大学数学竞赛课件.ppt

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恒有 f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x ( x). 其中 lim ( x) 0,f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y f ( x)在点
7
例2
设 y 1 arctan
1
x2
1 ln
1 x2 1 ,求 y.
2
4 1 x2 1
解设 u 1 x2 ,
则 y 1 arctan u 1 ln u 1 ,
2
4 u1
yuBiblioteka Baidu
2(1
1
u2 )
1( 4u
1
1
1 u
) 1
1
1 u
4
1 2x2
x4
,
ux ( 1 x2 )
x ,
1 x2
4
例2 设函数 x2, x 1
f (x) ax b, x 1
试确定a、b的值，使f(x)在点x=1处可导。
解 ∵可导一定连续，∴f(x)在x=1处也是连续的。由
f (1 0) lim f ( x) lim x2 1
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim(ax b) a b.
x1
x1
要使f(x)在点x=1处连续，必须有 a+b=1.
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5
a+b=1. 又
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
lim
x 1
x2 1
x1
lim( x 1)
x1
2
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 a( x 1)
6 解曲线的参数方程为
x (1 cos )cos cos cos2 ,
y (1 cos )sin sin sin cos .
因此
dy
dy dx
6
d
dx
6
cos cos2 sin2 sin 2cos sin
6
1.
d
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x
sin x
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10
四、求切线方程和法线方程
例 1 已知两曲线 y f ( x)与 y arctan x et2dt 在点(0,0) 0
处的切线相同，写出此切线方程，并求lim nf ( 2 ).
n
n
解由已知条件可知
f (0) 0,
f (0)
e (arctan x ) 2 1 x2
x0 1.
故所求切线方程为 y x.
2
lim nf ( ) lim 2
n
n n
f (2) n 2
f (0)
2 f (0) 2
n 湘潭大学数学与计算科学学院王文强上一页下一页
11
例 2 已知曲线的极坐标方程r 1 cos ,求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。
2.1 导数与微分
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1
一、用导数定义求导数
例1 设 f ( x) x( x 1)( x 2) ( x 100),求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x x0
t 0
2t t
t0 2 sgn(t )
0.
故 dy dx
t0
0.
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9
例4 设y x(sin x)cos x ,求 y.
解 y y(ln y)
y(ln x cos x ln sin x)
x(sin x)cosx ( 1 sin x ln sin x cos2 x)
100!
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2
二、分段函数在分段点处的可导性
例1 设 f ( x) x x( x 2) ,求 f ( x).
解先去掉绝对值
x2 ( x 2), x 0
f ( x) x2 ( x 2),0 x 2,
x
2
(
x
2),
x
2
当x 0时, f(0) f(0) 0, f (0) 0;
当x 2或x 0时, f ( x) 3x2 4x;
当0 x 2时, f ( x) 3x2 4x;
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3
当x 2时,
f ( 2)
lim
x2
f ( x) f (2) x2
lim x2 ( x 2) 4. x2 x 2
f ( 2)
lim
x2
f ( x) f (2) x2
x2 ( x 2)
lim
4.
x2 x 2
f(2) f(2), f ( x)在x 2处不可导.
3x2 4x, x 2,或x 0 f ( x) 0, x 0,
3 x2 4 x,0 x 2,
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yx
(2x
1 x3)
. 1 x2
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8
例3
设
x y
2t 5t
t 2 4t
t
,求
dy dx
t0 .
解分析: 当t 0时, t 导数不存在,
当t 0时, dx , dy 不存在, dt dt
不能用公式求导.
lim y lim 5(t)2 4t t lim t[5 4sgn(t)]
lim
lim
a
x1 x 1
x1 x 1
要使f(x)在点x=1处可导，必须 f(1) f(1). 即 a=2.
故当a=2, b=-1时, f(x)在点x=1处可导.
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6
三、运用各种运算法则求导数或微分 (要求非常熟练地运用)
例1 设f(x)可微，y f (ln x) e f ( x), 求dy.
12
故切线方程
y 1 3 1 ( x 3 3).
24
24
即
x y 3 3 5 0.
44
法线方程
y 1 3 ( x 3 3),
24
24
即
x y 1 3 1 0.
44
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13
例 3 设 f(x)为周期是 5 的连续函数，在 x=0 邻域内，
解 dy f (ln x)de f ( x) e f ( x)df (ln x)
f ( x)e f ( x) f (ln x)dx 1 f (ln x)e f ( x)dx x
e f ( x)[ f ( x) f (ln x) 1 f (ln x)]dx x
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