山东省济南市2021届高三上学期期中考试数学试题
数学丨山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案
保密★启用前2020－2021学年度第一学期期中考试高三数学试题(B)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集U ＝{x|－1≤x<3}，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，则U A ＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<－1或x>2}2.己知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1z z + A.32i + B.12i + C.132i - D.132i + 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x －2B.y ＝2－x C.y ＝|lnx| D.y ＝xsinx4.已知tan α＝2，则sin(α－4π)sin(α＋4π)＝ A.－310 B.－35 C.310 D.35 5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)。
弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin ∠AOB ＝A.34B.725C.1225D.24256.在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB xAB yAC =+，则A.x ＋2y ＝0B.2x ＋y ＝0C.x －2y ＝0D.2x －y ＝07.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝Asin ωx 图象A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.定义域为(－2π，2π)的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为f'(x)，当0<x<2π时，有f'(x)cosx ＋f(x)sinx<0成立，则关于x 的不等式2f(4π)·cosx 的解集为 A.(－2π，－4π)∪(4π，2π)B.(4π，2π) C.(－4π，0)∪(0，4π) D.(－4π，0)∪(4π，2π) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ）{}{}211,20,Z∣∣A x x B x x x x =-≤≤=-≤∈A B = A.B.C.D.{}0,1[]1,2-[]0,1{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】解不等式可得集合，进而求交集即可. B 【详解】解得：，220x x -≤02x ≤≤所以， {}220,Z {0,1,2}∣B xx x x =-≤∈=所以. {0,1}A B = 故选：A2. 已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“O R t ∈()1OC t OA tOB =-+三点共线”的（ ）,,A B C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.【详解】充分性：由得，()1OC t OA tOB =-+ OC OA tOA tOB =-+故，则，故三点共线，所以充分性成立，()OC OA t OB OA =-- AC t AB =,,A B C 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而,,A B C AC t AB =，所以，所以，()OC OA t OB OA =-- OC OA tOA tOB =-+()1OC t OA tOB =-+所以必要性成立.综上所述：”是“三点共线”的充要条件.()1OC t OA tOB =-+,,A B C 故选：C3. 已知等比数列，则（ ） {}31017,8n a a a a =10a =A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质得到，进而得到，从而得解. 230171a a a =3108a =【详解】因为是等比数列， {}n a 所以，230171a a a =故，得.131030178a a a a ==102a =故选：B.4. 三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式和海伦公S =式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面S =2a b cp ++=积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则2a b c dp +++=θ四边形最大面积为（ ）A. 21B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答345692p +++==n S θ=案．【详解】∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，d ＝6，∴，又易知，，345692p +++==0πθ<<sin 0θ>则S =，i n θ==当，即时，有最大值为sin 1θ=π2θ=故选：D ．5. 已知为第三象限角，，则（ ）θ1sin cos 5θθ-=-()2cos 12sin sin cos θθθθ-=+A. B. C.D.425-325-325425【答案】B 【解析】【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】由，且， 1sin cos 5θθ-=-22sin cos 1θθ+=解得：或，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩又因为为第三象限角，所以，，θsin 0θ<cos 0θ<所以.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. ()2234[12()]cos 12sin 35543sin cos 2555--⨯--==-+--θθθθ故选：B6. 函数的图象大致为（ ）()32e2e xx f x =-+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再()f x ()f x 令求得有唯一零点，从而排除选项BCD ，而选项A 的图象满足的性()0f x =()f x ()f x 质要求，由此得解. 【详解】因为，所以，()32e2e xx f x =-+()323e 4e x x f x '=-+令，得；令，得；()0f x ¢>4ln 3x <()0f x '<4ln 3x >所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 4,ln3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4ln ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故的极大值点为，且， ()f x 4ln3x =4ln ln103x =>=令，则，得，且， ()0f x =320e 2e x x +=-ln 2x =ln 2ln10x =>=即在上有唯一大于的零点.()f x R 0ln 2对于B ，其图象的极大值点为，矛盾，故B 错误； 0x =对于C ，其图象先减后增，矛盾，故C 错误； 对于D ，其图象有两个零点，矛盾，故D 错误；对于A ，其图象满足上述结论，又排除了BCD ，故A 正确. 故选：A.7. 在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则ABC ,,A B C ,,a b c 6,4b c ==O （ ）AO BC ⋅=A.B.C. 10D. 2020-10-【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运0OD BC ⋅=算即可求得结果.【详解】记的中点为，连结，如图，BC D ,,AO OD AD 因为点为的外心，为的中点，所以，则，O ABC D BC OD BC ⊥0OD BC ⋅=所以()AO BC AD OD BC AD BC OD BC AD BC⋅=-⋅⋅==⋅-⋅ .()()()()()222211113616102222AC AB AC AB AC AB b c =+-=-=-=⨯-=故选：C.8. 设方程和的根分别为和，函数e e 0x x ++=ln e 0x x ++=p q ()()e xf x p q x=++，则（ ） A. B. ()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得，由此得到，再由函数的单调性易得，e p q +=-()e e xf x x =-()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭构造函数与，利用导数证得()()4341e 3g x x x x =--≥()()4233213h x x x x x =--≥与，从而解出. ()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】方法一：由得，由得， e e 0x x ++=e e x x =--ln e 0x x ++=ln e x x =--因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为e e 0x x ++=p e x y =e y x =--P ，p 同理：函数与的图象交点的横坐标为， ln y x =e y x =--Q q 因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，e x y =ln y x =y x =易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称， y x =e y x =--,P Q y x =即的中点一定落在，亦即点为与的交点，,P Q M y x =M y x =e y x =--联立，解得，即，e y x y x =⎧⎨=--⎩e 2e2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩e e ,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，e p q +=-故，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),1-∞()1,+∞所以， ()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，，()43440e e 133f f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则， ()()4341e 3g x x x x =--≥()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=-≥-=-> ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x [)e,+∞所以，即，故()()()4433e 33503811255g g <=-<=<=434e e 1<03--()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令，则，()()4233213h x x x x x =--≥()1133422333h x x x -'=--令，得，所以在上单调递增， ()0h x '>1x >()h x [)1,+∞所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--⨯=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-==⨯--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯--=⨯>>⎣⎦则，故， 42332e e e 03-->4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.方法二：前面部分同方法一得，，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增，所以， ()f x (),1-∞()1,+∞()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，当且仅当时取等号，所以，e 1x x ≥+0x =e 1x x -≥-+当时，，所以，()0,1x ∈1e 1xx <-413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=--<-=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭即，下面比较的大小关系， ()403f f ⎛⎫<⎪⎝⎭42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，()()()2g x f x f x =--()0,1x ∈所以，()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x --'''=+-=-+-=+--=故在上递增，，即有，亦即()g x ()0,1x ∈()()10g x g <=222033f f ⎛⎫⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：. 4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在区间上有解，则解可能为（ ） cos22x x +=[]0,2πA.B.C.D.π62π37π65π3【答案】AC 【解析】【分析】先由辅助角公式得到，再逐一代入检验选项中的解即可. πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1πcos22cos22sin 226x x x x x ⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以，即， π2sin 226x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于A ，当时，，故A 正确； π6x =ππππsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当时，，故B 错误； 2π3x =π4ππ3πsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，故C 正确； 7π6x =π7ππ5ππsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，当时，，故D 错误. 5π3x =π10ππ7π3πsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+===- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：AC.10. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） {}n a n 202312022,0,1n a S a a ><-A.B. 的最大值为 20220a >n S 2023SC. 的最小值为D.n a 2022a 40440S <【答案】ACD 【解析】【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数{}n a 2023120220,1a a a ><-202320220,0,a a <>列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， {}n a 2023120220,1a a a ><-数列为递减的等差数列， ∴{}n a∴202320220,0,a a <>故A 正确，对于B, 数列为递减的等差数列，{}n a 202320220,0,a a <>的最大值为，∴n S 2022S 故B 错，对于C,202320220,0,a a <>由得 ∴202320221a a <-20232022,a a <- ∴202320220,a a +<∴20232022||||,a a >的最小值为,即，∴n a 2022||a 2022a故C 正确， 对于D,140444044202220234044()2022()0,2a a S a a +==+<故D 正确. 故选：ACD11. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）0,0,21a b a b >>+=A.B. 119a b+ (18)ab …C. 2215a b +…【答案】BCD 【解析】【分析】对A 用“1”的妙用进行变形即可，对C 利11112()3b a a b a b a b a b+=++=++用柯西不等式可求最值，对BD 利用基本不等222222211()(21)(2)55a ab a b b =++≥++式式及其变形即可得解.