将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型

➢知识点睛

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

一、定直线与两定点

模型作法结论

A、在直线l异侧

当两定点B

时，在直线l上找上点P，使

PA+最小.

PB

A、在直线l同侧

当两定点B

时，在直线l上找上点P，使

PA+最小.

PB

A、在直线l同侧

当两定点B

时，在直线l上找上点P，使

PA-最大.

PB

A、在直线l异侧

当两定点B

时，在直线l上找上点P，使

PA-最大.

PB

A、在直线l同侧

当两定点B

时，在直线l上找上点P，使

PA-最小.

PB

二、角到定点

模型

作法

结论

点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得

PCD ∆周长最小.

点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得

MN PN +最小.

点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.

点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.

点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.

点Q P 、分别在AOB ∠的边

OB OA 、是，在OA 上找一点

M ，在OB 上找一点N ,使得

MQ MN PN ++最小.

二、两定点一定长

模型

作法

结论

如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.

如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为

d ，在21l l 、上分别找N M 、两

点

，

使

1

l MN ⊥，且

NB MN AM ++最小.

如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为

2d ，在21l l 、上分别找N M 、两

点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且

QB PQ NP MN AM ++++最

小.

如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.

➢ 精讲精练

例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．

P O

B

A

M

N

例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．

例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点

P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )

A ．(2,2)

B ．5(2，5

)2

C ．8(3，8)3

D ．(3,3)

第3题图 第4题图 第5题图

例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． P

D

C

B

A

A B

C

D

M

N

N

M

D

C

B

A

例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．

例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．

第7题图 第8题图 第9题图

例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4

例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接

PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6

B ．

C ．

D ．4.5

N

M

D

B

A E A

F

C

D

B

N

M D

C

B

A

E

P

D

C

B

A

M