将军饮马(最完整讲义)
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
将军饮马课件ppt
05
将军饮马问题的扩展和挑 战
变种问题
01
02
03
04
障碍物问题
在路径上设置障碍物，求最短 路径时需要避开障碍物。
多点折返问题
在路径上设置多个折返点，求 最短路径时需要多次折返。
限制条件问题
在求最短路径时加入限制条件 ，如步数限制、时间限制等。
动态变化问题
路径长度会随时间或其他因素 变化，需要求最短路径时考虑
这些变化。
计算复杂度
最坏情况下的时间复杂度
在最坏情况下，算法的时间复杂度可 能较高，需要优化算法以降低时间复 杂度。
空间复杂度
并行计算
为了提高算法的效率，可以考虑使用 并行计算来加速计算过程。
算法的空间复杂度也需要考虑，以评 估算法的内存消耗。
实际应用中的限制和优化
数据精度
在实际应用中，需要考虑 数据精度对算法的影响， 以避免误差累积导致结果 不准确。
在车辆调度方面，将军饮马问题同样 适用。通过优化车辆的出发时间和行 驶路线，物流公司可以最大化利用车 辆资源，提高运输效率。
计算机算法
图论算法
将军饮马问题作为图论中的经典问题，可以应用于计算机算法领域。通过解决将军饮马问题，可以开 发出更高效的图论算法，用于解决其他相关问题。
最短路径算法
最短路径算法是计算机算法中的重要组成部分。将军饮马问题可以作为最短路径算法的参考模型，帮 助开发人员找到图中两点之间的最短路径。
03
04
几何法是利用几何知识解决将 军饮马问题的方法。
它通过将问题转化为几何图形 ，利用几何定理和性质来找到
最短路径。
几何法适பைடு நூலகம்于具有明显几何特 征的问题，如两点之间的最短 距离、三角形中的最短路径等
将军饮马方法总结
将军饮马方法总结将军饮马是一种古代将领在战前饮酒开宴，观察酒杯中马的动作来预测战争胜负的方法。
这种方法源于古代中国的兵法典籍《孙子兵法》中的一种策略，被誉为战争智慧的体现。
本文将对将军饮马方法以及其背后的原理进行总结和探讨。
一、将军饮马的由来将军饮马这个词汇最早出现在《孙子兵法》中，其中记载了古代将领在战前用饮酒观察马的动作来预测战争胜负的做法。
将军在战前会将马放入大碗中，并倒入一碗酒，观察马在酒中的动作来判断战争的结果。
这种方法被认为是一种通过观察细微变化来预测未来的智慧，对于战争策略有着深远的影响。
二、将军饮马的原理将军饮马的原理在于通过观察马在酒中的动作来预测战争胜负。
马的动作往往可以反映出一些隐藏的信息，将军通过观察这些细微的变化来判断未来战争的结果。
1.马的姿态：将军观察马在酒中的姿态，如是否直立、是否有力地站立，可以了解到战争的开展情况。
如果马能够保持直立且有力地站立，那么说明战争将会顺利进行，并获得胜利的机会更大。
2.马的动作：将军还会观察马在酒中的动作，如是否舒展四肢、是否昂首挺胸。
如果马能够舒展四肢且昂首挺胸，那么说明战争将会迅速展开，并且取得较好的战果。
3.马的平衡：将军还会留意马在酒中的平衡状态，如是否保持稳定、是否有摇摆。
如果马能够保持稳定且不摇摆，那么说明战争将会有序进行，并且战局可能较为稳定。
通过观察这些细节，将军可以据此做出相应的战略决策，以尽可能地获得战争的胜利。
三、将军饮马的局限性虽然将军饮马方法在古代曾被广泛运用，但其并非百分百可靠，存在一定的局限性。
1.主观因素：将军饮马方法的判断结果往往受到将军主观意识的影响，将军可能会根据自己的喜好和想象来做出判断，导致结果不准确。
这是因为马在酒中的动作可以有多种解释，不同的人可能会给出不同的答案。
2.随机因素：马在酒中的动作往往是有一定随机性的，因此将军饮马方法并不能完全准确地预测战争的胜负。
即使马的动作符合理想状态，战争的结果也受到其他因素的影响，如战术、策略等。
初中数学-将军饮马问题-公开课课件课件全文
抽象： 如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小？
A
M
B
P
N
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？ 请举例说明.
