八年级数学-一次函数最值的应用例说

八年级数学-一次函数最值的应用例说

在经济问题中,常会遇到求函数的最大值和最小值问题,如求最大利润、最小成本、确定最优的生产方案等问题,以图达到最经济、最节约和最高的经济效率．

谈到最值问题,人们关心的是二次函数的最值问题．而对一次函数最值的应用问题却很少了解,但在实际问题中,一次函数的最值的应用极为广泛．

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是一切实数,所以一次函数没有最大(小)值,但是,当自变量在某个闭区间a≤x≤b内取值时(a,b为实数),一次函数y ＝kx＋b却存在着最大(小)值．

例1 20个农场职工种50亩地,这些地可以种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些农作物每亩地所需的职工和预计的产值如下：

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到最高？

解设种蔬菜、棉花、水稻的土地分别为x亩、y亩、z亩,预计总产值为ｗ元．根据已知条件,得：

x＋y＋z＝50, (1)

W＝1100x＋750y＋600z． (3)

由(1)、(2)可得：

y＝90－3x (4)

z ＝2x－40 (5)

把(4)、(5)代入(3)得：

W＝50x＋43500．

由x≥0,y ＝90－3x≥0,z＝2x－40≥0得：

20≤x≤30．

所以当x＝30时,W取最大值45000元

此时y ＝0,z ＝20．

即种30亩蔬菜,20亩水稻才能使预计总产值最高,可达45000元．

例2 48人划船,每只小船坐3人,租金2元；每只大船坐5人,租金3元,最少要付租金多少元？

解设用x只大船,y只小船；要付租金W元．

由题意可知：

5x＋3y ＝48, (1)

W ＝3x＋2y． (2)

把(3)代入(2)得：

W＝3x＋2y

由于人数是48人,每只大船坐5人,由此可知：0＜5x＜48,得0＜x＜10,要使W最小,x应取最大整数值．即当x ＝9时,W的值最小．

答：最少要付租金29元．

例3 在边防沙漠地带,巡逻车每天行驶200公里,每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油．现有5辆巡逻车同时从驻地A出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回),甲、乙两车行至途中B处后,仅留足自己返回驻地所必须的汽油,将多余的汽油留给另外三辆使用,问其它三辆车可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)

解设巡逻车行驶到途中B处时用了x天,其中的三辆车从B到最远处用y天,则有2[3(x＋y)＋2x]＝14×5,

即 5x＋3y＝35。 (1)

由题意可知x＞0,y＞0且

14×5－(5＋2)x≤14×3

即x≥4．

要使行进的距离最远,即求y的最大值,由上式可知此时x应取最小值．即x＝4,

∴y＝5．

这样200×(4＋5)＝1800(公里)．

即为其它三辆车可行进的最远距离．

内蒙古自治区通辽市大林镇马家中学包双喜韩才