商人过河问题

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动态规划第7讲 - 商人过河问题

8.7 动态规划：商人过河问题问题提出三名商人各带一个随从乘船渡河（A岸到B岸）。

现此岸有一小船只能容纳两人，由他们自己划行。

若在河的任一岸随从人数比商人多，他们就可能杀人越货。

不过如何乘船渡河的大权由商人们掌握。

商人们怎样才能安全过河呢?模型建立此问题可视为一个多步决策模型建立决策变量:(a,b)a------船上的商人数b ------船上的随从数a,b的取值范围：{0，1，2}且满足a+b<=2，且均为整数。

允许决策集合：D={(a,b)|a+b=1,2}={(0,1), (0,2), (1,1), (1,0), (2,0)}模型求解这样问题要求由(3，3，1)变到(0，0，0)的一条道路。

根据题意，状态转移时要满足一定的规则：1. Z从1变为0与从0变为1交替进行(船在哪个岸)；2. 当Z从1变为0时，即船从A岸到B岸，A岸人数减少1或2个；即(x,y,1)→(u,v,0)时, u≤x, v≤y, u+v=x+y-1 oru+v=x+y-23. 当Z从0变为1时，即船从B岸到A岸，A岸人数增加1或2个；即(x,y,0)→(u,v,1)时, u≥x, v≥y,u+v=x+y+1 oru+v=x+y+24. 不重复已出现过的状态，如(3,3,1)→(3,1,0)→(3,3,1)；按照以上规则，求解过程如下从(3，2，0)只能到达(3，3，1)/*不必考虑*/从(3,3,1)出发(3,2,0)(3,1,0)如右图(2,2,0)(3,3,1)(3,2,0)(3,1,0)(2,2,0)从(3,1,0)出发(3,3,1) /*不必考虑*/(3,2,1)/*可取*/从(2,2,0)出发(3,3,1) /*不必考虑*/(3,2,1)/*可取*/模型求解如下图所示：逐步求解，可得:模型求解由此可得到渡河策略:(3,3,1) (3,2,1)→(3,0,0)→(3,1,1)→(1,1,0)→(2,2,1)→(0,2,0)→(0,3,1)→(0,1,0) (0,0,0)(2,2,0)(3,1,0)(1,1,1)(0,2,1)模型求解思考(1) 夫妻过河问题有三对夫妻要过河，船最多可载两人。

4名商人带4名随从安全过河

4名商人带4名随从安全过河一．问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二．模型假设：商人和随从都会划船。

三．问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。

对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

四．模型构成：xk~第k次渡河前此岸的商人数，yk~第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3,4; k=1,2,……Sk=(xk, yk)~过程的状态,S~允许状态集合，S={(x,y)| x=0, y=0,1,2,3,4; x=4 ,y=0,1,2,3,4; x=y=1,2,3} uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk, vk)~决策，D={(u , v)| 1=<u+v=<2,uk, vk=0,1,2} ~允许决策集合 k=1,2,……因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态Sk随决策dk的变化规律是Sk1=Sk+(-1)k dk~状态转移律求dk∈D(k=1,2, …n), 使Sk∈S, 并按转移律由S1=(4,4)到达状态Sn1=(0,0)。

五．模型求解：1.图解法：对于人数不多的情况，可以利用图解法来求解。

在xoy平面坐标系上画出如图所示的方格，方格点表示状态s=(x,y)，允许状态集合S是圆点标出的13个格子点，允许决策dk是沿方格线移动1格或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。

商人过河问题数学建模(最新整理)

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..综合（4）可得和（6）k k x y ={}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===还要考虑（7）{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y ===把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得（8）{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式（9）{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由（8）{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===到达（6）{}(,)|0,0,1,2,3,4kk k k k S x y x y ===时，可以认为完成渡河。

案例-商人过河

s 3 = ( 3 , 2 ) 故 s 2 = {( 2 , 2 ), ( 3 , 1 )} 且 s 3 = ( 3 , 2 )
穷举法适宜编程上机运算
问题分析
这是一类智力游戏问题，这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个多步决策问题多步决策问题，推理求解。当然也可视为一个多步决策问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前提下（上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河
S = {( 0 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 0 , 2 ), ( 0 , 3 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ) ( 3 , 0 ), ( 3 , 1 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 3 )}
记第k次渡船上的商人数为 uk ，随从数为过程中的决策。为 vk ，而 d k = ( uk , vk ) 为过程中的决策。
sk +1 = sk + ( −1)k d k
多步决策问题模型：多步决策问题模型：转移律由求 d k ∈ D 使 s k ∈ S 并按转移律由 s1 = ( 3, 3) 到达 sn+1 = (0,0)
模型求解
• 图解法
y 3 2
16个格点状态s=(x,y)为16个格点允许状态为10个点允许状态为10个点 10 允许决策为移动1 允许决策为移动1或2格; k为奇数时,向左、下移; 奇数时,向左、下移; k为偶数时,向右、上移. 偶数时,向右、上移.
安全渡河条件下的决策称为允许决策，安全渡河条件下的决策称为允许决策，全允许决策体允许决策构成的集合记为 D

