面面垂直的判定性质定理例题.docx
高二数学学考专题辅导学案：专题26 线面、面面面垂直的判定和性质定理
（一）知识梳理：（二）例题讲解：考点1：垂直关系的判定1,.,,.//,,//.,,//.,,m n A m n m n B m n m n C m n m n D m n m n αβαβαβαβαβαβαβαβαββ⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊥⊥⇒⊥⊥⋂=⊥⇒⊥例、设是两不同直线，、是两不同平面，下面命题中正确的是（ ）易错笔记：2 _____ ____P ABC O P P ABC O ABC P ABC O ABC αα∆∆∆∆∆例、是所在平面外一点，是在平面内的射影，若到的三个顶点距离相等，则是的心；若到三边的距离相等，则是的心 心是两两垂直，则若____,,ABC O PC PB PA ∆易错笔记：考点2：垂直问题的证明1111113, ABCD A B C D E CC F AC BD A F BED -⊥例、如图，在正方体中是中点，是、的交点，求证：平面易错笔记：BGDBEF AC DA CD G F E DA CD BC AB ABCD 平面的中点，求证：平面分别是中，、如图，在空间四边形例⊥==,,,,,4易错笔记：1B A B例5、如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC易错笔记：（三）练习巩固：1、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC=BC,M 是A 1B 1的中点．求证C 1M ⊥平面11ABB A ；2、在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB =1，21=AA . (1) 求1BC 与ABCD 平面所成角的余弦值; (2) 证明：BD AC ⊥1；PA BC3、在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱a PD =，a PC PA 2==.（1）求证：ABCD PD 平面⊥； （2） 求证：AC PB ⊥；（3）求PA 与底面所成角的大小；4、如图，BC ⊥平面PAB ，AE ⊥PB ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2，PA ⊥面ABC ， （1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）求二面角P —BC —A 的大小； （3）求三棱锥P —AEF 的体积.ABCP E F。
面面垂直的性质习题详细答案
变种2
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面垂直。
提高题
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面的交线与 原直线垂直。
综合பைடு நூலகம்解析与解答
• 综合题1：已知一个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合题解析与解答
面面垂直的性质习题详细答案
contents
目录
• 面面垂直的性质概述 • 习题解析 • 习题解答技巧 • 面面垂直的性质习题答案 • 习题拓展与提高
01 面面垂直的性质概述
定义与定理
定义
两个平面互相垂直，当且仅当一 个平面内的任意直线都与另一个 平面垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么其 中一个平面内的任意直线都与另 一个平面垂直。
机械工程
在机械设计中，面面垂直的性质 常常用于确定零件的安装角度和 位置，以确保机器的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的经纬线分布 和角度计算也涉及到面面垂直的 性质，例如在计算地球上的纬度、 经度等数值时，需要利用到面面
垂直的性质。
02 习题解析
基础习题解析
总结词
掌握基础概念
题目
两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线，那么这条直线与另一个平面的关 系是什么？
由于直线a⊥平面α，且直线b⊥直线a，根 据面面垂直的性质定理，直线b必然在平面 α内。
中等难度习题答案
总结词
中等难度习题在考察面面垂直性质的基础上，增加了对空间想象能力和推理能力的考察。
题目3
已知平面α与平面β互相垂直，点A属于平面α，点B属于平面β，且AB与两平面的交线分别交 于C和D两点，若AC=CD，求证线段BD的长度。
面面垂直证明例题
例4.如图，AB是◎O的直径，PA垂直于◎0所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC工平面PBC
少
8.已知△ABC中，LABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC.求个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理.由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.
证明：因为AB是◎O的直径，C是圆周上的点，所以有BC工AC①.
因为PA工平面ABC,BCc平面ABC,则PA1BC②.
由①②及AC∩PA=A,得BC工平面PAC.
因为BCc平面PBC,有平面PAC工平面PBC.
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直一线面垂直→面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.
