将军饮马模型(终稿)-将军饮马最大值模型

将军饮马模型

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦•一天，一

位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它. 从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.

【问题原型】将军饮马造桥选址费马点

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；轴对称；平移;

【解题思路】找对称点，实现折转直

、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例1：在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q,

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q, P为直线I上任意一点,

在"PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB仝AB（当且仅当PQ重合时取=）

例2：在定直线l 上找一个动点P ,使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小,

即PA+PB 的和最小.

关键：找对称点 作法：作定点B 关于定直线I 的对称点C,连接AC,与直线I 的交点Q 即为所要寻找的点, 即当动点P 跑到了点Q 处，PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC ，与直线I 的交点Q ，P 为直线I 上任意一点，

在"PAC 中，由三角形三边关系可知：

AP+PC 仝AC （当且仅当PQ 重合时取=）

2.两动一定型

例3:在/ MON 的内部有一点 A ，在0M 上找一点B ,在ON 上找一点 C ,使得△ BAC 周 长最短.

作法：作点A 关于0M 的对称点A ,作点A 关于ON 的对称点A'',连接A A ''与0M 交于点B ，与ON 交于点C ,连接AB , AC ,△ ABC 即为所求.

原理：两点之间，线段最短

7

例4:在/ MON 的内部有点A 和点B ,在0M 上找一点C ,在ON 上找一点D ，使得四边 形ABCD 周长最短.

作法：作点A 关于0M 的对称点A ,作点B 关于ON 的对称点B',连接A B ,与0M 交 于点C ,与ON 交于点

D ，连接AC , BD , AB ，四边形ABCD 即为所求.

原理：两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

例5:已知A 、B 是两个定点，在定直线I 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长 d （动

提示：存在定长的动点冋题一定要考虑平移

作法一：将点A 向右平移长度 d 得到点A',作A'关于直线I 的对称点A''连接A'

B ,

交直线I 于点N ，将点N 向左平移长度d,得到点M 。

作法二：作点A 关于直线I 的对称点A i ，将点A1向右平移长度 d 得到点A 2,连接A 2 B , 交直线I 于点Q ,

将点Q 向左平移长度 d ,得到点Q 。

原理：两点之间，线段最短，最小值为

A B+MN

fr-

•

S

/

/

O

点M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB

的值最小.

（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河

流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

军营

瞭望台

AC + BD + CD 最短.

例6

:

例6: 直线l i // I 2,在直线l i 上找一个点C ,

直线I 2上找一个点 D ，使得CD 丄12,且

/?

作法: 将点A 沿CD 方向向下平移CD 长度d 至点A ,连接A'B,交I 2于点

DC 丄I 2于点C ,连接AC .则桥CD 即为所求.此时最小值为 A'B+CD

D ，过点D 作

原理: 两点之间，线段最短, 4.垂线段最短型

例7:在/ MON 的内部有一点 A ，在0M 上找一点B ，在ON 上找一点 C ,使得AB + BC

最短.

原理：垂线段最短

点A 是定点，0M , ON 是定线，

点B 、点C 是0M 、ON 上要找的点，是动点.

作法：作点A 关于0M 的对称点A ,过点A'作A'C 丄ON , 交OM 于

点B , B 、C 即为所求。

例8:在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.

作法：连接AB，作AB的中垂线与I的交点，即为所求点P

此时I PA-PB |=0

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9：在定直线I上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大

作法：延长BA交I于点C,点C即为所求，

即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边例10：在定直线I上找一

个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-

PB|

最大

作法：作点B关于I的对称点B,连接AB，交交I于点P即为

所求，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边