解直角三角形(1)2
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
教学课件_解直角三角形(第1课时)_2
∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 2 .
巩固练习
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB= 5 ，则
tan A的值为（ C ）
新知讲解
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与
地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已
知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cosa
AC AB
2.4 6
0.4
B
利用计算器求得 a≈66° ∴当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
α AC
所成的角大约是66°
巩固练习
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6， AC=5 3 ，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长； （2）求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴sin A= BD，cos A= AD
AB
∵AB=6∠A=30°
AB
∴BD=3，AD=3 3
（2）∵AC=5 3 ∴CD=2 3 在Rt△BCD中，tan C=
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
a sinA＝ c
b cosA＝ c
tanA＝ a
b （4）面积公式：S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
Ｂ
c a
bＣ
例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，2BC= ，6解这个直 角三角形.
沪教版(上海)九年级第一学期 教案 25.3解直角三角形(1)
预案：学生可能会用 求 ，问你用的是原始数据吗？
学生用计算器算出b、∠A.
生答：
（1）取原避中，用正切容易出现误差.
（2）用 .
（3）正弦或余弦.
无弦用切.
学生练习.
1. ，
，
2．
.
3.
,
.
学生思考
学生计算器计算：
（6米）
预设：
（1）直角三角形中的等量关系；
（2）在解直角三角形时，除直角外，至少需要知道两个元素，并且至少一条是边，才能求出其它的元素．
我们已经掌握了直角 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，就可以由已知元素求未知元素．
问1：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它的元素？
问2：两个什么元素？两个元素都是角吗？
问３：为什么？一边一角可以吗？
归纳：在直角三角形中，利用以上关系式，知道其中除直角外的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这就是我们这堂课要学习的内容.
（3）十六字口诀．
联系实际、创设问题情境，激发学生的求知欲.
这三条关系是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
这样的导语可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，激发了学生的学习热情．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立思考，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生分析比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
板书：2.解直角三角形
（1）定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
中考全景透视一轮复习课件(第25讲解直角三角形及应用)
半圆 O，点 C 恰在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于
D，已知 cos∠ACD＝35，BC＝4，则 AC 的长为(
)
A．1
B.
20 3
C．3
D.
16 3
解 析 ： ∵AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， ∴∠ACB ＝ 90°.∵CD⊥AB ， ∴∠ADC ＝ 90°.∴∠ACD ＝ ∠B. 在 Rt△ABC 中，∵cos B＝cos∠ACD＝35，BC＝4，即BACB
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C
的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是
(A)
A．csin A＝a
B．bcos B＝c
C．atan A＝b
D．ctan B＝b
解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sin A＝ac，
∴csin A＝a，∴A 正确．故选 A.
5．(2014·毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝α，AC
＝3，那么 AB 的长为( D )
A．3sin α
B．3cos α
3 C. sin α
3 D. cos α
解析：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cos α＝AACB，
∴AB＝cAosCα＝co3s α.故选 D.
(3)边角之间的关系： sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab， sin B＝bc，cos B＝ac，tan B＝ba.
3．解直角三角形的类型 已知条件
解法
两直角边 (如 a，b)
由 tan A＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A； c＝ a2＋b2
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
解直角三角形(一)
探究新知： 在直角三角形ABC中， ∠C=90°，a、b、c， ∠A、 ∠B这五个元素之间有哪些等 量关系呢？ 它们之间的关系是：
边边关系： a2+b2=c2 角角关系： ∠A+∠B=90°
A
b
C
c a
B
a b a 边角关系： sin A = , cosA= , tanA= c c b
B
A
C
3、如图， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若BC=2，tanA= 3 ，求AC、CD的值。 C
3
A
D
B
课堂小结
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个 元素（至少有一个为边），就可以求出另三个元素。 2、在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做 解直角三角形。 3、解直角三角形的方法不止一种，在面临选择时，我们 应遵循以下原则：
B
35°
a
C
b ∵sinB= c
b a
b 20 = ∴ a= ≈28.6 tan B tan 35° b 20 ∴c= ≈35.1 = sin B sin 35°
∴∠A=55°，a ≈28.6 , b ≈35.1.
已知一边一角,解直角三角形的方法为:先求另外一角, 求出第三条边;然后选取适当的函数关系式求出边.