例8答案：取AC的中点为O,连接OP、OB。
AO-OC,PA=PC,故PO垂直AC
面面垂直习题课.ppt
A
A
B
C
D
B
C
D
练习2：如图，在三棱锥P-ABC中， AB⊥BC，PA=PB=PC。 求证：面PAC⊥面ABC
P
A
C
B
练习3：如图，在三棱锥P-ABC中， 面PAC⊥面ABC，PA=PB=PC。 求证：AB⊥BC
P
A
C
B
课堂小结
1、线线垂直
线面垂直
面面垂直
2、线面垂直的判定
①线面垂直判定定理:a ,b ,a b P , l a,l b l
复习回顾：
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的
一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
l l
l
面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
l
m
l
l m
lm
例1：如图，在四面体ABCD中，
CB=CD,AD⊥BD,E、F分别是AB、BD的
谢 谢！
中点，求证：面ABD⊥面EFC
B
思路分析：
F E
D
C
A
例2：在三棱锥V-ABC中，面VAB⊥面ABC， AC⊥BC,且AC=BC，点O、M分别为AB、VA的 中点。求证：面MOC⊥面VAB
思路分析：
V
M
A
O B
C
练习1：一副三角板如图拼接，将△BCD
折起，使得二面角A-BC-D为直二面角。
求证：面ABD⊥面ACD
面面垂直的判定和性质
α
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线线平行
面面平行
随堂练习：
练 才 是 硬 道 理
判断下列命题是否正确
1 2 3
若 , , 则 //
若 , , 则 //
若 // 1 , // 1 , 且 , 则1 1
例2、 求证：垂直于同一平 面的两平面的交线垂直于这 个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
α a β
γ 证法一 证法二 证法三
证法一： 设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P， 作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N. 因为 α⊥γ，β ⊥γ ， 所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. 因为 α ∩ β= a， 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， aα 所以 a⊥γ. β
小练习
已知PD矩形平面ABCD所在平面, 图中互相垂直的平面有几对?
P
D A
C B
例题解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：平面A1C1CA 平面 B1D1DB
D1 A1 D A B B1 C C1
想一想
如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线 是否一定垂直于另一个平面？
线面垂直
你得到了什么？
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
A B C
P
l
你能证明吗？
例1、已知四面体P-ABC中，AB=AC， PA⊥平面ABC，D为BC中点，求证平面 PAD⊥平面PBC P
A B C
D
线面垂直的位置关系和面面垂直位置关系
面面垂直的性质习题详细答案
2.如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面边长为2 侧棱长为4，E，F分别 为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF2⊥，平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
2.(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD. 又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,故AC⊥平面BDD1B1， ∵E，F分别为棱AB,BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3a ,
求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD.
【解析】1.∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE, 且平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE, ∴AD⊥BC.又BC⊥CD,CD∩AD=D, ∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：平面ABC⊥平面ACD
4.如图所示，已知平面α⊥平面β， α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α， BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4， AC=3，BD=12，则CD=_____. 【解析】连接BC,∵AC⊥l,∴BC= 又∵平面α⊥平面β，α∩β=l，BD⊥l, ∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD= 答案：13
2.∵a∥α,过a作平面γ交α于a′， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β=AB， ∴a′⊥β， ∴a⊥β.
【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？ 提示：应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一 个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
与面面垂直有关的计算 【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法 (1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂 直，一般转化为在三角形中的计算问题. (2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体 积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用 几何体中的转换顶点(等体积)法.
