常用数学定理(绝对有用!)

三角函数部分定理

1.正弦定理： （其中R 为三角形外接圆半径）． 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2

-2bccosA;b 2=c 2+a 2-2accosB ；c 2=a 2+b 2

-2abcosC

3. 三角形面积公式三角函数形式：

几何部分定理

1.广勾股定理：在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍．

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍． 证明：设△ABC 中，BC 是锐角A 的对边．作CH ⊥AB 于H ，

根据勾股定理：BC^2 = BH^2 + CH²

而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

带入后有：BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后：BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH

钝角时的证明如下，与上面有点类似：

BC^2 = BH^2 + CH^2

而BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2

同理：BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后：BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·AH

2．中线定理：设△ABC 的边BC 的中点为，则有

中线长： 222222a c b m a -+=

3.角平分线定理

（1）定理1 角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（2）定理2 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。AB:AC=BD:CD

（3）角平分线长公式：

第一形式 在△ABC 中，∠A 的角平分线记为 ，∠B 的角平分线记为 ，∠C 的角平分线记为 ，三边边长为a 、b 、c ，则

其中p 是半周长。

第二形式

三角形ABC 的角平分线为AD ，D 在CB 上。则

第三形式

△ABC 中，角平分线

4. 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，

则有222

R C

c B b A a 2sin sin sin ===

6.托勒密定理定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和AC·BD=AB·CD+AD·BC ．

证明 在AC 上取点E ，使∠ADE=∠BDC ，

由∠DAE=∠DBC ，得⊿AED ∽⊿BCD ．

∴ AE ∶BC=AD ∶BD ，即AE·BD=AD·BC ． ⑴

又∠ADB=∠EDC ，∠ABD=∠ECD ，得⊿ABD ∽⊿ECD ．

∴ AB ∶ED=BD ∶CD ，即EC·BD=AB·CD ． ⑵

⑴+⑵，得 AC·BD=AB·CD+AD·BC ．

7．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．

8．圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理

相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.

切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

9. 塞瓦定理

利用面积关系证明 ∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD

=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③

同理 CE/EA=S △BOC/ S △

AOB ④ ，AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤

③×④×⑤得证。

10. 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD 是斜边AC

上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·

CD

AB²=AC·AD BC²=CD·AC

11. 海伦公式

公式中a ，b ，c 分别为三角形三边长，p 为半周长，S 为三角形的面积。

12.两点间斜率公式

13.两点间距离公式

14.中点坐标公式

15.点到直线距离公式

16. 立方公式

例题1：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）若AB=4+

，BC=2，求⊙O 的半径．

可以试用多种解法

例题2：如图⊙O 的半径为1，弦AB=1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是_____。

A B C

D E