第7章 傅里叶变换与滤波器形状

第7章傅里叶变换与滤波器形状

7.1离散时间傅里叶变换基础

离散时间傅里叶变换（DTFT）是数字信号分析的一个重要工具。DTFT把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。

该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。

对于信号，DTFT提供的信息称为信号的频谱。

对于滤波系统，DTFT得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response）。它由两部分组成：幅度响应（magnitude response）和相位响应（phase response）。幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。

信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：

，这里为数字频率，单位弧度。

记为

利用欧拉公式，DTFT变换为

变换在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。也就是说，当x[n]以接近频率变化时，较大。离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。

例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换

注意，一般情况，DTFT是复值。

例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT。

离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。

DTFT是周期性的，周期为。即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率，每重复一次，不断重复。

7.2 频率响应及其他形式

7.2.1 频率响应和差分方程

对差分方程逐项求DTFT

例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].

例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]

7.2.2 频率响应和传输函数

例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数

7.2.3 频率响应和脉冲响应

频率响应是脉冲响应的DTFT。

例7.6 数字滤波器的脉冲响应

写出其频率响应。

7.3 频率响应与滤波器形状

7.3.1 滤波器对正弦输入的作用

由于复杂信号可以由各种频率和相位的正弦波叠加而成，我们先考虑单一频率即正弦信号的输入。

时域与频域的输出关系。

频率响应是个复数，可表示成

是增益，无量纲，但可用分贝dB表示，此时增益为。

是相位差，单位是度或弧度。

增益是对输入的放大量，相位差是对输入的相移。

对于给定的频率，输出的幅度是滤波器的增益与输入幅度的乘积，输出相位是滤波器相位差与输入相位的和。

7.3.2 幅度响应和相位响应

幅度响应是增益与频率的关系图。

相位响应是相位与频率的关系图。

例7.9 系统频率响应，每间隔pi/4弧度，计算相应的频率响应，绘制幅度响应和相位响应图。

幅度响应和相位响应是周期的，每2pi弧度重复一次。

幅度响应和相位响应是连续函数，在每个频率上有值。

幅度响应是偶函数，相位响应是奇函数。

由于负频率没有实际意义，在0~pi间已经包含了所有重要的信息。

采用分贝的优点是，在增益变化范围非常大时，可以方便的绘制在一个图上。对数刻度实际上是对原图进行比例缩小。

弧度和度对相位响应形状没有什么影响。

例7.10 滤波器幅度响应和相位响应如图，可以观察到不同频率对应的滤波器增益和相位差。

例7.11 把信号加到具有如图所示频率响应的滤波器上。

增益、分贝表示的幅度响应和弧度、度表示的相位响应。

各种滤波器形状。

例7.13 滤波器频率响应。

例7.14 滤波器脉冲响应。

例7.15 滤波器的差分方程y[n]=1.5y[n-1]-0.85y[n-2]+x[n]

例7.16 递归滤波器传输函数

这是个梳状滤波器。具有模拟回响的作用。

梳状滤波器的另一个例子

第8章将介绍周期信号频谱，对于周期信号，其频谱是在固定间隔的尖峰上（谐波），梳状滤波器可以用来衰减谐波尖峰间的分量（噪声）。

7.3.3 模拟频率与数字频率

不同采样频率对数字滤波器的影响。

以数字频率表示的滤波器特性，只有在采样频率选定后，才能确定。

例如，中心频率为0.6pi弧度的窄带滤波器，当采样频率为1kHz时，可通过300Hz的信号，而采样频率为4kHz时可通过1.2kHz的信号。

例7.18 采样频率分别为12kHz和30kHz时，低通滤波器截止频率分别为1800Hz和4500Hz。

例7.19 对于带通滤波器，采样频率分别为4kHz和10kHz时，观察它对1kHz输入信号的影响。

P196 例7.20

7.3.4 由极零点确定滤波器形状

幅度与到极点的距离成反比，与到零点的距离成正比。

极点与单位圆距离越近的位置幅度越大，越远的位置幅度越小。

零点与单位圆距离越近的位置幅度越小，越远的位置幅度越大。

例7.21 滤波器传输函数

例7.22 滤波器差分方程y[n]=x[n-1]+x[n-3]

例7.23 比较滤波器形状

7.3.5 一阶滤波器形状

一阶系统：

例7.24 7.25观察两个滤波器y[n]+0.5y[n-1]=x[n]和y[n]-0.5y[n-1]=x[n]的形状。

7.3.6 二阶滤波器形状

二阶系统：

我们给出8个滤波器的形状P203，其极零点图在第6章 P159 所示。

这其中包括了低通、高通与带通滤波器，极点距离单位圆近的滤波器选择性较好。

第8章数字信号频谱

8.1 数字信号频谱的意义

前章研究了滤波器的频率特性，本章则研究信号的频率特性。

在频域每个数字信号都有其典型的特征。比如正弦波含单一频率，白噪声（white noise）包含所有频率分量。

信号的平稳变化源于它的低频分量，陡峭边缘和急剧变化源于它的高频分量。例如方波，即包含产生平稳变化的低频分量，又包含了形成陡峭边缘的高频分量。

信号的频谱（spectrum）详细描述了信号所包含的频率分量。了解信号频率特性对滤波器设计极为重要。例如，要用扬声器再现音乐，那么音乐的频率分量决定了扬声器的特性。语音识别系统中的麦克风必须有足够宽的频率响应，才能采集到语音的所有重要频率。

信号频谱由两部分构成，幅度频谱和相位频谱。

分非周期信号和周期信号考察其频谱特性。

8.2 非周期数字信号

非周期信号就是不按固定间隔重复的信号。