面面垂直习题（模版）
面面垂直习题（模版）第一篇：面面垂直习题（模版）例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。
解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连接BF∵PC⊥平面ABC，PC⊂平面PACC ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，∴BE=32,EF=12sin45=0B24∴tg∠BFE=BEEF=6例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴ PA⊥BC又AC⊥BC PA∩AC=A∴ BC⊥平面PAC⊂平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC⊂平面PAC,∵AF⊥PCAF平面PBC∩平面PAC=PC∴ AF⊥平面PBC如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA ＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.EDCAB如图在空间四边形ABCS中，SA⊥平面ABC，平面SAB ⊥平面SBC(1)求证：AB⊥BC ；(2)若设二面角S-BC-A为45︒，SA＝BC，求二面角A-SC-B的大小SEaA 2aC已知线段AB的两端点在直二面角-αCDβ-的两个面内,且与α、β分别成30︒和45︒角，求AB和CD所成的角C如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角P-CD-B 为45︒求证：平面PEC⊥平面PCDG CE B第二篇：面面垂直性质定理及习题面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-81．理解面面垂直的性质定理2．会用性质定理解决有关问题3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化4．利用面面位置关系解决有关问题二、学习重点面面垂直的性质定理及应用学习难点“线线、线面、面面”判定及性质定理的应用三、知识链接1．面面垂直的判定定理2．面面平行的判定与性质定理3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理四、学习过程1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理（1）符号语言：（2）图形语言：2．如何对定理加以证明：性质定理体现了什么关系？它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点． 则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围． 四 、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅； 综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增； 当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减． 所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2， 故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件， 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)， 令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标， 可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12， 则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上， 则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数． 故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)， 故考虑基本初等函数中的指数函数， 又f(x)在R 上单调递增， 则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论． 此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值． 此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少． 此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13， 即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13， 解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5， 从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论． 此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12， 又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π， 根据T =2π|ω|， 得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)， 由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22， 由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可． 此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确； 对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)， 即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误． 故选：AC ． 由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确； 故选BD .。
面面垂直证明例题（最终定稿）
面面垂直证明例题（最终定稿）第一篇：面面垂直证明例题数学面面垂直例题例4答案：例8答案：取AC的中点为O，连接OP、OB。
AO=OC,PA=PC,故PO垂直AC第二篇：怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD 垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)
面面垂直的判定1、 如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是 圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC.3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ；4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.(I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN.面面垂直的性质1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.2、 在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。
求证:AB DE ⊥ w 。
w 。
w 。
k 。
s 。
5.u 。
c 。
o 。
m4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADV D C BA SA CB5、如图所示，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8,AB ＝2DC ＝4错误!.M 是PC 上的一点，（1)证明：平面MBD ⊥平面PAD 。
线面、面面垂直的判定及性质 A 试题
