高数第六章

第六章、定积分的应用

第一节、定积分的元素法

第二节、定积分在几何学上的应用 重点：1、应用元素法的条件及步骤 条件 1）、U 是与一个变量x 的变化区间【a ，b 】有关的量； 2）、U 对于区间【a ，b 】具有数量可加性； 3）、部分量

的近似值可表示为

，其中为区间【a ，

b 】上

的一直连续函数，则可考虑用定积分来计算这个量U ； 步骤 1）、选取一个变量如x 为积分变量，确定它的变化区间【a ，b 】； 2）、把区间【a ，b 】分成n 个小区间，取其中任一小区间为【x ，x+dx 】， 求出相应的的近似值记作dU=；

3）、作积分U=。 2、1）、计算平面图形的面积时，一般要画出大体图形来选择坐标系； 2）、计算去边梯形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积时，可利用切片 法； 3）、计算曲线的弧长时，主要是根据曲线的方程，选择相应的公式 写出弧微分ds ，继而求出弧长； 4）、计算旋转体的侧面积时，需注意是绕哪个轴旋转，若是绕x 轴 旋转，只要代入上面所给的公式；若是绕y 轴旋转，则要根据 上面稍作改变即可。 例题：

1、求椭圆所围成的图形的面积。（张静）

解：该椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆围成的图形的面积为4A1 其中A1为该椭圆第一象限部分与两坐标轴围成图形的面积， 因此

利用椭圆的参数方程

， 应用定积分换元法，令x=acos t ，则

i

U ∆i

i x f ∆)(ξ)(x f U ∆dx x f )(⎰b

a dx x f )(12

22

2=+b y

a x ⎰==a

ydx

A A 0414⎪

⎭⎫ ⎝⎛

≤≤==20sin ,cos πt t b y t a x .sin ,sin tdt a dx t b y -==

当x由0变到a时，t由变到0，所以

当a=b时，就得到大家所熟悉的媛面积公式。

2、计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积。

（张静）

解：这个椭圆球体也可看做是由半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转一周而成的立体。

取x为积分变量，它的变化区间为【—a，a】。旋转椭球体中相应于【—a，a】上

任一小区间【x，x+dx】的薄片的体积，近似于底半径为、高

为dx的

扁圆柱体的体积，及体积元素

于是所求旋转椭球体的体积为

当a=b时，旋转椭球体就称为半径为a的球体，它的体积为。

3.求由下列各组曲线所围成的图形的面积：(王倩)

y=1

2x2与x2+y2=8（两部分都要计算）；

2

π

ab

ab

tdt

ab

tdt

ab

dt

t

a

t

b

A

π

π

π

ππ

=

•

•

=

=

-

=

-

=⎰

⎰⎰

2

2

1

4

sin

4

sin

4

)

sin

(

sin

42

2

2

2

2

2

a

Aπ

=

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

2

2b

a

a

b

y-

=

2

2b

a

a

b

-

dx

x

a

a

b

dV)

(2

2

2

2

-

=

π

.

3

4

3

)

(2

3

2

2

2

2

2

2

2

ab

x

x

a

a

b

dx

b

a

a

b

V

a

a

a

a

π

π

π=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

-

=

-

=

-

-

⎰

3

3

4

aπ

解：{

y =1

2x 2

x 2+y 2=8

得{

x =2y =2 或{x =−2

y =2

， A 上=∫(√8−x 22

−2−1

2x 2)dx=2∫(√8−x 22

0−1

2x 2)dx,

∫√8−

x 22

0dx x=2√2sin t ⇒

∫(2√2cos t)2π4

0dt

=8∫1+cos 2t 2

π

4

dt

=π+2

∫x 2220dx=16x 3|20=4

3

A 上=2（π+2−43）=2π+4

3

A 下=π（2√2）2

-A 上=8π−(2π+4

3)=6π−4

3

4.求抛物线y 2=2px 及其在点（p

2，p ）处的法线所围成的图形的面积；（王倩） 解：将（p

2，p ）代入y 2=2px ，该点在曲线上， y=√2px ， y ，=2√2px

y ，|x=p

2 =1，

法线方程为： y-p=-（x-p

2） X=3p

2-y

{x =

3p

2−y

y 2=2px

得{x =p 2

y =p 或{x =9p

2y =−3p ， dA=（3p

2-y-1

2p y 2）dy A=∫(3p

2−y −1

2p y 2)p

−3p dy

=(3p

2−y −1

2p y 2)|p −3p =16

3p 2

第六章 第三节 定积分在物理学上的应用

一、内容简析

变力沿直线所做的功：