07--4、电介质中的电场高斯定理

V /m
或由 E E0 E 得
E E0 E 1.02 106 2.57 105 7.6 105
V /m
由此可见，所得的结果相同。
二、有介质时的高斯定理
前面我们已学习了真空中的高斯定理，现在，我们将它推广
到有介质时的情况。我们仍以充满相对介电常数 εr 的平行板电 容器为例进行讨论：

D1 A

A
与前面的式子相比较，有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1

1

r1 0
,
E2

2

r 2 0
（2）正、负两极板间的电势差为：
U

E1d1

E2d2
(d1 1

d2 )
2

q S
=5。求：1) 板间电压；2) 电介质左、右表面束缚电荷面密度； 3) 电容
E1 E2
C1，C2串联：
由前面知： 而由场强叠加，在介质中有：
所以有： 左表面 右表面
以上填充介质后：
结论是由特例导出的，但普遍成立。成立的条件是： 1) 电介质充满整个空间； 2) 介质表面是等势面。
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充满电介质 r1,，r2 ，

1 S (Ed )2
2d

1 E 2 Sd
2
Sd 是电容器的体积，所以，有电场的空间中，单位体积 内的能量为（称为电场能量密度）：
we

1 E 2
2

1 2
DE
一般情况下，有电场的空间V 中的总电场能为：
电容器的能量有两个表达式，能量是属于电荷还是属于 电场？由电磁场的传播可知这些能量是属于电场的。
E2 1 r1 0 r1
可见，场强与介电常数成反比。
为计算电介质中电位移与场强的大小，另作如图的扁盒形 高斯面 S2，其底面积仍取为 A ：
该高斯面内的自由电荷总量为 A σ，按 有电介质时的高斯定理得（注意导体中 D=0）：

D dS S2
D dS
右底面

0A r

q0
r
ε=ε0εr
定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量，
即：
D
E时则的得高到斯有定介理质：
S
D
ds
q0（内）
(1) 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯
几 定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；
点 (2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正有物理意义
解： （1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为
E0

σ0 ε0

9 . 0 1 06 8.85101 2
1.02106 V/m
(2)
由
E

E0 εr
εσrε00

σ0 ε
可知电介质内的场强为
E

σ0 ε

9 . 0 1 0 6 3.5101 1

2 . 5 7 1 05
V/m
与极板平行，面积均为 A ，上底面在正极板内，下底面在电介
质内。
这样，闭合曲面 S 内的自由电荷 q 0= σ0A ，而极化电荷
q’= －σ’A ，高斯定理写为：
代入S前E面已 d得s到的，1自0 (由电0荷A与极化电A荷) 面密度间的关系
式，有：
0A
代入高斯定理有：
A
应用真空中的高斯定理于高斯面 S2 得：

E dS
S2
1 ( A 0

A

1
)

A
E dS S2
E dS
右底面

E1 A

r1 0
所 以 ：A r1 0
1（A 0

A

1
)
可
得
：

1
（1
1 ） r1
D1
D2
应用
真
空
中
的
高
斯
定
理于
高
斯
面S
得
1
：
S1
E
dS
1
0
( A
1

A

2
)
E1
E2 S1


E dS
右底面
E dS
左底面

E1 A

E2 A
A
A


r1 0
r 2 0
所以
A

r1 0
A

r 2 0

1（A 0

1

A

+ + D1
+ + E1 +
+
D2
－ －
－ E2 －
－ S1 －
为零，由有电介质时的高斯定理得：



D dS D dS D dS D dS 0
S1
左底面
右底面
侧底面
因 侧 面 法 线nD,即dSD, 故
D
dS
+- + -
+
E0
-
由电容器的定义有： 两式相比，得：
C0
q0 U0
C q0 U
+- + E
+-
C U0 C0 U
+-
+-
d
电介质放入电场中，在电介质中
E E0 E
EE0是是由由自束由缚电电荷荷激产发生的的
E
E0
根据电势差与电场间的关系：
U 0 E0d , U Ed
（3）极化电荷面密度为：




0
0

3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
9.0 106
6.7 106 C / m 2
（4）极化电荷所产生的场强为：
E 0

6.7 106 8.85 1012
7.6 105
(d1
1

d2
2
)
q S是极板上的电荷，所以电容为：
C q S 1 d1 d2
U d1 d2
c 1S 2S
1 2
（3）设电介质各个面上的极化电荷面密度分
别为 －σ 1 ’ ，＋ σ 1’ ，－ σ 2’ 和＋σ2’（如图）
－ σ 2’
－σ1’
＋σ2’
+σ1’
（1） 如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定
理知：
S
D
ds
q0
所以
4r 2 D q0
即 D q0
4r 2
S
因 D E，所以P点的场强为：
++ ++
P
E D q0 q0
4 r 2 4 0 r r 2
（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，在 球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的高斯 定理于球面S：
C U0
C0
U
注意到 r

C C0
,有E

E0
r
很明显，极化电荷的电场 E ’ 部分地削弱了自由电荷 的电场 E0，从而使介质中的总电场 E 减少为真空中电场的 1/εr 。
设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电 荷面密度为±σ’ ，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：
E=E0-E’
2
)
化简得：


