2015年福建师大附中自主招生数学试卷
福建省师大附中2014_2015学年高二数学下学期期中试题理
福建师大附中2014-2015学年第二学期半期考试卷高二数学选修2-2(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3． 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根 C.方程02=++b ax x 至多有两个实根 D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 4．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立5．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种6．曲线2xy x =+在点)1,1(--处的切线方程为（ ） A ．32--=x y B ．22--=x y C ．12+=x y D ．12-=x y7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D. 16238．设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示,则()y f x =的图象最有可能是下图中的（ ）A B C D9．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 110．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2211．设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增 ②函数()f x 的最小值为21e-； ③函数()f x 有且只有一个零点 ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（每小题5分，共30分）13．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝____ ____.14．函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 . 15．若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______. 16．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋ n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为____ ____．17．现有4种不同的颜色要对如图所示的5个区域进行着色，要求相邻区域不使用同一种颜色，则有________种不同的着色方法．18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2xy =与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积120112)2(3210πππ===⎰x dx x V据此类比：将曲线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝ .第18题图三、解答题：（本大题共4题，共60分）19．(本小题满分15分) 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：（用数字作答）(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，3名男生必须相邻且4名女生也必须相邻； (4)全体站成一排，3名男生互不相邻； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．20．(本小题满分15分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．21. (本小题满分15分)设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数．22．(本小题满分15分) 设函数322()33()f x x ax b xa b R =-+∈、.（Ⅰ）若1,0a b ==，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1b =时，若函数()f x 在[]-1,1上是增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）若0a b <<，不等式1ln ()()1x kf f x x+>-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．福建师大附中2014-2015学年第二学期半期考试卷（选修2-2）参考答案一、 D A A B D C C C B D D D二、 13. 1i -+ 14. (0,1] 15. (,)e e16. 222(1)(2)k k +++++……（k+1）17.72 18. 8π 三．19. (本小题满分15分)解：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A 57＝2 520种排法． (2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A 77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须相邻，是男生的全排列，有A 33种排法；女生必须相邻，是女生的全排列，有A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A 22种排法，由分步乘法计数原理知， 共有N ＝A 33·A 44·A 22＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A 44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A 35种排法，故N ＝A 44·A 35＝1 440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A 15＝5种排法；再安排其他人，有A 66＝720种排法．所以共有A 15·A 66＝3 600种排法． 20.