数轴上的基本公式
数轴的动点问题公式
数轴的动点问题公式
数轴的动点问题是指一个点在数轴上按一定规律运动的问题。
为了描述这个运动过程，我们可以使用公式来表示动点的位置。
假设数轴上的起点为0，动点在某个时刻的位置为x。
动点按照某个速度v向左或向右运动，那么在经过t单位时间后，动
点的位置可以用下面的公式表示：
x=x0+vt
其中，x0表示初始位置，v表示速度，t表示时间。
如果速
度为正，表示向右移动；如果速度为负，表示向左移动。
如果动点在数轴上做匀速直线运动，那么速度v是常数，这
时可以将公式简化为：
x=x0+vt
如果动点在数轴上做加速或减速运动，速度v是变化的，那
么我们需要根据具体的问题来确定速度v的表达式。
常见的加
速或减速运动可以用以下几种公式表示：
匀加速运动：v=v0+at，其中v0表示初始速度，a表示加
速度。
匀减速运动：v=v0at，其中v0表示初始速度，a表示减速度。
自由落体运动：h=h0+v0t+(1/2)gt^2，其中h0表示初始高度，v0表示初始速度，g表示重力加速度。
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2.1.1数轴上的基本公式教案教师版
§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做 位移向量 ，简称为 向量 ，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的 长度 ，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且 等长 的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的 坐标或数量 ，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一 直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？答：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？答：实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．解: (1)由题意可得，点M(－2)位于点N(3)的左侧， 而P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧． 综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧． 小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．解: (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于B(－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B(a 2＋1)位于A(a)的右侧． (3)当x ≥0时，|x|＝x ， 则A(|x|)和B(x)为同一个点． 当x<0时，|x|>x ，则A(|x|)位于B(x)的右侧．探究点二 数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？答:如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.问题2 什么是向量的坐标或数量？答:我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量．问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？答: 它们之间是一一对应的．问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？答: 在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？答: AC ＝AB ＋BC.问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？答: AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1.问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？答: d(A ，B)＝ |AB|＝|x 1－x 2|.例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.(1)解: ∵AC ＝AB ＋BC ， ∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明 设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB. ∴AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.解:∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ， B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b ， BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b)－(a －b)＝2b.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?解: 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5， 可解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5， 即a －5>5或a －5<－5， ∴a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3， 即－3<a －5<3， ∴2<a<8.小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．解: ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，d(M ，P)＝2或d(M ，P)＝8.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①③④是正确的，故选C.课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式教案新人教B版必修2
数轴上根本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被无视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何根底．教师一定要下些工夫，让学生结实掌握．首先复习数轴，建立数轴上点与实数一一对应关系．然后引入位移向量概念，建立直线上向量与实数一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算概念，这样数轴上根本计算公式，证明起来比拟麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何根本公式推导．也为今后进一步学习坐标几何打下坚实根底．值得注意是本节内容比拟容易承受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴复习，理解实数与数轴上点对应关系，提高学生应用能力．2．理解实数运算在数轴上几何意义．掌握用数轴上两点坐标计算两点距离公式，掌握数轴上向量加法坐标运算，提高学生运算能力，培养数形结合思想．重点难点教学重点：直线坐标系与数轴上两点间距离公式应用．教学难点：理解向量有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课 设计1.