【详解】由得：0,0,21,a b a b >>+=对A ，， 11112()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，时取等，故A 错误； 2b aa b=b =对B ，，时取等， 21a b +=≥2b a =两边平方可得，故B 正确； 18ab ≤对C ，由柯西不等式可得：，2222222111()(21)(2)555b a b a b a =++≥=++取等，故C 正确；2b a =对D ，由，时取等， 22(2)2a b ≤+=2b a =D 正确；+故选：BCD12. 在中，内角所对的边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c）()()tan 1tan tan A B A B +-=A. π6A =B. 若，则为直角三角形 b c -=ABCC. 若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为ABCD. 若为边上一点，且，则 D BC 1,:2:AD BD DC c b ==2b c +【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到； π3A =对于B ，利用余弦定理得到，将代入解得，从而得222a b c bc =+-b c =+a =到，由此得证；2b c =对于C ，利用三角形面积公式得到，从而得到222,,AD BF CE a b c===，利用基本不等式得证； ()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭对于D ，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”12c b+=的妙用即可证得. 2b c +≥【详解】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+， ()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =因为，所以，故0πC <<sin 0C >tan A =又，所以，故A 错误； 0πA <<π3A =对于B ，由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，即，代入上式得，b c -=b c =+222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪+-+⎪⎭⎭⎪整理得，解得或（舍去），则，22320c a +-=a =a =2b c =所以，故B 正确；222b a c =+对于C ，设边上的高分别是，,,AB AC BC ,,CE BF AD 则由三角形面积公式易得，则， 222,,AD BF CE a b c ===()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭此时，得，所以， 1sin 12S bc A ==bc =()2212AD BF CE a ⨯⨯=又，当且仅当时等号成立， 222a b c bc bc =+-≥=b c =所以，故C 正确； ()2212AD BF CE a =⨯⨯≤对于D ，因为，所以:2:BD DC c b =22c AD AB AB BC b cBD =+=++，()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ 可得， 22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++整理得，故， ()22227b cb c +=12c b+=所以()1222225b c b c b c c b cb ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭5⎫≥+=⎪⎪⎭，当且仅当且，即时，等号成立，22b c c b=12c b +=b c==所以，即，故D 正确.2b c +≥2b c +故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则与夹角的余弦值为__________.()()2,1,0,1a b =-= 2a b - b【答案】## 35-0.6-【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量2a b -积公式即可求解.【详解】因为，所以，则， ()()2,1,0,1a b =-= 2(4,3)a b -=-2=5a b - 又因为，，()0,1b =1b = 由平面向量的数量积公式可知：， ()2·33cos 2,552a b b a b b a bb---===--所以与夹角的余弦值为，2a b - b 35-故答案为：. 35-14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________. ()38,2,2xax x f x a x -<⎧=⎨≥⎩R a 【答案】 (][)1,24,∞⋃+【解析】【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在()f x R 上的任意函数值要不大于上的最小值，据此解答即可.(),2-∞[)2,+∞【详解】因为在上单调递增，()f x R 所以当时，在上单调递增，故，且2x <()38f x ax =-(),2-∞0a >，()()268f x f a <=-当时，在上单调递增，故，且，2x ≥()xf x a =[)2,+∞1a >()()2min 2f x f a ==所以，解得或，268a a -≤2a ≤4a ≥由于上述条件要同时成立，所以或， 12a <≤4a ≥故的取值范围为. a (][)1,24,∞⋃+故答案为：.(][)1,24,∞⋃+15. 已知是定义域为R 的奇函数，为奇函数，则__________.()f x ()21f x -+161()i f i ==∑【答案】68 【解析】【分析】由和均是奇函数可推出，赋值可得()f x ()21f x -+()()42f x f x +=+，从而根据递推公式可知.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=161()i f i =∑【详解】而是定义域为R 的奇函数，故有，且， ()f x ()()f x f x =--(0)0f =因为为奇函数，所以， ()21f x -+()()2121f x f x --+=---而， ()2[(2)](2)f x f x f x --=-+=-+所以，()()222f x f x +=-+用替换得：， 2x +x ()()42f x f x +=+令，则有， =1x -(3)(1)2(1)2f f f =-+=-+即；(1)(3)2f f +=令，则， 2x =-(2)(2)2(2)2f f f =-+=-+则，即； 2(2)2f =(2)1f =令，则有； 0x =(4)(0)22f f =+=所以.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=；(1)(2)(3)(4)813(5)(6)(7)(8)f f f f f f f f ++++++=+=； (9)(10)(11)61(12)(5)()(7)(8)82f f f f f f f f +++++++==；(9)(10)(11)(12)829(13)(14)(15)(16)f f f f f f f f ++++++==+ 所以161()(1)(2)(3)(4)(16)i f i f f f f f ==+++++∑ .=513212968+++=故答案为：6816. 若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果{}n x ()()1n n n n f x x x f x +=-'{}n x ，数列为牛顿数列，设，且，则()256f x x x -=+{}n x 22log 3n n n x a x -=-11a =2x =__________；数列的前项和为，则__________.{}n a n n S 2023S =【答案】 ①. ②. 103202321-【解析】【分析】（1）由定义可得，从而， 21212()3(23)n n n n x x x x ++=----1222log 23n n n n x a a x +=-=-得出是以为首项，公比为2的等比数列，从而可求得； {}n a 11a =2x （2）由等比数列前项和公式即可得解.n 【详解】（1）因为，所以，()256f x x x -=+()25f x x '=-，()()2125665522n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +=-=-='-+---则，，2126255()2222n n n n n x x x x x +-=-----=2126355()3322n n n n n x x x x x +-=-----=则有，21212()3(23)n n n n x x x x ++=----则， 211222212()2log log log 232(23)3n n n n n n n n x x x a a x x x +++---===--=-所以是以为首项，公比为2的等比数列， {}n a 11a =所以，所以， 11122n n n a --=⨯=2222223l og a x x -==-解得：. 2103x =（2），所以. 1(12)2112n n n S ⨯-==--2023202321S =-故答案为：；. 103202321-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.()22cos cos f x x x x =+（1）求的最小正周期； ()f x （2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的()y f x =6π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.12()y g x =()g x 【答案】（1）； π（2）. ,Z 46k x k ππ=+∈【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简为标准型，再求其最小正周期即可； ()f x （2）根据三角函数图象的变换，求得的解析式，再求对称轴即可. ()g x 【小问1详解】，()22cos cos f xx x x =+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭故的最小正周期. ()f x 22T ππ==【小问2详解】的图象先向右平移个单位得到()y f x =6π的图象；2sin 212sin 21666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到12的图象；()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，解得， 4,Z 62x k k πππ-=+∈,Z 46k x k ππ=+∈故的对称轴为. ()g x ,Z 46k x k ππ=+∈18. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，{}n a {}n b n n S 且有. 1122431,1,a b a b a S ===+=（1）求数列的通项公式；{}{},n n a b （2）令，数列的前11项和.,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩当为奇数时当为偶数时{}n c 11T 【答案】（1）,21n a n =-12n n b -=（2）748 【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为{}n a d {}n b ,再根(0)q q >据已知条件列出方程，即可得到两数列的通项公式.,d q (2)先求出的通项公式，再根据通项公式求出的前11项和即可. n c {}n c 【小问1详解】设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，{}n a d {}n b (0)q q >由得：，22431a b a S =+⎧⎨=⎩112111113a d b q a d b b q b q +=+⎧⎨+=++⎩，111a b ==Q ，23d q d q q =⎧∴⎨=+⎩解得：2,d q ==，12(1)21n a n n ∴=+-=-12.n n b -=【小问2详解】 由（1）知， 121,2,n n n n a n n c b n -=-⎧=⎨=⎩当为奇数时当为偶数时∴111234567891011T a b a b a b a b a b a =++++++++++ 1357911246810()()a a a a a a b b b b b =++++++++++3579(159131721)(22222)=++++++++++.56(121)2(14)748214⨯+-=+=-19. 在中，内角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c ()2cos cos a B b A c -=（1）证明：； tan 3tan A B =（2）若，求. 22a b bc -=B 【答案】（1）证明见详解 （2） π6B =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，可将题设条件转化为，再由sin cos 3cos sin A B A B =三角形内角的性质得出结果；（2）由（1）可推得，.进而根据余弦定理可推出，，求cos 3cos a B b A =2c b=a 解即可得到.222cos 2a c b B ac+-=【小问1详解】证明：因为，()2cos cos a B b A c -=所以，又， ()2sin cos sin cos sin A B B A C -=sin sin()C A B =+∴， ()2sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+即，sin cos 3cos sin A B A B =又且为三角形内角，，0π,0πA B <<<<,A B cos sin 0A B ≠则，即.sin cos 3cos sin cos cos cos cos A B A BA B A B=tan 3tan A B =【小问2详解】由（1）知，， sin cos 3cos sin A B A B =由正弦定理可得，.cos 3cos a B b A =根据余弦定理可知，，2222cos a b c bc A =+-，222222cos 6cos b a c ac B a c bc A =+-=+-联立可得，.22222c a b =-又，则，所以，则，22a b bc -=2c b =2222226a b c b =+=a则， 222cos 2a c b B ac +-===又，则. 0πB <<π6B =20. 已知三次函数. ()()32111212322f x ax a x x =+---（1）当时，求曲线在点处的切线方程， 3a =()y f x =()()1,1f （2）讨论的单调性. ()y f x =【答案】（1）； 650x y --=（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义，可得曲线()2952f x x x '=+-()y f x =在点处的切线斜率为，，利用直线点斜式即可得解； ()()1,1f (1)12f '=(1)3f =（2）求导可得，对参数进行讨论即得解.()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+a 【小问1详解】 当时，， 3a =()3251222f x x x x =+--，()2352f x x x '=+-所以曲线在点处的切线斜率为，()y f x =()()1,1f ()16f '=又，， ()51112122f =+--=()611y x =-+整理可得曲线在点处的切线方程为；()y f x =()()1,1f 650x y --=【小问2详解】 ，()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+若，由可得，0a =()(2)0f x x '=-+=2x =-当时，，为增函数，(,2)x ∈-∞-()0f x '>()f x 当时，，为减函数，(2,)x ∈-+∞()0f x '<()f x 当时，，0a >()(1)(2)0f x ax x '=-+=可得或， 1x a=2x =-所以在 为增函数，在上为减函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若， 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若， 12a <-在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -综上可得：若，0a =在上为增函数，在上为减函数，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞当时， 在 为增函数，在上为减函数，0a >()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若，在 为减函数，在上为增函数. 