练一练
1、在在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 解这个直角三角形. ∠A=∠B=45°，BC=
2
,BA=2 ,
2
2、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的所对 边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个 直角三角形（精确到1′，保留四个有效数字） ∠A=47°54′，a≈213.3，b≈192.7
1.3解直角三角形(1)教案
1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。
人教版数学九年级下册-28.2.1 解直角三角形-教案
28.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计一、教材分析本节课内容是新人教版教材九年级下册，第二十八章《锐角三角函数》的第二节《解直角三角形》第一课时，是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上进行的。
本节课既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。
教材首先从实际生活比萨斜塔入手，创设问题情境，抽象出数学问题，从而引出解直角三角形的概念，归纳解直角三角形的一般方法。
本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法：数学建模和转化化归，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解直角三角形的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系。
二、教学目标（一）知识与技能1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2.运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．（二）过程与方法目标通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想。
（三）情感、态度和价值观通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。
并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。
三、学情分析九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都有待提高，因此要在本节课进行有意识的培养。
四、教学重难点教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形教学难点：选择适当的关系式解直角三角形五、教法与学法1、教学方法：利用多媒体辅助教学，通过观察，引导学生思考、讨论，通过归纳、概括等方法启发、诱导，帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点。
2、学习方法：观察、归纳、概括和讨论的学习方法，使他们不仅理解和掌握本节课的内容，而且进一步培养和提高他们各方面的能力，从而逐步由“学会”向“会学”迈进。
25.3 解直角三角形(1)
课题：2 5.3 解直角三角形（1 ）累计课时（6 ）授课班级_______ 授课时间_______ 授课教师_______ 审核人_______【学习目标】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想3.培养学生良好的学习，思维习惯．培养学生用数学的意识；【学习重难点】【学习过程】一、 自主学习1、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系： (勾股定理) (2)锐角之间关系： ．(3)边角之间关系：_______________________________________________________________________________2、△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，BC=6，求：sin ∠BCD 、cos ∠BCD 和tan ∠BCD 的值。
CB A D 二、 合作探究1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知∠A=30°，BC=8cm ，则 AB= ， AC= ；（2）已知a ＝156， b ＝56，求c= ;（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a = ；像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做 .2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝20，c ＝220，求∠B= ；（2）已知b ＝15，∠A ＝30°，求a= ．（3）已知∠A=60°，AC=3cm ，求AB= ，BC= 。
3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形三、 教师精点1、如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD = (精确到0.01米)．2、归纳：a:“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。
25解直角三角形的应用(一)
（三）课内练习 1.某飞时飞机与 地面控制点之间的距离是 米.（结果保留根号） 2.在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆的仰角为 ，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 的三角比表示） 米.（用含
[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先 找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已 知元素，解出要求的未知元素，同时在审题时，要注意题后对结果精确度 的要求.
四、课堂小结
• 1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水 平线的夹角. • 2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助 线构造直角三角形来解决问题. • 3．按照题目中的精确度进行计算.
25.4解直角三角形的应用（1）
一、教学目标
1．掌握仰角、俯角概念； 2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中， 感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识 和能力.
二、教学重点与难点
• 将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间 关系进行解题.
三、教学过程
• （一）概念学习 • 1．概念辨析 • 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平 线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. • [说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水 平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.