【数学模型】商人们怎样过河？

问题引出问题：三名商人各带一个随从过河，一只小船只能容纳两个人，随从们约定，只要在河的任何一岸，一旦随从人数多于商人人数就杀人越货，但是商人们知道了他们的约定，并且如何过河的大权掌握在商人们手中，商人们该采取怎样的策略才能安全过河呢？这次的问题是一个很经常遇到的过河问题，其实对于该类问题，我们经过逻辑思考就可以得到答案。

但是通过数学模型的建立，我们可以得到一个通用的解答，并且通过计算机的计算我们可以大大扩大问题的规模。

问题分析因为这个问题已经理想化了，所以我们无需对模型进行假设，该问题可以看作一个多步决策问题。

每一步，船由此岸划到彼岸或者由彼岸划回此岸，都要对船上的人员进行决策（此次渡河船上可以有几名商人和几名随从），在保证安全（两岸的随从都不比商人多）的前提下，在有限次的决策中使得所有人都到对岸去。

因此，我们要做的就是要确定每一步的决策，达到渡河的目标。

建立模型记第k 次过河前此岸的商人数为x k , 随从数为y k, k = 1, 2, 3…, x k ,yk = 0, 1, 2, 3定义状态：将二维向量s k = ( x k , y k ) 定义为状态将安全渡河状态下的状态集合定义为允许状态集合，记为S = {(x,y) | x=0,y=0,1,2,3; x=y=1; x=y=2; x=3,y=0,1,2,3}记第k 次渡河船上的商人数为u k，随从数为v k定义决策：将二维向量d k = (u k , v k) 定义为决策允许决策集合记作D = {(u,v) | 1 ≤ u+v ≤ 2, u,v = 0,1,2}因为小船容量为2，所以船上人员不能超过2，而且至少要有一个人划船，由此得到上式。

由我们定义的状态s k和决策d k，我们可以发现它们之间是存在联系的：•k 为奇数是表示船由此岸划向彼岸，k 为偶数时表示船由彼岸划回此岸••状态s k是随着决策d k变化的，规律为：•s k+1 = s k + (-1)k d k我们把上式称为状态转移律，因此渡河方案可以抽象为如下的多步决策模型：求决策d k∈D(k = 1,2,…,n) , 使状态s k∈S 按照转移率，初始状态s1 = (3,3) 经有限步n 到达状态s n+1= (0,0)到这里，整个数学模型就已经非常清晰了，接下来要做的就是求解模型得出结果。

商人渡河问题的有解性分析

商人渡河问题的有解性分析
商人渡河问题是一个传统的组合优化问题，它的出现非常有趣，令人瞩目。

商人渡河问题介绍了一个商人需要运输他的货物从一个地方到另一个地方，在这条旅途中他需要渡河。

商人拥有一艘小船，由于它的容量有限，只能分开运送，但它无法运送所有的货物，这个原因，他只好选择一些货物来渡河，而剩下的部分会有一端被留下。

商人渡河问题必须解决的是，商人怎样有效地把所有的货物运送到目的地。

商人渡河问题有解性取决于具体的商人设置的情况。

理论上，对于任何一个给定的商人设置条件，都应该有一个可行的解决方案使得商人能够成功地把货物运送到目的地。

一般来说，为了确保存在一组可行解，商人渡河问题有解性条件就是“不能够有三位商人或以上一起乘船”，“狼不能够单独船乘陆”，“羊不能够单独船乘陆”，“家长不能够离开他们的孩子”和“船不能够空投着划”，只有满足这些条件才能保证可行解的存在。

除此之外，基本的图算法也可以用来解商人渡河问题，如果问题复杂度较小，它是一种很好的算法。

此外，还有其他一些更加复杂的算法，如模型驱动的算法，如遗传算法，这些算法被用来对比测试复杂问题，查看它是否具有可行解决方案。

总的来说，商人渡河问题的可解性取决于具体的商人设置，一般来说，为了确保可行解的存在，商人渡河问题被限制在一定的条件之下，如果条件被满足，商人渡河问题有解性，如果复杂度较小，基本的图算法可以用来解决这个问题，如果复杂度较高，可以使用更加复杂的算法来寻找可行的解决方案。