12a <-()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -21. 设正项数列满足，且.{}n a 11a =()()222*11N n n na n a n n n +-+=+∈（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）设，求证：数列的前项和. n b ={}n b n 32n S <【答案】（1）证明见解析；n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得22111n n a a n n +-=+2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；n a n =（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可n b =1n =2n ≥证得. 32n S <【小问1详解】因为， ()()222111n n na n a n n n n +-+=+=+所以， 22111n n a a n n+-=+又，故， 11a =2111a =所以是首项为，公差为的等差数列， 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11故，则， ()2111n a n n n=+-⨯=n a n =±因为数列是正项数列，所以.{}n a n a n =【小问2详解】由（1）得， n b ==当时，； 1n =111322S b ==<当时，2n ≥n b ==<=， <=所以； 1331222n S ⎛<+-+++=< ⎝ 综上：. 32n S <22. 已知函数. ()1ln f x a x x x =-+（1）若恒成立，求的取值范围；()1,0x f x ∀≥≤a （2）证明：对任意；()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ （3）讨论函数零点的个数.()f x 【答案】（1）；(],2-∞（2）见详解； （3）时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x 【解析】 【分析】（1）进行求导可得，讨论函数的单调性，求得最大值满足221()x ax f x x -+-'=()f x 小于0即可；（2）取，时，成立，代入（）整理即可得证； 2a =1x >12ln x x x <-1k x k+=N k *∈（3）由导函数，讨论的单调性，结合图象即可求得零点. 221()x ax f x x -+-'=()f x 【小问1详解】求导可得：， 22211()1a x ax f x x x x-+-=--'=若，对任意的，，为减函数，所以，符合题0a ≤1x ≥()0f x '<()f x ()(1)0f x f ≤=意；若，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-当，即时，，此时在上为减函数，有0∆≤02a <≤()0u x ≤()f x [)1,+∞()(1)0f x f ≤=，符合题意；当，即时，令可得：0∆>2a >()0u x =，， 11x =<21x =>所以，当时，，为增函数，所以，不符题意， ()21,x x ∈()0f x '>()f x ()(1)0f x f >=综上可得：的取值范围为.a (],2-∞【小问2详解】由（1）知当时，成立，即时，恒有， 2a =()0f x ≤1x ≥12ln 0x x x-+≤即当时，成立. 1x >12ln x x x<-取（），有， 1k x k +=N k *∈112ln ()1k k k k k k ++<-+即，， 111ln(1)ln ()21k k k k +-<++1,2,3,k n = 所以，, ()11111111ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2222321n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+-<+⋯+-<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭将上述不等式相加可得：， 11111ln(1)(2232(1)n n n +<++++++ 整理可得， 1111ln(1)232(1)n n n n ++++->++ 即成立； ()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ 【小问3详解】由（）， 221()x ax f x x -+-'=0x >当时，，为减函数，0a <()0f x '<()f x又，， 11(ln 22022f a =--+>1(2)ln 2202f a =-+<此时在内有一个零点； ()f x (0,)+∞01,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当时，令，可得或（舍）， 0a =1()0f x x x=-+=1x ==1x -此时有一个零点， ()f x 当时，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-若，即时，，240a ∆=-≤02a <≤()0u x ≤所以为减函数，由， ()f x ()1010101e 10e 0e f a =-+<，此时有一个零点在内； 10101011()10e 0e e f a =--+>()f x 10101,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，时，有两解，240a ∆=->2a >2()10u x x ax =-+-=，， 12x x ==1201x x <<<此时在上为减函数，在上为增函数，()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 由可知，所以极小值,极大值， ()10f =()()110f x f <=()()210f x f >=由， ()1ln f x a x x x =-+取，， e a x =()2e 1(2)ee a a af a a =-+>令， 21()e (2)ex x h x x x =-+>，令，则， 1()2e e x x h x x '=--()12e e x x g x x =--()12e +ex x g x '=-由所以，所以为减函数， 2x >()12e 0ex x g x -'=+<()h x '所以，所以为减函数， 221()(2)4e 0eh x h ''<=--<()h x 所以，所以， 221()(2)4e 0e h x h <=-+<()20e e 1e a a a f a =-+<可得，此时有三个零点， 21e 1e e +0a a af a ⎛⎫⎪⎭-=-> ⎝()f x 综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。
山东省2021版数学高三上学期理数期中考试试卷A卷
山东省2021版数学高三上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一下·柳州期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高二上·双鸭山期末) 对于空间的两条直线和一个平面，下列命题中的真命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则3. （1分） (2020高一下·忻州月考) 下列说法正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若，则C . 若，则D . 若，则4. （1分）(2019·山西模拟) 已知函数的定义域为A，则（）A . 或B . 或C .D .5. （1分）将函数y=sin(x+)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A . y=sin(2x+)B . y=sin(+)C . y=sin(-)D . y=sin(+)6. （1分） (2020高一上·长春期末) 下列各式中,值为的是（）A .B .C .D .7. （1分） (2017高二上·清城期末) 设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （1分） (2018高一上·定州期中) 设，，，则的大小关系为（）．A .B .C .D .9. （1分）设数列{an}的前n项和Sn=，则a5=（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （1分）函数f(x）在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)且（x-1）f'(x)<0，若a=f(0),b=f（）,c=f(3)则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . b>a>cD . a>c>b11. （1分） (2018高二下·晋江期末) 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分）(2020·鄂尔多斯模拟) 已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知 =（﹣1，3）， =（1，t），若∥ ，则t=________．14. （1分） (2018高二上·通辽月考) 若x，y满足约束条件则的最大值为________.15. （1分） (2020高二下·扶风月考) 观察下列等式：根据上述规律，第四个等式为________.16. （1分）(2020·江西模拟) 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2016高三上·虎林期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b= ，求△ABC面积的最值．18. （2分）已知函数f(x)＝lnx－x＋，其中a>0.（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；（2）设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．19. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式;（2）设，求数列的前项和 .20. （2分） (2016高一上·唐山期中) 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）是减函数，若f（m﹣1）＜f（﹣m），求实数m的取值范围．21. （2分） (2018高二下·中山月考) 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 km．（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．22. （2分） (2019高二上·泊头月考) 已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2020-2021济南市高三数学上期中一模试题带答案
（2）若 ， ，求 .
25． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
求C；
若 ，求， 的面积
26．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵ ，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，
∴a4＋a2 013＝2，
∴ .
很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，
本题选择D选项.
12．D
解析：D
【解析】
分析：由正弦定理可将 化简得 ，由余弦定理可得 ，从而得解.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简 ，得到 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知， ，
结合正弦定理，化简可得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 或 ，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，验证 是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 .
对于①中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数 ， 不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
山东省济南德润高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
f
log2 3
_________
15.若存在实数 x，使得关于 x 的不等式 ax2－4x＋a－3＜0 成立，则实数 a 的取值范围
是
.
20.(本小题满分 12 分)已知函数 f x x3 1 x2 ax 1 ．
2
(1)当 a 2 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
高三数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
1. 已知集合 A x x2 2x 0 , B x 0 x 3 ，则 A B
A． 1,3
B．(0，2]
C．[2，3)
D．(2，3)
2. sin 225 =
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D． 1
3.已知
a
log3
2, b
1
34,c
ln
2 ，则a，b，c 3
的大小关系为
A． a b c B． b a c C． c b a D． c a b
4.设 x R ，则“ | x 1| 2 ”是“ lg x 0 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)当 a 0 时，设函数 f x 的最小值为 g a ，证明： g a 1；
(2)若函数 h x
f
x
1 x 2 ，有两个极值点 2
x1, x2
x1
x2 ，
证明： h x1 h x2 2 ．
高三数学试题参考答案
一、单选题：CBBBB ABA 二、多选题：9.CD 10.BD 11.BD 12.ABD
2
山东省2021年高三上学期数学期中考试试卷C卷
山东省 2021 年高三上学期数学期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 若集合，则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高三上·云南月考) 若复数 A.1 B.2 C.3 D.4 3. （2 分） (2019 高二上·丰台期中) 已知命题 A. B. C. D.是实数（i 为虚数单位），则实数 的值是（ ） ， 则命题 的否定是（ ）4. （2 分） (2017 高三上·漳州期末) 复数 z= A . 第一象限（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）第 1 页 共 20 页B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限5. （2 分） (2019 高二下·牡丹江期末) 设函数 围是（ ）A.，则满足的 x 的取值范B.C.D.6. （2 分） (2019 高一下·温州期末) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且，则的最大值为（ ）A. B.1 C.D. 7. （2 分） 向量 A.3 B . -3 C . 15 D . -15在向量上的投影是（ ）第 2 页 共 20 页8. （2 分） (2019·温州模拟) 已知 a，b 都是实数，那么“ A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 9. （2 分） (2018 高二上·抚顺期中) 已知 a，b 均为正数， A. B. C. D.”是“” 的（ ），则使的取值范围是（ ）10. （2 分） (2019 高三上·黑龙江月考) 已知函数在上单调递增，则实数 a 的值为A.B.C.1D.2二、 多选题 (共 3 题；共 9 分)是定义在 R 上的奇函数，且函数11. （3 分） (2020 高三上·福建月考) 要得到函数 上所有的点（ ）的图像，只需将函数的图像A . 先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 （纵坐标不变）第 3 页 共 20 页B . 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）C . 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度D . 横坐标伸长到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位长度12. （3 分） (2020 高一下·沈阳期末) 己知函数，（）A.的图象关于直线 轴对称，下列结论正确的是B.在区间上单调递减C.的图象关于直线轴对称D.的最大值为13. （3 分） (2020 高二下·石家庄期中) 若存在实常数 k 和 b，使得函数的任意实数 都满足：和恒成立，则称此直线和对其公共定义域上为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题为真命题的是（ ）A.在内单调递减B.和之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为-4C.和之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是D.和之间存在唯一的“隔离直线”三、 填空题 (共 4 题；共 5 分)14. （1 分） (2020 高三上·正定月考) 已知向量，向量 与 的夹角为 ，且，则________.第 4 页 共 20 页15. （1 分） (2019 高二下·哈尔滨期末) 已知函数 ________.，则在处的切线方程为16. （1 分） (2020·南通模拟) 已知，若关于 的不等式在上恒成立，则 的取值范围为________.17. （2 分） 已知函数 f（x）= sin2x﹣2cos2x+1．（1） 求函数 f（x）在区间[﹣ ， ）上的值域；（2） 设四、 解答题。