在初中，我们学习了数轴上两点间距离公式，今天，我们从向量角度来分析数轴上两点间距离公式，教师点出课题．设计2.从本节开场，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题错误!(2)阅读教材，给出向量有关概念．(3)相等向量坐标相等吗？坐标相等向量相等吗？(4)试讨论AB→＋BC →. (5)对于数轴上任意一个向量，怎样用它起点坐标与终点坐标来计算它坐标．(6)写出数轴上两点间距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位与正方向直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 对应法那么是：在数轴上，点P 与实数x 对应法那么是：如果点P 在原点朝正向一侧，那么x 为正数，且等于点P 到原点距离；如果点P 在原点朝负向一侧，那么x 为负数，其绝对值等于点P 到原点距离．原点表示数0.依据这个法那么我们就在实数集与数轴上点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定点与之对应．假设点P 与实数x 对应，那么称点P 坐标为x ，记作P(x)．(2)如以下图所示．如果数轴上任意一点A 沿着轴正向或负向移动到另一点B ，那么说点在轴上做了一次位移，点不动那么说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 向量，记作AB→AB →起点，点B 叫做向量AB →终点，线段AB 长叫做向量AB→长度，记作|AB →|. 数轴上同向且等长向量叫做相等向量．例如图中AB→＝BC →. 我们可用实数表示数轴上一个向量．例如上图中向量AB→，即从点A 沿x 轴正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点向量，3与－3分别叫做向量AB→与BA →坐标或数量．一般地，轴上向量AB→坐标是一个实数，实数绝对值为线段AB 长度，如果起点指向终点方向与轴同方向，那么这个实数取正数；反之取负数．向量坐标绝对值等于向量长度．起点与终点重合向量是零向量，它没有确定方向，它坐标为0.向量AB→坐标，在本书中用AB 表示． (3)例如在以下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等向量，它们坐标相等；反之，如果数轴上两个向量坐标相等，那么这两个向量相等．如果把相等所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上向量之间是一一对应．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，那么位移AC →叫做位移AB →与位移BC →与．记作AC→＝AB →＋BC→. 由数轴上向量坐标定义与有理数运算法那么，容易归纳出，对数轴上任意三点A 、B 、C ，都具有关系：AC ＝AB ＋BC.(5)设AB→是数轴上任一个向量，例如以下图 O 是原点，点A 坐标为x 1，点B 坐标为x 2，那么OB ＝OA ＋AB ，或AB ＝OB －OA.依轴上点坐标定义，OB ＝x 2，OA ＝x 1，所以AB ＝x 2－x 1.(6)用d(A ，B)表示A 、B 两点距离，根据这个公式可以得到，数轴上两点A 、B 距离公式是d(A ，B)＝|x 2－x 1|.应用例如思路1例1点A(1)，B(3)，求AD ＋DB 与|AB|(D 是数轴上任一点)．解：AD ＋DB ＝AB ＝3－1＝2.|AB|＝|2|＝2.变式训练A 、B 是数轴上两点，B(－1)，且|AB|＝2，那么点A 坐标是______．答案：1或－3思路2例2设A 、B 、C 、D 是同一直线上四个不同点，求证AB·CD＋BC·AD＋CA －BD ＝0.证明：设A(a)，B(b)，C(c)，D(d)．AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝(b －a)(d －c)＋(c －b)(d －a)＋(a －c)(d －b)＝bd －bc －ad ＋ac ＋cd －ac －bd ＋ab ＋ad －ab －cd ＋bc＝0.那么AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝0.变式训练设线段AB 中点为M ，点P 为直线AB 上任意一点．求证：PA ＋PB ＝2PM.证明：设A(a)，B(b)，P(x)，那么M(a ＋b 2)，PA ＋PB ＝a －x ＋b －x ＝2(a ＋b 2－x)＝2PM ，即PA ＋PB ＝2PM. 知能训练1．关于位移向量说法正确是( )A ．数轴上任意一个点坐标有正负与大小，它是一个位移向量B ．两个相等向量起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上唯一一个位移向量D.AB→大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差绝对值 答案：B2．化简AB→－AC →－BC →等于( ) A ．2BC→ B ．零位移 C ．－2BC → D ．2AC→ 解析：AB→－AC →－BC →＝(AC →＋CB →)－AC →－BC →＝－2BC →. 答案：C3．假设A(x)，B(x 2)(其中x∈R )，|AB|最小值为( )A.12 B ．0 C.14 D ．－14解析：|AB|＝|x 2－x|＝|(x －12)2－14|≥0，当x ＝0时取等号． 答案：B4．数轴上到A(1)，B(2)两点距离之与等于1点集合为( )A ．{0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{x|1≤x≤2}解析：画出数轴可知，满足条件点在线段AB 上．答案：D拓展提升对x∈R总有|x－1|＋|x－2|≥m恒成立，求实数m取值范围．分析：对|x－1|与|x－2|赋予几何意义，利用数形结合解决．解：设A(1)，B(2)，P(x)，那么|x－1|＋|x－2|＝|PA|＋|PB|.如以下图所示：那么|PA|＋|PB|≥|AB|＝1，那么m≤1，即实数m取值范围是[1，＋∞)．课堂小结本节课学习了：1．直线坐标系及其两点间距离公式；2．直线坐标系中向量及其坐标．作业本节练习A 5题，练习B 3,4题.设计感想本节教学设计首先通过对数轴温故知新，学习一维坐标系，沟通实数及其运算与数轴上点及两点间相对位置之间关系．创立直线坐标系中根本计算公式．按本节教学设计讲解效果很好．备课资料备选习题1．以下说法中正确是( )A．零向量有确定方向B．数轴上等长向量叫做相等向量C ．AB ＝－BAD ．|AB|＝BA 答案：C2．1在数轴上对应点是A ，在数轴上把A 向左平移4个单位长度得到点B ，再向右平移3个单位长度，所得点C 对应数是什么？向量AB→与向量BC →坐标分别是什么？向量AC →坐标为多少？ 答案：C 对应数是0，向量AB→与向量BC →坐标分别是－4、3，向量AC→坐标为－1. 3．数轴上A 、B 两点坐标为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，分别求AB 、BA 、d(A ，B)、d(B ，A)．解：AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.BA ＝－AB ＝2b. d(A ，B)＝|x 2－x 1|＝|－2b|＝2|b|，d(B ，A)＝d(A ，B)＝2|b|.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
2.1.1数轴上的基本公式
3向量的表示方法(一）：
A
B
3 2 1 0 1 2 3 4 x
从点A到点B的向量，记作AB
(1)点A叫做向量AB的 起点. (2)点B叫做向量AB的 终点.
(3)线段AB的长度叫做向量AB的 长度.
记作| AB |
4特殊的向量：
单位向量：长度为1的向量.
零向量：长度为0的向量,它没有确定的方向. (或起点和终点重合的向量.)