商人过河问题数学建模

商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4.随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[x(k),y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3,4;x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k),v(k)=0,1,2;k（1） kv(k)~ 第 k 次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变 s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求 d(k)D(k=1,2,….n), 使 s(k)S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）随从 y商人 x数学模型：S k+1=S +（-1）D kx + x ' = 4kky + y ' = 4k k（2）（3）x ≥ y k.k （4）x ' ≥ y 'kk模型分析：由（2）（3）（5）可得（5）4 - x ≥ 4 - ykk化简得(( ( (( ( k（10） k综合（4）可得x = yk还要考虑x ≤ ykkk 和 S k = { x k , y k ) | x k = 0, y k = 0,1,2,3,4 }（6）S ' = { x ', y ') | x ' = 0, y ' = 0,1,2,3,4 }kkkkk（7）把（2）（3）带入（7）可得S = {(4 - x ,4 - y ) | 4 - x = 0,4 - y = 0,1,2,3,4 }kk k k k化简得S = { x , y ) | x = 4, y = 0,1,2,3,4 }kk k k k综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式S = { x , y ) | x = 0,4, y = 0,1,2,3,4; x = ykkkkk k k所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由}（8）（9）S = { x , y ) | x = 4, y = 0,1,2,3,4 }kkkkk（8）到达S = { x , y ) | x = 0, y = 0,1,2,3,4 }kkkkk（6）时，可以认为完成渡河。

商人过河问题数学建模c语言

商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。

本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。

一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。

为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。

二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。

2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。

具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。

3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。

商人过河问题

商人过河问题摘要本文就商人们如何能够安全过河问题, 采用多步决策建立了数学模型，求解得到商人们安全过河的方案。

将经典的商人过河问题进行了更广的讨论，在此基础上着重分析了安全渡河的状态空间，建立了满足问题需求的规则，从而得出了要求解问题的方案。

模型主要通过穷举的方法对各种过河的方案进行一一列举，然后根据小船的容量和商人们要安全渡河为前提对各种方案进行层层筛选。

最终，得到商人安全渡河的方案。

最后本文就此问题进行推广，当有m名商人m名随从且小船的容量为k时，将会得到几种解决方案给出了说明。

关键词：穷举法多步决策图解法商人过河状态空间一、问题重述三名商人各带一名随从过河，随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但乘船渡河的方案由商人决定.现在需要解决的问题如下：1.1 3名商人在不被随从谋杀和小船最多能容2人的情况下，商人们将如何安全过河?1.2如果有m名商人n名随从，小船的容量为k时，商人们又将如何安全过河？二、模型的假设2.1 假设过河的过程中不会发生意外事故。

2.2 假设当随从人数多过商人时，不会改变杀人越货计划。

2.3假设所有人最终都必须到达河对岸。

三、符号说明M表示商人的数量::N表示随从的数量Z表示河的此岸和彼岸:K表示小船的容量:m表示此岸的商人数量::n表示此岸随从的数量:u表示彼岸的商人数量:v表示彼岸的随从数量四、模型分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。

对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。

对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。

五、模型建立与求解5.1模型的建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

可以用三维向量表示（,,m n Z ）m 的取值范围:{0,1,2,3}n 的取值范围:{0,1,2,3}1,0,Z ⎧=⎨⎩表示划船到河的彼岸表示划船到河的此岸那么允许状态量（即两岸同时必须满足（m n ≥））可以表示为（1）当m =0或3, n ={0,1,2,3}，（2）当m =1或2，m =n或用三维向量表示允许状态量如下表格1：表（1）过河安全状态量5.2模型的求解模型的要求从（3,3,1）开始经过对每次过河的安全状态量的选择最终安全到达（0,0,0）。

商人过河问题.