山东省济南市莱芜2024届高三上学期期中考试数学试题含解析
2023—2024学年度第一学期月考高三数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,2B a =+，若A B =，则a 等于（）A.1-或2B.0或1- C.2D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用相等集合求出a 值，再验证即得.【详解】集合{}20,1,A a=，{}1,0,2B a =+，由A B =，得22aa =+，解得1a =-或2a =，当1a =-时，集合A 中元素21a =，与集合元素的互异性矛盾，当2a =时，{}0,1,4A B ==，符合题意，所以2a =.故选：C2.已知复数z 满足320z z++=，则3z =（）A.3B.1C.33D.【答案】D 【解析】【分析】先求得z ，进而求得3z.【详解】设i,,R z a b a b ∈=+，依题意3i 20ia b a b +++=+，()()()3i i 20i i a b a b a b a b -+++=+-，22222i 033a b a b b a b a ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭，所以222232030aa ab b b a b ⎧++=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩，解得21,2a b =-=，则33z z===故选：D3.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.4.已知正项等比数列{}n a 中，220234a a =，则212222024log log log a a a +++= （）A.1012B.2024C.10122 D.20242【解析】【分析】根据等比数列性质得到120242202130123022101324a a a a a a a a ===== ，结合对数运算法则求出答案.【详解】正项等比数列{}n a 中，220234a a =，故120242202130123022101324a a a a a a a a ===== ，故()21222202421220232024log log log log a a a a a a a +++= ()()()21202422023101310121022124log l 41012410122o 202og l g a a a a a a ====⨯= .故选：B5.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m 元/升，n 元/升(m n ≠)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a ，2a ，则下列结论正确的是（）A.12a a = B.12a a > C.21a a > D.1a ，2a 的大小无法确定【答案】C 【解析】【分析】分别计算出1a ，2a 关于m ，n 的表达式，再根据基本不等式即可求解．【详解】由题意得0m >，0n >，m n ≠，则140224040mn a m n m n⨯==<=++212121222m n m n a ++==>⨯，所以21a a >．故选：C ．6.已知πtan 2tan 74θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A.2B.2± C.45±D.45【解析】【分析】根据题意利用两角和的正切公式可得tan 2θ=，再利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】因为πtan tanπtan 14tan 2tan 7π41tan 1tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理得2tan 4tan 40θθ-+=，解得tan 2θ=，所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故选：D.7.ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（）A.23-B.112-C.112D.23【答案】B 【解析】【分析】把32DF DE = 和7162AF BA BC =-+代入AF BC ⋅ 计算即可.【详解】点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则32DF DE =，()2323231132323233AF AD DF AB DE AB BE BD AB BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭7162BA BC =-+，所以27171711111626262212AF BC BA BC BC BA BC BC ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅=-⨯⨯⨯+=- ⎪⎝⎭.故选：B8.若存在实数π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象关于直线x ϕ=对称，则ω的取值范围为（）A.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】以π3ωϕ+为整体结合正弦型函数的性质求出结果.【详解】因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0ω>，则ππππ,3323ωϕω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象关于直线x ϕ=对称，则πππ232ω+>，解得13ω>.故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.在下列函数中，最小值是2的函数有（）A.()1f x x x =+B.()4sin sin f x x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.函数2log log 2x y x =+，0x >且1x ≠D.()42f x x x =++，2x >-【答案】AD 【解析】【分析】根据基本不等式的性质求最值，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0x >时，()112,f x x x x x =+=+≥当且仅当1x x=，即1x =时等号成立；当0x <时，()112,f x x x x x =+=-+≥-当且仅当1x x-=-，即=1x -时等号成立；综上所述，()1f x x x=+的最小值是2，故A 正确；对于B,因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin (0,1)x ∈，则()4sin 4sin f x x x =+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，不成立，故()4sin 4sin f x x x=+>，故B 错误；对于C ，当01x <<时，2log 0x <且log 20x <，则函数2log log 22,x y x =+≤-=-此时没有最小值，故C 错误；对于D ,2x >-时，20x +>，则()44222222f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时，等号成立，故()42f x x x =++的最小值为2，故D 正确；故选：AD.10.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，*,N m n ∀∈，m n m n S S S +=，则（）A.{}n a 是等比数列B.2nn S =C.8567892a a a a a ++++= D.0m ∃≥，()()()2213S m S m S m +=++【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件可得12n n S S +=，求出n S 及n a ，再逐项判断即可．【详解】由12a =，*,N m n ∀∈，m n m n S S S +=，得1112n n n n S S S S a S +===，又112S a ==，因此数列{}n S 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn S =，B 正确；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，而12a =，不满足上式，于是12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，A 错误；8567899494222a a a a a S S +++=-+=->，C 错误；显然123,4,28S S S ===，并且有221316S S S ==⋅，因此当0m =时，()()()2213S m S m S m +=++成立，D 正确.故选：BD11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >，cos cos A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >，sin cos B A >C.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 为锐角三角形D.若21sin222A b c +=，则ABC 为直角三角形【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理及余弦三角函数的性质即可求解；对于B ，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C ，利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合两角和的正切公式及三角形的特点即可求解；对于D ，利用二倍角的余弦公式及正弦定理的边化角，结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式即可求解.【详解】对于A ，由A B >，得a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，在ABC 中，所以π0A B >>>，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故A 错误；对于B ，因为ABC 为锐角三角形，可得π2A B +>,则π2A B >-,因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，同理可得sin cos B A >，故B 正确；对于C ，在ABC 中，πA B C ++=,所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-,化为()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-,即tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,又tan tan tan 0A B C ++>，所以tan tan tan 0A B C >，在ABC 中，最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ，由21sin 222A b c +=及正弦定理，得1cos sin 122sin 2A B C -+=，即sin cos sin BA C=，于是有()()cos sin sin sin πsin A C B A C A C ==-+=+⎡⎤⎣⎦，所以cos sin sin cos cos sin A C A C A C =+,即sin cos 0A C =，又0πA <<,所以sin 0A ≠，所以cos 0C =，又0πC <<,所以π2C =，所以ABC 为直角三角形，故D 正确.故选：BCD.12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的非常数函数，满足()()213f x g x ++-=，()()13f x g x +-=，且()1f x +为奇函数，则（）．A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()20241k f k ==∑ D.()202416072k g k ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】根据已知条件，利用变量代换可推出函数()f x 的周期，继而推出()()f x f x -=，结合函数()f x 是定义在R 上的非常数函数，即可判断()f x 的奇偶性，判断A ，B ；利用()f x 的周期可求得()20241k f k =∑的值，判断C ；根据()()13f x g x +-=结合变量代换可推出()3(1)g x f x =++，从而将()20241k g k =∑化为()202411][3k f k =++∑，结合()f x 的周期求值即可判断D.【详解】函数()f x 是定义在R 上的非常数函数，由于()1f x +为奇函数，故(1)(1)f x f x -+=-+，即(1)(1)0++-=f x f x ，即()(2)0f x f x +-=，由于()()213f x g x ++-=，用2x -代换x 可得()()413f x g x -+-=，结合()()13f x g x +-=得：(4)()f x f x -=，即()22)(f x f x -+=，结合()(2)0f x f x +-=得()(2)(2)f x f x f x =--=-+，即(2)()f x f x +=-，故(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即4为函数()f x 的周期，故()(4)()f x f x f x -=-=，故()f x 为偶函数，由于()f x 是定义在R 上的非常数函数，故()f x 不是奇函数，故A 错误，B 正确；由于()(2)0f x f x +-=，故()(2)0f x f x -+-=，即()(2)0f x f x ++=，故(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，故()20241506[(1)(2)(3)(4)]0k f k f f f f ==+++=∑，故C 正确；由()()13f x g x +-=得()()13f x g x -+=，而()f x 为偶函数且()(2)0f x f x +-=，故(1)(1)f x f x -=-+，则()()313(1)g x f x f x =--=++，因为()202410k f k ==∑，所以()202411506[(2)(3)(4)(5)]506[(1)(2)(3)(4)]0k f k f f f f f f f f =+=+++=+++=∑，故()()()2024202420241111]607216072[3k k k g k f k k f ====+=++=+∑∑∑，D 正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数()f x 的周期，进而推出函数()f x 为偶函数，从而再根据(),()f x g x 之间的关系，推出()3(1)g x f x =++，结合函数的周期性，即可求出和式()20241k f k =∑，()20241k g k =∑的值.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若ABC 为钝角三角形，请写出三边a ，b ，c 所满足的一个关系式______（答案不唯一）．【答案】222a b c +<（答案不唯一）【解析】【分析】根据钝角三角形的知识写出答案.