（15分）解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2， ∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3， ∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1成立．21.(本小题满分15分).2ln )()(∴.)(,0)(0)(∴,0)(.0,-x )(12=+=<'<<>>'>='=ee e ef x f x f x f e x x f e x x f x xex f e m 极小值为单调递减时，同理，当单调递增；得解时，）当（没有零点；时，当有两个零点；时，当有且只有一个零点；时，或当的图像，则所以，大致画出函数的极大值为在区间上递减，解得同理，令在区间上递增，解得令则，令）（)(32)(320)(320≤)(32)1()()(∴,10)()(∴,100)().-1)(1(-1)(,∈,0,3-x )(3-∴,03--x 3-)()(22332x g m x g m x g m m x h h x h x h x x h x h x x h x x x x h R m x x x h x x m x xm x x f x g ><<==><'<<>'+=='>===='=22．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1,0a b ==时，32()3f x x x =- 所以(1)2f =- 即切点为(1,2)P -因为2()36f x x x '=- 所以 (1)363f '=-=- 所以切线方程为23(1)y x +=-- 即31y x =-+（Ⅱ）y=f(x)在 [－1，1]上单调递增，又)12(3363)(22+-=+-='ax x ax x x f方法一：（求函数)(x f '的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意)(x f '在[－1，1]上恒有)(x f '≥0，即.0122≥+-ax x①当1,022)1()(,1min ≤∴≥-='='>=a a f x f a x 时；所以舍去； ②当；1,0121)1()(,1min -≥∴≥++=-'='-<=a a f x f a x 时所以舍去； ③当.11,01)()(,112min ≤≤-≥+-='='≤≤-a a a f x f a 则时 综上所述，参数a 的取值范围是11≤≤-a 。
福建省师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷(实验班)
福建师大附中2015-2016学年第一学期创新班模块考试卷高一数学必修2（实验班））（满分：150分，时间：120分钟） 说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若直线l 的斜率为-l 的倾斜角为（ **** ）． A ．0115 B ．0120 C ．0135 D ．0150 2.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则 ( **** )．A ．以上四个图形都是正确的B ．只有(2)、(4)是正确的C ．只有(4)是错误的D ．只有(1)、(2)是正确的3. ABC ∆的斜二测直观图A B C ∆'''如图所示，则ABC ∆的面积为（ **** ）．A.1B.24.一束光线自点(1,1,1)P -发出，被yOz 平面反射到达点(6,3,3)Q -被吸收，那么光线所走的距离是（ **** ）．A B5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ **** ）． A.030 B. 045 C. 060 D.075 6．下列命题正确的是( **** )．A ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC ．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD ．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α7.已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是（ **** ）． A. 221x y += B. 229x y += C. 2216x y += D. 224x y += 8.若直线1:(21)430l m x y m +-+=与直线2:(5)30l x m y m ++-=平行，则m 的值为（ **** ）． A.912--或 B.92-C. 192- D. 1- 9.直线:l 1y kx =-与曲线C :()22430x y x y +-+=有且仅有2个公共点，则实数k 的取值范围是（ **** ）．A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．14,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭10.已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，0m >，若圆C 上存在点P ，使得090APB ∠=，则m 的最大值为（ **** ）． A.7 B.6 C.5 D.411.过点M （1,3）引圆222x y +=的切线，切点分别为A B 、，则AMB ∆的面积为（ **** ）．A.325B.4C.165D.8512. 若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ **** ）． A ．24 B ．48 C ．72 D ．78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13.一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ***** .14.函数()f x =的最小值为 ***** .15.设点P Q 、分别在直线350x y -+=和3130x y --=上运动，线段PQ 中点为00(,)M x y ，且004x y +>，则y x 的取值范围为 ***** . 16.如右图，三棱锥A BCD -的顶点B CD 、、在平面α内，2CA AB BC CD DB =====,AD =，若将该三棱锥以BC 为轴转动，到点A 落到平面α内为止，则A D 、两点所经过的路程之和是 ***** .17.若直线m 被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是： ①15② 45③60 ④ 105︒ ⑤120︒ ⑥165︒其中正确答案的序号是 ***** .