二级结论在解析几何中的作用
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二级结论在解析几何中的作用
一 椭圆、双曲线的“垂径定理”
1.(14浙江理)设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b
y a x (0a b >>)两条渐近线分别交于点B A ,,若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________.
2. 已知点是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点,过原点的直线交椭圆于点
,垂直
于轴,直线交椭圆于点,PB PA ⊥,则该椭圆的离心率__________.
3. 设动直线与椭圆交于不同的两点与双曲线
交于不同的两点
且则符合条件的直线共有______条. 4.已知某椭圆的焦点是过点
并垂直于轴的直线与椭圆的一个交
点为,且
.椭圆上不同的两点
满足条件:
成等差数列.
(1)求该椭圆方程; (2)求弦中点的横坐标; (3)设弦
的垂直平分线的方程为
,求的取值范围.
5.(16四川)已知椭圆:22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形
的三个顶点,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,线段
的中点为,直
线
与椭圆交于
,证明:
二 圆锥曲线的共圆问题
6. (11全国)已知O 为坐标原点,F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F
且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明:点P 在C 上;
(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
7. 已知抛物线C :y 2
=2px (p >0)的焦点为,直线与轴的交点为,与C 的交点为Q ,
且|QF|=|PQ|.
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.
二 抛物线的性质
8. (14四川)已知F 为抛物线2
y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,
2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )
A 、2
B 、3
C 、
172
8
D 、10 9.(15新课标)在直角坐标系中,曲线C :y =2
4
x 与直线y kx a =+(a >0)交与M ,N 两
点,
(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由。
9. (14山东)已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF ∆为正三角形. (Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)若直线1//l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)ABE ∆的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 10. 点到点
及直线
的距离都相等,且这样的点只有一个,求值.
三 椭圆、双曲线的性质
11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ,点P 在以1F 、2F 为焦点的椭
O
1F 2F
x
y
l
M N
圆C 上,且1||PF 、12||F F 、2||PF 构成等差数列. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)如图,动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M ,N 是直线l 上的两点,且1F M l ⊥,2F N l ⊥.求四边形12F MNF 面积S 的最大值.
12.已知双曲线的左焦点为,左准线与轴交于点,过点的直线与双曲线
交于两点,且满足
,
,则的值为
13.双曲线的左右顶点分别为点是第一象限内双曲线上的点,若直线,
的倾斜角分为,且
,那么
14. (10北京)在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于1
3
-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ,问:是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
四 中线长定理
15. 设O 为坐标原点,1F ,2F 是双曲线22
22x y 1a b
-=(a >0,b >0)的焦点,若在双曲线上
存在点P ,满足∠1F P 2F =60°,∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为
16. 双曲线2
2
24b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |<5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2
=_________.