分层目标规划问题

§7.2.1 目标规划的基本概念
再以例1为例，假定该企业计划利润值为5000元，那么 对于目标函数
max z 500x1 300x2
。
,可变换为
500x1 300x2 d0 d0 5000
该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请 读者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。 绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端 项看作所追求的目标值。如例1中的第二个约束 x1 x2 10 ， 可变换为目标约束 x1 x2 d2 。 d2 10
本章内容
§7.1 目标规划的提出
§7.2 目标规划的基本概念与数学模型
§7.3 应用EXCEL和LINGO求解目标简介 规划及应用举例
§7.1 目标规划的提出
目标规划（Goal programming）是在线性规划的基础上
为适应管理中的多目标决策需要而逐步发展起来的一个运
筹学分支。 目标规划是线性规划的变形，与线性规划不同的是，目 标规划中的目标函数考虑不止一个目标。目标规划的建模 过程和线性规划模型一样，都有线性约束条件和一个线性 目标函数，典型的求解方法也和线性规划模型极其相似。
§7.2.1 目标规划的基本概念
2绝对约束与目标约束 绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束 和不等式约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。不满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是“硬约束”。 目标约束是目标规划所特有的，它把约束右端项看作要 求的目标值，进行决策时，允许与目标值存在正或负的偏差， 因此它们是“软约束”。目标约束中加入了正、负偏差变量， 如约束（7.1）。 再以例1为例，假定该企业计划利润值为5000元，那么对于 目标函数
§7.2 目标规划的基本概念与数学模型
§7.2.1 目标规划的基本概念
1偏差变量
对于例1中的问题，造成无解的关键在于约束条件太死板。 设想把约束条件“放松”，比如机器的可用台时可以多于10的 话，或者员工的工时可以少于70的话，机时约束和工时约束 就可以不再发生矛盾。
因此，目标规划引入了正、负偏差的概念，来表示决策值与目 标值之间的差异，可以将目标函数转化为目标约束。所谓目标 值就是预先给定的某个目标的一个期望值。决策值是当决策变 量确定以后，目标函数对应值。
解：设该厂能生产A、B产品的数量分别为 问题可描述为如下：
max Z1 500 x1 300 x2 max Z 2 4 x1 6 x2 min Z 3 x1 x2 4 x1 6 x2 70 s.t. x 1 x2 10 x 0, j 1, 2. j
4 6 6 3 d1 d1 70
42 d1 d1 70
(7.2)
(7.3)
因为用掉的工时是42小时，所以员工空闲28小时（70-42=28)。 d 此时，若令 1 28 , d1 0 （因为显然没有加班），可使等 式（7.2）和（7.3）成立。
图7.1 例1问题的可行域
例2 某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为 70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元， 总购买量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如 何确定最好的采购方案，既可以使花掉的资金最少，又能 使购买的总量最大？ 解： 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 x1 , x2 分 别为购买两种原材料的数量（公斤），f1 x1, x2 为花掉的资 f2 x1, x2 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如 金， 下： min f1 x1 , x2 70 x1 50 x2
§7.2.1 目标规划的基本概念
x2 10的情况，这意味着总工时消耗为80小时， 考虑 x1 5 ， 高于目标10小时，多出的10小时为加班时间。因此 d1 0 （因为没有员工空闲）d1 10 。
以上的讨论可以看出，正负偏差变量中至少有一个为零。 因为员工的工时不可能同时少于和多于70小时。当然，当 工时消耗时间等于70小时的时候， d1 和 d1 可以同时等于0。 所以，在实际操作中，当目标值确定时，所作的决策只可 能在以下三种情况中出现： （1）决策值超过了目标值，表示为 dl 0 ，dl 0 ； （2）决策值未达到目标值，表示为 dl 0 ，dl 0 ； （3）决策值恰好等于目标值，表示为 dl 0，dl 0 。 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有 dl dl 0 。
1 2 k k 1 K
符号“ ”表示“远大于”，也就是 Pk 和Pk 1不是一个级别的量，前 者比后者有更大的优先权。这些优先因子在量化时可以用充分 大的数来实现，即同时要满足下面的条件。
§7.2.1 目标规划的基本概念
Pk MPk 1
(k 1, 2,, K )
其中，M 是一个充分大的正数。这样，只有上一级目标实现 以后，才能忽略 M 的影响，否则目标偏离量会因为 M的原因 而无穷放大。实际上优先因子Pk 是对偏离目标值的惩罚系数， 优先级别越高，惩罚系数越大。
x1 , x2
件，则
这个问题有三个目标函数，其中前两个目标和第三个目标 还是冲突的，无法同时达到。更为严重的是约束式之间也 是冲突的，所以可行域是空集（如图7.1所示），因而该问 题无解。但该厂要增加利润，不可能不生产A、B两种产品 ，为了员工工作饱满，更需要开工生产，而线性规划模型 无法为其找到一个合适的方案。
权系数 k 用来区别具有相同优先级别的若干目标。在同一优 先级别中，可能包含有两个或多个目标，它们的正负偏差变量 的重要程度有差别，此时可以给正负偏差变量赋予不同的权系 数 k和 k 。 各级目标的优先次序及权系数的确定由决策者按具体情况给出。
§7.2.2 目标规划的数学模型
综上所述，目标规划模型由目标函数、目标约束、绝对约 束以及变量非负约束等几部分构成。假设模型有L 个目标，K 个优先级（ K L ），同一优先级的正负偏差变量的权系数也 k 1, 2,, K 有所区别，分别是 kl 和 kl ( , l 1, 2,, L )。则目 标规划问题的一般数学模型可描述为： 目标函数 s.t. 目标约束 绝对约束 非负约束
