第六章概率详解
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
概率与数理统计第六章
t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
第六章频率与概率
第六章 概率初步1.必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事件称为必然事件2.不可能事件：有些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件.3.确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件.4.不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事件称为不确定事件，也称 为随机事件.确定事件 必然事件事件 不可能事件不确定事件5.判断方法：判断这个句子是否正确.6.不确定事件的可能性是有大小的7.折线统计图能清楚的反映数据的变化趋势.8.频率的定义：在N 次重复实验中，不确定事件A 发生了M 次，则比值n m则称为事件A 发生的频率.9.频率具有稳定性：当实验次数逐渐增大时，事件A 发生的频率都会趋近于某一个常数，这就是频率的稳定性.10.概率：用常数来表示事件A 发生的可能性的大小，我们把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率，记作P （A ）一般地，11.概率和频率的关系：大量重复试验中，我们常用不确定事件A 发生的频率来估计事件A 发生的概率.12.P （必然事件）=1； P （不可能事件）=0； 0πP （不确定事件A ）π1.；p （正面向上）=21；0≤P （任何事件）≤113.①当试验次数很大时，可以发现一个随机事件发生的频率总是在某个常数附近摆动，也就是频率呈现出稳定性，随着试验次数的不断增加，摆动的幅度将会越来越小，在大量的重复试验中，某个事件发生的频率将接近于某一个常数，则称此常数为该随机事件的概率. ②频率不等于理论概率。
频率是变化的，概率是不变的，虽然多次试验的频率逐渐接近概率，但也可能无论做多少次试验，频率仍然是概率的一个近似值，而不能等同于概率。
③概率是频率的稳定值④概率是随机事件规律性的一个表现⑤概率可以看作是频率是在理论上的期望值，它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似的作为这个事件的概率.例题1.用频率估计概率2.用频率估计球的个数3.画频率折线图估计概率4.利用概率解决实际问题.13.等可能事件和概率：一般地，如果一个试验有n 种可能，而事件A 包含其中的m 种可能，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m （0≤n m≤1）14.当我们作一次试验时，如果总计有n 种可能的结果，且每种结果发生的可能性都相同，即机会相等，那么每种结果发生的概率均为n 115.当计算概率问题时，可以先列举所有可能出现的结果，再列出所求事件可能出现的结果，然后把各自的结果带入概率公式进行计算.16.游戏的公平性：是指双方获胜的概率相等.（并不一定每方获胜的概率必为21）17.几何图形中的概率：P （A ）=形的面积所有可能结果组成的图图形的面积发生的所有可能组成的事件A①分析事件所占面积与总面积的关系②计算出各部分面积③代入公式18.转盘问题的概率计算：P （指针停留在某扇形内）=圆的面积某扇形的面积=总份数某扇形所占圆的份数19.设计一个概率为n k的几何概率模型，需将这个几何图形均分为n 个，其中符合A 事件的要有K 份即可。
第六章概率分析
T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
第六章 概率初步
可能程度不同用“很可能”“可能”“不太可能”等词来描述.
【例1】(2012·孝感中考)下列事件中，属于不确定事件的是 ( (A)通常水加热到100 ℃时沸腾 (B)测量孝感某天的最低气温，结果为-150 ℃ )
(C)一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
(D)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
【思路点拨】不确定事件就是可能发生也可能不发生的事件，
(3)不确定事件.
【解析】(1)必然事件发生的可能性是100%，当n=2时，4名女生
就会全部入选凑齐6名.
(2)不可能事件发生的可能性是0，即没有女生入选，当n=6时，
选中的全部为男生.
(3)当2<n<6时，小颖当选是一个不确定事件，即n=3,4,5.
9.如图，芳芳自己设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理 数.求： (1)转得正数的概率. (2)转得正整数的概率. (3)转得绝对值小于6的数的概率. (4)转得绝对值大于等于8的数的概率.
述违背已被确认的真理或客观存在的事实的事件是不可能事件，
否则是不确定事件.不确定事件的一个明显特征是试验的结果不 惟一.
2.事件发生可能性大小的判断 一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的.不确定事件发生 的可能性的大小通常与部分的量占总体的量的大小有关，部分 的量越多，则发生这部分的事件的可能性越大，反之越小.
三、概率的计算 1.一般地，不确定事件发生的可能性(概率)的计算方法和步骤 是 (1)列出所有可能发生的结果，并判定每个结果发生的可能性都 相等.
(2)确定所有可能发生的结果个数n和其中满足所求事件的结果
个数m.