（写出所有正确答案的序号）18.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ***** . 三、解答题：（本大题共５小题，满分60分） 19. (本小题满分12分)如图，已知在ABC ∆中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为(12)，． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点C 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点,M N ，求MON ∆的面积最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分12分)如图(1)，在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，D 是EF 的中点，现沿SE SF 、及EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使123G G G 、、三点重合于点G .证明：（1）G 在平面SEF 上的射影为SEF ∆的垂心；（2）求二面角G SE F --的正弦值.(1)S 321(2)S21. (本小题满分12分)一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m ,拱桥内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示.(1) 建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；(2)近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m 2.45≈)328822. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ABCD⊥底面，AD AB ⊥,//AB DC ,2,AD DC AP ===1AB =.点E 为棱PC 的中点.（1） 证明：//BE ADP 平面；（2）求直线BE 与平面PDB 所成角的正弦值.23. (本小题满分12分)如图，已知线段AB 长度为a （a 为定值），在其上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以AM MB 、为底作正方形AMCD MBEF 、，P 和Q 是这两个正方形的外接圆，它们交于点M N 、．试以A 为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系. (1) 证明：不论点M 如何选取，直线MN 都通过一定点S ； (2) 当1||||3AM AB =时,过A 作Q 的割线，交Q 于G H 、两点，在线段GH 上取一点K ，使112||||||AG AH AK +=,求点K 的轨迹.福建师大附中2015-2016学年第一学期创新班模块考试卷参考答案一、选择题DCBCC DCBCB CD 二、填空题13.3π 14. 15. 16. 13（，） 17. ④或⑥ 18. ①②④ 三、解答题19.解：（Ⅰ）因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在A ∠的角平分线0y =上，所以解方程组210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩得(1,0)A -.……………2分BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，2BC k ∴=-，点C 坐标为(1,2)，所以直线BC 的方程为240x y +-=.……………4分1AC k =- ， 1AB AC k k ∴=-=-，所以直线AB 的方程为10x y ++=，解方程组10240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩ 得(5,6)B -, 故点A 和点B 的坐标分别为(1,0)-，(5,6)-．……………6分（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-<，则2(,0),(0,2)k M N k k--…………8分所以1214(2)(4)22MON k S k k k k ∆-=⋅⋅-=--1[442≥+=，……………10分当且仅当2k =-时取等号，所以min ()4AOB S ∆=，此时直线l 的方程是240x y +-=．……………12分20.证明：（1）设G 在平面SEF 上的射影为点H ，则GH SEF ⊥平面.折前11SG G E ⊥、33SG G F ⊥，∴折后S G G E ⊥、SG GF ⊥，=GE GF G ，SG GEF ∴⊥平面……2分SG GEF SG EF EF GEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，GH SEF GH EF EF SEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，SG GH G = ，EF SGH ∴⊥平面……5分SH SGH ⊂ 平面,EF SH ∴⊥，同理，EH SF ⊥，∴H 为SEF ∆的垂心. ……6分（2）过G 作GO SE ⊥交SE 于点O ，连OH ，则GOH ∠即为所求二面角G SE F --的平面角. ……7分GH SEF GH SE SE SEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面,又 GO SE ⊥，GH GO G = ,SE GHO ∴⊥平面 OH GHO ⊂ 平面，SE OH ∴⊥ ，∴GOH ∠为所求二面角G S E F --的平面角. ……9分设正方形123SG G G 的边长为1，则在Rt SEG ∆中，112SG GE SE ===，，=SG GE GO SE ⋅∴=……10分 又13S EFG G SEF V V GH --=⇒=,sin GOH ∴∠==∴二面角G SE F --的.……12分 21．(1)解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A,B,D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）． 又圆心C 在y 轴上，故可设C(0, b). ………………3分因为|CD|=|CB|，所以8b -12b =-．