垂线段最短 m
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的 问题？请举例说明.
使AC+CD+BD+AB最短。
问题特征： 两线两定两动
解决方法：依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段.
8/25/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ024
联系中考
(2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm， 两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿
Q A
P
O
B
R
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一 点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使
´
它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
P´ P
方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常 转化为“两点之间线段最短”
问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马 也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？
M
P
连接AP, 则PA´=PA，
A´
则PA+ PB= PA ´+ PB= A´B
在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´,
则AP´=A´P´，则AP´+BP´= A´P´+ BP´
△BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´，
初中数学模型【讲义】将军饮马
“将军饮马”模型一、模型背景“将军饮马”模型：动点在直线上运动，所引出的线段和、差的最值问题往往通过轴对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值核心知识点：两点之间线段最短、垂线段最短二、模型内容（一）线段和最值1. 两定一动型(异侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：2. 两定一动型(同侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：3. 一定两动型点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求AP+PQ+AQ的最小值理论依据：4. 一定两动型（变式）点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求PQ+AQ的最小值理论依据：5. 两定两动型点A、B为平面内两个定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求四边形APQB周长的最小值理论依据：（二）线段差最值6. 两定一动型(同侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：7. 两定一动型(异侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：三、模型应用1．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP BP +的最小值是______.2．如图，正方形ABCD 的面积为64，ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为______.3．如图所示，已知121(,)(2,)2A yB y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当||AP BP −的值最大时，连接OA ，AOP ∆的面积是_______.4．如图，C 为马，D 为帐篷，牧马人牵马，先到草地边牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．5．（1）如图1，在等边ABCBC=．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重∆中，6合）的动点．①当点P为BC的中点时，在图1中，作出PDE∆的周长的最∆的周长最小，并直接写出PDE∆，使PDE小值；②如图2，当2∆的周长的最小值．PB=时，求PDE（2）如图3，在等腰ABC=，4BC=，点P、Q、R分别为边BC、AB、∠=︒，AB ACBAC∆中．30∆周长的最小值并简要说明理由．AC上（均不与端点重合）的动点，求PQR。
初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）
初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）（word电⼦资料⽂末领取）唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说:'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。
'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。
传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短?从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。
抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。
假设点A、B在直线l的⼀侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。
即连接AB交直线l于点C。
因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，再连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。
掌握了这个“将军饮马模型”的原理和结论后，我们来具体挑战⼀下吧！第⼀关：⾓中应⽤1、如图，已知两点P、Q在锐⾓∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．解析：如图，分别作点P、点Q关于OA、OB的对称点P’,Q’,分别交OA、OB于点M、点N。