2
（1 1 ) r2
例4、金属球半径R ，带电荷q ，放入r 的油中。求：1) 球外
电场分布；2) 紧贴金属球的油面上q。 解：1) 过球外油中任一点做球面
是真空中电场的1/r 倍。
2）
q
q
r
可看出q 与q 反号，
例5、平行金属板，带电0及0 ，板间U0=300V，若保持板 上电荷不变，板间一半空间充介质，一半真空，（如图)，r
分界处半径为R。 求：单位长度电缆的电容
解：设内外电缆线密度 ，在介质中做底面半径为r 长为l 的
圆柱面，有
r1
R R1 R2
r2
§7-5 电场的能量
一、带电电容器的能量
如图：书P188 图7-25 的电路，先将开关拨向1 ，使电容器
充有电量 Q ，两极间的电势差为 UA - UB
由此得： q
（1

1
r
）q0
例3、如图所示，平行板电容器两极板之间有两层电介质，电 介质表面与极板平行，介电常数分别为ε1 和ε2 ，厚度分别为 d1 和 d2 ，电容器两极板的面积为S，两极板上自由电荷面密度为 ±σ。求：
（1）两层电介质内的电位移和场强；
（2）电容器的电容；
（3）两层电介质表面的极化电荷面密度。 解:（1）设这两层电介质中的场强分别为 E1 和 E2 ，电位移分别为 D1 和 D2 ，在电介 质中作一扁盒形高斯面S1 ，其两底面与电 介质表面平行，在此高斯面内的自由电荷
无数实验证明：电场能量是定域在电场中的，哪里有电 场那里就有能量，无论这电场是稳恒不变的还是交变的。
能量是物质的固有属性（能量与物质相联系），电场具 有能量，说明电场是一种物质。
电场是一种特殊的物质。
例1、球形电容器的内、外球面半径各为 RA 和 RB，两球间充满 介电常数为ε的均匀电介质，当内、外球面各带有电荷+q 及-q 时，求电容器的总能量。
W
dW
Q 1 qdq 1 Q2
0C
2C

1 2
Q(U A

UB
)

1 2
C(U A

UB
)2
二、电场能量
极板面积为S，两板间距为 d ，电场强度为 E ，电势差为
+
UA - UB ：
S
E
d
得：C S
d
U A U B Ed
-
电容器的能量为：
W

1 2 C(U A
UB )2
(5) 电位移的单位是“库仑 每平方米”，符号为：C/m2 ， （这也就是电荷面密度的单位），其量纲是 I L -2T 。
例2、一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大” 的电介质中（介电常数为ε），求： （1）球外任意一点P的场 强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以 用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。



(1
1
r
)
0


0

0
注意，上面得到的总电场 E 与真空中电场 E0 的关系式，
以及自由电荷面密度 σ0 与极化电荷面密度 σ’ 的关系式，并
非普适关系式，仅在均匀各向同性介质充满电场存在的空间
时才成立。
例1、平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密 度为 9.0×10 –6 C/m2，在两极板间充满介电常数 3.5×10 –11 C2/ （Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介 质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4） 极化电荷所产生的场强。
0，
侧面
上式化为（其中A为扁盒形高斯面的底面积）：

S1
D
dS

D
左底面
dS

D
右底面
dS

D1 A

D2 A

0
即D1 D2 两种电介质内的电位移相等。
由于：D1 1E1 D2 2 E2 所以：E 1 2 r 2 0 r 2
解：在两球间距离球心 r 处场强的大
极板上的自由电荷面密度为σ0 ，
相邻介质表面的极化电荷面密
++ + --
+ +σ0 - -σ’
度为 -σ’，
根据真空中来自百度文库高斯定理，在
电场中任作一闭合曲面 S，通 过该闭合曲面的电通量为：
+
+
+
--
-
-

E
ds
1
S
0
q(内)
其中q（内）是曲面内所有电 荷的代数和。
为方便计，我们取如图的长方形闭合曲面 S ，其上、下底面
说
的是电场强度矢量 E，引入 D 的好处是在高斯定理的表 达式中，不出现很难求解的极化电荷；
明：
(3)
与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述
D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要
注意，D 线与 E 线是不同的；
(4) 引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为： “在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量 等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
然后将开关拨向2 ，发现灯泡会
发光，说明带电的电容器中有能量。
1
2
设充电过程中某一时刻，极板带
电q，电势差为 uA－uB ，有 dq 的

dq
E
正电荷从负极板移到正极板，
外力所作的功为 dW =( uA – uB ) dq
dW dqU dq q 1 qdq cc
由于( uA – uB ) = q / C ，电容器在电荷从零增加至Q 的过程 中，外力所作的功，即电容器储存的能量为：
§7-4 电介质中的电场 有电介质时的高斯定理 电位移
一、电介质中的电场
附电加介电质场中之的和电（矢场量等和于）自：由电E荷产生E的0 电E场与极化电荷产生的
下面我们以平行板电容器为例求电介质中的场强：
设电容器带有电量q 0 ，其间无电介质 ＋σ0 －σ’ ＋σ’ －σ 0
时，两板间电势差为U 0，电容值为C 0； 当充满相对介电常数为εr 的电介质时， 电势差为U，电容值为C 。
E dS
1
S
0
q

1
0
(q0

q)

由第一问的结论有： SE dS SEdS
－ －+ + +－ －－++q-q+0’－++－－

q0
4 0 r r 2
dS
S

q0
4 0 r r 2
4r 2

q0
0 r
于是
q0
0 r
10（q0 q）