解直角三角形及其应用

南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是(
)
A．30 3 n mile
B．60 n mile
C．120 n mile
D．(30＋30 3)n mile
3．(2019·柳州中考)如图，在△ABC 中，sin B＝31，tan C＝ 22，AB＝3，则 AC
的长为
．
3
4．(2019·枣庄中考)如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD
∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
5
∴sin∠BAC＝
故答案为 . 5
求三角函数值的方法
在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角形的高， 构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数的定义解决．在网 格图中求锐角的三角函数值，要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直 角三角形，借助勾股定理解答．
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin B的值是 ()
2．(2019·甘肃中考)在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝ 3 ，则cos B
＝ 1．
3
2
考点二 特殊角的三角函数值 (5年1考)
2
3
例2 在△ABC中，若|sin 角，则∠C＝ ．
A－
2
|＋(
2
1）坡面与水平面的夹角α叫坡角
2）坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i
(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3）坡度越大,坡面越陡。
3、仰角和俯角
铅 直 线
视线
仰角 俯角
水平线
4、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
45°
南方向）
B
南
考点一 锐角三角函数 (5年1考)
A ＝ 1． 22
考点三 解直角三角形 (5年2考)
例3 (2018·自贡中考)如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ 3，∠B＝
30°，求AC和AB的长．
4
【分析】过点C作CD⊥AB，在直角三角形中求出AD，BD，即可得解．
【自主解答】如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，
(1)解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°. ∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
(2)证明：∵BE 平分∠ABC， 1
∴∠ABE＝∠CBE＝2∠ABC. ∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE.
例1 (2018·德州中考)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶 点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函 数的定义即可得出结论． 【自主解答】由勾股定理可得AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2 ＝22 ＋42＝20，
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再
根据锐角三角函数、勾股定理即可求得CD的长．
【自主解答】在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE＝1∶ ，∴∠ABE＝30°.
∵AB＝200，∴AE＝100.3 ∵AC＝20，∴CE＝100－20＝80.
在Rt△CDE中， ∵tan D＝1∶4，∴DE＝320，∴CD＝8017 (米)．
故答案为1 500( －1)．
7．(2019·聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如 图1所示，CD部分)，在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为 45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处，测得顶端C的仰角为63.4°(如图2所示)，求大楼部分楼体CD的高度约 为多少米？(精确到1米) (参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)
BC＝12，
∴CD＝BC·sin 30°＝6，BD＝BC·cos 30°＝6 3.
在Rt△ACD中，
∵tan A＝
∴AD＝8，
∴AC＝
＝10，
AB＝AD＋BD＝8＋36 .
5．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tan∠BAC的值为( )
6．(2019·绵阳中考)在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10 则△ABC的面积是 75或25．
命题角度❷ 坡度、坡角问题 例5 (2019·潍坊中考)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身 的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的 坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶ 3 ；将 斜坡AB的高度AE降低20米(即AC的长)后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为 1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)
1 1．(2019·怀化中考)已知∠α 为锐角，且 sin α＝2，则∠α＝(
A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．(2019·长沙中考)如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯
D 塔 60 n mile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的
解：设楼高CE为x米． ∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x. ∵AB＝20，∴BE＝x－20. 在Rt△CEB中，CE＝BE·tan 63.4°≈2(x－20)． ∴2(x－20)＝x， 解得x＝40. 在Rt△DAE中，DE＝AE·tan 30°＝40×
∴CD＝CE－DE＝40－40 3 ≈17. 答：大楼部分楼体CD的3高度约为17米．
百度文库
B(－1，0)，平行于 AB 的直线 l 交 y 轴于点 C，若直线 l 上存在点 P，使得△PAB
C 是等边三角形，则点 C 的坐标为(
)
A．(1，0)或(－3，0)
B．(0，1)或(0，－ 3)
C．(0，－ 3)或(0，3 3)
D．(－ 3，0)或(3， 3)
14．(2019·哈尔滨中考)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， 点 E 为 AD 边上一点，连接 BD，CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CE∥AB，若 AB＝8，
5．解：如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E. ∵∠CAB＝30°，AB＝4，∴∠ABE＝60°，BE＝2. ∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2， ∴BD＝ 22＋22＝2 2
前置练习3
在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ． 解这个直角三角形
2、解直角三角形应用中的有关概念： （1）坡度：斜坡的倾斜程度常用坡度表示.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,
山坡的坡度
i tan 60 3.