记作：AC AB BC
AC AB BC
若：AB 3,BC 4
AC AB BC 7
(1)OB OA AB
AB OB OA
(2)AB BC CD DE __A_E_____
(3)AB BC CD DA 0
O
A
3 2 1 0 1 2 3 4 x
AB x2 x1 向量坐标公式
d(A,B) | AB || BA || x2 x1 | 两点距离公式
8练习：
(1)已知A(2)，且的d(A,M) 3求M点的坐标？
M(1)或M（5）
（2）已知| AB | 5，| BC| 3求 | AC | __2_或__8__
(3)A(x1), B(x2)求AB中点M的坐标.
3
(2) | 2x 1| 6
{x |
5 2
x
7} 2
解方程：
（1）| x 3 | | x 1| 5 （2）| x 3 | | x 1| 4 （3）| x 3 | | x 1(1) | 5 （4）| x 3 | | x 1| 4
思考
| AB || BA | 2 | AC || CA | 4
高中数学人教B版二学案：第二单元 2.1.1 数轴上的基本公式 含答案
2．1.1数轴上的基本公式学习目标 1.理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义.2.掌握数轴上两点间的距离公式。
3。
掌握数轴上向量加法的坐标运算．知识点一数轴(或直线坐标系）思考1数轴是怎样定义的？思考2实数集与数轴上的点有怎样的关系？梳理数轴的概念(1)数轴（直线坐标系)的定义:一条给出了________、________________和____________的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了________________．(2）数轴上的点P与实数x的对应法则依据这个法则,实数集和数轴上的点之间建立了________________关系．（3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P（x）．知识点二数轴上的向量及有关概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？思考2一名同学从A地直接跑到B地，用AB，→表示，你能用这种方法表示该同学从B地返回到A地吗？它们相等吗？思考3相等的向量的起点与终点相等吗？学必求其心得，业必贵于专精梳理数轴上的向量及有关概念（1）向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的________________移动到另一点B，则说点在轴上作了一次________，点不动则说点作了________,位移是一个既有________又有________的量，通常叫做________________，简称为________．（2)向量的描述（3)相等的向量________________________的向量叫做相等的向量．知识点三数轴上的基本公式向量坐标运算法则对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系________向量坐标表示及距离公式已知数轴上两点A(x1），B(x2),则AB＝________，d（A，B）＝__________________类型一数轴上的点与实数的对应关系例1(1)如果点P（x)位于点M(－2),点N（3）之间，求x的取值范围；(2）试确定点A(x2＋x＋1)与点B错误!的位置关系．反思与感悟根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧）．(1）A(－1.5)，B（－3）；(2)A(a）,B(a2＋1)；（3）A（|x｜），B（x)．类型二数轴上的向量和基本公式例2已知数轴上有A、B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.（1)求OA,AB的坐标；（2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．反思与感悟数轴上的向量的计算策略(1）熟练掌握一些条件变换，如－MQ＝QM。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
数轴上两点距离公式(绝对值几何意义),中点公式
数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式掌握数轴的基本概念后，已知数轴上两点的具体数值时，我们可以利用数轴算出两点间距离，以及中点表示的数值。
但是如果给的是字母（大小关系不确定），那么就需要严格按照定义或公式来描述。
(一)数轴上两点之间的距离公式在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| （差的绝对值）在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。
反过来看，这就是绝对值的几何意义(|a-b|代表点A与点B的距离，|a|代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。
例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。
根据距离公式，两点距离AB = |5+x-(5-x)| = |2x| = 15所以|x|=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。
(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)例题2：解方程|x|=15根据|x|的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。
所以方程的解是x=15或x=-15。
例题3：解方程|x-3|=15根据|x-3|的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。
所以方程的解是x=18或x=-12。
(二)数轴上两点的中点公式中点表示的数值：(a+b)/2简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。
则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。
即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。
所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。
我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。
课件5：2.1.1 数轴上的基本公式
题型一 数轴上点的坐标 例 1 数轴上 A、B、C 三点分别表示－5.2、－2.5、3.5， 此三点距原点的距离分别为 a、b、c，求出 a，b，c 的值， 并比较它们的大小，说明其几何意义，反过来，如果数轴 上的点 P、Q、R 到原点的距离分别为上述所求的值 a、b、 c，问点 P、Q、R 所对应的坐标是否为 P(－5.2)、Q(－2.5)、 R(3.5)呢？
作向量A→B的坐标或数量，向量A→B的坐标用 AB 表示．
(5)起点和终点重合的向量是 零向量 ，它没有确定的方向， 它的坐标为 0 ，其长度为零． (6)位移的和：在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着 由点 B 再作一次位移到点 C，则位移A→C叫做位移A→B与位移B→C 的和，记作A→C＝A→B＋B→C.由于向量可用数量表示，因此，位 移的和可简单地由数量和表示．
称 点P的坐标为x ，记作 P(x)．
2．向量 (1)定义：如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移 动到另一点 B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点 作了 零位移 ，位移是一个既有 大小 又有 方向 的量， 通常叫做 位移向量 ，本书简称 向量 ．
(2)向量的长度：从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，点 A 叫做向 量A→B的 起点 ，点 B 叫做向量A→B的 终点 ，线段 AB 的长叫 做向量A→B的 长度 ，记作|A→B|. (3)相等向量：数轴上 同向 且 等长 的向量叫做相等向量． (4)向量的坐标：在数轴上向量A→B的长度连同表示方向的符号称
2.1.1 数轴上的基本公式
自学导引 1．数轴上点的坐标