智才艺州攀枝花市创界学校2021高考数学A课后作业：9-5线面、面面垂直的断定及性质1.(文)(2021·海淀区期末)m，n是两条不同的直线，α，β)A．假设m∥α，α∩β＝n，那么m∥nB．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αC．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥βD．假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β[答案]A[解析]选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．(理)(2021·十二中)两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β)A．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥nB．假设m∥α，n∥β，α∥β，那么m∥nC．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥nD．假设m∥α，n⊥β，α⊥β，那么m∥n[答案]A[解析]⇒m⊥n，故A正确；如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．2．(文)(2021·模拟)假设l为一条直线，α、β、γ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.)A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]①中α与β可能平行，故①错，②③正确．(理)(2021·区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l①假设α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α；③假设l⊥α，l∥β，那么α⊥β；④假设α∥β，l⊄β，且l∥α，那么l∥β.)A．①②B．②③C．②④D．③④[答案]D[解析]对于①：假设α⊥β，β⊥γ，那么可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A间隔相等的两点到α的间隔相等．③④显然正确．3．(2021·皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α)A．假设l⊥m，m⊂α，那么l⊥αB．假设l⊥α，m⊂α，那么l⊥mC．假设l∥α，l∥m，那么m∥αD．假设l∥α，m∥α，那么l∥m[答案]B[解析]直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或者异面．4.(2021·高三调研)如以下列图，在立体图形D－ABC中，假设AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，那么以下结论正确的选项是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[答案]C[解析]要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.5．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案]B[解析]连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上．应选B.6．(2021·三模)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，假设AB＝2，AA1＝1，那么点A到平面A1BC的间隔为()A. B.C. D.[答案]B[解析]解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AB＝AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的间隔．∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：V A1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又∵A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴V A－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h ＝，∴h ＝.∴点A 到平面A 1BC 间隔为.7．(2021·)如以下列图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.[答案]2[解析]∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2.8．(2021·质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，B 1C 1 ①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形； ②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积不变；④M 是正方体的面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1间隔相等的点，那么M 点的轨迹是一条线段． [答案]②③④ [解析]三棱锥A 1－ABC 的四个面都是Rt △，故①错；F 在FG 上运动时，PF ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥DE ，又在正方体ABCD 中，E 、F 为AB 、BC 中点，∴AF ⊥DE ，∴DE ⊥平面PAF ，∴DE ⊥PA ，故②真；V A －D 1QC ＝V Q －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论点Q 在BC 1上怎样运动，Q 到平面AD 1C 间隔都相等，故③真；到点D 和C 1间隔相等的点在经过线段C 1D 的中点与DC 1垂直的平面α上，故点M 为平面α与正方体的面A 1B 1C 1D 1相交线段上的点，这条线段即A 1D 1.1.(2021·海淀检测)假设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，那么A 1C 1到底面ABCD 的间隔为()A. B ．1 C. D.[答案]D[解析]依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴B 1B 即为所求间隔，在△ABB 1中得，B 1B ＝.应选D.2．(2021·一模)l ，m 是不同的两条直线，α，β) A ．假设l ⊥α，α⊥β，那么l ∥β B ．假设l ∥α，α⊥β，那么l ∥β C ．假设l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，那么l ⊥αD．假设l⊥α，α∥β，m⊂β，那么l⊥m[答案]D[解析]⇒l⊥m.3．(文)如以下列图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，那么BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为()A. B.C. D.[答案]B[解析]连接B1C，∴B1C∥A1D，∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，∴长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2，∴sin∠C1BM＝＝，应选B.(理)(2021·质检)如以下列图，在棱长均为1的三棱锥S－ABC中，E为棱SA的中点，F为△ABC的中心，那么直线EF与平面ABC所成角的正切值是()A．2 B．1C. D.[答案]C[解析]∵F为正三棱锥底面中心，∴SF⊥平面ABC，∴平面SAF⊥平面ABC，∴∠EFA为EF与平面ABC所成的角，易知AE＝，AF＝，又EF＝SA＝，∴cos∠FAE＝＝，∴sin∠FAE＝＝，∴tan∠FAE＝.由于Rt△SAF中E为SA的中点，∴∠FAE＝∠EFA，故tan∠EFA＝.4．过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，假设PA＝AB，那么平面ABP与平面CDP所成二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]过P作直线l∥AB，那么l为二面角的棱，易证∠APD即为所求．∵AP＝AD，∠PAD＝90°，∴∠APD＝45°.5．如以下列图，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[解析](1)取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.6．(文)如以下列图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DAB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝，易求BC＝，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(理)(2021·文，17)如以下列图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的间隔相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，所以EG的中点Q为满足条件的点．7．(2021·模拟)如以下列图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.[解析](1)证明：延长DA与CB相交于P，∵AB＝AD＝2，CD＝4，AB∥CD，∴B为PC的中点，又M为CE的中点，∴BM∥EP，∵BM⊄平面ADEF，EP⊂平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)证明：由(1)知，BC＝PC＝＝2，又BD＝＝2，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BD⊥BC.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC.1．(2021·调研)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，那么m⊥β的一个充分条件为()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α[答案]B[解析]如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．