A (aij )nn 为 G 的邻接距阵，其中
1 aij 0
viv j E(G) viv j E(G)
i, j 1, 2, , n
定理 1：设 A(G) 为图 G 的邻接距阵，则 G 中从顶点 vi 到顶点 v j ，长度为 k 的道路的条
数为 Ak 中的 i 行 j 列元素.
证：对 k 用数学归纳法 k 1 时，显然结论成立; 假设 k 时，定理成立，考虑 k 1的情形.
其中 A 表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵， B AT 表示从北岸到南岸渡河的图的
邻接距阵。
由定理 1、我们应考虑最小的 k ，s t ( AB)k A 中 1 行 10 列的元素不为 0，此时 2k 1
即为最少的渡河次数，而矩阵 ( AB)k A 中 1 行 10 列的元素为最佳的路径数目。
商人过河问题
三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。但如何乘船渡河由商人决定，试给出一个商人安全渡河的方案。
首先介绍图论中的一个定理
G 是一个图，V（G）为 G 的顶点集，E(G)为 G 的边集。设 G 中有 n 个顶点 v1, v2 , , vn ;
条，所以长为 k 1的从 vi 经 k 步到 vl 再一步到 v j 的道路共有 ai(lk) alj 条，故从 vi 经 k 1
n
步到 v j 的路径共有 ai(jk1)
a(k) il
alj
条.
l 1
下面分析及求解假设渡河是从南岸到北岸，（m，n）表示南岸有 m 个商人，n 个随从，全部的允许状态共有 10 个
v1 (3,3) v2 (3,2) v3 (3,1) v4 (3,(0,3) v8 (0,2) v9 (0,1) v10 (0,0)

商人们怎样安全过河的数学模型

商人们怎样安全过河的数学模型示例文章篇一：话说啊，商人们遇到了一个棘手的问题：他们得带着随从们一起过河，但随从们可不是省油的灯，一有机会就想着害商人抢货。

这河又不宽不窄，一只小船每次只能载两个人，怎么过河才能确保安全呢？咱们来聊聊这个问题吧。

首先，商人们得明白，随从们人多势众，要是他们比商人多了，那可就危险了。

所以，商人们得想个法子，让随从们没法儿耍花招。

其实啊，这个问题可以变成一个数学模型。

想象一下，我们把每次过河的人都看成是一个状态，就像打游戏一样，每过一次河就是进入了一个新的关卡。

在这个关卡里，商人们得保证自己的人数不能少于随从们。

那具体怎么做呢？咱们得先设定一些规则。

比如说，每次过河的人数只能是两个，这是小船的容量决定的。

然后，商人们得选择让哪些人过河，这就得靠他们的智慧和策略了。

想象一下这个场景：商人们先让两个随从过河，然后一个商人再带一个随从回来。

这样，河对岸的随从人数虽然多了，但商人这边还有足够的人手可以应对。

接下来，两个商人再过河，这样河对岸的商人数就比随从数多了，安全就得到了保障。

然后，再让一个商人带一个随从回来，这样河这边也有足够的商人保护随从不敢造次。

最后，两个随从再过河，问题就解决了。

这个数学模型虽然简单，但却非常实用。

它告诉我们，在面对困难和挑战时，只要我们善于运用智慧和策略，就一定能够找到解决问题的方法。

所以，商人们要想安全过河，就得靠他们的智慧和勇气了。

示例文章篇二：话说啊，有这么一个古老的谜题，叫做“商人过河”。

话说有三名聪明的商人，他们各自带着一个狡猾的随从，准备乘船过河。

这船啊，一次只能载两个人，问题就在于，这些随从们心里都有个小九九，他们密谋着，只要到了河的对岸，随从人数多于商人人数，就立马动手抢货。

这商人们也不是吃素的，他们知道随从们的阴谋，但他们毕竟都是聪明人，于是就想出了一个绝妙的策略。

咱们来想想啊，这过河其实就是一个多步决策的过程。

每次渡河，船上的人员选择都至关重要。

(完整word版)商人过河问题数学建模

作业 1、 2：商人过河一、问题重述问题一： 4 个商人带着 4 个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约 ,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多 ,就谋财害命。

坐船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假设小船能够容 3 人，请问最多能够有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题解析问题能够看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到此岸或此岸到此岸船上的人员在安全的前提下 (两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员情况，决策变量表示船上的人员情况，能够找出状态随决策变化的规律。

