北京市平谷二中九年级上《二次函数的概念》课件1
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人教版九年级数学上册课件：二次函数的定义优秀ppt课件
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函1 数二的次定函 义数优的秀定p义pt(共 课2件1 张PPT)
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展示才智
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
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一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的棱长为a ，表面积为S。S与a 之间有什么关系呢？S =6a2
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(是 ) ( 否) ( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
Байду номын сангаас
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
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九年级数学
第22章
第一节
二次函数
(3)a 0,b 0,c 0
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展示才智
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
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一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的棱长为a ，表面积为S。S与a 之间有什么关系呢？S =6a2
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(是 ) ( 否) ( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
Байду номын сангаас
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
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九年级数学
第22章
第一节
二次函数
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
二次函数的概念 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
知识回顾
1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、函数定义是什么？ （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有 一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）
3、一次函数，正比例函数的一般形式是 什么？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？
合作学习，探索新知 :
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式， （2）自变量的最高次数是二次， （3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x
(4) y -2x2 +2
(6)y=x2-x(1+x)
(7) y x2 +2x 3
(8) y (x 2)(x 3)
解：(1) y x(20 2x)
2x2 + 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 + 20 3 42m
• P41 1 2
作业
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
解: （1）由题意得： S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数
；
x2
（2）由题意得:y Fra bibliotek(x 0)4
1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、函数定义是什么？ （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于 x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有 一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）
3、一次函数，正比例函数的一般形式是 什么？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？
合作学习，探索新知 :
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式， （2）自变量的最高次数是二次， （3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x
(4) y -2x2 +2
(6)y=x2-x(1+x)
(7) y x2 +2x 3
(8) y (x 2)(x 3)
解：(1) y x(20 2x)
2x2 + 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 + 20 3 42m
• P41 1 2
作业
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
解: （1）由题意得： S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数
；
x2
（2）由题意得:y Fra bibliotek(x 0)4
上册二次函数的相关概念人教版九年级数学全一册完美课件
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
•
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
•
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
非负数； (4)实际问题的函数关系，自变量的取值还要符合实际意义．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
3.(1)函数 y＝x2－5x，自变量 x 的取值范围是 全体实数 ； (2)函数 y＝x－2 1，自变量 x 的取值范围是 x≠1 ； (3)函数 y＝ x＋2，自变量 x 的取值范围是 x≥－2 .
•
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
•
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
初中九年级上册数学课件 二次函数 1 .二次函数的定义
(1) y 1 x2 3 x 1 22
是，a
1、b
2
3、c
2
1
(2) y x(x 5) 是，a 1、b 5、c 0
(3) y x4 2x2 1 不是
(4) y 3x(2 x) 3x2 不是
6x
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函
数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
列函数关系式
3、在半径为20（cm）的圆面上，从中心挖去一个 半径为x（cm）的圆面，剩下的面积是y（cm2），写
出变量y与x之间的函数关系式y 400 。 x2
4、某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商 店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出 （350-10x）件商品，那么商店所获利润y元与售价x 元的函数关系为y=(x-21)(350。-10x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5 解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
6、已知函数y=(m2-m-2)mx2−5m−4+(m+1)x+m． （1）当m取何值时为二次函数？； （2）当m取何值时为一次函数？．
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 其中称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项.
注意：二次函数只要求a≠0 ，而b、c 可为0 ： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 二次函数的特殊形式 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函 数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
上册二次函数的相关概念人教版九年级数学全一册课件
y＝－2x2＋20x(1≤x＜10)
小结：根据实际问题及限定条件列不等式(组)求取值范围.
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
★10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝ 24 mm.动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移 动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如 果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何 变化？写出函数关系式及t的取值范围．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
4.圆的面积 S(cm2)与圆的半径 r(cm)的函数关系式为 S＝πr2， 自变量 r 的取值范围是 r＞0 .
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
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知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
9.矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． (1)y＝x2＋2x(x＞0) (2)15
小结：根据实际问题及限定条件列不等式(组)求取值范围.