PM＋MN＋NQ=P’M+MN+N’Q,当点Q’,P’,M,N共线时，最⼩为P’Q’。
第⼆关：三⾓形中应⽤2、已知，如图△ABC为等边三⾓形，⾼AH=10cm，P为AH上⼀动点，D为AB的中点，则PD+PB的最⼩值为______cm.解析：连接PC，∵△ABC为等边三⾓形，D为AB的中点，∴PD+PB的最⼩值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.第三关：四边形中应⽤3、如图,正⽅形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上⼀动点,则DN+MN的最⼩值为解析：如图，连接BM，∵点B和点D关于直线AC对称，∴NB=ND，则BM就是DN+MN的最⼩值，∵正⽅形ABCD的边长是8，DM=2，∴CM=6，∴由勾股定理得BM=10，∴DN+MN的最⼩值是10.第四关：圆中应⽤4、如图,MN是O的直径,MN=2,点A在O上,∠AMN=30∘，B为弧AN的中点，P是直径MN上⼀动点，则PA+PB的最⼩值为___.解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点。
将军饮马知识点总结
将军饮马知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来唠唠将军饮马这个有趣的知识点呀！
你们想啊，将军要去河边饮马，那他得找个最短的路吧，不然走冤枉路多累呀！这就好比咱出门，肯定也想找最近最省事儿的路嘛。
将军饮马问题呀，其实就是要在一个图形中找到一条最短的路线。
就像咱去超市买东西，得规划一下怎么走能最快买到所有需要的，还不绕路。
比如说，给你一条河，河这边有个点 A，河那边有个点 B，将军在 A 点，马在B 点，那将军咋走才能最快到马那呢？
这时候就得动点小脑筋啦！咱得把河看成一面镜子，然后把 B 点对称过去，得到一个对称点 B'，这时候将军直接去 B'点不就成啦？嘿嘿，是不是挺有意思的。
再举个例子呀，要是有个三角形 ABC，P 是三角形里面的一个点，那将军要从 A 点出发，经过 P 点再到 B 点，怎样最短呢？这也不难呀，还是用那招，把 B 点对称过来，然后连线，那路线不就出来啦！
你说这将军饮马问题多实用啊！生活中咱也经常能碰到类似的呢。
比如你要去几个地方办事，怎么安排路线最省时间，这不就是将军饮马嘛！
还有啊，这将军饮马问题还能变着花样考呢！有时候会给你多个点，让你找最短路线；有时候会把图形变复杂，让你去思考。
但咱只要抓住本质，就不怕它变。
咱学知识不就是为了用嘛，学会了将军饮马，以后遇到这种找最短路线的问题，咱就能轻松搞定啦！就像将军找到了最快去饮马的路一样，咱也能在各种问题中找到最快捷的解决办法呀！你们说是不是这个理儿？反正我觉得这将军饮马问题特别有意思，也特别有用，咱可得好好掌握它呀！这样以后不管碰到啥情况，咱都能像将军一样，聪明地找到最短路径，轻松应对各种挑战呢！。
将军饮马问题讲义
将军饮马问题之阳早格格创做唐往诗人李颀的诗《古从军止》启头二句道:"黑日登山视烽火，薄暮饮马傍接河."诗中隐含着一个有趣的数教问题.如图所示，诗中将军正在瞅视烽火之后从山足下的A面出收，走到河边饮马后再到B面宿营.请问何如走才搞使总的路途最短?那个问题早正在古罗马时代便有了，传道亚历山大乡有一位粗通数教战物理的教者，名喊海伦.一天，一位罗马将军博程去考察他，背他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出收，先到河边饮马，而后再去河岸共侧的B天启会，该当何如走才搞使路途最短?今后，那个被称为"将军饮马"的问题广大流传.将军饮马问题=轴对于称问题=最短距离问题（轴对于称是工具，最短距离是题眼）.所谓轴对于称是工具，即那类问题最时常使用的搞法便是做轴对于称.而最短距离是题眼，也便表示着归类那类的题手段缘由.比圆题目时常会出现线段a+b 那样的条件大概者问题.一往出现不妨赶快偶像到将军问题，而后利用轴对于称解题.一．六大模型1.如图，曲线l 战l 的同侧二面A、B，正在曲线l 上供做一面P，使PA+PB 最小.2.如图，曲线l 战l 的共侧二面A、B，正在曲线l 上供做一面P，使PA+PB 最小.3.如图，面P 是∠MON 内的一面，分别正在OM，ON 上做面A，B.使△PAB 的周少最小.4.如图，面P，Q 为∠MON 内的二面，分别正在OM，ON 上做面A，B.使四边形PAQB 的周少最小.5.如图，面A 是∠MON 中的一面，正在射线ON 上做面P，使PA 取面P 到射线OM 的距离之战最小6. .如图，面A 是∠MON 内的一面，正在射线ON 上做面P，使PA 取面P 到射线OM 的距离之战最小罕睹问题最先明黑几个观念，动面、定面、对于称面.动面普遍便是题目中的所供面，即那个大概的面.定面即为题目中牢固的面.对于称的面，做图所得的面，需要连线的面.1. 怎么对于称，做谁的对于称？.简朴道所有题目需要做对于称的面，皆是题手段定面.大概者道惟有定面才不妨去做对于称的.（不决定的面做对于称式不意思的）那么做谁的对于称面?最先要粗确闭于对于称的对于象肯定是一条线，而不是一个面.那么是哪一条线？普遍而止皆是动面天圆曲线.2. 对于称完以去战谁对接？一句话：战其余一个定面贯串.千万于不克不迭战一个动面贯串.粗确一个观念：定面的对于称面也是一个定面.比圆模型二战模型三.3. 所供面怎么决定？最先一定要明黑，所供面末尾反应正在图上一定是个接面.本量便是咱们所绘曲线战已知曲线的接面.底下咱们去瞅瞅将军饮马取二次函数分离的问题：1.如图，扔物线y=ax2+bx+c通过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三面．（1）供扔物线的剖析式；（2）如图，正在扔物线的对于称轴上是可存留面P，使得四边形PAOC的周少最小？若存留，供出四边形PAOC周少的最小值；若不存留，请证明缘由．【分解】（1）设接面式为y=a（x﹣1）（x﹣4），而后把C面坐标代进供出a=，于是得到扔物线剖析式为y=x2﹣x+3；（2）先决定扔物线的对于称轴为曲线x=，连结BC接曲线x=于面P，如图，利用对于称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据二面之间线段最短得到PC+PA最短，于是可推断此时四边形PAOC的周少最小，而后估计出BC=5，再估计OC+OA+BC即可．【解问】解：（1）设扔物线剖析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代进得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=，所以扔物线剖析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3；（2）存留．