问题就变换为在状态的赞同变化范围内〔即安全渡河条件〕，确定每一步的决策，到达安全渡河的目标。

三．问题假设1.过河途中不会出现不能抗力的自然因素。

2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的方案。

3．船的质量很好，在屡次满载的情况下也能正常运作。

4.随从会遵照商人的调换。

四、模型构成x(k)~ 第k 次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~ 第k 次渡河前此岸的随从数k=1,2, ..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~赞同状态会集S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k 次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~第 k 次渡船上的随从数k=1,2 ..d(k)=( u(k), v(k))~ 过程的决策D~赞同决策会集D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~ 状态转移律求 d(k) D(k=1,2, .n),使 s(k) S并按转移律 s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由〔 4,4〕到达〔 0,0〕随从 y商人 x数学模型：k〔1〕S k+1 =S k +〔-1 〕D kx k x k '4〔2〕y k y k '4〔3〕xk.y k〔4〕x k 'y k '〔5〕模型解析：由〔 2〕〔 3〕〔5〕可得4x k4y k 化简得x k y k综合〔 4〕可得x k y k和S k( x k, y k)| x k0, y k0,1,2,3,4〔6〕还要考虑S '( x', yk ') | x '0, yk' 0,1,2,3,4〔 7〕k k k把〔 2〕〔 3〕带入〔 7〕可得S k(4 x k ,4 y k ) | 4 x k0,4 y k0,1,2,3,4化简得S k (x k , y k ) | x k 4, y k 0,1,2,3,4〔 8〕综合〔 6〕〔7〕〔 8〕式可得满足条件的情况满足下式S k( x k , y k ) | x k 0,4, y k0,1,2,3,4; x k y k〔9〕所以我们知道满足条件的点如上图所示：点搬动由S k ( x k , y k ) | x k 4, y k 0,1,2,3,4〔8〕到达S(x, y) | xk 0, y0,1,2,3,4〔6〕k k k k时，能够认为完成渡河。

商人过河案例建模

商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？因这已经是一个相当清晰的理想化问题，所以直接讨论其模型描述以及模型求解。

这里将其描述为一个动态决策问题：记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为, k=1,…,n。

将二维向量定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S, 。

记第k次渡船上的商人数为，随从数为, k=1,…,n。

将二维向量定义为决策。

考虑小船载人数的限制，应满足，而称为允许决策集合。

因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸；k为偶数时，船从彼岸驶回此岸，所以状态随决策的变化规律是（状态转移规律）。

求决策，使状态按照状态转移规律，由初始状态经有限步n到达状态。

接下来讨论模型的求解，设是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某，且同为奇数或同为偶数，满足，则称所对应的渡河方案是可约的。

这时也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。

显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。

设渡河已进行到第k步，为当前的状态，记，，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策除了应满足：1），且当k为奇数时，，当k为偶数时，；还须满足：2）当k为奇数时，；当k为偶数时，。

通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：思考题：（1）四名商人各带一名随从的情况（小船同前）。

（2）n名商人各带n名随从的情况（小船同前）。

商人过河问题

商人过河一、问题重述和分析随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

现有4名商人各带一个随从一起渡河一只船只能容纳两个人，但如何乘船渡河的大权掌握在商人的手里，商人怎样安排才能在有限步内安全渡河？二、模型假设1、在商人人数多于随从时乘船渡河的大权掌握在商人的手里；2、商人和随从都会划船；三．符号说明x表示商人人数；y表示随从人数；z表示划船到河的此岸与彼岸。

四、模型的建立与求解本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

此岸四个商人用x=0、1、2、3、4表示，此岸四个随从用y=0、1、2、3、4表示，z=0时表示划船到河的此岸时，z=1时表示划船到河的彼岸时，用有序数对（x，y，z）表示每次转移的状态量。

解决此问题就是状态量（4,4,0）转移至（0,0,1），以下就是状态量转移的全部情况（其中“！”表示不能再转移下去或与前面步骤重复）：（4,4，0）→（3,3,1）↓↓（4,2,1）→（4,3,0）→（4,1,1）→（4,2,0）→（4,0,1）→（4,1,0）→！↓（2,2,1）↓！由以上关系可知，一只船只能容纳两个人的情况下，四名商人各带一个随从无法过河。

此外，如果船的容量增加到3人，那么商人就能以几种方式安全过河，以下是其中一种方案：（4,4,0）→（4,2,1）→（4,3,0）→（4,1,1,）→（4,2,0）→（2,2,1）↓（0,1,1）←（0,3,0）←（0,2,1）←（0,4,0）←（0,3,1）←（3,3,0）↓（0,2,0）→（0,0,1）五、模型推广通过以上模型的建立，若商人和随从人数增加或小船容量加大，考虑n名商人各带一随从的情况。

商人过河问题数学建模

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4.随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[x(k),y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y)?x=0,y=0,1,2,3,4;x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k),v(k)=0,1,2;v(k)~第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=(u(k),v(k))~过程的决策D~允许决策集合D={u,v?u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k)?D(k=1,2,….n),使s(k)?S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +kk D （-1）（1） '4k k x x +=（2）'4k k y y +=（3）k.k x y ≥（4）''k k x y ≥（5）模型分析：由（2）（3）（5）可得化简得综合（4）可得k k x y =和{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）还要考虑{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（7）把（2）（3）带入（7）可得化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（8）综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====（9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）时，可以认为完成渡河。

(完整word版)商人过河问题数学建模

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7）把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。