(1)定义：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线叫 做数轴，或者说在这条直线上建立了 直线坐标系 ．
数轴与坐标系的基本公式
数轴与坐标系的基本公式一、数轴数轴是用于表示实数的一条直线。
数轴上的每个点都与一个实数对应，可以用来表示有向距离和大小关系。
数轴上的基本公式如下：1.数轴上的点P与实数a的对应关系可以表示为：P(a)。
2.数轴上的点P与点Q之间的距离等于它们所对应的实数的差的绝对值，即：，P(a)-Q(b)，=，a-b。
3.数轴上两点P(a)与Q(b)之间的有向距离可以表示为：P(a)-Q(b)=a-b。
二、坐标系坐标系是用于表示平面上点的工具，包括直角坐标系和极坐标系。
1.直角坐标系直角坐标系由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成。
点在直角坐标系中的位置可以通过两个数值（横坐标x和纵坐标y）来确定。
直角坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(x,y)的横坐标x表示点P在x轴上的投影，纵坐标y表示点P在y轴上的投影。
2.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
3.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的有向距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2.极坐标系极坐标系以一个原点和一个极轴为基础，通过极径和极角来确定平面上的点。
极坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(r,θ)的极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示从极轴到线段OP的角度。
2. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
3. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的有向距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
三、示例应用1.数轴：假设数轴上有两个点P(3)和Q(7)，它们之间的距离是，3-7，=4、点P到点Q的有向距离是3-7=-42.直角坐标系：假设直角坐标系上有两个点P(2,3)和Q(-1,4)，它们之间的欧几里得距离是d(P,Q)=√[(2-(-1))²+(3-4)²]=√[9+1]=√10。
1数轴上的基本公式、平面直角坐标系中的基本公式
初步培养学生用坐标法解决问题，体会事物之间的内在联系，能运用代数方法解决几何问题，在学习过程中充分体会数形结合思想
重
点
分
析
数轴上的基本公式、平面直角坐标系中的基本公式
难
点
分
析
数轴上的基本公式、平面直角坐标系中的基本公式的应用学法教具三角板投影仪板书
设
计
2。1数轴上的基本公式、平面直角坐标系中的基本公式
6、零向量：起点和终点重合的向量，它没有确定的方向，它的坐标为0。
7、数轴上任意三点A、B、C都具有关系：
8、数轴上向量的坐标公式：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 则：
9、用 表示A，B两点的距离，则数轴上A，B两点间的距离公式：
10、数轴上两点 ，线段AB中点M的坐标为
11、平面内任意两点 ， 间的距离公式：
（1）当 不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时
教学过程与内容
师生活动
从点 ， 分别作x轴、y轴的垂线 ，垂足分别为
，其中直线 相交于点 ：
由勾股定理：得 ， 两点间的距离公式：
（2）当 平行于坐标轴，或在坐标轴上时，公式仍然成立
可分步计算：（1）给两点的坐标赋值:
(2)计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
4、直线 上的两点 的横坐标分别是１，５，则 为
5、在 轴上，已知 ，则 ______________
6、在数轴上，已知 ______________
7、已知正三角形的边长为a，在平面上求一点P，使 最小，并求此最小值答案： 最小值为：
反馈练习
《红对勾》
教学后记
课题
2。1数轴上的基本公式、平面直角坐标系中的基本公式
人教版高中数学必修二第7讲：平面直角坐标系的基本公式(教师版)
人教版高中数学 平面直角坐标系的基本公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式； 两点间距离公式的推导； 会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作P (x )．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量． 从点A 到点B 的向量，记作 ，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点，线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．．．．．.． 3．在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC →称作位移AB →与位移BC →的和．，记作AC →＝AB →＋BC →. 在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC.4设AB →是数轴上的任一个向量，O 为原点，点A (x 1)、B (x 2)，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，A 、B 两点的距离d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1| . 二、平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离d (P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P (x 2，y 2)的中点P (x ，y )，则x= ,y=如果P 为P 1P 2的中点，则称P 1与P 2关于P 对称．点A (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为(2a －x 0, 2b －y 0).类型一 数轴例1：(1)若点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间，求x 的取值范围； (2)试确定点A (a )、B (b )的位置关系．解析：数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．答案：(1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间， ∴－2<x <3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a 、b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合． 练习1：下列各组点中，点M 位于点N 左侧的是( )A ．M (－2)、N (－3)B ．M (2)、N (－3)C ．M (0)、N (6)D ．M (0)、N (－6)答案：点M (0)在点N (6)的左侧，故选C.练习2：下列各组点中M 位于N 右侧的是（ ）A ．M (-4)、N (－3)B ．M (0)、N (6)C ．M (3)、N (6)D ．M (-4)、N (－6) 答案：D例2：已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求向量OA →、AB →的坐标．解析：由向量定义求解即可．答案：∵点A 与原点O 的距离为3，∴点A 的坐标为3或－3. 当点A 的坐标为3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为2或4.此时OA →的坐标为3，AB →的坐标为－1或1. 当点A 的坐标为－3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为－4或－2.此时OA →的坐标为－3，AB →的坐标为－1或1. 练习1：已知数轴上的三点A (－1)、B (5)、C (x )．