果为A（1，0）、B（4，0），所以扔物线的对于称轴为曲线x=，连结BC接曲线x=于面P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周少最小，果为BC==5，所以四边形PAOC周少的最小值为3+1+5=9．【面评】原题考查了待定系数法供二次函数的剖析式：正在利用待定系数法供二次函数闭系式时，要根据题目给定的条件，采用妥当的要领设出闭系式，进而代进数值供解．普遍天，当已知扔物线上三面时，常采用普遍式，用待定系数法列三元一次圆程组去供解；当已知扔物线的顶面大概对于称轴时，常设其剖析式为顶面式去供解；当已知扔物线取x轴有二个接面时，可采用设其剖析式为接面式去供解．也考查了最短路径问题．2．（2015•上乡区一模）设扔物线y=（x+1）（x﹣2）取x轴接于A、C二面（面A正在面C的左边），取y轴接于面B．（1）供A、B、C三面的坐标；（2）已知面D正在坐标仄里内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，供面D的坐标；（3）若面P、Q位于扔物线的对于称轴上，且PQ=，供四边形ABQP周少的最小值．【考面】二次函数概括题．【分解】（1）令x=0，供出取y轴的坐标；令y=0，供出取x 轴的坐标；（2）分三种情况计划：①当AB为底时，若面D正在AB上圆；若面D正在AB下圆；②当AB为腰时，A为顶面时，③当AB为腰时，A为顶面时；小心解问即可．（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周少最小，根据轴对于称最短路径问题解问．【解问】解：（1）当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=﹣1大概x=2；则A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0）；（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时，若面D正在AB上圆，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1（0，﹣），若面D正在AB下圆，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2（﹣1，﹣），②当AB为腰时，A为顶面时，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴面D正在y轴大概x轴上，若D正在y轴上，得D3（0，），若D正在x轴上，得D4（﹣3，0）；③当AB为腰时，A为顶面时，若面D正在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5（﹣1，﹣2）；若面D正在第四象限时，∵DB∥x轴，BD=2，得D6（2，﹣），∴切合央供的面D的坐标为（0，﹣），（﹣1，﹣），（0，），（﹣3，0），（﹣1，﹣2），（2，﹣）；（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周少最小，把面B进取仄移个单位后得到B1（0，﹣），∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，∴四边形BB1PQ是仄止四边形，∴BQ=B1P，∴AP+BQ=AP+B1P，要正在曲线x=上找一面P，使得AP+B1P最小，做面B1闭于曲线x=的对于称面，得B2（1，﹣），则AB2便是AP+BQ的最小值，AB2==，AB=2，PQ=，∴四边形ABQP的周少最小值是+2．【面评】原题考查了二次函数概括题，波及二次函数取x轴的接面、取y轴的接面、等腰三角形的本量、勾股定理等真量，存留性问题的出现使得易度删大．。
最短路径(将军饮马)问题资料讲解
最短路径（将军饮马）问题与拓展相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。
由此可以推出两边之和大于第三边；②垂线段性质：垂线段最短。
问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。
如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再走到B 点的营地。
怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小模型【2】一定直线，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小模型【3】两定直线，两定点已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小模型【4】两定直线，一定点已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小A l A M O N P Q ON P模型【5】两定直线，一定点已知：∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B，使AB＋PB最小注意：模型4与模型5的联系与区别变式：线段之差最大问题模型【6】一定直线，同侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大模型【7】一定直线，异侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大造桥选址问题利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。
原题再现如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。
（人教版八年级上册第86页）MO NPllAB变式拓展模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段CD （长度不变），使AC ＋CD ＋DB 最小巩固练习1、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝110°，在BC 上存在一点M ，在CD 上存在点N ，使△AMN 的周长最短，则∠MAN 的度数为 ；2、如图，Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5， BD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为BD 、BC 上的动点， 连接CE 、EF ，则C E ＋EF 的最小值是______3、如图，若AP ＝4，∠CAB ＝30°，在AB 上有一动点M ，AC 上有一动点N ，则 PMN 周长的最小值是____________4、如图，△ABC 在平面直角坐标系中，且A (1，3)、B (－4，1)、若M （a-1，0）、N （a ，0），当BM ＋MN ＋NA 最小时，直接写出a 的值是_________．几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．l D A B C 第1题图 D C B A BA C P DC AB E F例1、如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足是点D ，点E 为直线AD 上一点，以CE 为边作等边三角形CEF ，则DF 的最小值是________练习：1、如图，△ABC 是等边三角形，边长为6， 点D 为BC 中点，，点E 为直线BC 上一点，以AE 为边作等边三角形AEF ，则DF 的最小值是________2、平面直角坐标系中，C (0，4)，K (2，0)，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点ABC B。
