第六章概率详解

初中数学 第六章 概率 编稿老师 董志臣 一校

杨雪

二校

黄楠

审核

郑建彬

用树状图或表格求概率

一、考点突破

1. 理解每次实验的所有可能性（即概率）相同，和前次实验结果无关。

2. 会运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。

3. 经历实验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

二、重难点提示

重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。 难点：树状图和列表法的运用方法。

一、概率

1. 概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率

m

n

会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

2. 事件和概率的表示方法：事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=p 。

二、概率的求法

1. 列表法求概率：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 【方法指导】

列表法的应用场合：当一次实验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

2. 树状图法求概率：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 【方法指导】

运用树状图法求概率的条件：当一次实验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

例题1 （张家界）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2，1，4,随机摸出一个小球（不放回），其数字为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的概率是（ ）

A.

4

1

B. 31

C. 21

D. 32

思路分析：列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根

的情况数，即可得出所求的概率。

答案： -2 1

4

-2 --- （1，-2） （4，-2）

1 （-2，1）

---

（4，1） 4

（-2，4） （1，4）

---

所有等可能的情况有6种，其中满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根，即满足p 2-4q≥0的情况有4种，则P=

64=3

2

，故选：D 。 技巧点拨：此题考查了列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。

例题2 （黄岩区二模）已知函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，可得函数图象上的6个点，在这6个点中随机抽取两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）

A.

15

2 B. 5

3 C. 154

D. 31

思路分析：由函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，可得函数图象上的6个点分别为：

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），（6，-1），即可得在这6个点中

随机抽取两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），共有6×

5=30种等可能的结果，则P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案。

答案：解：∵函数y=-x+5，令x=1，2，3，4，5，6，∴函数图象上的6个点分别为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），（6，-1），

∵在这6个点中随机抽取两个点，共有6×

5=30种等可能的结果：

其中P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的有4种情况， ∴P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是：

304＝15

2故选A 。 技巧点拨：本题考查了概率公式的应用以及一次函数、反比例函数的性质，注意画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。

例题3 （鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛，现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：

根据上面提供的信息回答下列问题：

（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D 部分的扇形圆心角n= ；

（2）现学校决定从两班所有A 等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛，求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）。

思路分析：（1）利用总人数30减去其他各组的人数就是x 的值；根据中位数的定义求得中位数的值；利用360°×等级D 对应的比例就可求得圆心角的度数；

（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率。

答案：解：（1）x=30-15-10-3=2；中位数落在等级B 中；等级D 部分的扇形圆心角 n=360°×30%=36°；故答案是：2，B ，36°；

（2）乙班A 等级的人数是：30×10%=3，

则甲班的二个人用甲1、甲2表示，乙班的三个人用乙1、乙2、乙3表示：

共有20种情况，其中两名学生恰好来自同一班级有8种情况。则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是：

208=5

2。 技巧点拨：考查了频数（率）分布表，本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可。

概率的综合应用

概率通常与其他统计知识相结合考查，同学们要熟悉如频率、中位数、优秀率等知识，同时要具备识图、读图能力。

【针对训练】（黔东南州）黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下所示的女生频数分布表和男生频数分布直方图：

根据图表解答下列问题：

（1）在女生的频数分布表中，m= ，n= ； （2）此次调查共抽取了多少名学生？

（3）此次抽样中，学习时间的中位数在哪个时间段？

（4）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

思路分析：（1）根据第一段中有4人，占20%，即可求得女生的总人数，然后根据频率的计算公式求得m 、n 的值；

（2）把直方图中各组的人数相加就是男生的总人数，然后加上女生总人数即可； （3）求得每段中男女生的总数，然后根据中位数的定义即可判断； （4）利用列举法即可求解。

答案：解：（1）女生的总数是：4÷20%=20（人），则m=20×15%=3（人），n=20

6

=0.3；

（2）男生的总人数是：6+5+12+4+3=30（人），则此次调查的总人数是：30+20=50（人）； （3）在第一阶段的人数是：4+6=10（人），第二阶段的人数是：3+5=8（人），第三阶段的人数是：5+12=17（人），则中位数所在的时间段是：60≤t ＜90；

（4）如图所示：