第八章可靠性理论

mtbf = ∫
∞
0
R(t )dt = ∫
∞
0
e dt =
λt
1
λ
例如， 台微型计算机， 例如 ， 1000台微型计算机 ， 运行 台微型计算机 运行1000h， 累计出 ， 次故障， 计算如下： 现10次故障，则这种微型机的 次故障 则这种微型机的MTBF计算如下： 计算如下
10 λ= = 10−5 1000 × 1000 1 MTBF = = 105 h /h
λ
4.平均修复时间和利用率 平均修复时间和利用率 平均维修时间和利用率则又从另一角度来描述一个 系统(或部件或元器件 的可靠性 对一台微型机来说， 系统 或部件或元器件)的可靠性 。 对一台微型机来说 ， 或部件或元器件 的可靠性。 当它出现故障时是可以进行维修的。 当它出现故障时是可以进行维修的。
R (t ) = e
λt
(8―8)
失效率也可以用下式进行计算： 失效率也可以用下式进行计算：
r λ= T
(8―9)
例如， 个元件运行10000h， 有 20个元件 例如 ， 有 10000个元件运行 个元件运行 ， 个元件 失效，则该元件的失效率为： 失效，则该元件的失效率为：
r 20 λ= = = 2 × 10−7 失效数 / h T 10000 × 10000
MTBF A= MTBF + MTTR
(7―12)
5.维修时间 维修时间
维修工作分为预防性维修和事后维修。 维修工作分为预防性维修和事后维修。 预防性维修是指按照规定的程序，有计划地进行定点检查、 预防性维修是指按照规定的程序，有计划地进行定点检查、 是指按照规定的程序 试验和重新调试等工作，其目的是防患于未然。 试验和重新调试等工作，其目的是防患于未然。 事后维修是指事故发生后进行的维修。 事后维修是指事故发生后进行的维修。 是指事故发生后进行的维修 维修时间可以分为四种： 维修时间可以分为四种： 1.平均修复时间 Mct ：事后维修所需时间的平均值。 平均修复时间 事后维修所需时间的平均值。 2.平均维修时间 ：维修所需时间的平均值。对于进行预 平均维修时间 维修所需时间的平均值。 M 防性检修的产品， 防性检修的产品， M = Mpt + Mct 其中， 为平均预防检修时间。 M 其中， pt 为平均预防检修时间。
设系统由n个元件组成， 设系统由 个元件组成，则系统的可靠度为 个元件组成
R = R 1R 2 L R n = ∏ R i 当各元件的可靠度都符 合指数规律 Ri = e − λi t ,可得 n − ∑ λi t R = e −λ1t e − λ2t L e − λn t = e i=1 由上可知，系统的故障 率为 由上可知，
−e
− 2 λt
3 θ= 2λ
就是说，两个相同元件组成的系统， 就是说，两个相同元件组成的系统，其平均无故障工作时
P= p
5
并设p=0.5，则P=3% 并设 ，
由此可见，串连系统的工作效率是非常低的。 由此可见，串连系统的工作效率是非常低的。 随着元件数目的增多， 随着元件数目的增多，串连系统的可靠性迅速降 甚至使系统不能正常工作， 低，甚至使系统不能正常工作，丧失其功能
系统可靠性的含义
定义： 定义：系统在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能 力。 广义的可靠性： 取名为Depend Ability（可信 广义的可靠性：ISO9000取名为 取名为 （ ），可信性是用于表述可用性及其影响因素的综合术语 可信性是用于表述可用性及其影响因素的综合术语， 性），可信性是用于表述可用性及其影响因素的综合术语， 仅用于非定量的描述。 仅用于非定量的描述。 研究系统可靠性的目的之一是考虑经济性，即全寿命周期 研究系统可靠性的目的之一是考虑经济性， 目的之一是考虑经济性 费用。 费用。 产品的寿命周期： 产品的寿命周期：是指从产品开始构思到最终将产品淘汰 之间的时间区间。 之间的时间区间。
(7―2)
因为一个系统发生故障和无故障是互斥事件， 因为一个系统发生故障和无故障是互斥事件，必 须满足R(t)+F(t)=1。故可靠度还可以写成： 须满足 。故可靠度还可以写成：
