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圆方程ppt课件ppt课件

03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。

《圆的一般方程》_精品课件-ppt【北师大版】1

《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
2.当 2 DE2 4F0时方 , 程 x2y2DxEyF0称为圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特点：
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F 0
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
2 的方程，并画出曲线.
图解
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
例 3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2 x 0 ，若点 P 在圆 C上，试确定点的P 坐标，使点 P到直线 l的距离最小，并求这个最小值。
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
• 课堂练习： • 课堂练习第1、2、3题 • 小结： • 1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化 • 3．用待定系数法求圆的方程 • 4．求与圆有关的点的轨迹。
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
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• 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
• 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
将上式展开得 x2y22a x2bya2b2r20

《圆的方程》课件

核心要点
理解圆的定义、性质、与直线和圆的交点，以及各种应用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的，给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆，而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个圆，射手需要准确瞄准并打在靶心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛应用，如太阳、月亮、车轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。

2.4.2圆的一般方程课件(共18张PPT)

解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课堂练习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0

圆的一般方程.ppt -优质课

（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
圆的一般方程.ppt -优质课
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举例
例1：求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
( 2 ) 当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 (- D ,- E ) ；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
方程都表示的曲线是圆呢？下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.
将 x2+y2+D+ xEy +F=0 左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
圆的一般方程.ppt -优质课
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圆的一般方程课件

( D2 +E2－4F＞0 )
2、求圆方程的求法 (1) 待定系数法 ① 利用标准方程，待定 ___________ ② 利用一般方程，待定 ___________
a、b、r
D、E、F
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上比较
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程：
A
x
oyΒιβλιοθήκη B二、端点圆的方程:
4
-6
-3
2或-2
练习:
1、圆的一般方程 ________________________________________
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
②
①
为圆心，
为半径的圆.
②
①
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程①没有实
数解，因而它不表示任何图形．
一、圆的一般方程:
(1) 和的系数相同，都不为0．
特点：
(2)没有形如的二次项．
思考
什么时候可以表示圆?
(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
圆的标准方程的形式是怎样的？
其中圆心的坐标和半径各是什么？
复习回顾:
想一想:若把圆的标准方程
展开后，会得出怎样的形式？
这个方程有何特征？
这样就得到：凡是圆的方程都可以化成：
反过来，此方程都表示圆吗？

4. 圆的一般方程PPT完美课件

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课堂讲练互动
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2．求圆的一般方程 (1)求圆的方程时，若已知条件中明确圆心的坐标或半径，则设圆的标准方程求解；若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大小，则设圆的一般方程求解． (2)由于圆的一般方程中所含的三个待定系数不是二次项的系数，在由三个独立条件列出方程组后，一般可求出待定系数 D， E，F. (3)若求圆心和半径，则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方程，再写出圆心坐标和半径．另外在解答圆的有关问题时，应注意利用圆的平面几何的性质，使运算简化．
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4．圆的一般方程PPT 完美课件
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误区警示因忽略隐含条件致误【示例】已知定点 A(a,2)在圆 x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0 的外部，求 a 的取值范围． [错解] ∵点 A 在圆外． ∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.
D＝6，解得E＝－2，
F＝－15
则所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要组成部分，一个孩子如果在十多年的教育历程中没有养成阅读的习惯、兴趣和能力，一旦离开校园，很可能把书永远丢弃在一边，这样的结果一定是我们所有的教育工作者不想看到的。 2对教育来说，阅读是最基础的教学手段，教育里最关键、最重要的基石就是阅读。 3但是现在，我们的教育在一定程度上，还不够重视阅读，尤其是延伸阅读和课外阅读。 4. “ 山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵”四句，简洁有力，类比 “斯是陋室，惟吾德馨”，说明陋室也可借高尚之士散发芬芳 5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言简义丰、讲究修辞。文章骈散结合，以骈句为主，句式整齐，节奏分明，音韵和谐。 6.了解和名著有关的作家作品及相关的诗句、名言、成语和歇后语等，能按要求向他人推介某部文学名著。 7.能够根据所提供的有关文学名著的相关语言信息推断作品的作者、作品的名称和人物形象，分析人物形象的性格和作品的思想内容并进行简要评价。 8．能够由具体的阅读材料进行拓展和迁移，联系相关的文学名著展开分析，提出自己的认识和看法，说出自己阅读文学名著的感受和体验。 9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲突中，充分深刻显示人物复杂内心世界，突出了对人物性格的刻画，使其有血有肉，栩栩如生。 10保尔身上的人格特征或完美的精神操守：自我献身的精神、坚定不移的信念、顽强坚韧的意志 11把记叙、描写、抒情和议论有机地融合为一体，充满诗情画意。如描写百草园的景致，绘声绘色，令人神往。 12简 ·爱人生追求有两个基本旋律：富有激情、幻想、反抗和坚持不懈的精神；对人间自由幸福的渴望和对更高精神境界的追求。