(1)当|AB |＋d (B ，C )＝8时，求x ； (2)当AB ＋CB ＝0时，求x ；(3)当AB →＝BC →时，求x .答案：(1)由题意可知，|AB |＝|5－(－1)|＝6，d (B ，C )＝|x －5|.当|AB |＋d (B ，C )＝8时，有6＋|x －5|＝8，解得x ＝3或x ＝7.(2)由AB ＋CB ＝0可知，5－(－1)＋5－x ＝0，解得x ＝11.(3)由AB →＝BC →可知AB ＝BC ，故5－(－1)＝x －5， 所以x －5＝6，解得x ＝11.练习2：数轴上任意三点A 、B 、C 的坐标分别为a 、b 、c ，那么有下列关系：①AB ＋AC ＝BC ；②AB →＝AC →＋CB →；③|AB |＝|AC |＋|CB |；④BC ＝b －c ；⑤A 、C 两点的中点坐标为c －a2.其中正确的有________．(填序号)答案：② AB 、AC 、BC 的关系为AB ＋BC ＝AC ，故①错误；根据向量的和可知AB →＝AC →＋CB →，故②正确；因为A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB |、|AC |、|CB |的关系有三种情况，而|AB |＝|AC |＋|CB |是其中一种情况，故③错误；向量BC →的坐标是终点C 的坐标c 减去起点B 的坐标b ，即BC ＝c －b ，故④错误；A 、C 两点的中点坐标为a ＋c2，故⑤错误．类型二 中点坐标公式例3：平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A (2,3)、B (4,0)、D (5,3)，求顶点C 的坐标． 解析：运用中点坐标公式先求出▱ABCD 两对角线交点M 的坐标，再求顶点C 的坐标．答案：设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92b ＝32.又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧92＝2＋x232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)．练习1：已知点A 关于点B (2,1)的对称点为C (－4,3)，C 关于D 的对称点为E (－6，－3)，求A 、D的坐标及AD 中点坐标．答案：设A (x 1，y 1)，∵A 、C 中点是B ，∴x 1－42＝2，y 1＋32＝1，∴x 1＝8，y 1＝－1，即A (8，－1)． 设D (x 2，y 2)，∵D 是C 、E 中点，∴x 2＝－4－62＝－5，y 2＝3－32＝0.即D (－5,0)．∴A 、D 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－52，－1＋02，即⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.练习2：设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210答案：设A (a,0)、B (0，b )．由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋02－1＝0＋b2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2.即A (4,0)、B (0，－2)， ∴|AB |＝－2＋－2－2＝25，故选C.类型三 两点间距离公式例4：已知A (3，－4)与B (a,3)两点间距离为72，求a 的值．解析：用两点间距离公式即可. 答案：∵d (A ，B )＝72，∴(a －3)2＋(3＋4)2＝(72)2， ∴a ＝10或a ＝－4.练习1：求下列两点间的距离：(1)A (2,5)、B (3，－4)；(2)A (2－1，3＋2)、B (2＋1，3－2)； 答案：(1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝12＋－2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2， Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝22＋－222＝2 3.练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 答案：A3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4．点P (2，－1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4) 答案：B5．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B6.数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.答案： －2或－57.已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________．答案： (0，＋∞)8. 已知三角形的三个顶点A (2,1)、B (－2,3)、C (0，－1)，则BC 边上中线的长为__________．答案：39. 已知A (6,1)、B (0，－7)、C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．答案：(1)|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3).10．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．答案： (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3. (2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3， |AB |＝|(－5)－(－2)|＝3._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C2．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定 答案：D3．已知两点A (a ，b )、B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确 答案：D4．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)、B (3，y )，则x ＋y 等于( )A ．5B ．－1C ．1D ．－5 答案：D5．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________．答案：(2,10)或(－10,10)能力提升6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：B7. 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( )A ．0B ．－23C.23D.19 答案：C8. 已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|P A |＝|PB |的点P 坐标为( )A.b －a 2B.a －b 2C.a ＋b 2 D ．b －a答案：C9. 设A (3,4)，在x 轴上有一点P (x,0)，使得|P A |＝5，则x 等于( )A ．0B ．6C ．0或6D ．0或－6 答案：C10. 已知菱形的三个顶点分别为(a ，b )、(－b ，a )、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A ．(2a ，b )B ．(a －b ，a ＋b )C ．(a ＋b ，b －a )D ．(a －b ，b －a ) 答案：B11. 设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0； ②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ－PN＋MN－MQ＝0；④QM＝MN＋NP＋PQ.其中正确的序号是________．答案：①②③12. 等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．答案：2613. 根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.答案：(1)∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，∴点P(x)表示坐标为－1和3的两点A、B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x＋2|>1，∴x<－3或x>－1，∴点P(x)表示以坐标为－3和－1的两点C、D为端点的两条射线CE、DF，画图如下：14. △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．答案：以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。