R (t ) = 1 − F (t ) =
N 0 − N f (t ) N0
(7―3)
某种系统(或部件或元件 或部件或元件)1000个 ， 工作 例如 ， 某种系统 或部件或元件 个 1000h，有 10个发生故障 。 我们可以计算出这种系统 ， 个发生故障。 个发生故障 (或部件或元件 千小时的可靠度为： 或部件或元件)千小时的可靠度为 或部件或元件 千小时的可靠度为：
可靠性指标
1.可靠度 可靠度 可靠度就是在规定的时间内和规定的条件下系统完 成规定功能的成功概率。 成规定功能的成功概率。 个同样的系统，使它们同时工作在同样的条件下， 有N0个同样的系统，使它们同时工作在同样的条件下， 从它们开始运行到t时刻的时间内， 从它们开始运行到 时刻的时间内，有Nf(t)个系统发生故 时刻的时间内 个系统发生故 障，Ns(t)个系统工作完好，则该系统t时间的可靠度可表 个系统工作完好，则该系统 时间的可靠度可表 个系统工作完好 示为： 示为：
引例： 引例：联合国安理会表决制
P 1
P2
P3
P4
P5
图中，pi表示各个常任理事国的通过概率。 图中， 表示各个常任理事国的通过概率。 整个系统的通过概率为
P = ∏ pi
i =1
n
在每一个具体问题上， 是不同的， 在每一个具体问题上， pi是不同的，为了方便 起见，这里用p代表 的代数平均值。 起见，这里用 代表 pi 的代数平均值。 则上式变为
λ (t ) =
N 0 [ R(t ) − R(t + ∆t )] N 0 R ( t ) ∆t
(7―4)
将上式写成微分形式： 将上式写成微分形式： 1 dR(t ) λ (t ) = − R(t ) dt 上式又可以写成： 上式又可以写成：
dR(t ) λ (t )dt = − R (t )
(7―5)
(7―6)
式从0到 积分 可以得到： 积分， 对(8―6)式从 到t积分，可以得到： 式从
∫
λ
0
λ (t )dt = − ln R(t )
−
λ
R(t ) 1
∫0 R (t ) = e
λ (t )d
(7―7)
故障率分为瞬时故障率和平均故障率， 故障率分为瞬时故障率和平均故障率，但讲故障率时一般指 瞬时故障率。 瞬时故障率。
i =1
n
λ＝ λ1 ＋ λ2＋L＋ λn = ∑ λi
i =1
n
设有一个小型计算机系统， 例 设有一个小型计算机系统，其主机 1 = 2 × 10 −4 / h 键盘 ， λ
λ2 = 10 −3 / h ，磁盘机λ3 = 4 × 10 −4 / h屏幕显示器 λ4 = 4 × 10 −4 / h
7.2.2 并联系统 定义：如果仅当组成系统的全部元件都失效时， 定义：如果仅当组成系统的全部元件都失效时， 整个系统才发生故障，这种系统称为并联系统。 整个系统才发生故障，这种系统称为并联系统。
设并联系统由n个元件组成，如图所示， 设并联系统由 个元件组成，如图所示， 个元件组成 R 不可靠度 第i个元件的可靠度为 个元件的可靠度为 ，(i) 为 ，i 其系统的不可靠度为 F
~ 3.中值维修时间 M ：当维修函数 M(t ) = 0.5 时的维修时间。 时的维修时间。 中值维修时间
4. 最大维修时间Mmax ：取
α = 5% − 10%,当维修度函数 M ( t ) = 1 − α时的维修时间。 时的维修时间。
可靠性术语
系统可靠性. 系统可靠性 系统可靠性
系统从初始状态开始一直提供服务的能力 平均无故障时间MTTF来衡量 用平均无故障时间 来衡量
系统可用性
系统正常工作时间在连续两次正常服务间隔时 间中所占的比率 用MTTF/MTBF（平均失效间隔时间）来衡量 （平均失效间隔时间）
系统可信性
多大程度上可以合理地认为服务是可靠的 可信性不可度量
7.2 系统可靠性模型
7.2.1 串联系统 定义： 定义：如果组成系统的任一元件失效就会导致整个 系统发生故障，这种系统称为串连系统。 系统发生故障，这种系统称为串连系统。
为了表征系统的可维修性，引入平均修复时间 MTTR。它也是一个统计值，用下式表示： 。它也是一个统计值，用下式表示：