圆的一般方程(共25张PPT)

2 2
栏目导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52，整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
栏目导引
第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
栏目导引
第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
栏目导引
第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
栏目导引
第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5，－ 1))，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆，但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．

4.1.2圆的一般方程 (共12张PPT)

例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0

圆的一般式方程PPT课件

练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
（1）圆心（-3，0），半径3. （2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .

E

8，
F 0.
所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
练 (1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心为习 (2,3),半径为4,则D _4__ E _-_6_ F -_3__
(2)x2 y2 2ax y a 0是圆的充要条件是_a_ _12 __
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
作业
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心坐标为（1，3），
D 半径为5，则D，E，F分别等于
(A)2,6,15(B)2,6,15(C) 2,6,15(D) 2,6,15
∴x02＋y02＝16，又∵P 为 MA 的中点，
∴xy＝＝80＋＋22 xy00
，解得xy00＝＝22xy－8 .
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，
化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0

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2 的方程，并画出曲线.
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0，若点 P 在圆C上，试确定点的P 坐标，使点P到直线l的距离最小，并求这个最小值。
图例4 线与圆
1、点与圆的位置关系设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到圆心的距离为 d ，则有:
配方可得
(x D )2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(*)
( 1) 当 D2 E2 4 F 0 时，方程（ *）表示以
（ D ， E ）为圆心，1 D2 E2 4 F为半径的圆
22
2
( 2 ) 当 D2 E2 4 F 0 时，方程
x2 y2 Dx Ey F 0只要实
数
解
x
D 2
,y
E 2
,表
示
一
个
点（D 2Fra bibliotek，E 2
）
.
(3)当 D2 E2 4F 0时 ,方程
x2 y2 Dx Ey F 0没有
实数解，因而不表示任何图形 .
2.当D2 E2 4F 0时,方程 x2 y2 Dx Ey F 0称为圆的一般方程.
由(
x
a)2 (y b)2 AxByC
0
r
2
消
去
y
得
x
的
一
元
二次方程判别式为 Δ ，则有代数特征：
(1) 0 直线与圆相交；
(2) 0 直线与圆相切；
(3) 0 直线与圆相离；
例3
例4.已知直线l: y x b 与曲线C: y 4 x2有公共点，试求b的取值范围.
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直线 l： Ax By C 0, 圆心 (a,b)到直线 l的距离为d，则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
图解
例5.圆C:x2 y2 x 6y F 0 与直线l:x 2y 3 0交于两点P、Q,且OP OQ,求F的值.
图解
例 6.已知圆 1C的方程为 x2 y2 2x 4y3 0，直线 l:x 2y 4 0,试求圆 C1关于直线 l对称的圆为 C2的方程 .
3 . 圆的一般方程的特点：
（ 1） x2与 y2的系数相同，不等于 0 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F 0
例 1 . 求过三点 O (,00 ) , M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.
图解
例 2.已知一曲线是与两个定点 O（ 0， 0）， A（，3 0）距离的比为1 的点的轨迹，求此曲线
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和两坐标轴都相切，求圆的标准方程.
一、复习
圆的标准方程是_(__x___a__)_2___(_y___b__)_2___r2
将上式展开得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
思形如x2 y2 Dx Ey F 0 考：的方程的曲线是不是圆?
二、圆的一般方程的定义：
1.分析方程x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的轨迹