五、课后作业 1. 在高度为h米的飞机上观察地面控制点测得俯角为 ，那么飞机与控制点的距离是…………………（ ． ）
A
B．
Ｃ．
D
2. 在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别 为30°和60°，则塔高为__________米. 3. 为了测量学校教学大楼的高，在操场的点C处架起测角仪，测角仪的高 CD=1.40米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角 ，测角仪底部C到大楼底部B的距离CB=21米，求教学大楼的高.（结果保留 根号）
《解直角三角形(1)》教学设计
数学教学设计7.5 解直角三角形（1）教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重点直角三角形的解法．教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角形解决．通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？观察、思考、感悟．上面的例子是给了两条边．那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？请看下面的活动．活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少AB C有一个是边）就可以求出其余的3个元素” 交流讨论；归纳总结 ．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt △ABC 中， ∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．（3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边） ：（1） 已知两条边（一直角边一斜边；两直角边） ；（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ．这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形 ，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5．解这个直角三角形．例2 已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝104，b ＝ 20.49．（1）求c 的值（精确到0.01）；（2）求∠A 、∠B 的大小（精确到0.01°）．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．通过例题学会灵活运用直角三角形有关知识解直角三角形，并能熟练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力． sin cos tan a b a A A A c c b===，，．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．积极思考解决办法——运用本节课所学数学知识解决问题，关键要对知识灵活运用．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？共同小结．通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平．布置作业1.必做题：习题7.5第1、2题；2.选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．解直角三角形的概念（勾股定理）三边之间关系两锐角之间关系边角之间关系（锐角三角函简单应用17cm A BCD E F。
6-16网课数学A学案(8.7一8.13)
8月7号初三数学学案（A）课题：解直角三角形（1）【预习检查】1.如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。
问大树在折断之前高多少米?2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=10，求a，c，∠A【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的之间关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力.【新知研习】研习1：已知在Rt△ABC中，∠C为直角，在a、b、c、∠A、∠B这五个元素中，知道几个元素，就能求出其它未知元素？研习2：解直角三角形的依据是哪些？【典型例题】例题1．在Rt△ABC中，∠C =900，∠A =300，a=5，求b、c的大小.例2．在Rt△ABC中，∠C =900，a=10，c=20，请解此直角三角形【归纳总结】【巩固拓展】1．在Rt△ABC中，下列情况，三角形可解的是（）A.已知AC=3，∠C=900,B.已知∠C =900，∠B=300，C.已知∠C =900，∠B =600，BC=6,D.已知AC=42.已知△ABC中，AB＝24，∠B＝450，∠C＝600，AH⊥BC于H，则CH＝．3．已知在Rt△ABC中，∠C =900，b=32，c=4，求a 、∠A、∠B4.如图，△ABC中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB的长.5.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，求△ABC的面积。
6.（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．【预习指导】解直角三角形（2）CA B8月8号初三数学学案（A ）课题：解直角三角形（2）1．如图，在Rt △ABC 中，a=6，b=63,解这个直角三角形.【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的2个锐角互余及锐角三角函数解有关多边形中的边角问题.2.经历解直角三角形的过程,概括出解多边形的方法,提高分析问题和解决问题的能力. 【新知研习】研习1：遇到在非直角三形中求边长时怎么办？研习2：什么叫做正多边形？什么叫做正多边形的半径？它的中心角怎么计算【典型例题】例1．如图，△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长.【归纳总结】【巩固拓展】1. 一个正六边形的边长为4㎝，则这个正六边形的面积为_______.2.在⊿ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则BC= .3.在⊿ABC 中，∠C=90°，若sinA+sinB=57，a+b=28，求c4.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°∠D=∠B=90°，求这个四边形ABCD 的面积.5.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．【预习指导】锐角三角函数的简单应用（1）B DCAA BO 8月9号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用（1） 【预习检查】 【预习检查】1．在Rt △ABC 中，其中∠C=90°，则sinA= ,cosA= ,tanA= . 2.小明在荡秋千,已知秋千的长度为2m, 求秋千升高1m 时,秋千与竖直方向所成的角度.【目标展示】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.2.经历由实际问题数学化过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，要求学生掌握不断探索解决实际问题的方法和规律. 【新知研习】研习1：一个圆绕圆心旋转1周需m （min ）,那么它旋转了n(min)后的旋转角是多少？（m>n ）.【典型例题】例1．“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min .小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m ）开始1周的观光，经过2min 后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1m ）?思路点拨：设经过2min 后，小明从点B 到达点C 的位置，由题意知：弧BC 即为圆周长的1/6，作C D ⊥OB,垂足为D ，在Rt △COD 中，OC 与∠COD 已知，则OD 可求，进而可求得小明离地面的高度.例2. （1）在例1的条件下摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达30.5m？（2）小明将有多长时间连续保持在离地面30.5m以上的空中？问：（1）“如何理解首次”（2）“引导学生去思考，此时在空中什么位置”，并画出图形.例3.经过多长时间后，小明离地面的高度将首次达到5m?经过多长时间后，小明离地面的高度将再次达到10.5m?【巩固拓展】1.如图，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度是，离机身的最远水平距离是．（精确到0.1m）2.单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到A B′的位置时，∠BAB′=11°,问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm ）【预习指导】锐角三角函数的简单应用（2）B'BAsin110.191,cos110.982,tan110.194︒≈︒≈︒≈8月10号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用(2) 【预习检查】__________是仰角。