【详解】ABC 为钝角三角形，如C 为钝角，由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以222a b c +<.故答案为：222a b c +<（答案不唯一）14.O 是锐角三角形ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则O 是ABC 的______心．【答案】垂【解析】【分析】根据向量数量积及其运算律可证垂直，从而得出结果.【详解】因为()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC 的垂心.故答案为：垂.15.已知函数()2sin f x x m x =-在R 上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．【答案】2m <-或m>2【解析】【分析】将问题转化为()f x 有极值点，即()f x '有变号零点，从而得解.【详解】因为()2sin f x x m x =-，所以()2cos f x m x '=-，又()f x 不是单调函数，所以函数()f x 有极值点，即()f x '在R 上有变号零点，则2cos 0m x -=成立，当cos 0x =时，2cos 0m x -=可化为20=，显然不成立；当cos 0x ≠时，2cos m x=，因为x ∈R ，1cos 1x -≤≤，所以22cos x ≤-或22cos x≥，所以实数m 的取值范围为2m <-或m>2（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，2m <-或m>2满足要求.故答案为：2m <-或m>2.16.著名的斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则2221220232023++⋅⋅⋅+a a a a 是该数列的第______项；12121122⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】①.2024②.322【解析】【分析】空1：根据题意可得21121n n n n n a a a a a ++++=-，根据题意结合裂项相消法运算求解；空2：分析可知121226115222⎛⎛+-+=+ ⎝⎭⎝⎭a ，结合递推公式运算求解.【详解】空1：因为21n n n a a a ++=+，即12n n n a a a ++=-，则21121n n n n n a a a a a ++++=-，可得()()()22221220231322142024202320232032322++⋅⋅⋅+=+-+-+-⋅⋅⋅+a a a a a a a a a a a a a a a a 20242023202420312212=-=+a a a a a a a ，所以22212202320232024202320422203++⋅⋅⋅+==a a a a aa a a ，即2221220232023++⋅⋅⋅+a a a a 是该数列的第2024项；空2：因为21212266611112522222⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎛+-+-⎢⎥+=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a ，又因为121a a ==，则34562,3,5,8a a a a ====，所以121226115232222⎛⎫⎛+-+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭a .故答案为：2024；322.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合|0x A x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，ππ|tan 2,0,44B y y a x a a x ⎧⎫⎛⎫==+>∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．（1）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）322a ≤≤（2）6a ≥或12a ≤【解析】【分析】（1）首先求解两个集合，由题意转化为两个集合的包含关系，列不等式求解；（2）根据,A B 两个集合，并结合A B ⋂=∅，即可列式求解.【小问1详解】0x ≤，得()(2642020x x x ⎧--≤⎪⎨⎪-≠⎩，得264x <≤，解得：362x <≤，即362A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，ππtan 2,0,,44y a x a a x ⎛⎫=+>∈- ⎪⎝⎭，函数单调递增，所以(),3y a a ∈，即{}3B y a y a =<<，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，即3236a a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：322a ≤≤；【小问2详解】若A B ⋂=∅，则6a ≥或332a ≤，解得：6a ≥或12a ≤.18.已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π4个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间()0,π上的值域．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）(]0,3【解析】【分析】（1）根据图象，依次求得,,A ωϕ的值，从而求得()f x 的解析式.（2）利用函数图象变换求出函数()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()g x 在区间()0,π上的值域.【小问1详解】根据函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，17πππ41234T =-=，即2ππT ω==，得2ω=，又函数()f x 过π(,0)3，所以π2π,Z 3k k ϕ⨯+=∈，2ππ,Z 3k k ϕ=-∈，而π2<ϕ，则π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】根据题意，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位得：πππππ2sin 2(2sin(2)2cos(2)43233y x x x ⎡⎤=-+=-+=-+⎢⎣⎦，再横坐标伸长为原来的2倍得：1ππ2cos(2)2cos()233y x x =-⨯+=-+，最后将图象向上平移1个单位得到函数π()2cos()13g x x =-++的图象.由0πx <<得ππ4π333x <+<，当πππ33x <+<，即2π(0,)3x ∈时，()g x 单调递增，当π4ππ33x <+<，即2π(,π)3x ∈时，()g x 单调递减，所以，()0,πx ∈时，2π2ππ()(2cos()13333g x g ≤=-++=，且()()πππ02cos10,π2cos π12cos 12333g g ⎛⎫=-+==-++=+= ⎪⎝⎭，可知()()00g x g >=.综上所述，()g x 在区间()0,π上的值域为(]0,3.19.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。
2020-2021学年山东省济南市章丘区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）已知集合1{|1}A x x=<，2{|280)B x x x =-->，则(A B = )A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞B ．(4,)+∞C ．(2-，0)(1⋃，4)D ．(1,4)2．（5分）设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知2log 3a =，4log 8b =，2c ln =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．（5分）已知平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+，则||(a b += ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）“|3|1x -<”是“311x >-”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数2()(1)x x f x ln x x -=+-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为( ) A ．2B ．98C ．94D ．328．（5分）设()f x 是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数，()f x '为其导函数，(12)(21)f x f x -=-，(2)0f -=，当0x >时，()()xf x f x -'<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(2-，0)(0⋃，2) B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，2)D ．(0，2)(2⋃，)+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．（5分）若命题“x R ∃∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+”是假命题，则k 的值可能为( ) A ．1-B ．1C ．4D ．710．（5分）函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)A >的部分图象如图所示，则( )A ．2πω=B ．6AC ．4πϕ=-D ．(0)3f =-11．（5分）为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适，令z lny =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，z 满足如表：天数x 天2 3 4 5 6 z1.54.55.56.57则( ) A ．0.2c e -=B ． 1.3k =C ．0.2c e =D ． 1.3k =-12．（5分）已知函数2||,0()43,0lnx x f x x x x >⎧=⎨++⎩，若函数2()[()]4()1g x f x f x m =-++恰有8个零点，则( )A ．m 的最小值为1B ．m 的最小值为2C ．m 的最大值为3D ．m 无最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知1sin cos 6αα=-，(0,)απ∈，则cos sin αα-= ．14．（5分）先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ= ． 15．（5分）在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，则AM CN = ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1．若1cos cos cos 3a Ab Bc C ++=，则ABC ∆的面积为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）在①4C π=，②ABC ∆的面积为，③sin BA BC ac bc A =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_____，且sin cos a B A =，ABC ∆的外接圆的半径为4．求ABC ∆的周长．18．（12分）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表[5，6] 3（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0，2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知向量(cos ,cos sin )a x x x =+，(3sin b x =，11cos sin )22x x -，且函数()f x a b =．（1）求()f x 的解析式及单调递增区间； （2）若α为锐角，且1()3f α=，求cos2α的值．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，(222)BC AD =，求sin 2B ． 21．（12分）已知函数2222()(log )2log f x x x a =-+．（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）设1m >，若对任意[2x ∈，)+∞，不等式((22))(441)x x x x f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围．22．（12分）已知函数()(1)(0)ax f x e lnx a =->．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于x 的方程2()f x ax ax =-在[1，)+∞上恰有三个不同的实数解，求a 的取值范围．2020-2021学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）已知集合1{|1}A x x=<，2{|280)B x x x =-->，则(A B = )A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞B ．(4,)+∞C ．(2-，0)(1⋃，4)D ．(1,4)【解答】解：{|1A x x =>或0}x <，{|2B x x =<-或4}x >，(AB ∴=-∞，2)(4-⋃，)+∞．故选：A ． 2．（5分）设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：因为12(12)(2)432(2)(2)5i i i i z i i i --+-===--+，复数z 在复平面内对应的点为43(,)55-， 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D ．3．（5分）已知2log 3a =，4log 8b =，2c ln =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【解答】解：244log 3log 9log 81a b ==>=>， 21c ln lne =<=，∴实数a ，b ，c 的大小关系为c b a <<．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+，则||(a b += ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+， 所以22|2||2|a b a b -=+， 可得0a b =，所以20-=，解得m =所以(3,0)a b +=， 所以22||303a b +=+=． 故选：C ．5．（5分）“|3|1x -<”是“311x >-”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|3|1x -<，24x ∴<<， 311x >-，14x ∴<<， (2，4)(1，4)，∴ “|3|1x -<”是“311x >-”的充分不必要条件， 故选：B ．6．（5分）函数2()(1)x x f x ln x x -=+-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：22222()(()1())(1)(1)(1)1x xx x x xf x ln x x ln x x x x x x lnx x----===-+--+++++-+-22()1x x x xf x--+===-，()f x∴为奇函数，排除选项B和D；取1x=，则f（1）11-=<，排除选项A，故选：C．7．（5分）若0x>，0y>，且47x y+=，则111x y++的最小值为() A．2B．98C．94D．32【解答】解：若0x>，0y>，且47x y+=，则(1)48x y++=，所以11111141149[(1)4]()(5)[25] 18181818y xx yx y x y x y x y++=+++=++⨯+= +++，当且仅当47411x yy xx y+=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即5343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：B．8．（5分）设()f x是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数，()f x'为其导函数，(12)(21)f x f x-=-，(2)0f-=，当0x>时，()()xf x f x-'<，则使得()0f x>成立的x的取值范围是()A．