2
y2 b2
1 ，双曲线 C 2 的方程是
x2 a2
y2 b2
1 ， C1 与 C2 的离心率之积为
2b2 PQ
a
说 明 ： 假 设 PQ 过 F1 c,0 ， 且 与 长 轴 垂 直 ， 则 P c, y0 , Q c, y0 ， 所 以
c2 a2
y02 b2
1
y02
b4 a2 ，可得 y0
b2 。则 PQ
a
2b2 a
c （ 5）离心率： e ，因为 c a ，所以 e 0,1
a （ 6）焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径
A. a2 13 2
B. a 2 13
C. b2 1 2
D. b 2 2
思路：因为 C1,C 2 有公共焦点，所以通过 C 2 可得 F1 5,0 , F2 5,0 ，从而 c 5 ，圆的
直径为 2a ，所以 AB 截椭圆的弦长为
2a
。由双曲线得
AB : y
3
再利用弦长公式即可得到关于 a （或 b ）的方程，解方程即可
y2 b2
1a
0,b
0
的公共焦点， 将 C1,C2 的离心率分别记为 e1,e2 ，点 A 是 C1, C2
在第一象限的公共点，若 C2 的一条渐近线是线段 AF1 的中垂
线，则
1 e12
1 e22
（
）
A. 2 B.
5
C.
2
7
D.
4
2
思 路 ： 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 ， 所 以 有 c2 m2 n2 a2 b2 ， 所 求 表 达 式
2
2
2
且 F1F2
PF1
PF2 2 PF1 PF2 cosF1PF2
PF1F2 ）
2
PF1 PF2
2 PF1 PF2 1 cos F1PF2
4c2 4a2 2 PF1 PF2 1 cosF1PF2
PF1 PF2
2a2 2c2 1 cosF1PF2
2b2 1 cosF1PF2
SVPF1 F2
1 2 PF1 PF2 sin F1PF2
小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其
坐标为一次项系数除以 4，例如： x2 4 y ，则焦点在 y 轴上，且坐标为 0,1
3、焦半径公式：设抛物线 4、焦点弦长：设过抛物线
uuur y2 2 px p 0 的焦点为 F ， A x, y ，则 AF
p x
2
（ 1）焦点在 x 轴正半轴： y2 2 px p 0 ，焦点坐标
p ,0
2
（ 2）焦点在 x 轴负半轴： y2 2 px p 0 ，焦点坐标
p ,0
2
（ 3）焦点在 y 轴正半轴： x2 2 py p 0 ，焦点坐标 0, p 2
（ 4）焦点在 y 轴负半轴： x2
2 py p 0 ，焦点坐标 0, p 2
y2 2 px p 0 焦点的直线与抛物线交于 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
则 AB x1 x2 p （ AB AF BF ，再由焦半径公式即可得到）
二、典型例题：
例 1：已知双曲线 x 2 4
y2 b2
1 的右焦点与抛物线
y2
12x 的焦点重合， 则该双曲线的焦点到
其渐近线的距离等于（
c ：与焦点有关： F1 c,0 , F2 c,0 ， F1F2 2c 称为焦距 （ 2）对称性：椭圆关于 x 轴， y 轴对称，且关于原点中心对称
（ 3）椭圆上点的坐标范围：设 P x0, y0 ，则 a x0 a, b y0 b
（ 4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦
② 过焦点且与长轴垂直的弦
（ 4）离心率： e c ，因为 c a ，所以 e 1, a
（ 5）渐近线：当 x
或x
时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠
近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
① 双曲线渐近线的求法： 无论双曲线的焦点位于哪条轴上， 只需让右侧的 1 变为 0，再解出 y
关于 x 的直线即可。例如在
① 设椭圆上一点 P x0, y0 ，则 PF1 a ex0, PF2 a ex0 （可记为“左加右减” ）
② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为
a c ，最小值为 a c
（ 7）焦点三角形面积：
S 证明： VPF1 F2
1 2 PF1
SVPF1F 2
b2 tan （其中 2
PF2 sin F1PF2
3 ，则 C2 的渐近线方程为（ 2
）
A. x 2 y 0
B. 2x y 0
C. x 2 y 0
D. 2x y 0
思路：要想求渐近线方程，关键在 a,b 的比值，所以将两个离心率均用 a ,b 表示，再利用乘积
为 3 即可得到 a,b 关系，进而求出渐近线方程 2
c 解：设曲线 C1,C2 的离心率分别为 e1,e2 ，则 e1
PF1
PF2
2a ，则椭圆的标准方程为：
x2 a2
y2 b2
1 ，其中 a b 0,b2
a2 c2
② 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点 P x, y ， F1 0, c , F2 0,c ， 设 距 离 和
PF1
PF2
2a ，则椭圆的标准方程为：
y2 a2
x2 b2
1 ，其中 a b
SVPF1F2 最大
y 0 最大
P 为短轴顶点
（二）双曲线：
1、定义：平面上到两个定点 F1, F2 距离差的绝对值为一个常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹称
为双曲线， 其中 F1, F2 称为椭圆的焦点， F1F2 称为椭圆的焦距； 如果只是到两个定点 F1, F2 距
离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程：