(3)计算所求事件发生的可能性：P(所求事件)= m .
n
2.必然事件的概率是：P(必然事件)＝1 不可能事件的概率是：P(不可能事件)＝0. 3.在求不确定事件的概率时，要注意事件的等可能性，不是等 可能事件的概率问题，可以转化为等可能事件的概率问题.
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
第六章 概率初步
辛二七数下导学案—50 第六章概率初步教学目的：复习本章知识点一、事件1、事件分为事件、事件、事件。
2、必然事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为。
4、不确定事件：事先无法肯定发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在和之间。
5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为，则为必然事件；若事件发生的可能性为，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在之间，则为不确定事件。
6、简单地说，必然事件是发生的事件；不可能事件是绝对发生的事件；不确定事件是指有发生，也有可能发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：（1）用可能性的大小。
（2）用表示。
（3）用表示。
二、等可能性1、等可能性：是指几种事件发生的可能性。
2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有可能性。
（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是的；（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性，游戏才是的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性即可。
三、概率1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）= 。
2、必然事件发生的概率为，记作P（必然事件）= ；3、不可能事件发生的概率为，记作P（不可能事件）= ；4、不确定事件发生的概率在之间，记作 <P（不确定事件）< 。
5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
第六章__概率分布
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
北师大版七年级数学下册教学设计(含解析)：第六章概率初步3等可能事件的概率
北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第六章概率初步3等可能事件的概率一. 教材分析本节课是北师大版七年级数学下册第六章概率初步的内容，主要让学生学习等可能事件的概率。
等可能事件的概率是概率论的基础概念，对于学生理解概率论的本质和应用有着重要的意义。
本节课通过简单的实例，让学生初步理解等可能事件的概率，并学会用概率公式计算等可能事件的概率。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了概率的基本概念，如随机事件、不可能事件等。
但学生对于等可能事件的概率可能还比较陌生，需要通过具体的实例和练习来理解和掌握。
同时，学生可能对于概率公式的推导和应用还不够熟练，需要在课堂上进行反复的练习和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解等可能事件的概率的概念，知道等可能事件的概率的计算公式。
2.培养学生用概率的观点来分析和解决问题。
3.提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.等可能事件的概率的概念和计算公式的理解。
2.运用概率公式解决实际问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过具体的实例和练习，引导学生理解和掌握等可能事件的概率的概念和计算方法。
同时，通过小组合作和讨论，培养学生的团队协作能力和数学思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题，用于引导学生理解和应用等可能事件的概率。
2.准备课件和教学素材，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛硬币实验，引导学生复习概率的基本概念。
然后提出问题：如果抛两次硬币，正面朝上的概率是多少？引发学生对于等可能事件的概率的思考。
2.呈现（15分钟）呈现等可能事件的概率的定义和计算公式，并通过具体的实例进行解释和说明。
让学生理解等可能事件的概率的概念，并学会用概率公式计算等可能事件的概率。
3.操练（15分钟）让学生进行一些有关等可能事件的概率的练习题，引导学生运用概率公式进行计算和解决问题。
在学生做题的过程中，进行巡视和指导，帮助学生理解和掌握等可能事件的概率的计算方法。
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
第六章.ppt数理统计
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
管理统计学6 第六章 概率及其分布
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均 值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变 化而变化，当P=0.5时基本对称。
式中，Cnx
n!
x!n
x!