………………6分 所以圆拱所在圆的方程为:2222(12)(812)20x y ++=+==400………………8分 (2)当x=4时,求得y ≈7.6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m, ………………10分距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m ）以上，船才能顺利通过桥洞．…………………12分 22.证明：（1）取PD 中点F ，连AF EF 、，在PCD ∆中， E F 、分别为PC PD 、中点，1//2EF CD ∴=……2分 由题意1//2AB DC =，//AB EF ∴=,ABEF ∴ 四边形为，//BE AF ∴.……4分 又//,,BE AF BE ADP AF ADP ⊄⊂ 平面平面，//BE ADP ∴平面.……6分 （2）直线BE 与平面PDB 所成角即AF 与平面PDB 所成角 作AG BD ⊥交BD 于G ，连PG ，作AH PG ⊥交PG 于H 点， 则FAH ∠（或其补角）即为AF 与平面PDB 所成角……8分PA ABCD PA BD BD ABCD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面,又=AG BD PA AG A BD PAG ⊥∴⊥ ，，平面 BD PAG PAG PDBBD PDB ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面平面平面，=PAG PDB AH PG AH PDB AH PAG PAG PDB PG ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⎭平面平面平面平面平面平面FAH ∴∠（或其补角）即为AF 与平面PDB 所成角……10分易知AG =,又2,AP =易得3AH =,在等腰Rt PAD中，AF =,sin 3AH AFH AF ∴∠===,∴直线BE 与平面PDB 所成角的正弦值为3.…………12分 23.(1) 证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系. 设(,0)M m ，则:(0,0)A ，(,0)B a ，(,)C m m ，(,)F m a m -，(,)22m m P ，(,)22a m a mQ +-…………1分 易知P 方程为：222222m m m x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即：220x y mx my +--= ①Q方程为：222()222a m a m a m x y +--⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：22()()0x y a m x a m y am +-+--+= ②…….3分①-②得，公共弦MN 所在直线方程：(2)0ax a m y am +--=.………….4分 整理得：()(2)0ax ay m y a ++--=，所以MN 恒过定点(,)22aa -. …………….6分 ( 2 ) 当1||||3AM AB =时,(,0)3a M ，22222:()()339a Q x a y a -+-= ，即：2224210333x y a x a y a +--+=.设11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)K x y ，GH 所在直线斜率为k ，则：1||AG x =，2||AH x =，||AK x = 由题意，12112x x x+=，即：12122x x x x x +=………8分 把y kx =代入Q 方程，得：222421(1)()0333k x a ak x a +-++= 由韦达定理得：12242331a ak x x k ++=+，2122131a x x k ⋅=+ ………10分 222424233233111331a ak k k x a a k+++∴==+，将y k x =代入整理，得：20x y a +-= ………11分 所以点K 的轨迹是直线20x y a +-=被Q 所截的一条线段. ………12分。
2015年福州数学卷
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学 试 题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）毕业学校___________________ 姓名____________________ 考生号_________________一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．） 1．a 的相反数是A ．aB ．a1C ．a -D ．a2．下列图形中，由21∠=∠能得到AB ∥CD 的是A B CD3．不等式组⎩⎨⎧-21x x 的解集在数轴上表示正确的是A B C D4．计算77107.3108.3⨯-⨯，结果用科学记数法表示为 A ．7101.0⨯ B ．6101.0⨯ C ．7101⨯D ．6101⨯ 5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A ．扇形图B ．条形图C ．折线图D ．直方图 6．计算1-⋅a a 的结果为 A ．1- B ．0C ．1D ．a -7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点D ．D 点8．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为 A ．︒80 B ．︒90 C ．︒100 D ．︒105A B CD21A BC D12 A B C D21A B CD 12∙∙∙∙ABCD第7题≥＜ 友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！9．若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能．．．是 A ．0 B ．2.5 C ．3 D ．5 10．已知一个函数图象经过（1，4-），（2，2-）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是 A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数 二、填空题(共6小题,每题4分，满分24分)11．分解因式92-a 的结果是___________． 12．