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★10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝ 24 mm.动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移 动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如 果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何 变化？写出函数关系式及t的取值范围．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
4.圆的面积 S(cm2)与圆的半径 r(cm)的函数关系式为 S＝πr2， 自变量 r 的取值范围是 r＞0 .
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
9.矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． (1)y＝x2＋2x(x＞0) (2)15
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三数学(北京版)二次函数的图象(1)-2PPT
探究新知
探究y=ax2（a ≠ 0）的图象
1．分析二次函数y=x2的表达式，思考下列问题：
(1)它的图象是否通过原点，为什么？
函数y=x2的图象通过原点，因为当x=0时，y=0． 函数图象过（0，0）点，也就是原点．
探究新知
探究y=ax2（a ≠ 0）的图象
1．分析y=x2的表达式，思考下列问题： (2)函数自变量的取值范围是什么？函数y的取值范围是什 么？因此，函数图象大约会分布在哪几个象限？为什么？
（1）y=-x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
（1）y=-x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
（1）y=-x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
y=-x2 …
-1 0 -1
3… …
（1）y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 …
-4 -1 0 -1 -4
…
（1）y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（1）y=-x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
二次函数的图象（1） 初三年级 数学
知识回顾
1.什么叫二次函数?其自变量的取值范围是什么? 二次函数：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，其中 a，b分别是二次项、一次项系数，c是常数项．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量的取值范围是全体实数．
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
初三二次函数课件ppt
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 经过点$(0,3)$和$(3,0)$，且顶点 在第四象限，求抛物线的方程。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。
初三二次函数课件ppt
详细描述
图像法是通过绘制二次函数的图 像，观察其开口方向、对称轴、 顶点坐标等特征，从而求解二次 函数的解析式。
05
实际应用案例
生活中的二次函数应用
自由落体运动
在物理学中，自由落体运动可以用二 次函数来描述。物体下落时，下落的 高度与时间的平方成正比，即h = 1/2gt^2，其中g是重力加速度。
一次函数的应用
一次函数可以用于解决一些实际问 题，如速度、成本、时间等。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的区别
一次函数是一条直线，而二次函数是一个抛物线。
一次函数与二次函数的联系
二次函数可以看作是由两个一次函数组成的，其中一个一次函数的系数为0。
二次函数的意义与重要性
二次函数的意义
二次函数是函数中的一种，一般形如y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，其中x 是自变量，y是因变量。
二次函数的对称轴与开口方向
对称轴：直线$x = \frac{b}{2a}$，是二次函数图像
的对称轴
开口方向：取决于二次项系数a ，a>0时开口向上，a<0时开口
向下
以上是初三二次函数课件的相关 内容。
04
二次函数的求解方法
配方法
详细描述：配方法是通过配方的 方式，将二次函数的一般形式转 化为顶点式或直接用配方法求出 抛物线的顶点坐标及对称轴。
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$
二次函数的图像性质
开口方向
取决于二次项系数a，a>0时开口向上，a<0时开口向下
对称轴
直线$x = -\frac{b}{2a}$
顶点坐标
$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$
图像法是通过绘制二次函数的图 像，观察其开口方向、对称轴、 顶点坐标等特征，从而求解二次 函数的解析式。
05
实际应用案例
生活中的二次函数应用
自由落体运动