学案2：2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1数轴上的基本公式学习目标1. 理解实数与数轴上的点的对应关系．理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．掌握数轴上向量加法的坐标运算．3．理解向量相等及零向量的概念．重点：理解实数运算在数轴上的几何意义难点：掌握数轴上向量加法的坐标运算．课前自主学案复习回顾1．数轴：一条给出了______、___________和________的直线．2．数轴上两点间距离用坐标表示：d ＝__________.新知探究1．基本概念和向量的坐标或数量(1)基本概念①直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了____________．②数轴上的点与实数的对应法则：_______________________________.③记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为_____，记作______．当点P 的坐标P (x )中x ＞0时，点P 位于___________，且点P 与原点O 的距离|OP |＝___，当点P 的坐标P (x )中x ＜0时，点P 位于___________， 且点P 与原点距离为|OP |＝____. ④向量：位移是一个___________________的量，通常叫做___________，本书简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作______.⑤向量的长度：______________叫做向量的长度，记作________. ⑥相等的向量：数轴上______________的向量叫做相等的向量．(2)向量的坐标或数量数量：我们可用______表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的_______或______，用_____表示．例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝________.思考感悟在本节内容中，符号“AB →”与“AB ”所表示的意义分别是什么？2．数轴上两点的距离公式设AB →是数轴上的任意一个向量，点A (x 1)、B (x 2)，则数轴上两点A 、B 的距离公式是 d (A ，B )＝_____________.考点突破考点一 数轴上点的位置表示P (x )表示点P 在x 轴上的位置为x ，x 为任意实数．例1 (1)如果点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A (x 2＋x ＋1)与B (34)的位置关系． 【分析】 (1)根据直线坐标系上点的坐标的特点确定其位置关系；(2)通过比较x 2＋x ＋1与34的大小来确定A ，B 两点的位置关系．【点评】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大． 跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A (－1.5)，B (－3)；(2)A (a )，B (a 2＋1)；(3)A (|x |)，B (x )．考点二 数轴上的向量坐标例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC ＋CB ＝AB .【点评】 (1)本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．(2)本小题意在考查向量的坐标这一知识点，只需牢牢抓住“终点坐标减去起点坐标”一切都将迎刃而解．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA .考点三 数轴上两点间距离设A (x 1)，B (x 2)，则d (A ，B )＝|x 2－x 1|. 例3 已知数轴上两点A (a )，B (5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5?(2)两点间距离大于5?(3)两点间距离小于3?【分析】 由距离公式表示两点间距离，列关于a 的方程或不等式求解．【点评】 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离． 跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝3，求d (M ，P )．课堂小结1．在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移B C →的和．记作AC →＝AB →＋B C →.2．数轴上向量加法的坐标运算法则：对数轴上任意三点A 、B 、C ，都具有关系AC ＝AB ＋BC ，这是解析几何中的基本公式，务必理解．3．数轴上向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式：d (A ，B )＝|AB |＝|x B －x A |.课堂达标检测1．下列各组点中A 点位于B 点右侧的是( )A ．A (－3)和B (－4) B ．A (3)和B (4)C ．A (－3)和B (4)D ．A (－4)和B (－3)2．A 、B 是数轴上两点，B 点的坐标x B ＝－6，且BA ＝－4，那么点A 的坐标为( )A ．－10B ．－2C ．－10或－2D ．103．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2)，则另一个端点B 的坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或7D ．－3或－74．已知点N 的坐标为2，|MN |＝1，则点M 的坐标为________．5．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.6．已知数轴上两点A (a )，B (5)，当a 为何值时，(1)两点间距离为5；(2)两点间距离大于5；(3)两点间距离小于5.7．已知数轴上有点A (－2)、B (1)、D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到E ，使d (C ，E )d (D ，E )＝14，求点E 的坐标．8．在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程：(1)|x ＋3|＋|x －1|＝5；(2)|x ＋3|＋|x －1|＝4；(3)|x ＋3|＋|x －1|＝3.参考答案课前自主学案复习回顾：1.原点 度量单位 正方向 2.|x 1－x 2|新知探究：1.（1）①直角坐标系 ②点P 实数x③x P (x ) 原点右侧 x 原点左侧 －x④既有大小又有方向 位移向量⑤线段AB 的长⑥同向且等长（2）实数 坐标 数量 AB x 2－x 1思考感悟：提示：AB →表示从点A 到点B 的向量，AB 表示向量的坐标或数量．2. |x 2－x 1| 考点突破例1 【解】 (1)由题意可得，点M (－2)位于点N (3)的左侧，而P 点位于两点之间，应满足－2<x <3.(2)∵x 2＋x ＋1－34＝(x ＋12)2， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时， x 2＋x ＋1>34， ∴A 点位于B 点右侧．综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧．跟踪训练1 解：(1)∵－1.5>－3，∴A (－1.5)位于B (－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B (a 2＋1)位于A (a )的右侧．(3)当x ≥0时，|x |＝x ，则A (|x |)和B (x )为同一个点．