计算)2)(1(+-x x 的结果是___________． 13．一个反比例函数图象过点A （2-，3-），则这个反比例函数的解析式是_________．14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是________． 15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为cm π2，则正方体的体积为______3cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ．将△ABC 绕点C 逆时针旋转︒60，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是________． 三、解答题(共10小题，满分96分) 17．（7分）计算：)32)(32(30sin )1(2015+-+︒+-． 18．（7分）化简：222222)(b a ab b a b a +-++．19．（8分）如图，21∠=∠，43∠=∠，求证：AD AC =．20．（8分）已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，求m 的值． 21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？ 22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当1=n 时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n 的值是________； （3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．第一次 第二次 红 绿 白1 白2 绿 1 白2 红 1 白2 红 白2 红 白1 第19题AB CD12 3 4 A B CMN第16题 第15题23．（10分）如图，Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AC ，21tan =B ．半径为2的⊙C ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，得到DE ︵． （1）求证：AB 为⊙C 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）定义：长宽比为1:n （n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF 为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则21122=+=BD .由折叠性质可知1==BC BG ，︒=∠=∠90BFE AFE ，则四边形BCEF 为矩形. ∴ BFE A ∠=∠．∴ EF ∥AD ．∴ AB BFBD BG =，即121BF =． ∴ 21=BF ．∴ 1:221:1:==BF BC . ∴ 四边形BCEF 为2矩形． 阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH 相等的线段是__________，HBC ∠tan 的值是______； （2）已知四边形BCEF 为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN 是3矩形；（3）将图②中的3矩形BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“n 矩形”，则n 的值是_______．A BCD E FHG第24题图①第23题E F BCMNPQ第24题图②25．（13分）如图①，在锐角△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，F 为AC 上一点，且A AFE ∠=∠，DM ∥EF 交AC 于点M ． （1）求证：DA DM =；（2）点G 在BE 上，且C BDG ∠=∠，如图②，求证：△DEG ∽△ECF ； （3）在图②中，取CE 上一点H ，使B CFH ∠=∠，若1=BG ，求EH 的长．26．（13分）如图，抛物线x x y 42-=与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线m x y +=与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是_________；（2）若两个三角形面积满足PAQ POQ S S △△31=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①DQ PD +的最大值；②DQ PD ⋅的最大值．2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一 、选择题（每小题3分，共30分）1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．D第25题图①第25题图②ABCDEFMABCD EFMG二、填空题（每小题4分，共24分） 11．)3)(3(-+a a 12．22-+x x 13．xy 6= 14．0 15．22 16．13+ 三、解答题(满分96分) 17．解：原式)34(211-++-= 21=． 18．解：原式2222)(b a abb a +-+=222222b a abab b a +-++=2222b a b a ++=1=． 19．证明：∵43∠=∠，∴ABD ABC ∠=∠． 在△ABC 和△ABD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.21ABD ABC AB AB ，， ∴△ABC ≌△ABD （ASA ）． ∴AD AC =．20．解：∵关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，∴0414)12(2=⨯⨯--=∆m ． ∴412±=-m ． ∴25=m 或23-=m ． 21．解法1：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，依题意得⎩⎨⎧=+=+.520121048y x y x ，AB CD12 3 4解得 ⎩⎨⎧==.2028y x ，答：篮球、排球队各有28支与20支．解法2：设有x 支篮球队，则排球队有)48(x -支， 依题意得 520)48(1210=-+x x ． 解得 28=x ． 20284848=-=-x ．答：篮球、排球队各有28支与20支． 22．