人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？第 1 页第 2 页模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点B，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
做法：做A 点关于l 的对称点A`点，再过A`点做AB 垂直k 于B 点，交l 于P点，此时AP+PB 值最小。
理由：对称后，AP=A`P,A`点到直线k 的最短距离为垂线段A`B ，故AP+PB 的最小值为A`B 。
将军饮马问题(讲)
将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aB3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMDCB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
(完整版)将军饮马问题(总5页)
(完整版)将军饮马问题(总5页)
将军饮马问题是一个考查组合数学的有趣问题，它的背景故事是这样的：有一位准将，他有30匹马，要出发征战了，但是他想要对这30匹马进行饮马仪式，即把30匹马从一个桶里拿出三匹，立即喂食，然后又把它们放回去，以此重复30次，问最少要多少桶，才能保证每匹马都受到饮马仪式的次数？
将军饮马问题是一道传统的组合数学问题。
本题由英国数学家J. S. Wright 于1880 年发表在《数学月刊》上。
本问题是关于组合数学中的非可逆组合问题，也可以理解为组合排列问题。
将军饮马问题有两种解法，一种是使用概率论的方法，一种是使用组合数学的方法。
如果使用概率论的方法，根据鸽巢原理，可以得出答案是3桶。
如果使用组合数学的方法，问题可以表述为:从30个马中取出3个，相当于从30个空位中取出3个，一共有C30 3 = 27720 种可能，每一种可能就表示一次饮马仪式，所以需要27720 个桶，即28 桶。
将军饮马问题的另一个解法是使用组合数学的方法。
从题意中可以得出，饮马仪式的目的就是要把30 匹马分成。
将军饮马问题讲义
将军饮马问题唐朝诗人李的诗开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题轴对称是工具,最短距离是题眼;所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称;而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由;比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题;一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题;一．六大模型1.如图,直线l 和l 的异侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;2.如图,直线l 和l 的同侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;3.如图,点P 是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B;使△PAB 的周长最小.4.如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B;使四边形PAQB 的周长最小;5.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念,动点、定点、对称点;动点一般就是题目中的所求点,即那个不定的点;定点即为题目中固定的点;对称的点,作图所得的点,需要连线的点;1. 怎么对称,作谁的对称;简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点;或者说只有定点才可以去作对称的;不确定的点作对称式没有意义的那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点;那么是哪一条线一般而言都是动点所在直线;2. 对称完以后和谁连接一句话：和另外一个定点相连;绝对不能和一个动点相连;明确一个概念：定点的对称点也是一个定点;例如模型二和模型三;3. 所求点怎么确定首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点;实际就是我们所画直线和已知直线的交点;下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A1,0、B4,0、C0,3三点．1求抛物线的解析式；2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．分析1设交点式为y=ax﹣1x﹣4,然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；2先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短得到PC+PA最短,于是可判断此时四边形PAOC的周长最小,然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC即可．解答解：1设抛物线解析式为y=ax﹣1x﹣4,把C0,3代入得a﹣1﹣4=3,解得a=,所以抛物线解析式为y=x﹣1x﹣4,即y=x2﹣x+3；2存在．因为A1,0、B4,0,所以抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC,此时PC+PA最短,所以此时四边形PAOC的周长最小,因为BC==5,所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．