习题四参考答案

习 题 四 参 考 答 案1.在广阔平坦地区的地下有一个半径为6m 、中心深度为10m 的充满水的洞穴，围岩的密度为2.33g/cm ，用一台观测精度为1.0g.u.的重力仪能否确定这个洞穴？（洞穴可看作球体）解：已知6m r =，10m h =， 11326.6710m /(kg s )G -=⨯⨯ρρρ∆=-水围=1-2.3=-1.3 3g/cm =31300kg/m - 2232max 4//π/3g Gm h G V h G r h ρρ∆===⋅113233246.6710m /(kg s )(1300kg/m )π(6m)3(10m)-⨯⨯⋅-⋅⨯= =-7.8413×710-2m/s =-0.78g.u.答：因为只有大于仪器观测精度2.5～3倍的异常，才能认为是有效异常，所以这台观测精度为1.0g.u.的重力仪不能确定这个洞穴。

2.在图4-20中的各剖面上画出重力异常g ∆、xz V 、zz V 、zzz V 示意曲线。

（参看教材）3.当球体、无限长水平圆柱体的深度增大一倍时，max g ∆将各为原值的多少倍？g ∆的剖面（或主剖面）曲线的宽度（将max g ∆/2两点的水平距离视为曲线的宽度）和最大水平变化率各为原值的多少倍？解：（1）球体最大值为：2/Gm h ，深度增加一倍，则最大值为：222/(2)/4(/)/4Gm h Gm h Gm h ==，也就是说，为原值的四分之一；无限长水平柱体最大值为：2/G h λ，深度增加一倍，则最大值为：2/2/2(2/)/2G h G h G h λλλ==，也就是说，为原值的二分之一。

（2）球体g ∆的剖面（或主剖面）曲线的宽度为：1/2 1.532d h =，因此，深度增加一倍，宽度也增加一倍；无限长水平柱体g ∆的剖面（或主剖面）曲线的宽度为：1/22d h =，度增加一倍，宽度也增加一倍；（3）求一阶导数最大处表达式，然后讨论。

4.对水平物质半平面，试证明：（1）max ()()2(0)g g x g x g ∆=∆+∆-=∆；（2）g ∆曲线的拐点即为坐标原点。

解：参看表达式：π2(arctan )2x g G D μ∆=+求之。

（()t H h μρρ==-，为剩余面密度；2H h D +=） （1）当x →+∞时，得 max π2G (arctan )2πG 2g Dμμ+∞∆=+= ()()g x g x ∆+∆-=π2(arctan )2x G D μ++π2(arctan )2x G Dμ-+ =2πG μ+（arctan x D +arctan x D-）（提示：可用tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- 来求，并对最后值求反正切） =2πG μ2(0)g ∆=2πG μ所以，有上述结论。

（2）求导数，(arctan )x '=211x+图4-215.在图4-21的水平线x上画出叠加异常或起伏地形上的剖面异常曲线。

注意：实线为起伏地形上的异常曲线，虚线为水平线上的异常曲线。

可见，同一地质体起伏地形上的异常与水平线上的异常特征差别很大。

6.依剖面异常曲线，在图4-22测线（x轴）的下边画出地质体的推断断面图形。

图 4-227.在一个出露范围较大岩体表面中点上的重力异常为200 g.u.，已知岩体密度为3.0 3t/m，围岩密度为2.0 3t/m，试估算重力异常是否单纯由该岩体所引起的？解：密度差为： =3-2=13g/cm，可以作为铅垂圆柱体来讨t/m=13论。

8.什么是解重力异常的正问题与反问题？举例说明解正问题的基本方法是哪些？答：根据已知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度分布，通过理论计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异常的数值大小、空间分布和变化规律。

对于单一规则形体，可以通过积分运算求解出精确的重力异常正演公式；对于复杂条件下的地质体，只能采用近似的方法求出异常的近似值。

根据所测得的异常及其各阶导数异常的数值大小、空间分布和变化规律求解质体的形状、产状和剩余密度分布。

9．指出下列叙述中的错误所在：（1）一个背斜构造，它一定会产生一个正的重力异常；而一个向斜构造上则一定引起一个负异常。

（2）一个地质体引起的重力异常越大，它所对应的重力水平梯度也一定大。

（错）（3）两个同样形状和大小的地质体一定产生完全一样的重力异常。

答：不对，要考虑剩余密度影响。

（4）同一个地质体，当埋藏深度不变仅剩余密度加大一倍（如设ρ =13g/cm 和ρ =23g/cm 两种情形），则在过中心剖面上两种情况下的异常曲线数值也相差一倍，所以两条异常曲线互相平行。