(2-，0)(0⋃，2)B．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C．(-∞，2)(0-⋃，2)D．(0，2)(2⋃，)+∞【解答】解：由题意设()()g x xf x=，则()()()g x xf x f x'='+，当0x>时，有()()0xf x f x'+>，∴则当0x>时，()0g x'>，∴函数()()g x xf x=在(0,)+∞上为增函数，(12)(21)f x f x-=-，故函数()f x是偶函数，()()()()[()]()()g x x f x x f x xf x g x∴-=--=-=-=-，∴函数()g x为定义域上的奇函数，由(2)0f -=得，(2)g g -=-（2）0=，()0f x >即0x >时，()0g x g >=（2），解得：2x >， 0x <时，()0g x <，解得：2x <-∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(-∞，2)(2-⋃，)+∞，故选：B ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．（5分）若命题“x R ∃∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+”是假命题，则k 的值可能为( ) A ．1-B ．1C ．4D ．7【解答】解：由题可知，命题“x R ∀∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+>”是真命题， 当210k -=时，1k =或1k =-．若1k =，则原不等式为30>，恒成立，符合题意；若1k =-，则原不等式为830x +>，不恒成立，不符合题意． 当210k -≠时，依题意得22210,16(1)4(1)30k k k ⎧->⎨---⨯<⎩． 即(1)(1)0,(1)(7)0,k k k k +->⎧⎨--<⎩解得17k <<．综上所述，实数k 的取值范围为{|17}k k <， 故选：BC ．10．（5分）函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)A >的部分图象如图所示，则( )A ．2πω=B ．6AC ．4πϕ=-D ．(0)3f =-【解答】解：由已知，8.5 6.522T =-=，所以24T πω==，解得2πω=，所以()sin()2f x A x πϕ=+．又(8.5)(0.5)0f f ==，所以sin()04A πϕ+=，则24k πϕπ+=，k Z ∈，即24k πϕπ=-+，k Z ∈①．又(5)f =5sin()2A πϕ+cos A ϕ=②．由①②可得A ()sin()24f x x ππ-．故(0))4f π=-=故选：ABD ．11．（5分）为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适，令z lny =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，z 满足如表：则( ) A ．0.2c e -=B ． 1.3k =C ．0.2c e =D ． 1.3k =-【解答】解：由题意可得2345645x ++++==， 1.5 4.5 5.5 6.5755z ++++==，ˆˆ 1.3zx a =+，结果样本中心(4,5)，可得ˆ5 1.340.2a =-⨯=-， 因为z lny =，kx y ce =，所以z kx lnc =+， 所以 1.3k =，0.2lnc a ==-，即0.2c e -=， 故选：AB ．12．（5分）已知函数2||,0()43,0lnx x f x x x x >⎧=⎨++⎩，若函数2()[()]4()1g x f x f x m =-++恰有8个零点，则( )A ．m 的最小值为1B ．m 的最小值为2C ．m 的最大值为3D ．m 无最大值【解答】解：设()f x t =， 因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有2个不同的实数根，结合()f x 的图象可得2410t t m -++=在(0，3]内有2个不同的实数根， 即214m t t +=-+在(0，3]内有2个不同的实数根， 则314m +<，故23m <． 故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知1sin cos 6αα=-，(0,)απ∈，则cos sin αα-= 23 ．【解答】解：因为1sin cos 6αα=-，所以12sin cos 03αα=-<，且(0,)απ∈，可得cos 0α<，sin 0α>，因为24(cos sin )12cos sin 3αααα-=-=， 可得23cos sin αα-=． 故答案为：2314．（5分）先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ= 56π ．【解答】解：先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1cos()2y x ϕ=+的图象；再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos()26y x πϕ=++的图象， 根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，则56πϕ=，故答案为：56π． 15．（5分）在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，则AM CN = 83- ．【解答】解：在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，如图： 1233AM AC AB =+，1122CN CA CB =+， 则1211()()3322AM CN AC AB CA CB =++211116363AC AB CA AC CB AB CB =-+++222211113321133233()23633623333+-=-⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯83=-． 故答案为：83-．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1．若1cos cos cos 3a A b B c C ++=，则ABC ∆的面积为 16． 【解答】解：设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为cos cos cos 3Ra Ab Bc C ++=， 所以2cos 2cos 2cos 123a Ab Bc C R ++=，所以12sin cos 2sin cos 2sin cos 3A A B B C C ++=，即1sin 2sin 2sin 23A B C ++=，所以1sin[()()]sin[()()]sin 23A B A B A B A B C ++-++--+=， 则12sin()cos()2sin cos 3A B A B C C +-+=，因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-， 所以12sin cos()2sin cos()3C A B C A B --+=，所以12sin [cos()cos()]3C A B A B --+=，所以14sin sin sin 3A B C =，即1sin sin sin 12A B C =，设ABC ∆的面积为S ，则111sin 2sin sin sin 22126S ab C A B C ===⨯=．故答案为：16． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17．（10分）在①4C π=，②ABC ∆的面积为，③sin BA BC ac bc A =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_____，且sin cos a B A =，ABC ∆的外接圆的半径为4．求ABC ∆的周长．【解答】解：因为sin cos a B A +=，由正弦定理可得sin sin cos A B B A B +， 因为sin 0B ≠，所以sin A Asin()3A π+=，因为(0,)A π∈，(33A ππ+∈，4)3π，所以233A ππ+=，可得3A π=， 由于ABC ∆的外接圆的半径4R =，8=，解得a =若选①：4C π=，可得512B A C ππ=--=，8=，解得ABC ∆的周长为a b c ++=；若选②：ABC ∆的面积为1sin 2bc A ，解得48bc =，又由余弦定理可得222248()3()348b c bc b c bc b c =+-=+-=+-⨯，解得b c +=解得ABC ∆的周长为a b c ++==； 若选③：sin BA BC ac bc A =-，可得cos sin ac B ac bc A =-，即cos sin a B a b A =-， 由正弦定理可得sin cos sin sin sin A B A B A =-，由于3A π=，可得sin cos )14B B B π+=+=，可得sin()42B π+=，因为(44B ππ+∈，5)4π，可得344B ππ+=，解得2B π=，6C A B ππ=--=，由正弦定理可得8sin 8b B ==，8sin 4c C ==，解得ABC ∆的周长为12a b c ++=+18．（12分）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0，2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．甲班在[0，2)中的人数有50(0.040.08)16⨯+⨯=（人)，在[0，1)中的人数有500.042⨯=（人)．令A =事件“3人中恰有1人学习数学“，故P （A ）1224360.6C C C ==． 即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率为0.6．（2）甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为500.084⨯=（人)，乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有437+=人．从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3．44471(0)35C P C ξ===；31434712(1)35C C P C ξ===；22434718(2)35C C P C ξ===；1343474(3)35C C P C ξ===．故ξ的分布列为：0 1 2 3 P13512351835435故期望112184120123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）已知向量(cos ,cos sin )a x x x =+，(3sin b x =，11cos sin )22x x -，且函数()f x a b =．（1）求()f x 的解析式及单调递增区间； （2）若α为锐角，且1()3f α=，求cos2α的值．【解答】解：（1）1()3cos sin (cos sin )(cos sin )2f x a b x x x x x x ==++-12cos2sin(2)26x x x π=+=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，得36k xk ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈．（2）因为α为锐角，所以72(,)666πππα+∈， 又因为110()sin(2)632f παα<=+=<，所以2(,)62ππαπ+∈，所以cos(2)6πα+=，所以cos2cos[(2)]66ππαα=+-cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++=． 20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，2)BC AD =，求sin 2B ． 【解答】解：（1）因为(sin cos )0b a C C +-=， 所以sin sin (sin cos )0B A C C +-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-， 因为0A π<<，所以34A π=． （2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22ABC S bc A a AD ∆==a AD =，因为2)BC AD =，所以AD =，所以2(2a bc =+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则22(2bc b c +=++，整理可得2()0b c -=，即b c =，可得B C =，因为34A π=，所以8B π=，所以sin 2sin 4B π==．21．（12分）已知函数2222()(log )2log f x x x a =-+．（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）设1m >，若对任意[2x ∈，)+∞，不等式((22))(441)x x x x f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（1）可令2log t x =，则222y t t a =-+，由0x >，可得t R ∈， 对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，等价为t R ∈，2220y t t a =-+>恒成立， 则△2440a =-<，解得1a >或1a <-； （2）令2log t x =，因为2x ，则1t ，因为222y t t a =-+的对称轴为1t =，所以222y t t a =-+在[1，)+∞递增，即()f x 在[2，)+∞递增，因为2x ，所以152224x x-->，4412x x -+->， 因为1m >，所以(22)2x x m -->，因为((22))(441)xxxxf m f ---<+-，所以(22)441xxxxm ---<+-，即44122x x x xm --+-<-，因为2441(22)1x x x x --+-=-+，所以12222x x x xm --<-+-，因为15224x x--，所以1154241222241560x x x x ---++=-，故24160m <， 因为1m >，所以m 的取值范围是241(1,)60． 22．（12分）已知函数()(1)(0)ax f x e lnx a =->．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于x 的方程2()f x ax ax =-在[1，)+∞上恰有三个不同的实数解，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()(1)x f x e lnx =-，可得f （1）0=，()f x 的导数1()x xe f x e lnx lnx-'=+， 所以切线的斜率为k f ='（1）1e =-， 则切线的方程为(1)(1)y e x =--，该切线与x 轴的交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,1)e -， 所以所求三角形的面积为111(1)22e e -⨯⨯-=；（2）显然1x =为方程2()f x ax ax =-的根，当0x >且1x ≠时，原方程等价于111ax lnx e x e ax lnx lnx---==， 设1()(0)x e g x x x -=>，2(1)1()x x e g x x -+'=， 设()1(1)(0)x h x x e x =+->，()0x h x xe '=>，可得()h x 在(0,)+∞递增， 则()((0)0h x h >=，即()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增， 原方程等价于()()g ax g lnx =，只需ax lnx =在(1,)+∞上有两个不等实根． 故只需ax lnx =在(1,)+∞上有两个不等的实根． 则(1)lnxa x x=>， 设()(1)lnx k x x x =>，21()lnxk x x-'=， 可得()k x 在(1,)e 递增，在(,)e +∞递减， 则()k x 的最大值为k （e ）1e =，又k （1）0=，所以a 的范围是1(0,)e．。
2021届山东省济南市重点高中高三上学期第一次教学质量检测 数学试题
)
C32
(
2)2 3
(1
2) 3
2 3
8 27
P(
A3 )
C42
(
2)2 3
(1
2)2 3
1 2
4 27
所以，甲队以 3：0,3:1,3:2 胜利的概率分别是 8 ， 8 ， 4 ； 27 27 27
（2）设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
P(
A4
)
C41 (1
13．若函数 f x kx ln x 在区间 1, 内不单调，则 k 的取值范围是______.
