《保险经济学》第一讲：效用、风险与风险态度

i 1
1
n
( xi x ) /
3
3
8
7.协方差(Covariance)
n
Cov ( X , Y )
P (x
i i 1
i
x )( y i y )
9
8.相关系数（Correlation coefficient）
( X ,Y )
Cov ( X , Y )

X
在保险经营中，尽管相互独立的风险单位的损失概率可能各 不相同，但只要标的足够地多，仍可以在平均意义上求出相同的 损失概率。保险公司由此可以把性质相似的各分类的标的集中在 一块，求出一个整体的费率，再加以调整，从而在整体上保证收 支平衡。比如，尽管同一档次的众多车辆所面对的风险可能各不 相同，但仍可以把它们放在同一个风险集合之内进行风险汇聚， 只要这些车的数量满足一定的大数即可。
18
二、大数法则(Law of larger numbers)
1.切贝雪夫（Chebyshev）不等式和切贝雪夫大数法则
lim P
n

1 n

n
X
k
k 1
1
19
• 切贝雪夫大数法则说明，当n足够大时，平均每个被保险人实际获 得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的差 异很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差的 绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从投 保人那里收取的纯保费（不包括保险公司的管理费用、税收和利 润等）应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫大 数法则又指明了期望值在n→∞时等于实际赔偿额的平均值。尽管 实际赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以前 的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时，保 险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这就 是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的基本依据，如果风 险汇聚的加入者达不到一定的“大数”，保险公司就无从知道应 该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最基本的精算 基础。
E ( X ) x f ( x ) dx


4
3.方差(Variance)
Var ( X )
[ x i E ( X )] P
2 i 1

(X x i )
2
x
i 1
2 i
P
(X x i ) [ E ( X )]
Var ( X )



22
〔二〕中心极限定理
当风险汇聚的加入者足够多时，平均损失的分布 接近于正态分布，就可以用正态分布的概率值来估计 结果超过某给定值的概率。
23
• •
德莫佛-拉普拉斯定理 列维定理
24
25
第三节 期望效用与风险偏好
一、效用与投资风险
26
例子：1000元钱在1年之内： 夹在书中：——1000元 存入银行：——1030元 投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）： 回报率40%；低于大盘指数回报率-20%。
U ( E [W ]) U [ PW 1 (1 p )W 2 ] PU (W 1 ) (1 p )U (W 2 )
说明他仅对期望值感兴趣，对风险是不在意的，则称他为风险中性者。
37
风险中性者的效用函数具有以下性质： 1) 财富数量的增加导致满足程度的上升。 2）边际效用恒定。
29
• 如何解释圣· 彼得斯伯格悖论呢？ 期望效率理论提供了答案，也把效用理论从古典 推到了现代。期望效率理论认为，不确定性条件下的 效用也是不确定的，最终的效用水平取决于不确定事 件的结果。比如，购买彩票的效用最终取决于是否中 奖，而购买保险的效用水平最终取决于保险事故是否 发生以及保险人对损失的赔付比例。在保险经济学中， 对不确定性条件下的效用研究采用的是期望效用函数。
40
如果一个彩票购买者期望值的效用小于彩票的期望效用， 即若：
U ( E [W ]) U [ PW 1 (1 p )W 2 ] PU (W 1 ) (1 p )U (W 2 )
41
42
432.风险偏好的度量源自• 阿罗-普拉特绝对风险厌恶程度的计量方法是用效用函数二阶导数 和一阶导数的比率：
38
如果一个彩票购买者期望值的效用大于彩票的期望效 用，即若：
U ( E [W ]) U [ PW 1 (1 p )W 2 ] PU (W 1 ) (1 p )U (W 2 )
39
风险规避的效用函数满足以下两个假设： 1）财富数量的增加导致满足程度的上升 2）边际效用递减
• 风险中性者（Risk neutral）
36
• 例子：假设世界杯足球赛中巴西队和阿根廷队冠亚军决赛时猜巴 西队赢的彩票中奖概率是P，彩票购买者中奖后的财富量是；而未 中奖的财富量是。彩票的期望值是每一种结果与其发生的概率的 乘积的总和。
E [W ] PW 1 (1 p )W
如果一个彩票购买者期望值的效用等于彩票的期望效用，即若：
ARV U (W ) U (W ) dLn U (W ) dW
• 阿罗-普拉特相对风险程度的计量方法是用绝对风险厌恶程度乘以 财富值W：
RRV U (W ) W U (W ) dLn U (W ) dW W
44
3.风险偏好与保险决策
倍努力定理：只要保险是按照精算公平费率„Actuarially fair premium， AFP‟提供的，对一个风险厌恶的投保人来说，投保后的期望效 用总是大于不投保时的期望效用。
Y
10
〔二〕风险管理
风险管理是通过风险的识别、衡量和控制，以最 小的成本将风险导致的各种不利后果减少到最低限度 的科学管理方法，是组织、家庭或个人用以降低风险 的负面影响的决策过程。
11
12
13
14
第二节 风险汇聚、大数法则与中心极限定理
一、风险汇聚的效果
当风险是相互独立的时候，汇聚安排可以抑制风险， 风险管理的价值因此而显现出来。
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二、倍努利的圣· 彼得斯伯格悖论（St. Petersburg Paradox)
但通常所运用的期望值规律却并不总是适用，比如1738 年倍努利（Bernoulli)提出的：即”圣· 彼得斯伯格悖论 （St. Petersburg Paradox)“：投掷质地均匀的硬币，直至出 现反面，如果掷第一次就出现反面，得到2美元，第二次 掷出现正面，得到4美元，第三次掷得到8美元，这样赌 局的期望值是：但没有人愿意出十几美元或更多的钱去 冒险。
[ x E ( X )] f ( x ) dx
2