(对)10．当球体、水平圆柱体及铅垂台阶的中心埋藏深度都是D ，剩余密度都是ρ，且台阶的厚度正好是球体与水平圆柱体的半径R 两倍R （R ≤D 时），请计算?:?:?::max max max =∆∆∆step cyl sph g g g式中max max max sph cyl step g g g ∆∆∆、、分别是球体、水平圆柱体、铅垂台阶引起的重力异常极大值。

解：球体、水平圆柱体、铅垂台阶引起的重力异常极大值分别为：2/Gm D 、2/G D λ、2πG t ρ，而2πR λρ=，所以三者比值为：324πR 3G D ρ⋅：22πR G D ρ：2π2G R ρ⋅ 11.请抓住异常的基本特征，示意地绘出图4-23所示的台阶地形剖面上的g ∆曲线。

（12ρρ>）。

答：可看做两层地层，其中第一层中有一个铅垂台阶或水平物质半平面。

12．已知计算铅垂物质线段的g ∆正演公式为[]2/1222/122)(1)(1H x h x G g +-+=∆λ式中h 、H 为物质线段顶与底的深度，λ为线密度。

试导出当 H →∞ 时由g ∆曲线反演求解h 和λ的解析式。

解：对右式第二项，当H →∞时，该项等于零。

所以，max /g G h λ∆=，而1/2x =，并且此时，g ∆剖面曲线为正值，左右对称，这样，可有半极值宽度求出顶埋深，进一步可以求得线密度。

13.如果利用与无限长水平圆柱体走向斜交的观测剖面上测得的∆g 异常曲线来反演该物体的参数，其结果会产生什么样的失真？解：首先由∆g 平面等值线图画出斜交时的剖面曲线，该曲线形态和正交时的剖面曲线特征类似，极大值相同，半极值水平宽度变大，因此可知，埋深加大，线密度增大，其道理和上题类同。

max 2/g G h λ∆=14．应用平板公式2π()g G H h ρ∆=-，在ρ已知时，请问：（1）利用该式作正演估算由两点下方密度界面相对起伏而引起的异常值时，是最大可能值还是最小可能值，为什么？（2）利用该式做反演估算，是从两点间的异常差值来计算下方界面的深度差，这深度差是最大可能值还是最小可能值，为什么？15.图4-24是在一个盐丘上测得的重力异常曲线，已知围岩的平均密度为2.43g/cm ，盐丘的密度为2.13g/cm 。

为计算方便，将盐丘看作球体，请利用∆g 曲线求盐丘的中心埋深和顶部埋深。

（提示：实测∆g 曲线不够对称，计算12x 处的∆g 值时应取两边平均值） 解：据题设知，ρ∆=2.13g/cm -2.43g/cm =-0.33g/cm =3003kg/m ,122.1(km)x =，52max 60g.u 610m/s g -∆=-=-⨯ 120.766x h ==2100/0.766=2741.5(m)2232max 4//π/3g Gm h G V h G R h ρρ∆==∆=∆⋅ 32max 4/(π)3R g h G ρ∴=∆∆⋅= 顶部埋深为：H h R =-16.若有一剩余质量为50万吨的球形矿体（可当作点质量看），当其中心埋藏深度为100m 时，请计算：1）在地面产生的异常极大值是多少?2）异常值为极大值的 1/3的点距极大值距离为多少米?3）若该矿体与岩围密度分别为3.03g/cm 和2.53g/cm ，该矿体的实际质量是多少?解：据题设，该球形矿体的剩余质量为：511500000t=5101000kg=510g m ∆=⨯⨯⨯1）7113262max 225010kg 6.6710m /(kg s ) 3.33510(m/s )(100m)G m g R --∆⨯∆==⨯⋅⨯=⨯ 2） 1max 313g g ∆=∆ 则：1/3max 223/2211()33mR m g G G g x R R ∆∆∆===∆+ 则：x =104 (m)3） 由：m V ρ∆=∆⋅，则10123501010cm 3.0 2.5m V ρ∆⨯===∆-则：1263.010g 3.010(t)m V ρ==⨯=⨯17.有一个平面等值线为等轴状的重力异常，max g ∆=5g.u.，在m a x g ∆点下90m 的竖井底的重力异常为80g.u.，计算地质体中心到地表的距离。

解：已知平面等值线为等轴状，可认为是球体。

据题设知：10h =m ,290h =m ,max (0)g ∆=5g.u.，max (90)g ∆=80g.u.，设该球体质心埋深为h ，质量为m 。

因为 max 2Gm g h ∆= 所以 有max 2max 2(0)5(90)80(90)Gm g h Gm g h ⎧∆==⎪⎪⎨⎪∆==-⎪⎩解上列方程组，可得 120(m)h =。