⇒m⊥β，故B正确．2.(2021·十二校联考)如以下列图所示，四棱锥P－ABCD的底面是梯形，且BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB.PA ⊥底面ABCD，E为PC的中点．PA＝AD＝AB＝1.(1)证明：EB∥平面PAD；(2)求直线BD与平面PDC所成角的大小．[解析](1)证明：取PD的中点Q，连接EQ，AQ，那么QE∥CD∥AB，且QE＝CD＝AB，故四边形ABEQ是平行四边形．故EB∥AQ.又AQ⊂平面PAD，EB⊄平面PAD，故EB∥平面PAD.(2)解：∵CD⊥AD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD.∵AQ⊂平面PA，∴AQ⊥CD.又可得AQ⊥PD，故AQ⊥平面PCD.又BE∥AQ，故BE⊥平面PDC.所以∠BDE为所求角的平面角．易得∠BDE＝30°.3．(2021·高三年级调研测试)如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．[解析](1)证明：在△ABD中，由于AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)解：过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝.由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为h＝＝.∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD×h＝××＝2.∴V A－PCD＝V P－ACD＝S△ACD×PO＝×2×＝.4．如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？假设存在，说明G点的位置，并证明你的结论；假设不存在，说明理由．解析：(1)取AB的中点E，那么PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连结PG、BG，那么PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.。
线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案（第4次补课）.doc
直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直(1)定义：如果直线/与平面cdAl的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直，记作/丄a，直线/ 叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面。
如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。
(2)判定定理：一条直线与一个平面闪的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
a! lb'结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作. ^=>6丄汉6T 丄(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即丄6Z，/?丄汉=>6Z///?.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、直线与平面所成的角平而的一条斜线和它在平而上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平而所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0Q的角。
3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为/,那么两个面分别为汉、夕的二面角记作汉-/-/?.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二囬角的平囬角。
其作用是衡量二面角的大小；范围:0°<^<180°.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”,记作7 16Z丄/?.I cz a \alp 'R — I3、性质：两个平而乖直，则一个平而内垂直于交线的直线与另一个平而垂直，记作K 一丄/?.mcamil【经典例题】【例门(2012浙江文)设/是直线，a，p是两个不同的平而( )A.若///a，///p，则a//pB.若 ///a，/丄(3,则a丄PC.若a丄p，/丄a，则/IpD.若alp, ///a，则/丄p【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，•••///a ，/丄P ，则a 丄P.如选项A:///a ，///p 时，a 丄P 或a//p;选项C:若 a丄P ，/丄a ，///p 或/（= 选项 D:若若 aip ，/ 丄a ，///p 或/丄P.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平而内有三个点到另一个平而的距离相等，则这两个平而平行C. 若一条直线平行于两个相交平而，则这条直线与这两个平而的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错;一个平 面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面 可以平行，也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线zn 、及平面《，其屮附人，那么在平面《内到两条直线w 、《距离相等的点的集 合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是 （ ）A. ①②③B.①④C.①，②④D.②④ 【答案】C【解析】如图1,当直线w 或直线在平面a 内时有可能没有符合题意的点；如图2,直残w 、到已知平面a 的距离相等且所在平面与已知平面《垂直，则已知平面a 为符合题意的点；如图3,直线zn 、《所在平面与已知平面 a 平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体/I5CD —中，A/、7V 分别是CD 、CC,的（中点，则异面直线与ZW 所成的角的大小是 _________________ . *______________________________________________________ •【答案】90。
直线与平面的平行垂直判定经典例题
一、教学目标1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课内容1、回顾上节课内容2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾3、经典例题讲解4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾1． 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内.那么这条直线在此平面内． 2． 直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3． 直线与平面平行的判定与性质4.二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中.有一条垂直于一个平面.那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面.则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角.叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线.则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直.则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点.在两个半平面内分别作与棱垂直的射线.则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理.即如果两个平面垂直.那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据.要过平面外一点P作平面的垂线.通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β.设β∩α＝l.在β内作直线a⊥l.则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b .a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β.a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β.α∩β＝l .a ⊂α.a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α.b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α.b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交.