1 MTTR = N
∑
i =1
N
∆ti
(7―11)
系统的可用性通常用利用率来表示。 系统的可用性通常用利用率来表示。利用率就是系 统长时间工作中正常工作的概率， 统长时间工作中正常工作的概率 ， 也就是系统的使用 效率，利用率 用下式表示 用下式表示： 效率，利用率A用下式表示：
某段时间内的故障数 平均故障率＝ 平均故障率＝ 该段工作时间
λ (t )
使用寿命
T 0 早期故障率
t1
偶然故障率
t 2 耗损故障率
可维修产品的典型故障率曲线（浴盆曲线） 可维修产品的典型故障率曲线（浴盆曲线）
理论及实践均已证明，对一般电子设备， 理论及实践均已证明，对一般电子设备， 当然也 包括微机应用系统，经过一段时间老化后， 包括微机应用系统，经过一段时间老化后，λ(t)基本保 基本保 持不变。 因此， 可用λ代替 持不变 。 因此 ， λ(t)可用 代替 。 于是 可用 代替。 于是(8―7)式便可写 式便可写 成：
行式打印机 λ5 = 2 × 10 −3 / h ，则该系统的故障率为
λ1 = ∑ λi = 4 × 10 −3 /Biblioteka Baiduh
i =1
5
故障间平均工作时间为 系统可靠度为
θ=
1
λ
= 250(h)
R (t ) = e
−0.004t
系统能够可靠地工作100h的概率为 系统能够可靠地工作 的概率为
R (100) = e −0.4 = 0.67
F = F1F2 LFn = ∏ Fi
i =1 n
1 2
M
3 并联系统
服从指数分布， 若 R i服从指数分布，则
R i = e − λi t
Fi = 1 − R i = 1 − e − λi t
n n i =1
n
系统的不可靠度为 F = ∏ (1− R i ) 系统的可靠度为 R = 1 − ∏ (1− R i )
N s (t ) N s (t ) R(t ) = = N s (t ) + N f (t ) N0
系统的不可靠度F(t)可相应地表示为： 可相应地表示为： 系统的不可靠度 可相应地表示为
(7―1)
N f (t ) N s (t ) F (t ) = = N s (t ) + N f (t ) N0
R= N 0 − N f (t ) N0 1000 − 10 = = 0.99 1000
2.失效率 失效率 失效率为系统运行到t时刻后单位时间内， 失效率为系统运行到 时刻后单位时间内，发生故 时刻后单位时间内 障的系统数与时刻t时完好系统数之比。 障的系统数与时刻 时完好系统数之比。失效率有时也 时完好系统数之比 称为瞬时失效率或简单地称为故障率。假定N 称为瞬时失效率或简单地称为故障率 。 假定 0 个系统 的可靠度为R(t)，在t时刻到 ， 时刻到 时刻到t+∆t时刻的失效率为 的可靠度为 时刻的失效率为 N0［R(t)-R(t+∆t)］。那么，单位时间内的失效数为 0 ］ 那么，单位时间内的失效数为N 时刻完好系统数为N ［R(t)-R(t+∆t)］/∆t。t时刻完好系统数为 0R(t)=Ns(t)。 ］ 。 时刻完好系统数为 。 于是，失效数 可以用下式表示： 于是，失效数λ(t)可以用下式表示： 可以用下式表示
3. 平均故障间隔时间 描述可靠性的另一个重要参数称为平均故障间隔 时间MTBF或平均无故障时间 也称为故障前平均时 或平均无故障时间(也称为故障前平均时 时间 或平均无故障时间 间 )MTTF。前者用来描述可修复的产品 ； 后者用于描 。 前者用来描述可修复的产品； 述不可修复产品。 一般情况下， 通常都用MTBF来表 述不可修复产品 。 一般情况下 ， 通常都用 来表 示：
i=1
F = ∏ (1 − e −λit )
i =1
R = 1 − ∏ (1 − e −λit )
i =1
n
当n=2时，由上式得 R = e−λ1t + e−λ2t − e−(λ1+λ2 )t 时 又
θ = ∫ Rdt =
0 +∞
1
λ1
+
1
λ2
−
1 λ1 + λ2
当λ1＝λ2＝λ时
R = 2e
− λt