解：（1）相同； （2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A ）的结果共有10种， ∴P （A ）651210==． 23．解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，21tan ==BC AC B ， ∴522==AC BC ．∴5)52()5(2222=+=+=BC AC AB ． ∴25525=⨯=⋅=AB BC AC CF ． ∴AB 为⊙C 的切线． （2）360π212r n BC AC S S S CDEABC -⋅=-=扇形△阴影 3602π90525212⨯-⨯⨯= π5-=．24．解：（1）GH ，DG ；12-；（2）证明：∵22=BF ，1=BC ， ∴2622=+=BC BF BE ． 由折叠性质可知1==BC BP ，︒=∠=∠90BNM FNM ，则四边形BCEF 为矩形． ∴F BNM ∠=∠． ∴MN ∥EF ． ∴BFBNBE BP =，即BN BE BF BP ⋅=⋅． ∴2226=BN ． ∴31=BN ．∴1:331:1:==BN BC ． ∴四边形BCMN 是3矩形． （3）6．25．解：（1）证明：∵DM ∥EF ，∴AFE AMD ∠=∠． ∵A AFE ∠=∠， ∴A AMD ∠=∠． ∴DA DM =．（2）证明：∵D ，E 分别为AB ，BC 中点， ∴DE ∥AC ．∴C DEB ∠=∠，A BDE ∠=∠． ∴AFE BDE ∠=∠．∴FEC C GDE BDG ∠+∠=∠+∠． ∵C BDG ∠=∠， ∴FEC EDG ∠=∠．图①ABCD EFMAB CDFM∴△DEG ∽△ECF ． （3）如图③所示∵DEB C BDG ∠=∠=∠，B B ∠=∠， ∴△BDG ∽△BED ． ∴BDBGBE BD =，即BG BE BD ⋅=2． ∵AFE A ∠=∠，CFH B ∠=∠， ∴EFH CFH AFE C ∠=∠-∠-︒=∠180． 又∵CEF FEH ∠=∠， ∴△EFH ∽△ECF ．∴EC EF EF EH =，即EC EH EF ⋅=2． ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ， ∴四边形DEFM 是平行四边形． ∴BD AD DM EF ===． ∵EC BE =， ∴1==BG EH ．解法2：如图④，在DG 上取一点N ，使FH DN =．∵AFE A ∠=∠，CFH ABC ∠=∠，BDG C ∠=∠， ∴BDG C CFH AFE EFH ∠=∠=∠-∠-︒=∠180． ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ， ∴四边形DEFM 是平行四边形． ∴BD AD DM EF ===． ∴△BDN ≌△EFH ．∴EH BN =，EHF BND ∠=∠． ∴FHC BNG ∠=∠．∵C BDG ∠=∠，CFH DBG ∠=∠，图②图③ABCDFGHMAB CDFHMN∴FHC BGD ∠=∠． ∴BGD BNG ∠=∠． ∴BG BN =． ∴1==BG EH ．解法3：如图⑤，取AC 中点P ，连接PD ，PE ，PH ，则PE ∥AB ．∴B PEC ∠=∠． 又B CFH ∠=∠， ∴CFH PEC ∠=∠． 又C C ∠=∠，∴△CEP ∽△CFH ． ∴CHCPCF CE =． ∴△CEF ∽△CPH ． ∴CHP CFE ∠=∠．由（2）可得DGE CFE ∠=∠． ∴DGE CHP ∠=∠． ∴PH ∥DG ．∵D ，P 分别为AB ，AC 的中点， ∴DP ∥GH ，BE BC DP ==21． ∴四边形DGHP 是平行四边形． ∴BE GH DP ==． ∴1==BG EH ．解法4：如图⑥，作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P ，连接PE ，PH ．则HEF HPC ∠=∠，CPE FHC ∠=∠． ∵CFH B ∠=∠，C C ∠=∠， ∴CHF A ∠=∠．图⑤AB CDFG HMP ADFMP∴CPE A ∠=∠． ∴PE ∥AB ． ∵DE ∥AC ，∴四边形ADEP 是平行四边形． ∴AC AP DE 21==． ∴CP DE =．∵CEF GDE ∠=∠，C DEB ∠=∠， ∴CPH GDE ∠=∠． ∴△DEG ≌△PCH ． ∴HC GE =． ∴1==BG EH ．解法5：如图⑦，取AC 中点P ，连接PE ，PH ，则PE ∥AB ． ∴B PEC ∠=∠． 又B CFH ∠=∠， ∴CFH PEC ∠=∠． 又C C ∠=∠， ∴△CEP ∽△CFH ． ∴CHCPCF CE =． ∴△CEF ∽△CPH ． ∴CPH CEF ∠=∠．由（2）可得EDG CEF ∠=∠，DEG C ∠=∠． ∵D ，E 是AB ，AC 的中点， ∴PC AC DE ==21． ∴△DEG ≌△PCH ．图⑦AB CDFG HMP数学试题 第 11 页（共 13 页）∴EG CH =． ∴1==BG EH ． 26．解：（1）2=x ；︒45；（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过点O ，A 作PQ 的垂线，垂足分别是E ，F . 显然当点B 在OA 延长线上时，PAQ POQ S S △△31=①当点B 落在线段OA 上时，如图①．31==AF OE S S PAQPOQ △△． 由△OBE ∽△ABF 得31==AF OE AB OB ． ∴OB AB 3=． ∴OA OB 41=． 由x x y 42-=得点A （4，0）． ∴1=OB ． ∴B （1，0）． ∴01=+m ． ∴1-=m ．②当点B 落在AO 的延长线上时，如图②．同理可得221==OA OB ． ∴B （2-，0）． ∴02=+-m ． ∴2=m ．综上所述，当1-=m 或2时，PAQ PO Q S S △△31=． （3）① 过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ，如图③．图②图①数学试题 第 12 页（共 13 页）可得△CHQ 是等腰三角形． ∵︒=︒+︒=∠904545CDQ ， ∴AD ⊥PH ． ∴DH DQ =． ∴PH DQ PD =+． 过点P 作PM ⊥CH 于点M ． 则△PMH 是等腰直角三角形． ∴PM PH 2=．∴当PM 最大时，PH 最大．∵当点P 在抛物线顶点处时PM 取最大值，此时6=PM ． ∴PH 的最大值为26． 即DQ PD +的最大值为26．解法2：如图④过点P 作PE ⊥x 轴，交AC 于点E ，作PF ⊥CQ 于点F ，则△PDE ，△CDQ ，△PFQ 是等腰直角三角形．