所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α.a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线.若这样的直线图中不存在.则可通过作辅助线来解决． 失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中.要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用.即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线.通常是先找这个平面的一个垂面.在这个垂面中.作交线的垂线即可．三、经典例题讲解（一）直线与平面垂直的判定与性质例1：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.（二）平面与平面垂直的判定与性质例2：如图.在直三棱柱ABC－A1B1C1中.A1B1＝A1C1.D.E分别是棱1上的点(点D不同于点C).且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.（三）线面、面面垂直的综合应用例3：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB∥DC.△PAD是等边三角形.已知BD＝2AD＝8.AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点.求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．（四）线面角、二面角的求法例4：如图.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．四、课堂练习 选择题：1、如图.四棱锥S －ABCD 的底面为正方形.SD ⊥底面ABCD .则下列结论中不正．．确的是 ( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角2、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.633、 已知l .m 是不同的两条直线.α.β是不重合的两个平面.则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α.α⊥β.则l ∥βB ．若l ∥α.α⊥β.则l ∥βC ．若l ⊥m .α∥β.m ⊂β.则l ⊥αD ．若l ⊥α.α∥β.m ⊂β.则l ⊥m4、已知矩形ABCD .AB ＝1.BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折.在翻折过程中 ( )A ．存在某个位置.使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置.使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置.使得直线AD 与直线BC 垂直D．对任意位置.三对直线“AC与BD”.“AB与CD”.“AD与BC”均不垂直填空题：1．在正四棱锥P—ABCD中.PA＝32AB.M是BC的中点.G是△PAD的重心.则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．2．已知a、b、l表示三条不同的直线.α、β、γ表示三个不同的平面.有下列四个命题：①若α∩β＝a.β∩γ＝b.且a∥b.则α∥γ；②若a、b相交.且都在α、β外.a∥α.a∥β.b∥α.b∥β.则α∥β；③若α⊥β.α∩β＝a.b⊂β.a⊥b.则b⊥α；④若a⊂α.b⊂α.l⊥a.l⊥b.l⊄α.则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解答题：1、(1)如图所示.证明命题“a是平面π内的一条直线.b是π外的一条直线(b不垂直于π).c是直线b在π上的投影.若a⊥b.则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题.并判断其真假(不需证明)．2、如图所示.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形.E 为线段AD 1的中点.F 为线段BD 1的中点. (1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点.当D 1DAD 的比值为多少时.DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．3、如图.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中.AA 1⊥BC .∠A 1AC ＝60°.A 1A ＝AC ＝BC ＝1.A 1B ＝ 2.(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1； (2)如果D 为AB 中点.求证：BC 1∥平面A 1CD .五、课后练习1、已知三棱锥S－ABC中.底面ABC为边长等于2的等边三角形.SA垂直于底面ABC.SA＝3.那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.342、已知P为△ABC所在平面外一点.且PA、PB、PC两两垂直.则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．3、如图.在四棱锥P－ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB＝AD.∠BAD ＝60°.E.F分别是AP.AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. . .。
线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
面面垂直性质练习题
…订…………○____考号：__________…订…………○一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则//m nB ．若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则m n ⊥C ．若平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则//m nD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊂，则m β⊥2．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. 其中错误命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．将正方形ABCD 沿BD 折起， 使平面ABD ⊥平面BCD ，M 为CD 的中点，则AMD ∠的大小是（ ）A ．45︒B ．30C ．60︒D ．90︒5．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥ C ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥D ．若m n ，m α，则n α第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明……外…………○……………○………○…………线………※※※※在※※装※※订※※线※……内…………○……………○………○…………线………二、解答题6．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，//DE AC ，且12DE AC =，1AD BD ==.（1）求AB 的长；（2）若2AC =，求多面体ABCDE 的体积.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（1）当M 是线段PD 的中点时，求证：//PB 平面ACM ； （2）求证：PE AC ⊥.8．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .参考答案1．B 【解析】 【分析】由线面平行和垂直的性质，面面平行和垂直的性质一一判断即可得出答案. 【详解】A 选项，若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则m 和n 的位置关系有平行和异面两种情况，故A 选项不正确；B 选项，若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则由线面垂直的性质可得m n ⊥，故B 选项正确；C 选项，若平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则m 和n 的位置关系有平行和异面两种情况，故C 选项不正确；D 选项，若平面α⊥平面β，直线m α⊂，则m 和β的位置关系有平行、相交不垂直、相交垂直三种情况，故D 选项不正确； 故选：B. 【点睛】本题考查了线面平行和垂直的性质以及面面平行和垂直的性质的应用，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】由题意得BC CD a ==，90BCD ∠=︒，从而BD =，90BAD ∠=︒，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，从而AO ⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO OE =，连结ED ，EA ，EB ，则四边形BCDE 为正方形，即有//BC DE ，从而ADE ∠（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角，由此能求出异面直线AD 与BC 所成角的大小． 