x f ( x ) dx [ E ( X )]
2
2
5
4.标准差(Standard deviation)

Var
6
5.离散系数(Deviation coefficient)


7
6.偏度(Skewness)
SK
n 1
31
• 冯· 诺依曼和摩根斯坦恩是期望效用函数的创始人，所 以期望效用函数也称冯· 诺依曼和摩根斯坦恩效用函数， 其一般形式是：
U ( c1 , c 2 , 1 , 2 ) 1 U ( c1 ) 2 U ( c 2 )
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假设效用函数是财富量的自然对数，则： 1000元钱在1年之内： 1）夹在书中：——1000元 2）存入银行：——1030元 3）投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）：回报 率40%；低于大盘指数回报率-20%。 • 2）的期望效用：
第一讲 效用、风险与风险态度
第一节 风险、不确定性与风险管理
一、风险与不确定性
• 风险是客观存在（A state of world ），而不确定性 是心理状态（A state of mind ）。 • 风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概 率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。
EU
2
1 . 0 U (1030 ) 1.0 ln(1030) 6 . 9373
• 3）的期望效用：
EU
3
0 . 5 U (1400 ) 0 . 5 U ( 800 ) 0.5 ln(1400) 0.5 ln(800) 6 . 9645
33
• 期望效用图示：
U
U （1400 ） 7 . 244
EU
3
6 . 9645
EU
2
6 . 9373
U （ 800 ） 6 . 685
W
34
如前：亦设U(x)=ln(x),则圣· 彼得斯伯格悖论中，参赌者 愿意付出的代价为：4美元。
EU

i i
pi U ( X i )
i


( 1 ) U (2 ) 2
i i
i 1


( 1 ) ln( 2 ) 2
i
i 1
ln( 2 ) ( 1 ) ( i ) 2
i 1
ln( 2 ) 2 ln( 2 ) ln( 4 )
2
35
三、风险偏好——人们对风险的态度 1. 风险偏好的分类与定义 • 风险爱好者（Risk lover） • 风险厌恶者（Risk averter）
i
(
i 1

1 2
) U (2 )
i i


( 1 ) ln( 2 ) 2
i
i 1
ln( 2 ) ( 1 ) ( i ) 2
i 1
ln( 2 ) 2 ln( 2 ) ln( 4 )