4x1 6x2 d1 d1 70
(7.1)
示工时少于或者多于70小时的数量。 d1 可以认为 表示员工空闲， dl表示员工加班。
d d 转化后的约束叫目标约束。新增两个偏差变量 l 、 1 ，分别表
§7.2.1 目标规划的基本概念
x2 3，总工时为42小时，把这 例如，如果 x1 6 ， 些值替换到目标约束（7.1）中：
第七章 目标规划
前面六章出现的所有线性规划模型都只有一个 最大化或最小化的单一目标，然而对于一个实际 的管理决策问题，组织决策者经常有多个目标， 这些目标与除利润或成本之外的其他要素相关。 比如，在最大化利润的同时，一个面临工人罢工 危机的公司可能想尽量避免员工失业；或者一个 即将因环境污染而被政府环境管理部门处罚的公 司可能要考虑最小化环境污染的扩散。
总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几 点反映出来： 1、线性规划只能处理一个目标，目标规划能统筹兼顾地处 理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。目标规划是 要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽 量满足约束的满意解，即满意方案。 3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，是一律要 满足的“硬约束”。目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的 考虑。 所以，目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多 实际问题。目标规划的应用范围很广，包括生产作业计划 、投资决策优化、市场战略、人力资源管理、环境保护、 土地利用规划等。
在这三种基本形式下面可以根据实际需要进行组合运用。
§7.2.1 目标规划的基本概念
4 优先因子与权系数 一个规划问题往往有多个目标。决策者在实现这些目标 时，存在有主次与轻重缓急的不同。对于有 K级目标的问题， 按照重要程度排序，并用优先因子 Pk (k 1, 2,, K )来标记。 即最重要的目标赋予优先因子P1 ，第二重要的目标赋予优 先因子P2 ，……，最不重要的目标赋予优先因子Pk 。并规 定 P P P P P
§7.2.1 目标பைடு நூலகம்划的基本概念
dl ——正偏差变量，dl 0 表示决策值超出目标值的部分，下标
表示目标约束的编号。目标规划里规定 l dl 0 ； d1——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规 划里规定 。 在例1的问题中，为了表示员工工作不饱满的可能性，把线性 规划的工时约束条件 4 x1 6 x2 70 转化为：
§7.2.1 目标规划的基本概念
3 目标规划的目标函数 对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来 看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。 因此目标规划的目标函数是与正、负偏差变量密切相关的函 min z f d , d l l 数，我们表示为 。它有如下三种基本形式： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地 小。此时，构造目标函数为：
max f 2 x1 , x2 x1 x2 s.t. 70 x1 50 x2 5000 x1 x2 80 x1 20 x1 , x2 0
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案 。极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于 第二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方 案。也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数 值同时达到最优。另外，对于多目标问题，还存在有多个 x1 , x2 目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所无 法解决的。 在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法—— 目标规划，用于弥补线性规划的上述局限性。
例1 某工厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4 个工时和6个工时，所需设备的单位台时均为1。为了应对 近一年来的全球金融危机造成的恐慌，让员工感觉工作量 饱满，保证员工情绪稳定，厂领导最近决定每周的总人工 工时都要超过一定的标准。根据这一要求，下周还至少还 要通过生产A、B这两种产品提供70个工时的工作。另外， 根据生产计划的安排，该厂下周有10个单位尚未安排的机 器台时可供制造这两种产品。已知生产每件产品A的利润为 500元，每件产品B的利润是300元。试问：该厂在下周各 应生产多少件A、B产品，才能尽可能满足管理层所希望实 现的以下三个目标：①总利润最大；②所需工时最大；③ 所需机器台时最小。
min z f (dl dl )
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量 尽可能地小。此时构造目标函数为：
min z f (dl )
§7.2.1 目标规划的基本概念
（3）求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地 小。此时构造目标函数为：
min z f (dl )
n
i
xj 0
dl , dl 0
( j 1, 2,, n ) ( l 1, 2,, L )
§7.2.2 目标规划的数学模型
例3 在例1中，假定目标利润不少于5000元，为第一目标；占 用的人工尽量不少于70工时，最好能超过70工时，为第二目 标；因为设备有限，希望最好不超过10机器台时，为第三目 标。试建立其目标规划模型。 解：按决策者的要求分别赋予优先因子 P 1, P 2, P 3 ,模型如下：
n
min Z Pk kl dl kl dl k 1 l 1 K L
c x d d lj j l l gl j 1
( l 1, 2,, L ) ( i 1, 2,, m )
a x , b
j 1 ij j