100 5
i 60
m
α 100 ┌ m
2
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°， ∴CE＝ 3BE＝10 ，3 ∴AC＝A3E＋CE＝30＋103 ， ∴A，C两港之间的距离为(30＋ 3 10 )km. 故选B.
9．(2019·泰山区模拟)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向， 距离灯塔400海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 4 0 0 2 海里．
答：斜坡CD的长是8017 米．
8．(2019·广州中考)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m， 斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝ 2 ，则此斜坡的水平距离AC为( )
5
A．75 m C．30 m
B．50 m D．12 m
命题角度❸ 方向角问题
例6 (2019·泰安中考)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 2 km
三角函数的定义
基础知识
1.锐角三角函数定义:
sinA
A的对边 斜边
=
cosA
A的邻边 斜边
=
tanA= A的对边
A的邻边
B
斜
边
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
基础知识
2.特殊角的三角函数值:
角α
三角函数
sinα cosα
tanα
1
30°
1 2
3 2
3
3
2
30°
3
45°
2
2
2
2
1
1
2
45°
1
60°
2
，AC＝5
5
，
考点四 解直角三角形的应用 (5年3考)
命题角度❶ 仰角、俯角问题 例4 (2019·泰安样题)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞 机离地面的高度CH为1 500米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江 的宽度AB为 米．(结果保留根号)
－cos
B)2＝0，∠A，∠B都是锐
【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可得出∠A及∠B的度数，再利 用三角形的内角和定理即可得出∠C的度数．
【自主解答】∵|sin A－ |＋2 ( －co3 s B)2＝0，
2
2
∴sin A＝ ，2 cos B＝ . 3
2
2
又∵∠A，∠B都是锐角，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
第五节 解直角三角形及其应用
10．如图，△ABC 为等边三角形，D，E 分别是 AC，BC 上的点，且 AD＝CE，AE 与
A BD 相交于点 P，BF⊥AE 于点 F.若 BP＝4，则 PF 的长为(
)
A．2
B．3
C．1
D．2 3
11．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(0， 3)，
3 2
1 2
3
60° 2 1
3
基础知由识直角三角形中已知的元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
1、解直角三角形的依据：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
a
，tanA= b
2；
②在直角三角形中，设45°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，1，
.
3
2
3．李红同学遇到了这样一道题： tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的
度数应是( )
3
A．40° B．30° C．20° D．10°
4．(2019·东平一模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ 3 ，则sin
∴∠C＝180°－45°－30°＝105°.
故答案为105°.
熟记特殊角的三角函数值的两种方法
(1)按值的变化：30°，45°，60°角的正余弦的分母都是2，正弦的分子
分别是1， ， ，余弦的分子分别是 ， ，1，正切分别是 ，1，
.
3
(2)特殊值法2 3
32
3
①3在直角三角形中，设30°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1， ，
至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
则A，C两港之间的距离为 km.(
)
【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可． 【自主解答】根据题意得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20° ＝60°，AB＝30 2. 如图，过B作BE⊥AC于E， 则∠AEB＝∠CEB＝90°. 在Rt△ABE中， ∵∴A∠AE＝BEB＝E＝45°，A2ABB＝＝3300. 2，
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数用CH表示出AH，
BH的
长，然后计算出AB的长．
【自主解答】∵CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠CBA＝∠BCD＝30°.
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝1 500.
在Rt△HCB中，
∵tan∠CBA＝
3
∴AB＝BH－AH＝31 500( －1)．
CE＝6，则 BC 的长为__2__7__.
15．(2019·重庆中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连接 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F. (1)若∠C＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB＝FE.
竖直放在距旗杆底部 B 点 6 m 的位置，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°.若
9.5 测角仪的高度是 1.5 m，则旗杆 AB 的高度约为
m.(精确到 0.1 m．参考数
据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
5．(2019·临沂中考)鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施 工方计划沿 AC 方向开挖隧道，为加快施工进度，要在小山的另一侧 D(A，C，D 共线)处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，求 BD 的长．