当x <0时，|x |>x ，则A (|x |)位于B (x )的右侧．例2 【解】 (1)∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB .∴AC ＋CB ＝AB .跟踪训练2 解：∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ，B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b )－(a ＋b )＝－2b ，BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b )－(a －b )＝2b .例3 【解】 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB |＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5，解可得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5，即a －5>5或a －5<－5，∴a >10或a <0.(3)根据题意得|a －5|<3，即－3<a －5<3，∴2<a <8.跟踪训练3 解：∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如下图所示)，d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如下图所示)，d (M ，P )＝|MN |＋|NP |＝5＋3＝8.综上所述，d (M ，P )＝2或d (M ，P )＝8.课堂达标检测1. 【答案】A【解析】点A (－3)位于点B (－4)的右侧．2. 【答案】A【解析】∵BA ＝x A －x B ，∴－4＝x A －(－6)，∴x A＝－10.3. 【答案】C【解析】设B (x )，则|x －2|＝5，∴x ＝7或－3.4. 【答案】1或3【解析】设M 点坐标为x ，∵|MN |＝|2－x |＝1，∴x ＝1或3.5. 【答案】0或－163【解析】由题意，得d (P ，A )＝2d (P ，B )，∴|－8－x |＝2|－4－x |，解得x ＝0或x ＝－163. 6. 【解析】d (A ，B )＝|a －5|，画出数轴可见与B 点距离为5的点有两个，原点O (0)和C (10)． ∴(1)当a ＝0或a ＝10时，|a －5|＝5.(2)当a >10或a <0时，|a －5|>5.(3)当0<a <10时，|a －5|<5.7．解 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12，x ＝－5， 所以C (－5)．因为E 在DC 的延长线上，所以d (C ，E )d (D ，E )＝x ′＋5x ′－3＝14. 所以x ′＝－233，即点E ⎝⎛⎭⎫－233. 8．解 ∵|x ＋3|＋|x －1|表示数轴上的任意点P (x )到A (－3)和点B (1)的距离之和|P A |＋|PB |，∴当P 位于点A 的左边时，|P A |＋|PB |>|AB |＝4；当P 位于点A 和B 之间时(包括点A 和点B )，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，当P 位于点B 的右边时，|P A |＋|PB |>|AB |＝4，∴任意点P (x )都有|P A |＋|PB |≥4.(1)∵|x ＋3|＋|x －1|＝5>4，∴P (x )应该在点A (－3)的左边或点B (1)的右边，容易验证：x ＝－3.5或x ＝1.5.(2)∵|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴点P (x )应该在点A (－3)和点B (1)之间，并且点A 、B 之间的任意点P (x )都满足|x ＋3|＋|x －1|＝4，∴x ∈{x |－3≤x ≤1}．(3)∵任意P (x )都能使|P A |＋|PB |≥4，∴|x ＋3|＋|x －1|＝3<4无解，即x ∈∅.。
2.1.1数轴上的基本公式
坐标为x2，O为原点，则
OB=OA+AB，即AB=OB-OA .根据
数轴上点的坐标的定义有OB=x2，
OA= x1，所以 AB =AB=x2-x1
距离 公式
用d（A，B）表示AB两点的距离，则有
d A, B AB x2 x1 .
已知 AB＝3，CD＝－2，则下列说法不正确的是 ()
A.A→B>C→D B．|AB|>|CD| C．AB＝3 表示数轴上的向量A→B的坐标为 3，CD＝
2．下列说法正确的是( ) A．点 M(x)位于点 N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．向量A→B在数轴上的坐标 AB＝－BA D．数轴是有方向的直线
【解析】 逐个判断可知．
【答案】 C
3．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋ BC＝2 014，则点C的坐标为________．
【解】 (1)因为－2.3>－3.2，所以 A(－3.2)位于 B(－ 2.3)的左侧．
(2)因为 m2＋1－m＝m－212＋43≥34>0， 所以 m2＋1>m，所以 B(m2＋1)位于 A(m)的右侧．
【问题导思】
位移向量：如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动 到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点做了 零位移.位移是一个既有大小又有方向的量，通常称为位移向 量，简称向量.
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科 学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法 国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产 生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形 中,将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研 究对象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为 代数问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解 决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分 的发展，使整个数学学科有了重大进步，那次解 析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
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坐标法
2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C都有关系AC=AB+BC；
是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为x ，点B的坐标为x ， 设 AB 1 2
3．向量的坐标表示： AB=x2－x1；
4．数轴上两点间的距离公式：用d(A，B)表示A、B两点间的距离，则
d(A，B)=|x2－x1|.
数轴上线段中点的坐标公式如何推导？
一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做 数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：
1、数轴上点的坐标
N P(x） M
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
若点P与实数x对应，则称点P的坐标为 x 记作
数轴上的一点M的坐标为3 记作：
二、向量的定义
-3 -2 -1 0 A 1
B
2 3
x
如果数轴上任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一 点，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有 大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量
4．数轴上两点间的距离公式：
用d(A，B)表示A、B两点间的距离， 则 d(A，B) = AB = |x2－x1|.
