江苏省南京师范大学附属中学2020届高三模拟考试数学试题(附解析)

2020年高考模拟高考数学一模试卷一、填空题1．集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，若A∪B＝B，则x＝．2．已知复数z＝（i是虚数单位）则z的虚部是．3．log24+log42＝．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝．6．已知函数，0≤φ≤π．若f（x）是奇函数，则的值为．7．已知f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则a+b的最小值为．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为9．若抛物线x2＝4y的焦点到双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为．10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是．11．设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为．12．在△ABC中，点P是边AB的中点，已知||＝，||＝4，∠ACB＝，则•＝．13．已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为．14．若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．16．在三角形ABC中，已知，．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，求边BC的长．17．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围；（3）求总造价y的最小值．18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1，若圆O：x2+y2＝R2（R＞O）的一条切线与椭圆C有两个交点A，B，且•＝0．（1）求圆O的方程；（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且＝2，求直线MN的方程．19．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n＝a n﹣a n+k，c n＝a n+a n+k（n∈N*）．若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H（k）”数列．（1）若数列{a n}的前n项和为S n＝n2，证明：{a n}为H（k）数列；（2）若数列{a n}为H（1）数列，且a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}为H（2）数列，证明：{a n}是等差数列．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若＝λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．25．已知（1+x）2n+1＝a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1，n∈N*．记T n＝（2k+1）a n﹣k．（1）求T2的值；（2）化简T n的表达式，并证明：对任意的n∈N*，T n都能被4n+2整除．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，若A∪B＝B，则x＝0．【分析】推导出A⊆B，e x＞0，从而e x＝1，由此能求出结果．解：因为集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，A∪B＝B，所以A⊆B，又e x＞0，所以e x＝1，所以x＝0．故答案为：0．2．已知复数z＝（i是虚数单位）则z的虚部是﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．3．log24+log42＝．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：原式＝2+＝2+＝．故答案为：．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行过程，可得：第一次运行：k＝1时，，第二次运行：k＝2时，，第三次运行：此时k＝3满足k≥3，退出循环，输出，故答案为：．5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝1．【分析】利用余弦定理求出cos C，cos A，即可得出结论．解：∵△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，∴cos C＝＝，cos A＝＝∴sin C＝，sin A＝，∴＝＝1．故答案为：1．6．已知函数，0≤φ≤π．若f（x）是奇函数，则的值为﹣1．【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得的值．解：∵函数＝2sin（x+φ+），0≤φ≤π，若f（x）是奇函数，则φ＝，∴f（x）＝2sin（x+π）＝﹣2sin x，则＝﹣2sin＝﹣1，故答案为：﹣1．7．已知f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则a+b的最小值为．【分析】若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则（a﹣1）（2b﹣1）＝1，则b＝且a＞1，即a+b＝，构造函数，利用导数法，可得函数的最小值．解：∵f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则（a﹣1）（2b﹣1）＝1，则b＝且a﹣1＞0，即a＞1即a+b＝a+＝，由令g（a）＝，则g′（a）＝，令g′（a）＝0，则a＝1±，当a∈（1，1+）时，g′（a）＜0，当a∈（1+，+∞）时，g′（a）＞0，故当a＝1+时，g（a）取最小值，故答案为：．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，由此能求出黑白两球均不在1号盒子的概率．解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为p＝＝．故答案为：．9．若抛物线x2＝4y的焦点到双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为3．【分析】先求出抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ＝x，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，∴＝＝，∴e＝＝3，故答案为：3．10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是②④．【分析】在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．11．设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为9．【分析】先根据向量平行得到+＝1，再利用基本不等式即可求出最值．