14．已知一组数据（1,3），（2,3.8），（3，5.2），（a，b）的线性回归方程为 yˆ = 1.04x + 1.9 ， 则 b - 1.04a = ______________．
15．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于 3”为事件 A．“两
B. f 1 ef 0 ， f (1) e2 f (1)
C. f 1 ef 0 ， f (1) e2 f (1)
D. f 1 ef 0 ， f 2020 e2020 f 0
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题 目要求的．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
是_________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（满分 10 分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 14:3
山东省日照第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题答案(pdf版)
7 - 3 2 2 日照一中 2021—2021学年度上学期高三期中考试数学试题参考答案一、单项选择题：CABCD BCBAA二、多项选择题：(11)AB(12)AD (13)BC三、填空题：(14) a ＝2 (15) 0.259 (16) 4π (17)； 4 4四、解答题： 18.解：(1)由已知及正弦定理得： sin A cos B + sin B sin A = sin C ，…………… 2 分sin C = sin(A + B ) = sin A cos B + cos A sin B∴sin Bs in A = cos A sin B ， sin B ≠ 0∴sin A = cos A ………………… 5 分 A ∈ (0, π)∴ A = π 4 ……………………… 6 分 (2) S = 1 bc sin A = 2 bc = 2 -1∴bc = 2 - …………………… 9 分 ∆ABC又 2 4 2+ c 2 - 2bc cos A ∴2 = (b + c )2 - (2 + 2)bc所以 (b + c )2 = 4,b + c = 2 ． ……………………………… 12 分19. (1)解法一：∵F 是 AC 的中点，∴AF ＝C′F.设 AC′的中点为 G ，连接 FG.设 BC′的中点为 H ，连接 GH ，EH. 易证：C′E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠BEC ′即为二面角 C′－EF －B 的平面角．…………… 2 分∴∠BEC ′＝60°，而 E 为 BC 的中点．易知 BE ＝EC′，∴△BEC ′为等边三角形，∴EH ⊥BC ′. ①∵EF ⊥C ′E ，EF ⊥BE ，C ′E ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面 BEC ′.而 EF ∥AB ，∴AB ⊥平面 BEC′，∴AB ⊥EH ，即 EH ⊥AB. ② …………… 4 分由①②，BC ′∩AB ＝B ，∴EH ⊥平面 ABC′.∵ G ，H 分别为 AC′，BC ′的中点．∴ GH = 1AB = FE ，∴四边形 EHGF 为平行四边形．∴ F G ∥EH ，FG ⊥平面 ABC′，又 FG ⊂ 平面 AFC′.∴平面 AFC′⊥平面 ABC′. ………………………………6 分解法二：如图，建立空间直角坐标系，设 AB ＝2. 7 + 3 a 2 = b 2i 则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′( 3，1，0)．设平面 ABC′的法向量为 a ＝(x 1，y 1，z 1)， → → BA ＝(0，0，2)，BC′＝( 3，1，0)，⎧z 1＝0， ∴⎨ 令 x 1＝1，则 a ＝(1，－ 3，0)，… 3 分⎩ 3x 1＋y 1＝0， 设平面 AFC′的法向量为 b ＝(x 2，y 2，z 2) → ＝(0，2，－1)，→ AC′＝( 3，1，－2)， ，AF⎧2y 2－z 2＝0， ∴⎨ 令 x 2＝ 3，则 b ＝( 3，1，2)．⎩ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，∵a ·b ＝0，∴平面 AFC′⊥平面 ABC′. ……………………………………… 6 分(2)如图，建立空间直角坐标系，设 AB ＝2.则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′( 3，1，0)．显然平面 BEC′的法向量 m ＝(0，0，1)， ……………………………………… 8 分 设平面 AFC′的法向量为 n ＝(x ，y ，z)， → ＝( 3，1，－2)， → ＝(0，2，－1)，⎧2y －z ＝0， AC′ AF ∴⎨ ∴ n ＝( 3，1，2). ……………………………………… 10 分⎩ 3x ＋y －2z ＝0， cos 〈m, n m · n 2 ……………………………………………… 12 分 | m |·| n | 2 ，由图形观察可知，平面 AFC′与平面 BEC′所成的二面角的平面角为锐角．∴平面 AFC′与平面 BEC′所成二面角大小为 45°. ………………………………… 14 分20.解：(1)根据散点图可以判断 y = ce dx更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型. ……………………………… 1 分对 y = ce dx 两边取自然对数得ln y = ln c + dx ，令z = ln y ， a = ln c ， b = d ， 得z = a + bx . 7 ∑(x i - x )(z i- z ) 40.182 因为b ˆ = i =1 = ≈ 0.2720 ，………………………… 4 分 ∑ i =1(x - x )2147.714 所以a ˆ = z - b ˆx = 3.612 - 0.272⨯ 27.429 ≈ -3.849 ，所以z 关于 x 的线性回归方程为 z ˆ = 0.272x - 3.849 ，……………………… 5 分所以 y 关于 x 的回归方程为 y ˆ = e 0.272 x -3.849 . ……………………………… 6 分(2) (ⅰ)由 f ( p ) = C 3 p 3 (1- p )2 ，得 f '( p ) = C 3 p 2 (1- p )(3 - 5 p ) ，因为0 < p < 1， 5 5令 f '( p ) > 0 得3 - 5 p > 0 ，解得0 < p < 3； 5〉＝ ＝ 7(0, ) f ( ) n n 1 3 令 f '( p ) < 0 得3 - 5 p < 0 ，解得 3 < p < 1， 5 所以 f ( p ) 在 3 5 3 上单调递增，在( ,1) 5 上单调递减， 所以 f ( p ) 有唯一极大值 3 5 ，也为最大值. 3 216 3所以当 p = 5 时， f ( p )max = 625 ，此时相应的概率 p 0 = 5 . ………………… 9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知，当 f ( p ) 取最大值时， p = 3 ，所以 X 5 ，………………… 10 分 3 3 2 6 所以E ( X ) = 5⨯ = 3， D ( X ) = 5⨯ ⨯ = . ……………………………… 14 分 5 5 5 5 21.解：(1) ∵ a = 8 ， S = a n +1 - n -1，∴ a = S = a 2 - 2 = 2 ，………………… 1 分2 n 2 1 1 2当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = a n +1 - n -1- ( a n - n ) ，即a 2 2n +1 = 3a n + 2，……… 3 分 又 a 2 = 8 = 3a 1 + 2 ，∴ a n +1 = 3a n + 2, n ∈ N * ， …………………………… 4 分 ∴ a n +1 +1 = 3(a n +1) ，∴数列{a n +1} 是等比数列，且首项为a 1 +1 = 3 ，公比为3 ，∴ a +1 = 3⨯3n -1 = 3n ，∴ a = 3n -1. ……………………………………… 6 分 a 3n +1 -1 (2) 由(1)得 S n = n +1 - n -1 = - n -1. ………………………… 7 分 2 2 2⨯ 3n = 2⨯ 3n = 1 - 1∵ a n a n +1(3n -1)(3n +1 -1) 3n -1 3n +1 -1 ， ∴ T n = ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) = 1 - 1 …9 分 3 -1 32 -1 32 -1 33 -1 3n -1 3n +1 -1 2 3n +1 -1 . ∴ 2S + T + 2n - λ = 3n +1 - 1 - 5 - λ ≥ 0 ，∴ λ ≤ 3n +1 - 1 - 5 .……… 10 分 n n 3n +1-1 2 3n +1 -1 2 设 M (n ) = 3n +1 - 1 - 5 ， 3n +1 -1 2 则 M (n +1) - M (n ) = 3n +2 - 1 - 3n +1 + 1 3n +2 -1 3n +1 -1 n +2 n +1 1 1 = n +1 2 ⋅3n +1 = (3 - 3 ) + ( 3n +1 -- n +2 ) 2 ⋅3 + > 0 ， (3n +1 -1)(3n +2 -1) ∴{M (n )} 是递增数列， …………………………………………… 12 分 ∴λ ≤ M (1) = 32 - 1 - 5 = 51 ， 32 -1 2 8 B (5, 3) 5 + -19k 2 + 4 ⎨ y = kx⎩ ∴ λ 的最大值是 51 . ………………………………………… 14 分 8⎧ c 22. 解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得⎪ = ∴a = 3, b = 2 ， ⎨ a 3x 2 y 2⎪ a 2 + b 2 = 13 所以，椭圆的方程为 + 9 4 = 1． ……………………………………………3 分(2) 设点 M (x 1, y 1 ) ， P (x 0 , y 0 ) ，由题意， x 0 < x 1 < 0 且 N (-x 1,- y 1 )由∆BNP 的面积是∆BMN 面积的3 倍，可得| PN |= 3 | MN | ， ………………5 分所以 PN = 3MN ，从而(-x 1 - x 0 ,- y 1 - y 0 ) = 3(-x 1 - x 1,- y 1 - y 1 ) ，所以- x 1 - x 0 = 3(-x 1 - x 1 ) ，即x 0 = 5x 1 ． ……………………………………6 分 易知直线 AB 的方程为2x + 3y = 6 ，由⎧2x + 3y = 6 消去 y ，可得 x ⎩ = 6 …7 分 3k + 2 ⎧ x 2 ⎪ 由方程组⎨ 9 + y 24 = 1消去 y ，可得 x = - 6 ． ………………………9 分 ⎪⎩ y = kx 由 x = 5x ，可得 6 = - 30 ， …………………………………10 分 0 1 3k + 2 整理得18k 2 + 25k + 8 = 0 ，解得k = - 8 ，或k = - 1 ． ……………………12 分9 2 当 k = - 8 时， x = -9 < 0，符合题意；当k = - 1 时， x= 12 > 0 ，不符合题意，舍去． 92 0 所以k 的值为- 8． …………………………………………………14 分9 23. 解：(1) a = 1时， g (x ) = e x - 2x - b ， g (0) = 1 - b , g '(x ) = e x - 2∴切线斜率k = g '(0) = -1，切点坐标(0,1 - b ) ∴切线方程 y - (1 - b ) = -x∵切线经过点(1, -1) ∴ -1 - (1- b ) = -1 ，∴ b = 1 …………………………3 分 (2)∵ g (x ) = e x - 2ax - b ∵ g '(x ) = e x- 2a 在[-1, ∴ g '(x ) = e x - 2a .0] 单调递增，∴ g '(x ) ∈[1 - 2a , 1 - 2a ] e 1 - 2a ≥ 0 ，即a ≤ e 1 时， g '(x ) ≥ 0，所以 g (x ) 单调递增区间为[-1, 0] 2e …4 分 ②当1 - 2a ≤ 0 ，即a ≥ 1 时， g '(x ) ≤ 0 ，所以 g (x ) 单调递减区间为[-1, 0] 2 ……5 分 0 59k 2 + 4 1 0⎨ ⎩ ③当 1 < a < 1时，令 g '(x ) = 0 ，得 x = ln(2a ) ∈(-1,0) ， 2e 2令 g '(x ) < 0 ，得-1 < x < ln(2a ) ，令 g '(x ) < 0 ，得ln(2a ) < x < 0 ， ∴函数 g (x ) 单调递减区间为[-1, ln(2a )] ，单调递增区间为(ln(2a ),0]综上①②③可得：当 a ≤ 1时， g (x ) 单调递增区间为[-1, 2e0] ； 当 1 < a < 1 时， g (x ) 单调递减区间为[-1, ln(2a )] ，单调递增区间为(ln(2a ),0] ； 2e 2当 a ≥ 1 时， g (x ) 单调递减区间为[-1, 0] 2 . ………………………7 分 (3)由 f (-1) = 0 得： b = a + 1 - 1 ，∴ g (x ) = e x - 2ax - (a + 1 - 1) …………8 分e e由已知，设 x 0 为 f (x ) 在区间(-1,0) 内的一个零点，则由 f (-1) = f (x 0 ) = f (0) = 0 可知， f (x ) 在区间(-1,0) 上至少有三个单调区间． ∴ g (x ) 在区间(-1, x 0 ) 内存在零点，在区间(x 0 ,0) 内也存在零点.∴ g (x ) 在区间(-1,0) 内至少有两个零点． 由（2）可知，当 a ≤ 1时，g (x ) 在[-1, 2e 0] 上单调递增，故 g (x ) 在(-1,0) 内至多有一个零点，不合题意.当 a ≥ 1 时，g (x ) 在[-1, 2 0]上单调递减，故 g (x ) 在(-1,0) 内至多有一个零点，不合题意． ∴ 1 < a < 2e 1 ，…………………………………………………9 分 2此时 g (x ) 在区间[-1, ln(2a )] 上单调递减，在区间(ln(2a ),0] 上单调递增 ⎧g (-1) > 0 ∴ ⎪ g (ln(2a )) < 0⎪ g (0) > 0 ………………………………………………………10 分 g (x ) = e x - 2ax - (a + 1 - 1) e ∴ g (ln(2a )) = a - 2a l n 2( a ) -1 + 1 e 令t = 2a ，∵ 1 < a < 1 ∴ 1 < t < 1 ， g (ln(2a )) = 1 t - t ln t -1 + 12e 2 e 2 e 令 h (t ) = 1 t - t ln t -1 + 1 (1 < t < 1)2 e ee e ( , h '(t ) = - 1 - ln t ，令h '(t ) > 0 得 1 < t< 1 ；令h '(t ) < 0 得 1 < t < 1 ； 2 ∴ h (t ) 在 1 e 1 ) 单调递增，在( e 1 ,1) 单调递减. ∴ 1 1 1 在 1 恒成立.h (t ) ≤ h =-1 = < 0 ( ,1) e e e 即 g (ln(2a )) < 0 在 <a< e 时恒成立. …………………………………………12 分2 2 ⎧a - 1 + 2 > 0 ⎧ a > 1 - 2 ⎧g (-1) > 0 ⎪ e ⎪ e 2 1 ∴由⎪ g (ln(2a )) < 0 得 ⎪ 1 < a < 1 ，∴ ⎪ 1 < a < 1 ∴1 - < a < ⎨ ⎨ 2e 2 ⎨ 2e 2 e e ⎪ g (0) > 0 ⎪ 1 ⎪1 ⎩ ⎪ - a > 0⎪ a < ⎩⎪ e ⎩⎪e ∴ a 的取值范围是(1 - 2 , e 1) ．…………………………………………………14 分 e e e e + 1 - e。