基本公式 3
小结
• 一、数轴即直线坐标系的定义与数轴上向量的定义
• • 1、数轴上点的坐标 2、数轴上向量的坐标
• 二、数轴上的 基本公式
1．位移的和：AC AB BC
d(A,B)= 8 d(A,C)= 20
d(B,C)= 20 又A,B,C三点不共线， 所以△ABC是等腰三角形
【例3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
坐标为0
相等的向量
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
数轴上同向且等长的向量 叫做相等的向量
相等的向量 坐标相等
4、位移的和 （即向量的和简称和向 量）
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3Βιβλιοθήκη x在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由 点B再作一次位移到点C，则位移AC叫做位移AB与 位移BC的和。
教学目标：
1、了解两点间距离公式和中点 公式的推导过程；熟练掌握两 点间的距离公式、中点公式；
2、灵活运用两点间的距离公式
和中点公式解题； 3、培养学生的数学思维能力。
思考
1、已知平面上两点A (x1,y1)，B (x2,y2)，如何 推导A 、B两点间的距离公式呢?
d ( A, B) AB
运算结果翻译成 几何关系。 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a 2 b2 c 2 ) 2 2 2 2 2 | AC | | BD | 2(a b c ) 第三步:把代数 2 2 2 2 2 2 | AB | | CD | | AD | | BC | | AC | | BD |
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系内A（x1,y1）、B(x2,y2)
1.
平面上A、B两点间的距离
d ( A, B) AB
( x2 x1) ( y2 y1)
2
2
2、设M(x,y)是线段AB的中点，则
x1 x 2 中点坐标公式为 x 2 y1 y 2 y 2
记法 从点A到点B的向量，记作AB 线段AB 的长叫做向量 AB 的长度， 记作 AB
2、数轴上向量的表示方法 -------坐标（数量）
-3
(B) C -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
一般的，我们用实数表示数轴上的一个向量。
例如，向量AB，即从点A沿X轴的正向移动2个单位到达B点，可用正数 2 表示；
向量AC，即从点A沿X轴的负方向移动2个单位到达C点，可用 – 2 表示
向量AB的坐标用AB表示
1. 2.
AB=
2
AC=
-2
AB=
2
AB= - BA
BA= -2
3. 向量的长 度
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
向量坐标的绝对值等于向量的长 度
AB =2 零向量：
AC =2
起点和终点重合的向量叫做零向量 零向量没有确定的方向
2.1.1.数轴上的基本公式
学习目标： 1、理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实 数运算在数轴上的几何意义。 2、理解向量及其相等的概念。 3、掌握数轴上向量的加法的坐标运算及数轴上 两点间的距离公式。 重点：理解和掌握数轴上的基本公式。 难点：建立实数与 数轴上的点或位移的对应关 系
一.直线坐标系 定义
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
y
D (x,y)
M
C(5,2)
A(-3,0)
O
解得
x=0
x B(2,-2)
∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测2〗 1、求线段AB的中点： （1) A（3，4） , B（-3,2） （2) A (-8,-3) , B (5,-3) 2、求P(x,y)关于坐标原点的对称点P’ 的坐标.关于点M（a,b）的对称点呢？ 3、已知 :平行四边形的三个顶点坐 标分别是(- 1,-2),(3,1),(0,2).求: 第四个顶点的坐标？
记作： AC=AB+BC
基本公式1
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
3．向量的坐标表示： 设 AB 是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为x1，点B的
坐标为x2，因为OB=OA+AB 而OB= x2 OA= x1 AB= OB-OA 基本公式 2 则 AB = x2－x1
小结
• • • • • • 1、数轴上点的坐标 2、向量的定义 3、向量的坐标 4、向量的坐标表示AB=xB －xA； 5、数轴上两点间的距离公式 6、平面内两点间的距离公式 7、中点坐标公式
备用：证明平行四边形四条边的平方和和等于两 条对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴 y D (b,c) C (a+b,c) 建立直角坐标系。 第一步:建立坐 则四个顶点坐标分别为 标系，用坐标表 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 示有关的量。 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c 2 | BC |2 b2 c 2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
四、课堂检测1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
1、已知两点A、B的坐标： A(-1), B(1)
求:AB、|AB|
练习： 已知A(-2), B(-5)，求:AB、|AB| 2、下列说法中正确的是（ ） A、零向量有确定的方向； B、数轴上等长的向量叫做相等的向量； C、AB=-BA Ｄ、|AB|=BA
( x2 x1) ( y2 y1)
2
2
2、如何推导平面内线段中点的坐标公式？
x1+ x2 x= 2 y1+ y2 y= 2
典例精析
三.例1. 已知A（2，－4），B（－2，3），求d(A,B).
解：……
d(A,B)
例2. 证明：
65
已知点A（1，2），B（3, 4）， C（5, 0）， 求证△ABC是等腰三角形