在物理学中，自由落体运动可以用二 次函数来描述。物体下落时，下落的 高度与时间的平方成正比，即h = 1/2gt^2，其中g是重力加速度。
一次函数的应用
一次函数可以用于解决一些实际问 题，如速度、成本、时间等。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的区别
一次函数是一条直线，而二次函数是一个抛物线。
一次函数与二次函数的联系
二次函数可以看作是由两个一次函数组成的，其中一个一次函数的系数为0。
二次函数的意义与重要性
二次函数的意义
二次函数是函数中的一种，一般形如y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，其中x 是自变量，y是因变量。
二次函数的对称轴与开口方向
对称轴：直线$x = \frac{b}{2a}$，是二次函数图像
的对称轴
开口方向：取决于二次项系数a ，a>0时开口向上，a<0时开口
向下
以上是初三二次函数课件的相关 内容。
04
二次函数的求解方法
配方法
详细描述：配方法是通过配方的 方式，将二次函数的一般形式转 化为顶点式或直接用配方法求出 抛物线的顶点坐标及对称轴。
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$
二次函数的图像性质
开口方向
取决于二次项系数a，a>0时开口向上，a<0时开口向下
对称轴
直线$x = -\frac{b}{2a}$
顶点坐标
$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$
北京市平谷县第二中学九年级数学《二次函数》课件 新人教版
ax2+bx+c 在同一坐标系下的图像大致是（ c ）
A
B
C
D
练习二：
5、已知二次函数y= ax2+bx+c（a ≠ 0）的图像 如图所示，一次函数y= ax+b与反比例函数y= 的图像在同一坐标系下的图像大致是（ D ）
A
B
C
D
二次函数的性质和图像
学习目标： 1、掌握二次函数的性质、图像 2、会应用二次函数的性质、图像进行简单的计算 和判断
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次函数
1、定义：形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的式子， Y叫X的二次函数
2、图像： 抛物线
3、性质：
顶点坐标： （- ， ）
对称轴：
直线 x= -
当a＞0时，开口向上 ，顶点为最低点，当 x=- 时y取最小值
练习一：
3、抛物线y= x2+3x-10的顶点坐标是（- ，- ）,与y 轴的交点坐标是（ 0 ，-10），与x轴的交点坐标是 （ -5 ，0）、（2，0） 4、二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a= -1 5、二次函数y=mx2-3x+2m-m2 的图像过原点,则m= 2
练习二：图像题 1、已知抛物线y= ax2+bx+c （a ≠ 0）的图像如图所示， 则a ＞ 0,b ＞ 0,c ＜ 0
当a＜0时，开口向下 ，顶点为最高点，当x=- 时y取最大值
二次函数
当a＞ 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大
当a＜ 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 增大 在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小
二次函数
A
B
C
D
练习二：
5、已知二次函数y= ax2+bx+c（a ≠ 0）的图像 如图所示，一次函数y= ax+b与反比例函数y= 的图像在同一坐标系下的图像大致是（ D ）
A
B
C
D
二次函数的性质和图像
学习目标： 1、掌握二次函数的性质、图像 2、会应用二次函数的性质、图像进行简单的计算 和判断
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次函数
1、定义：形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的式子， Y叫X的二次函数
2、图像： 抛物线
3、性质：
顶点坐标： （- ， ）
对称轴：
直线 x= -
当a＞0时，开口向上 ，顶点为最低点，当 x=- 时y取最小值
练习一：
3、抛物线y= x2+3x-10的顶点坐标是（- ，- ）,与y 轴的交点坐标是（ 0 ，-10），与x轴的交点坐标是 （ -5 ，0）、（2，0） 4、二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a= -1 5、二次函数y=mx2-3x+2m-m2 的图像过原点,则m= 2
练习二：图像题 1、已知抛物线y= ax2+bx+c （a ≠ 0）的图像如图所示， 则a ＞ 0,b ＞ 0,c ＜ 0
当a＜0时，开口向下 ，顶点为最高点，当x=- 时y取最大值
二次函数
当a＞ 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大
当a＜ 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 增大 在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小
二次函数
北京市平谷二中初中九年级数学上册 《二次函数的概念》课件2(优秀课件)
5.
y
1 x2
4x
6.
y
1 2
x2
2
7.y (m 4)x2 3x 1
8.y (m2 1)x2 5x 2
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5
下列各式均为二次函数,请确定m的值或范围.