解：因为∥，所以4x+（1﹣x）y＝0，又x＞0，y＞0，所以+＝1，故x+y＝（+）（x+y）＝5++≥9．当＝，+＝1同时成立，即x＝3，y＝6时，等号成立．（x+y）min＝9．故答案为：9．12．在△ABC中，点P是边AB的中点，已知||＝，||＝4，∠ACB＝，则•＝6．【分析】用表示出，根据CP＝计算CB，再计算•的值．解：∵点P是边AB的中点，∴＝+，∴＝++，∴3＝4+×cos+||2，∴||＝2，∴＝4×2×cos＝﹣4，∴•＝（+）＝+＝6．故答案为：6．13．已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为．【分析】由b2+2（a+c）b﹣ac＝0得（b+a+c）2＝ac+（a+c）2≤+（a+c）2＝（a+c）2再解关于b的不等式即可．解：由b2+2（a+c）b﹣ac＝0得（b+a+c）2＝ac+（a+c）2≤+（a+c）2＝（a+c）2，∴b+a+c≤（a+c），∴b≤（a+c），∴≤，当且仅当a＝c时取等．故答案为14．若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【分析】等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，m分﹣1＜m＜0，及m＝﹣1两类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．解：等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，x1＝，x2＝﹣，若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则m＜0，当﹣1≤m＜0时，≥﹣，则＜4，解得﹣1≤m＜﹣，当m＜﹣1时，＜﹣，则﹣＜4，解得m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣）．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．【分析】（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AC的中点，可得EF ∥PA，即可证明EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AB的中点，因为F是PC的中点，…所以EF∥PN，又EF⊄平面PAD，PN⊂平面PAD，故EF∥平面PAD．…（Ⅱ）设AC∩DE＝G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得＝，又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AG＝AC＝．所以，又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．所以∠AGE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC．…又DE⊥PA，PA∩AC＝A，所以DE⊥平面PAC．…又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE．…16．在三角形ABC中，已知，．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，求边BC的长．【分析】（1）先根据已知条件求出tan C，再由tan A＝﹣tan（B+C）求出tan A，从而求出角A；（2）设BC＝a，利用正弦定理得求出AB，再利用tan B＝求出sin B，所以△ABC的面积为：S＝＝＝，所以a＝1，即BC＝1．解：（1）在△ABC中，tan B＝，cos C＝﹣，C∈（，π），∴sin C＝，故tan C＝﹣3，所以，∵0＜A＜π，所以A＝；（2）由（1）知A＝450，设BC＝a，利用正弦定理：得：AB＝，又，解得sin B＝，所以△ABC的面积为：S＝＝＝＝，所以a＝1，即BC＝1．17．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围；（3）求总造价y的最小值．【分析】（1）底边一边长x，则另一边长为，由题意可知y＝320（x+）+480 （x ＞0）；（2）令y≤2080即可求出x的取值范围；（3）利用基本不等式求得x+，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，从而求出总造价y的最小值．解：（1）底边一边长x，则另一边长为，∴y＝2（x+）×＝320（x+）+480，∴总造价y关于底边一边长x的函数解析式为：y＝320（x+）+480 （x＞0）；（2）由（1）可知：y＝320（x+）+480，∴令y≤2080得，320（x+）+480≤2080，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x＞0，∴x+，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，∴y＝320（x+）+480≥320×4+480＝1760，∴当x＝2时，总造价y的值最小，最小值为1760元．18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1，若圆O：x2+y2＝R2（R＞O）的一条切线与椭圆C有两个交点A，B，且•＝0．（1）求圆O的方程；（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且＝2，求直线MN的方程．【分析】（1）假设圆的切线，与椭圆联立，得出两根之和及两根之积，由数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q，N的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．解：（1）假设圆的切线的斜率存在时，设切线方程y＝kx+b，设A（x，y），B（x'，y'）．联立与椭圆的方程整理：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣6＝0，x+x'＝，xx'＝，∴yy'＝k2xx'+kb（x+x'）+b2＝﹣+＝，因为：＝0，所以：xx'+yy'＝0，∴可得2b2﹣6+b2﹣6k2＝0，∴b2＝2+2k2；①又与圆相切，所以＝R，∴b2＝R2（1+k2）②，由①②得，2+2k2＝2k2R2+R2，∴R2＝2，所以圆的方程x2+y2＝2；（2）由题意得M（0，），设Q（m，n），N（a，b），＝（a，b﹣），＝（m﹣a，n﹣b），由题意得：，∴a＝，b＝；而又由题意：，解得：4n2﹣4﹣9＝0，∴n＝（舍），n＝﹣，m＝±，∴a＝±，b＝0，即N（±，0），所以直线MN的方程±＝1，即直线MN的方程+﹣＝0，﹣y+＝0．19．