点评本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．2．2015上城区一模设抛物线y=x+1x﹣2与x轴交于A、C两点点A在点C的左边,与y轴交于点B．1求A、B、C三点的坐标；2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．考点二次函数综合题．分析1令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；2分三种情况讨论：①当AB为底时,若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时,A 为顶点时,③当AB为腰时,A为顶点时；仔细解答即可．3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答．解答解：1当x=0时,y=﹣；当y=0时,x=﹣1或x=2；则A﹣1,0,B0,﹣,C2,0；2如图,Rt△ABO中,OA=1,OB=,∴AB=2,∠ABO=30°,∠BAO=60°,∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时,若点D在AB上方,由∠ABO=∠BAD=30°,AB=2,得D10,﹣,若点D在AB下方,由∠BAD=∠DBA=30°,AB=2,得D2﹣1,﹣,②当AB为腰时,A为顶点时,∵∠DAB=120°,∠OAB=60°,AD=AB=2,∴点D在y轴或x轴上,若D在y轴上,得D30,,若D在x轴上,得D4﹣3,0；③当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限,∵∠DBO=150°,BD=2,得D5﹣1,﹣2；若点D在第四象限时,∵DB∥x轴,BD=2,得D62,﹣,∴符合要求的点D的坐标为0,﹣,﹣1,﹣,0,,﹣3,0,﹣1,﹣2,2,﹣；3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,把点B向上平移个单位后得到B10,﹣,∵BB1∥PQ,且BB1=PQ,∴四边形BB1PQ是平行四边形,∴BQ=B1P,∴AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=上找一点P,使得AP+B1P最小,作点B1关于直线x=的对称点,得B21,﹣,则AB2就是AP+BQ的最小值,AB2==,AB=2,PQ=,∴四边形ABQP的周长最小值是+2．点评本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容,存在性问题的出现使得难度增大．。
将军饮马最全最系统讲解
将军饮马——轴对称“化折为直”求最值求PA+PB最小值求PA+PB最小值两定点在定线两侧（两点之间，线段最短）两定点在定线同侧（先对称，转化成如上）动点A,B在两定线上,P定,△PAB周长最小值动点M,N在两定线上,P定，求PM+MN最小（P’N⊥l1时最小：依据——垂线段最短）【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBANP''A四边形ABPQ 周长最小 四边形ABPQ 周长最小模型4：平移型将军饮马如图，A,B 两点在直线l 的同侧，P,Q 是直线l 上的两个动点，且PQ 为定长， 确定P,Q 位置，使使PA+PQ+BQ 最小模型5：差值型将军饮马当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB −最大。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB −的最大值为AB 。
l BAl P2121当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB −最大。
作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的PA PB −的最大值为AB ′。
lAl。
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第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
例19：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，求PA PB 的最大值。
PEDCBAPDCBA➢巩固练习练习1：如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，求EC+ED 的最小值。
练习2：如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。
练习3：如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值。
A （3MND AEDCBA练习4：如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R 。
若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？练习5：如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：（1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；（2）求此时∠APB 等于多少度。
如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？OON练习6：如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
练习7：如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。
练习8：如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ+PQ+PB 的最小值是多少？ CDMNBAONB练习9：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。
当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标。
练习10：在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在、 x 轴、y 轴的正半轴上 A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。
（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。
CD OyxB AF C D OyxEBA。