山东省济南市旅游学校2021届高三上学期期中考试数学试题
已知函数 f (x) x3 1 x2 ax 1 ． 2
（1）当 a 2 时，求曲线 y f (x) 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）若函数
f
x
在
x
1 处有极小值，求函数
f
x 在区间
1,
3 2
上的最大值．
3
20．（本题 12 分）
已知函数已知函数 f (x) sin x(sin x 3 cos x) ．
A．有最大值 4 C．有最大值 2
B．有最小值 2 D．有最小值 4
7．函数 y 2 x sin 2x 的图象可能是（ ）
1
A．
B．
C．
D．
8．已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (, 0) 上单调递增，若实数 a 满足 f 2|a1| f ( 2) ，
则 a 的取值范围是（ ）
6-8．DAC
f
(x)
0,
x
1
1
,
x 1
x
2
12． Sn 为数列an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1 ，则（ ）
A． a1 1
B．an 是等差数列
C．an 是等比数列
D． S6 63
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．已知向量 a (1, 3) ， b (1, 0) ．则向量 a ， b 的夹角 ______．
（2）若 △ABC 的面积 S△ABC 4 ，求 b，c 的值 ．
18．（本题 12 分）
记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，已知 a1 17 ，从以下两个条件中任选其中一个（1）、S3 45 ．（2）
山东省济南市德润高级中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷(PDF版)
36
5 10
0, 当k 0时， = ；当k 1时， = 7 ，
10
10
= 或 7 .…………………………………………………………………………12 分 10 10
20.解：（1）当 a 2 时， f (x) x3 1 x2 2x 1 ， f ' (x) 3x2 x 2 ，…………2 分 2
所以 f (x) 在 (, 2), (1, ) 上是增函数，在 ( 2 ,1) 上是减函数，
3
3
所以 x 1 处有极小值.因为 f ( 2) 49 , f ( 3) 1 ， 3 27 2 4
所以 f (x) 的最大值为 f ( 2) 49 ………………………………………………………………………12 分 3 27
函数f
x
2 sin
5 3
x
6
1
.……………………………………………………6
分
（2）
f
2
sin
5 3
6
1 1,
………………………………………………7
分
sin
5 3
6
0,
……………………………………………………………………8
分
5 k，即 = 3 k , k Z ，…………………………………………9 分
2
，所以
sin(B
)
4
1
，
因为 B (0, ) ，所以 B
(
, 5
) ，所以 B
，所以 B
……………………3 分
4 44
42
4
由正弦定理
a sin
A
b sin
B
得，
a
sin
2021届济南市高三数学上学期期中考试卷附答案解析
2021届济南市高三数学上学期期中考试卷2020．11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为R ,集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B = A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤C.{}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或2.已知a 是实数，i 1ia -+是纯虚数，则a =A.1B.1-C.2D.2-3.“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1505.设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A.c a b << B.c b a<<C.a c b<< D.b c a <<6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤?”根据己知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤7.已知函数(),0,1ln ,x x x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为A.()1,0,1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.(－1，0)C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB = a ,=AD b ，E 为BF 的中点，则AE =A.45a ＋25b B ．25a ＋45b C.43a ＋23b D ．23a ＋43b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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方案种数为
A. 540
B. 300
C. 180
D. 150
数学试题第 1 页（共 6 页）
1
1
3
5.设
a
=
3 4
2
,
b
=
4 3
4
,
c
=
2 3
4
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A. c a b
B. c b a
C. a c b
D. b c a
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，
16．在三棱锥 P − ABC 中，侧棱 PA ⊥ 底面 ABC ， BAC = 120 , AB = AC = 1 ，且 PA = 2BC ，则该三棱锥的外接球的体积为_________.
数学试题第 4 页（共 6 页）
四、解答题：本题包括 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）
x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
0.070
及中位数 a （精确到 0.01)
0.030
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量 0.025
0.015
交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取 4 0.010
家考核成绩不低于 88 分的企业发言，记抽到的企
72 76 80 84 88 92 96 100 成绩/分
斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细．在粗
的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤?”根据己
知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为
A．6 斤
B．9 斤
C．10 斤
D．12 斤
7.已知函数
f
(x)
=
x , x 0, x −1 ln x , x x
若关于
x
的方程，
f
(x)
=
x
+
a
无实根，则实数 a
的取值
范围为
A. (−, 0)
1 e
,1
B.(－1，0)
C.
0,
1 e
D．(0，1)
8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股
定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，
被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国 古代数学的图腾，还被用作第 24 届国际数学家大会的会徽．如图，大 正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，
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21．（12 分）
某市质监部门严把食品质量关，在 2020 年 3 月 15 日前夕，根据质量管理考核指标对
本地的 500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的 50 家，统计其考核成绩（单
位：分），并制成如图频率分布直方图．
（1）求这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数 0.090
B． P(BC) = P( AC) = P ( AB) D． P ( A) P (B) P (C ) = 1
8
数学试题第 3 页（共 6 页）
12.设函数 f (x) = min x − 2 , x2, x + 2 ，其中 minx, y, z表示 x, y, z 中的最小者.下列
说法正确的有 ( )
（1）若 a + c = 4 ，求 ABC 的面积； （2）求 a + c 的取值范围.
18．（12 分）
已知数列{an}的前 n 项和 Sn ，满足 3Sn =1+2an （1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）求数列{(2n −1)an} 的前 n 项和 Sn ．
19．（12 分）
已知在四棱锥 P − ABCD 中，AD / / BC, AB = BC = CD，ABC = 120 ，G 是 PB 的
A.函数 f (x) 为偶函数
B.当 x [1, +) 时,有 f (x − 2) f (x)
C.当 x R 时, f ( f (x)) f (x)
D.当 x [−4, 4]时, f (x) − 2 f (x)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
( ) 13.
x2 + 2
在① (a + b)(a − b) = (a − c)c ，② 2a − c = 2bcosC ，③ 3(a − b cosC) = csin B 三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，且满足__________， b = 2 3 .
2
3
n
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D.x | 0 x 2或x 4
2.已知 a 是实数， a − i 是纯虚数，则 a = 1+ i
A.1
B. −1
C. 2
D. − 2
3. “ a = 1 ”是“对任意的正数 x ， 2x + a ≥1 ”的
8
x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的
济南市高三期中考试
数学试题 2020．11
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写源自答题卡上.写在试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
若 AB = a, AD= b，E 为 BF 的中点，则 AE =
A. 45a＋25b
B．25a＋45b
C.43a＋23b
D．23a＋43b
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
（1）求函数 y = f (x) 的最大值；
（2）令 g(x) = (x +1) f (x) − (a − 2)x + x2 ，若 g(x) 既有极大值，又有极小值，求实数
a 的范围；
（3）求证：当 n N * 时，ln(1+1) + ln(1+ 1 ) + ln(1+ 1 ) +…+ln(1+ 1 ) 2 n .
业中考核成绩在[92 ，100] 的企业数为 X ，求 X 的分布列与数学期望
（3）若该市食品生产企业的考核成绩 X 服从正态分布 N (, 2 ) 其中 近似为 50 家食品
生产企业考核成绩的平均数 x, 2 近似为样本方差为 s2 ，经计算得 s2 = 27.68 ，利用该正态分 布，估计该市 500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于 90.06 分的有多少家？（结果保留 整数）．
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有 数字 1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字 5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记 事件 A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件 B 为“甲四面体朝下一面的数字为 奇数”，事件 C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是
9．已知函数 f ( x) = 2cos2 x + 3 sin 2x −1( 0) 的最小正周期为 ，则下列说法正
确的有
A. = 2
B．函数
f
( x) 在 0,
6
上为增函数
C. 直线 x = 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴
3
D.
点
5 12
,
0
是函数
y
=
f
( x) 图象的一个对称中心
中点， H 为 AC 的中点， PAD 是等边三角形，
P
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD
（1）求证： GH / /平面PAD ；
G
（2）求二面角 D − AG − C 的余弦值.
A D
20．（12 分） 已知函数
H
B C
．
（1）当 时，求曲线
在 处的切线方程；
（2）已知
时，不等式 f (x) 0 恒成立，求实数 的取值范围．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知全集为
R,集合
A
=
x
1 2
x
1
,
B
=
x | x2 − 6x + 8 0
,则 A
CR B =
A.x | x 0
B.x | 2 x 4
C. x | 0 x 2或x 4
A． P( A) = P(B) = P(C) C. P ( ABC ) = 1
8 11.设 a, b 为正实数,下列命题正确的有
A.若 a2 − b2 = 1,则 a − b 1; B．若 1 − 1 = 1,则 a − b 1;
ba C.若| a − b |= 1,则| a − b | 1; D.若| a3 − b3 |= 1,则| a − b | 1.
附参考数据与公式： 27.68 5.26 ， X − N (, 2 ) 则 P( − X + ) 0.6827 ， P( − 2 X 2 + ) 0.9545 ． P( − 3 X + 3 ) 0.9973 ． 22．（12 分）