【详解】由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD ＝90°，∴BD ，∴∠BAD ＝90°， 取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．3．B【解析】如果两个平面垂直，则：①，若一个平面内的已知直线如果与另一平面不垂直，则垂直于另一个平面的任意一条直线，故①不成立；②，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条与该平面垂直的直线，故②成立；③，若一个平面内的任一条直线不与交线垂直，则不垂直于另一个平面，故③不成立，故选B.4．D【解析】由题意画出图形，如图，设正方形的边长为：2，折叠前后AD=2，DE=1，连接AC 交BD 于O ，连接OM ，则OM=1，AO=2 , 因为正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ， AO ⊥BD ，所以AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OE ， 在△AOM 中，AM=223AO OM +=又AD=2，ED=1，所以DM 2+AM 2=AD 2，所以∠AMD=90°． 故选D ．点睛：本题考查折叠问题，注意折叠前后，同一个半平面中的线线关系不变，考查空间想象能力，计算能力． 5．B 【解析】 【分析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上．【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．6．（1；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质，可以证明出AD BD ⊥，最后利用勾股定理求解即可.（2）利用四棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）连接AD ，因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC =AB ，AB AC ⊥，因此有AC ⊥平面ABD ，而BD ⊂平面ABD ，所以AC BD ⊥,又因为//DE AC ， 所以DE BD ⊥，又因为AE BD ⊥，而,,DEAE E DE AE =⊂平面AED ,因此有BD ⊥平面AED ，AD ⊂平面AED ，所以有BD AD ⊥，因为1AD BD ==，所以AB ==；（2）因为//DE AC ，且12DE AC =，所以四边形ACDE 是梯形，故多面体ABCDE 是四棱锥B ACDE -.由（1）可知：BD ⊥平面ACDE ，因此四棱锥B ACDE -的高为1BD =，2AC =，而112DE AC ==，由（1）可知：AC ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，所以，所以梯形ACDE 的面积为：232AC DE AD +⋅=， 四棱锥B ACDE -的体积为：1311322⨯⨯=，因此多面体ABCDE 的体积为12.【点睛】本题考查了线面垂直的判定以及线面垂直的性质的应用，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了四棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力. 7．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，由中位线性质可得//PB MO ，利用线面平行的判定定理可得//PB 平面ACM ；（2）易得PE AB ⊥，由线面垂直的性质定理可得PE ⊥面ABCD ，可得PE AC ⊥. 【详解】证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，∵M 为PD 中点，O 为BD 中点， ∴//PB MO .又∵MO ⊂面ACM ，PB ⊄面ACM ， ∴//PB 面ACM .（2）∵PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点， ∴PE AB ⊥.又∵面PAB ⊥面ABCD 且相交于AB ， ∴PE ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴PE AC ⊥. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及面面垂直的性质定理，考查学生的空间想象能力，注意灵活运用各定理解题. 8．(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）可证EF AB ∥，从而得到要求证的线面平行.（2）可证AF CD ⊥，再由AP AD =及F 是棱PD 的中点可得AF PD ⊥， 从而得到AF ⊥平面PCD .【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥， 又AB面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD . 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的， 而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自面面垂直）来考虑.。
高考数学复习点拨 点击面面垂直的判定与性质 试题
智才艺州攀枝花市创界学校点击面面垂直的断定与性质一、面面垂直的断定与性质1.两个平面垂直的定义：假设两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的断定定理：假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：假设两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、证明面面垂直的根本方法有：〔1〕利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；⊂，那么α⊥β〔2〕利用面面垂直的断定定理证明，即假设a⊥β，aα“线线垂直〞“线面垂直〞“面面垂直〞间的转化条件和转化应用.三、典例选析例1．如以下图，过S引三条长度相等但不一共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.剖析：此题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角，转化为证明∠AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连结AO、SO.∵AS=BS=CS，SO⊥BC，Array又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，从而AO⊥BC.设AS=a ，又∠BSC=90°，那么SO=22a.又AO=22BO AB -=2221a a -=22a ， ∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS.从而AO ⊥平面BSC ，又AO ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC. 证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 就是二面角A —BC —SAO ⊥OS ，即∠AOS=90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC.点评：此题提醒的是证面面垂直常用的两种方法.此外，此题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算〞，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，假设过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .〔1〕确定D 的位置，并证明你的结论；〔2〕证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；〔3〕假设AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.分析：此题的结论是“开放性〞的，点D 位置确实定假设仅凭条件推理难以得出.由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行挪动，BC 1取AE 1位置，那么平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.〔1〕解：如以下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.〔2〕证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .1又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，又B 1E 1⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D . 