表示n个产品取x个不合格品的组合数。
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
例题: 已知产品合格率为0.9，对产品检验100次，出现2次不合格品的概 率。 解:
C1200 0.120.91002 4950 0.01 0.00003279 0.0016231
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6.3 正态分布
6.3.1 正态分布的特点
总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即 当t=1时，则有
P X P X 1 68.26%
总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即 当t=2时，则有
二项分布的均值为 标准差为
np
npq
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时， 均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的 变化而变化，当P=0.5时基本对称。
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学习目标
本章要掌握: 1. 数据与概率的关系; 2. 从概率分布上把握统计的特点; 3. 正态分布及其概率计算方法（学习的重点)。
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概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
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初中数学 第六章 概率 编稿老师 董志臣 一校杨雪二校黄楠审核郑建彬用树状图或表格求概率一、考点突破1. 理解每次实验的所有可能性（即概率）相同，和前次实验结果无关。
2. 会运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
3. 经历实验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
二、重难点提示重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。
难点：树状图和列表法的运用方法。
一、概率1. 概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2. 事件和概率的表示方法：事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=p 。
二、概率的求法1. 列表法求概率：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
【方法指导】列表法的应用场合：当一次实验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
2. 树状图法求概率：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
【方法指导】运用树状图法求概率的条件：当一次实验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
例题1 （张家界）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2，1，4,随机摸出一个小球（不放回），其数字为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的概率是（ ）A.41B. 31C. 21D. 32思路分析：列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的情况数，即可得出所求的概率。
答案： -2 14-2 --- （1，-2） （4，-2）1 （-2，1）---（4，1） 4（-2，4） （1，4）---所有等可能的情况有6种，其中满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根，即满足p 2-4q≥0的情况有4种，则P=64=32，故选：D 。
技巧点拨：此题考查了列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
例题2 （黄岩区二模）已知函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，可得函数图象上的6个点，在这6个点中随机抽取两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）A.152 B. 53 C. 154D. 31思路分析：由函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，可得函数图象上的6个点分别为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），（6，-1），即可得在这6个点中随机抽取两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），共有6×5=30种等可能的结果，则P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案。
答案：解：∵函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，∴函数图象上的6个点分别为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），（6，-1），∵在这6个点中随机抽取两个点，共有6×5=30种等可能的结果：其中P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的有4种情况， ∴P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是：304＝152故选A 。
技巧点拨：本题考查了概率公式的应用以及一次函数、反比例函数的性质，注意画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
例题3 （鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛，现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：根据上面提供的信息回答下列问题：（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D 部分的扇形圆心角n= ；（2）现学校决定从两班所有A 等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛，求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）。
思路分析：（1）利用总人数30减去其他各组的人数就是x 的值；根据中位数的定义求得中位数的值；利用360°×等级D 对应的比例就可求得圆心角的度数；（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率。
答案：解：（1）x=30-15-10-3=2；中位数落在等级B 中；等级D 部分的扇形圆心角 n=360°×30%=36°；故答案是：2，B ，36°；（2）乙班A 等级的人数是：30×10%=3，则甲班的二个人用甲1、甲2表示，乙班的三个人用乙1、乙2、乙3表示：共有20种情况，其中两名学生恰好来自同一班级有8种情况。
则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是：208=52。
技巧点拨：考查了频数（率）分布表，本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可。
概率的综合应用概率通常与其他统计知识相结合考查，同学们要熟悉如频率、中位数、优秀率等知识，同时要具备识图、读图能力。
【针对训练】（黔东南州）黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下所示的女生频数分布表和男生频数分布直方图：根据图表解答下列问题：（1）在女生的频数分布表中，m= ，n= ； （2）此次调查共抽取了多少名学生？（3）此次抽样中，学习时间的中位数在哪个时间段？（4）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？思路分析：（1）根据第一段中有4人，占20%，即可求得女生的总人数，然后根据频率的计算公式求得m 、n 的值；（2）把直方图中各组的人数相加就是男生的总人数，然后加上女生总人数即可； （3）求得每段中男女生的总数，然后根据中位数的定义即可判断； （4）利用列举法即可求解。
答案：解：（1）女生的总数是：4÷20%=20（人），则m=20×15%=3（人），n=206=0.3；（2）男生的总人数是：6+5+12+4+3=30（人），则此次调查的总人数是：30+20=50（人）； （3）在第一阶段的人数是：4+6=10（人），第二阶段的人数是：3+5=8（人），第三阶段的人数是：5+12=17（人），则中位数所在的时间段是：60≤t ＜90；（4）如图所示：共有20种等可能的情况，则恰好抽到男女生各一名的概率是2012=53技巧点拨：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断并解决问题。
（答题时间：20分钟）1. 从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（ ） A.61B.31C.21D.32 2. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）A.161B.163C. 41D.1653. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ）A.83B.21 C. 85D.43**4. （荆门）如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）A.21 B. 31 C. 41D.61**5. 在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，则点P （x ，y ）落在直线y=-x+5上的概率是**6. 有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为_________________。
7. 株州市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”。
根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的。
请回答下列问题：区域频数频率炎陵县 4 a茶陵县 5 0.125攸县 b 0.15醴陵市8 0.2株洲县 5 0.125株洲市城区12 0.25（1）统计表中a= ，b= ；（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）株洲市决定从来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代言人，A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？**8. 毕节市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）。
（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率。
1. C 解析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况， ∴从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是：126=21，故选：C 。
2. C 解析：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况， ∴两次摸出的小球的标号相同的概率是：164=41故选C 。
3. C 解析：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况， ∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：1610=85，故选：C 。
4. A 解析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：126=21故选A 。
5.41解析：列表得： 1 2 3 4 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）∵共有16种等可能的结果，数字x 、y 满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴数字x 、y 满足y=x+5的概率为：41。