圆锥曲线知识点汇总精讲

∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2、双曲线的简单几何性质：
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
(c,0)、(-c,0)
e c a
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
离心率 a、b、c的关 系
(0<e<1)
c2=a2-b2
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
c2=a2+b2
看 x 2 , y 2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
对称性
顶点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
离心率
渐近线
准线
e=
c
a
( 0＜e ＜1 )
e=
c (e1) a
b a x
无
a2 x c
y= ±
21
§2.3
抛物线
1、抛物线的定义：
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
p ( ,0 ) 2 p ( ,0 ) 2 p (0， ) 2
x
四种抛物 p 线的对比
2
y
F
x
p P的意义:抛物 x 2 线的焦点到准
线的距离
y
F
O
l
x
p 方程的特点: y 2 (1)左边是二次 p y 2
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.
17
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程.
y x 1 解：把方程化为标准方程 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
2
2
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
4 渐近线方程为 y x 3
18
c 5 离心率e a 4
5 例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提 (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a (3)常数 2a 要大于焦距 2c

MF MF 2 a 2 c 1 2
4
定
义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1 64 36
3 渐近线方程为 y x 4
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y x ,它的 4 5 5 离心率为 或 . 4 3
19
3.双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
2、抛物线的简单几何性质：
方程 图 y2 = 2px y2 = -2px （ p＞ 0 ） y l F O x2 = 2py （ p＞ 0 ） y F x2 = -2py （ p＞ 0） y l O （ p＞ 0） y l O F x x≥0 y∈R
形
范围
x
O
x l
F
x
x≤0 y∈R
x∈R y≥0 x∈R y≤0
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，c2=a2-b2
范围
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
|x| ≥ a，yR
H
d
M
·
C
·
F
焦 点
准线
l
直线l 叫抛物线的准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d
y 2 px
2
p 0是焦准距
－－抛物线标准方程
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
圆锥曲线与方程知识点汇总
§2.1
椭圆
1、椭圆的定义：
F1
M
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。 椭圆形成演示 MF1 MF2 2a 椭圆定义.gsp
F1 F2 2c
2a 2c 0时, 为椭圆
y P y F2 x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P
x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
典例分析
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =－
2 3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－ 4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y
F
1
M
o
F
2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
定
义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
M
M x
2 2
2、椭圆的简单几何性质：
标准方程 图象 范围 对称性
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2 y P x2 y2 2 1(a b 0) 2 b a y
F1 OF2
x
F2 P
F1
O
x
-a≤x≤a, -b≤y≤b
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
-b≤x≤b, -a≤y≤a
解 : 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 x y + =1(a > b > 0). a b
2 2 2 2
由椭圆的定义知 2a = 5 3 + 2 + - + 2 2
2 2 2
5 3 2 + - = 2 10 2 2
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径。 焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的基本元素 y2=2px Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定抛物线 开口大小）
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
2 2 2 2
所以a = 10. 又因为c = 2, 所以b = a - c =10 - 4 = 6.
因此，所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2
1 1 1 变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
y x 解：设所求椭圆的方程为 + = 1, a b 1 1 1 将A( , ), B(0, - ) 代入得： 3 3 2 2 1 2 1 3 + 3 =1 a2 b2 , 2 1 - 2 =1 a2 1 2 a = , 4 解得： b2 = 1 . 5 y x 故所求椭圆的标准方程为 + = 1. 1 1 4 5
§2.2
双曲线
1、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
双 曲 线
2 2
性 质 图象
y
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
xa
x
o
x a
ya
或
或
y a
Baidu Nhomakorabea
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
2 2 2 2 2 2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”.
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2－c2=52－42=9
x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（ - 2，0）， 5 3 （2，0）并且经过点（ ， - ），求它的标准方程. 2 2
y F
O 2
不 同 点
图
形
OF F 1 2
2 2
x
F
1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b a b
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c ，F2 0,c
a2-c2=b2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
典例分析 求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型， （2）用待定系数法求 a, b a2=b2+c2
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0）
e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径： y 通过焦点且垂直对称轴的直线， P ( x0 , y0 ) 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度：2P O F x
P越大,开口越开阔
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10
2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ;
-1 -2
y =x 1 2 y = x
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
-3 -4 -5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b