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得a＝0，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，则f′（1）＝2（a+1）＝2，解得a＝0，∴f（x）＝2xlnx+1（x＞0），f′（x）＝2（lnx+1），令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得；∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）函数在区间（1，e）上是一条不间断的曲线，由（1）知，f′（x）＝2（ax+1）（lnx+1），①当a≥0时，对任意x∈（1，e），ax+1＞0，lnx+1＞0，则f′（x）＞0，故函数f（x）在（1，e）上单调递增，此时对任意的x∈（1，e），都有成立，从而函数f（x）在区间（1，e）上无零点；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得或，其中，（i）若，即a≤﹣1，则对任意x∈（1，e），f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（1，e）上单调递减，由题意可得，解得，其中，即，故a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1；②若，即，则对任意x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（1，e）上单调递增，此时对任意x∈（1，e），都有成立，从而函数f（x）在区间（1，e）上无零点；③若，即，则对任意，所以函数在区间上单调递增，对任意，函数f（x）在区间上单调递减，由题意可得，解得，其中，即，所以a的取值范围为，综上所述，实数a的取值范围为．20．已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n＝a n﹣a n+k，c n＝a n+a n+k（n∈N*）．若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H（k）”数列．（1）若数列{a n}的前n项和为S n＝n2，证明：{a n}为H（k）数列；（2）若数列{a n}为H（1）数列，且a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}为H（2）数列，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）直接利用定义法证明数列为H（k）数列．（2）利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．（3）直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解答】证明：（1）当n≥2时，＝2n﹣1．当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式，则：a n＝2n﹣1所以：b n＝a n﹣a n+k，整理得：b n＝﹣2k，c n＝a n+a n+k＝4n﹣2k﹣2．则b n≤b n+1，c n+1﹣c n＝4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H（k）数列；（2）由于a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，由数列{a n}为H（1）数列，则数列{c n}是等差数列，且c1＝3，c2＝5，所以：c n＝2n+1．即a n+a n+1＝2n+1所以：a n+1﹣（n+1）＝a n﹣n，则{a n﹣n}是常数列所以：a1﹣1＝0，则：a n＝n．验证：b n＝a n﹣a n﹣1＝﹣1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n＝n．附：a n+a n+1＝2n+1①，a n+1+a n+2＝2n+3②，②﹣①得：a n+2﹣a n＝2所以：a2k﹣1＝a1+2（k﹣1）＝2k﹣1．a2k＝a2+2（k﹣1）＝2k，所以：a n＝n．证明：（3）由数列{a n}为H（2）数列可知：{c n}是等差数列，记公差为d c n+2﹣c n＝（a n+2+a n+4）﹣（a n+a n+2）＝﹣b n﹣b n+2＝2d，所以：﹣b n+1﹣b n+3＝2d．则：（b n﹣b n+1）+（b n+2﹣b n+3）＝2d﹣2d＝0又b n≤b n+1，所以：b n＝b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n＝a n﹣a n+2＝b1所以：c n＝a n+a n+2＝2a n﹣b1．由c n+1﹣c n＝2（a n+1﹣a n）＝d，所以：．所以：{a n}是等差数列．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．【分析】（1）AB＝，BA＝，进而求解；（2）矩阵B的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣2）（λ﹣1），令f（λ）＝0，进而求解．解：（1）因为AB＝＝，BA＝＝，且AB＝BA，所以a＝0；（2）因为B＝，矩阵B的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1），令f（λ）＝0，解得λ＝2，λ＝1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y＝0，…圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，…则圆C的圆心到直线l的距离为，…所以．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【分析】依题意，，再利用柯西不等式即可得证．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若＝λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；＝λ，可得C （λ，2，0）．（1）＝（λ，2，﹣2），＝（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得＝，解得λ＝10（舍去）或λ＝2．实数λ的值为2．；（2）＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），平面PCD的法向量＝（x，y，z）．则且，即：x+y﹣z＝0，y﹣z＝0，∴x＝0，不妨去y＝z＝1，平面PCD的法向量＝（0，1，1）．又＝（1，0，2）．故cos＝＝．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．25．已知（1+x）2n+1＝a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1，n∈N*．记T n＝（2k+1）a n﹣k．（1）求T2的值；（2）化简T n的表达式，并证明：对任意的n∈N*，T n都能被4n+2整除．【分析】（1）由二项式定理得a i＝，利用公式计算T2的值；（2）由组合数公式化简T n，把T n化为（4n+2）的整数倍即可．解：由二项式定理，得a i＝（i＝0，1，2，…，2n+1）；（1）T2＝a2+3a1+5a0＝+3+5＝30；……（2）因为（n+1+k）＝（n+1+k）•＝＝（2n+1），……所以T n＝（2k+1）a n﹣k＝（2k+1）＝（2k+1）＝[2（n+1+k）﹣（2n+1）]＝2（n+1+k）﹣（2n+1）＝2（2n+1）﹣（2n+1）＝2（2n+1）••（22n+）﹣（2n+1）••22n+1＝（2n+1）；……T n＝（2n+1）＝（2n+1）（+）＝2（2n+1）；因为∈N*，所以T n能被4n+2整除；……注意：只要得出T n＝（2n+1），就给，不必要看过程．。