1.y xm 3x 2
2.y (m 2)xm22 x 1
3.y Байду номын сангаас(m 3)xm22m1 (m 1)x 1
4.y (m 5)x2 2
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8
1.判断下列各式是否为二次函数.
y 2x2 ; y mx2 x 5 ; y xm 5x 4
y x2 3x m ; y x2 6x 1 ; y 2x2 mx
2.函数 y mx2 nx 3 是二次函数，确定m、n的取
值范围。
3.直角边相差为2的三角形中，较短的直角边长为x， 斜边长的平方为y，求y与x之间的函数关系式。
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讲课人：优质老师
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1
y ax2 bx ca 0
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2
1、理解二次函数的概念。
2、能利用二次函数的概念确定函数中参数 的取值范围。
3、能正确地列出实际问题中的二次函数关 系式。
课件在线
3
1、正方形的边长是 x cm ，写出面积ycm2与边长
xcm 之间的函数关系式。y= x2
x2
练习：在长20cm 宽 15cm 的矩形木板的四角上各 锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下的木板的 面积y 与正方形边长x 之间的函数关系式。
书上练习和练习册上的练习
课件在线
7
1、理解二次函数概念。
2、会确定二次函数中参数的值和范围。
相关主题
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（1）Y=3X2
（3）Y=-3X 2+ 2
（ 2）Y=-3X 2- 2
（4）Y=3X 2- 2
课堂小结
1、二次函数y=ax2 +c的图象是（ 抛物线 ）。 对称轴为（ y轴 ）。顶点是( 0，c ）。 2、当a＞0时，抛物线的开口向 上 ， 图象有最（ 低 ）点； 对称轴左侧Y随X增大而 减小 ，
2 二次函数y=ax
y
+c
y x
o
O x
自学指导： 看课本p48—49 回答下列问题
1.函数y=-2x2 的图像与函数y=-2x2 +3的图像 有什么区别和联系？（要求从开口方向、对称轴、 顶点坐标回答）
2.函数y=-2x2 +3的图像与函数y=-2x2 的图像 有怎样的位置关系？
3.函数y=ax2 +c（a≠0）的图像可以看作是由
O
y
x
对称轴右侧Y随X增大而 增大
当a＜0时，抛物线的开口向 下， 图象有最（ 高）点。
o
y 对称轴右侧Y随X增大而 减小
能力提高
已知一个二次函数的图象是由抛物线 Y=2X2 上下平移得到的，且X=1时，Y=5， 求此二次函数的解析式，并指出顶点坐标.
1.函数y=3x2的开口方向 ； 对称轴是（ ）；顶点坐标 是（ 2.函数y=-5x2 的开口 向 . 对称轴方程( )；顶点是： 3 .若二次函数y=ax2 的图象的开口向下， 则a ＿0.
）；
4.若正比例函数y=ax 的图象经过第二、四象限， 则二次函数y=ax2 的图象经过 第几象限？ 开口 方向如何？
5.抛物线y=mx2 +k（m≠0）是由y=mx2 向上（下） 平移∣k∣个单位得到的. 当k 〉0时，向（ ）平移， ），
当k〈 0时，向（ ）平移，其对称轴是（ 顶点坐标是（ ）. 当m〉o时，函数有（ 当m〈 0时，函数有（ ）值为（ ）值为（ ）
）.
5.要从抛物线y=-2x2的图像得到y=2x 2-2的 图像，则抛物线y=2x2的图像先沿（ ） 翻折，再向（ ）平移（ ）单位. 6.抛物线y=5xm2-2m-6+（m-3）的顶点 在x轴下方，则m=( ). 7.指出下列二次函数图象的开口方向、 对称轴方程、顶点坐标.
函数Y=（ ）的图像向（ ）得到的，它的 对称轴是（ ），顶点坐标是（ ）.
细心填空： 1.抛物线y=x2 +3的顶点坐标（ ）
对称轴为（
）
2.抛物线y=0.8x2 向下平移一个单位得抛物线 是（ ） 3.要从抛物线Y=-3X2 的图像得到y=-3x2 +4的 图像，则Y=-3X2 的图像应（ ）. 4.抛物线y=0.3x2 向上平移5个单位所的抛物 线的解析式为（ ），再向下平移6个单位 得到抛物线的解析式为（ ）