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》说课稿1
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材的重要内容之一。
在学习了锐角三角函数的基础上，进一步研究直角三角形的性质和解法。
本节课的主要内容有：了解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能更好地理解直角三角形在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的知识，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学的知识。
针对这一情况，我在教学中应注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：了解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，探索直角三角形的性质和解法，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的重要作用。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的定义和性质，解直角三角形的方法。
2.教学难点：如何将直角三角形的解法应用于实际问题，灵活运用所学知识。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中常见的直角三角形实例，引导学生关注直角三角形，激发学生的学习兴趣。
2.探索直角三角形的性质：让学生观察、分析直角三角形的特点，引导学生发现并归纳直角三角形的性质。
3.讲解解直角三角形的方法：结合实例，讲解解直角三角形的方法，让学生在实践中掌握解题技巧。
4.应用拓展：出示实际问题，让学生运用所学知识解决，提高学生解决实际问题的能力。
上海初三数学25.3解直角三角形(1)
25.3 解直角三角形(1)一、填空题：1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝60°，b＝3，则a＝ .2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝615，b＝65，则∠B＝________.3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，∠A＝30°，则c＝__________.4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，若AB=10，则BC=________5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，tan B＝53，则AC＝__________.6.在Rt△ABC中，∠C = 90°，用a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边，已知a及∠A，则b= ，c= 。
（用含有a及∠A的式子表示）7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，a＋c＝4＋23，∠A＝60°，则b＝__________.二、选择题：8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件不能够解直角三角形的是( )A. 已知a和∠AB. 已知a和bC. 已知∠A和∠BD. 已知∠B和c9. 在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝22，你认为最确切的判断是( )A. △ABC是等腰三角形B. △ABC是等腰直角三角形C. △ABC是直角三角形D. △ABC是一般锐角三角形10. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝52，则∠B等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°三、简答题：11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝102，解这个三角形．12. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，b＝4，解这个三角形．13. 在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AC＝6，解此直角三角形．四、拓展题：14．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CD＝2，BD＝23，解Rt△ABC．25.3 解直角三角形(1)3 30° 3.10 4.6 5.5acottanAb a A==⋅,sinacA= 7.238. C9.B 10.B 11.∠A=45°，∠B=45°，b=10 12.∠C=60°，a=2，c=313.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，BC=3，AB=33 14.∠B=30°，∠A=60°，BC=4，AB=83 3。
北师大版数学八年级下册1.2直角三角形第1课时优秀教学案例
（一）情景创设
为了让学生更好地理解直角三角形的概念，本节课将从生活实际出发，创设贴近学生生活的教学情景。例如，可以引用建筑工人如何确定墙壁是否垂直、画家如何画出直角等实例，让学生感受到直角三角形在实际生活中的广泛应用。通过情景创设，激发学生的好奇心和求知欲，使他们主动投入到直角三角形的学习中。
2.讲解勾股定理的推导过程，引导学生从特殊直角三角形（如3-4-5三角形）入手，发现并总结勾股定理。
3.结合具体例题，讲解如何运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度等。
4.引导学生探讨直角三角形的判定方法，并总结出常用的判定技巧。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论主题：“如何运用勾股定理解决实际问题？”和“直角三角形的判定方法有哪些？”
2.在教学过程中，关注学生的认知差异，鼓励学生发挥自己的优势，树立自信心，克服困难，不断提高自己的数学素养。
3.培养学生的团队协作意识，让他们在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，形成良好的集体氛围。
4.引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，激发他们为国家和民族的科技进步贡献自己的力量的责任感。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本教学案例以生活中的实际例子导入新课，将直角三角形的概念与学生的生活经验紧密联系起来，使学生在轻松愉快的氛围中自然地进入学习状态。这种生活化的情景创设有助于激发学生的学习兴趣，提高他们对数学知识的应用意识。
2.问题导向的探究式学习
案例中，教师运用问题导向的教学方法，引导学生围绕直角三角形的相关问题展开探讨。这种方法激发了学生的好奇心和求知欲，促使他们在思考问题的过程中主动探索、发现知识，从而提高了学生的逻辑思维能力和几何直观。
2.鼓励学生进行自我反思，总结自己在学习直角三角形过程中的收获和不足，提高自我认知能力。