〔3〕解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.于是AB 1=22)2(1+=3.在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ⨯=321⋅=36，在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=22，AD =2121D A AA +=26.那么A 1H =AD D A AA 11⨯=33. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =F A H A 11=22，所以∠A 1FH =45°. 因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或者135°.—证—算三步.“画〞是画图，添加必要的辅助线，或者画出所要求的几何量，或者进展必要的转化；“证〞是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进展最后一步计算.这三步之间严密相连，环环相扣，互相制约，形成理解决立体几何计算题的思维程序，是综合考察学科才能的集中表达.例3．如以下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD=G.〔1〕求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ；〔2〕求点D 1到平面B 1EF 的间隔d ；〔3〕求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.〔1〕证法一：如以下图，连结AC. ∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD.又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC. ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.〔2〕解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H. ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H.∴点D 1到平面B 1EF 的间隔d=D 1H. 在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H.∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H=sin ∠B 1GB=11GB B B =22144+=174，∴d=D 1H=4·174=171716. 〔3〕解：V=V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316. 点评：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如此题的三小问便是如此.此题主要考察正四棱柱等根本知识，考察逻辑推理才能及空间思维才能.。
面面垂直答案.docx
1．已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC【答案】【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。
显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形 同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a在RT ΔBPC 中，PB=PC=a BC=2a∴PD=22a 在ΔABC 中 AD=22BD AB -=22a ∵AD 2+PD 2=222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =a 2=AP 2∴ΔAPD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ∴AD ⊥平面PBC∴平面ABC ⊥平面PBC2．如图（1）在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD 且AB=AD=12CD=1，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿AD 将正方形翻拆，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直如图（2）。
（1）求证平面BDE ⊥平面BEC（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。
【答案】⑴证见解析【解析】（1）由折前折后线面的位置关系得ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC ，又在BCD ∆2DC =，三边满足勾股定理，BC BD ∴⊥。
由线面垂直的判定定理即证得结论。
（2只需求出点D 到平面BEF 的距离也是点A 到平面BEF 的距离，易证出//AD EF ，AD ⊥平面BEF ，由面面垂直的判定定理得平面ABF ⊥平面BEF ，ABF ∆中BF 边上的高就是点A 到平面BEF 的距离。
根据线面角的定义可求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。
3．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略【解析】（1）证明：连结BD .在长方体1AC 中，11//BD B D . ……………2分 又E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分 （2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.…9分又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分4．如图，四棱锥ABCDP -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，，PD ⊥底面ABCD .ACDEF图2A BE C图1 FDA C A 1 1(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；(2)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。
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面面垂直的判定
1、如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面 BCC1 B1是菱形，且 B1C A1B
证明：平面 AB1C平面A1BC1
2、如图 ,AB 是⊙O的直径 ,PA 垂直于⊙ O所在的平面 ,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点 , 求证 : 平面 PAC⊥平面 PBC.
3、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是菱形，∠ BCD＝60°，E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD，求证：平面 PBE⊥平面 PAB；
4、如图，在四面体ABCD中， CB＝CD， AD⊥BD，点 E、
F 分别是 AB、BD的中点．求证：(1) 直线 EF∥平面 ACD；
(2) 平面 EFC⊥平面 BCD.
5、如图 , 在四棱锥 S-ABCD中, 底面 ABCD是正方形 ,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M是 SD 的中点 ,AN⊥SC,且交 SC于点 N.
(I) 求证 :SB∥平面 ACM; (II)求证:平面SAC⊥平面AMN.
面面垂直的性质
1、S 是△ ABC所在平面外一点， SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，
平面 VAD⊥底面 ABCD证明 :AB⊥平面 VAD
3、如图，平行四边形 ABCD 中，DAB 60，AB 2, AD 4 将CBD沿BD折起到
EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD 。
求证： AB DE
4、如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°， E、F 分别是 AP、AD的中点
求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD
5、如图所示，在四棱锥PABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC，△ PAD是等边三角
形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45. M是 PC上的一点，
（1）证明：平面 MBD⊥平面 PAD. （2）求四棱锥 P-ABCD的体积。
6、如图 , 在四棱锥 P ABCD
中, AB / /CD , AB AD , CD 2 AB , 平面PAD底面
ABCD , PA AD , E 和 F 分别是CD和PC的中点,
求证 :(1)PA底面ABCD ;(2)BE / / 平面PAD ;(3) 平
面 BEF平面PCD。