空间向量及其线性运算 课件

的充要条件是: 存在实数 l ,使得 b = l a
△ABC 的重心,求证:
1
PG = (PA + PB + PC)
3
P
C
A
G
D
B
小结: 1. 空间向量有关概念. 2. 空间向量的线性运算:加法,减法,数乘. 关键:转化在同一平面内进行运算. 加法和数乘运算满足的运算律:
3. 空间向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
规定:零向量与任一向量共线.
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
的充要条件是: 存在实数 l ,使得 b = l a
例题:
1. 如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,M是BB 1的 中点,化简下列各式.
(1)CB + BA1 = CA1 1
(2) AC + CB + 2 AA1 1
AB + AA1 + AD ?
D1
A1
C1 B1
D A
C B
学习新知: 1.空间向量;空间向量的表示:
(1)在空间中,把像位移、力、速度、加速度这 样既有大小又有方向的量，叫做空间向量。
(2)空间向量和平面向量一样,空间向量也用有 向线段表示.
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示 同一向量或相等向量.
2.对于任意两个空间向量 a , b ,在空间任取
一点O,作 OA = a, AB = b
空间任意两个向量,都可以用某一平面内的两条
有向线段表示.
空间向量 T 平面向量
a
b
a + b = OAA+ BO= B
B
BA = OA- OB
aP O
A
OP = l a
与平面向量一样,空间向量的加法,减法,数乘 运算的意义与平面向量运算的意义相同.
3. 空间向量的加法和数乘运算满足运算律:
(1)a + b = b + a
(2)(a + b) + c = a + (b + c)
(3)l (a +=b) l a + l b
O
a
A
b
C
Bc
4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,则这些向量称为平行向量或 共线向量.
记作: a b
交于点O,设 OA = a,OB = b D
C
(1) AD = _______
AB = _______
O
A
B
(2) AB - AC + BC = ______
3.化简:
1 (ab+ 2 - 3c)5+ ( 21ab-
2
32
+ 2 c) - 3(a - 2b + c) 3
4.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中.怎样求
= AB + BM 2
= AM
A1 A
(3) AA1 - AC - CB = CA1 - CB = BA1
B1
C1 M
B C
练习:
1. 如图,在空间四边形ABCD 中,E是AB 中 点,CF=2DF,化简下列各式:
(1) ACC+ BB+ D (2) AFB- FA- C
D F
(3) 1 AB + BC + 2 CD
2
3
A E B
C
例题: 2. 如图,在长方体OADB-CA 1D1B1中,OA=3,
OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1, 点E,F分别是DB,
D1B1的中点,设 OI = i,OJ = j,OK = k ,试用
i, j, k 表示下列向量. C
B1
(1)OE
(2)OF
(3)AF
A1
K
O IJ
A
D1 F
B E D
练习:
2. 如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中, 点E,F分
别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,
求下列各题中m,n,p 的值.
A1
D1
(1) AE = m AB + n AD + p AA1
E
(2) AF = m AB + n AD + p AA1 B1
空间向量及其线性运算
复习: 1.如图:六边形ABCDEF 是圆O的内接正六边 形.
(1)在图中标记的向量中,和 DC相等的向量有 哪些? 和 DC 互为相反的向量有哪些?
(2)在图中标记的向量
B
C
中,和 DC 共线向量有
哪些?
A
O
D
(3)怎样用向量 CF 来
表示向量 BA, ED ?
F
E
2.如图:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD
C1 F
(3)EF = m AB + n AD + p AA1 A
D
B
C
练习: 3. 已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四 边形,E为PC中点, AB = a, AD = b, AP = c ,试用
a, b, c 表示 CE.
P
D A 已知P是△ABC 所在平面外一点,G是