设点P （x ，x x 42-），则E （x ，4+-x ），F （2，x x 42-）． ∴432++-=x x PE ，x FQ PF -==2． ∴点Q （2，252+-x x ）． ∴x x CQ 52+-=． ∴)(22CQ PE DQ PD +=+ )482(222++-=x x 26)2(22+--=x ．(0＜x ＜4)∴当2=x 时，DQ PD +的最大值为26．图④数学试题 第 13 页（共 13 页）② 由①可知：DQ PD +≤26． 设a PD =，则DQ ≤a -26．∴DQ PD ⋅≤18)23(26)26(22+--=+-=-a a a a a ． ∵当点P 在抛物线的顶点时，23=a ， ∴DQ PD ⋅≤18．∴DQ PD ⋅的最大值为18．附加说明：（对a 的取值范围的说明）设P 点坐标（n ，n n 42-），延长PM 交AC 于N ． PN a PD 22==)]4(4[222n n n ---=)43(222---=n n 2825)23(222+--=n ． ∵22-＜0，0＜n ＜4， ∴当23=n 时，有最大值为2825．∴0＜a ≤2825．备用图 第26题图。
福建省师大附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷
福建师大附中20-2015学年第学期模块考试卷 高一数学必修（满分：150分，时间：120分钟） 说明：试卷分第卷和第卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷. 第卷共100分 一、选择题本大题有小题，每小题分，共分.每小题四个选项，．1．400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本； ②某校高一年级有12名女排运动员，要求从中选出3人调查学习负担情况. 完成上述两项调查应采取的抽样方法是 A．①用系统抽样，②用分层抽样 B．①用简单随机抽样，②用系统抽样 C．①用分层抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层抽样，②用系统抽样 2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.3么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是 A0.66 B．0.64 C．0.36 D．0.04 3．某学校五四青年节举办十佳歌手赛右图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为 A83，1.6 B84, 0.4 C．85, 1.6 D．86, 1.5 4．，那么角是 Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第一或第四象限角Ｄ．第三或第四象限角 5．．．．．．（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据： 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为 A．．．．．函数图象的一个对称中心是 A． B． C． D． 8．．．．．，则值为 A． B．．．．在平面直角坐标系xOy中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于4的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率为 B．．．、．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是．，且，则的值为 . 13．的终边经过点，则 . 14． . 三、组号分组频数频率第1组 5 0.050 第2组0.350 第3组30 第4组20 0.200 第5组10 0.100 合计 100 1.00 1．本小题满分1分）某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示. （Ⅰ）求频率分布表中的值，完成答题纸上频率分布直方图； （Ⅱ）100名学生笔试成绩．（本小题1分）（Ⅰ）（Ⅱ）第卷共50分一、选择题本大题有题，每小题，共.在每小题四个选项，．17．，，的部分图象（如图），则 A．为的图像，为的图像，为的图像 B．为的图像，为的图像，为的图像 C．为的图像，为的图像，为的图像 D．为的图像，为的图像，为的图像 18．中，，．在上随机取 一点，则和中至少有一个是钝角的概率是 A． B．．．．，且在区间有最小值，无最大值，则 A．B．C．D．二、．，且，则的值是 . 21． . 三、解答题：本大题共3题，30分．本小题满分分已知某海滨浴场的海浪高度米是时间≤t≤24单位小时的函数，记作：.下表是某日各时的浪高数据； （时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1 0.5 1.5 经长期观测，的曲线可近似地看成是函数ωt +b. （Ⅰ）根据以上数据,求出函数ωt +b的表达式； （Ⅱ）根据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅰ）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动？ ．本小题满分分． （Ⅰ）试用“五点法”画出函数在一个周期内的简图 （Ⅱ）函数上的； 若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值． 2．（本小题满分分）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位后，得到函数的图象. 若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.福建师大附中20-2015学年第学期模块考试卷 高一数学必修第卷一、选择题：二、填空题：13. 14. 三、解答题15.解：（Ⅰ）由题可知，人,, 频率分布直方图如下: （Ⅱ）众数为，中位数为. 16．解：（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，，所以n=2000. z=2000－100－300－150－450－600=400 设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2;B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2 ，B2），（S2 ，B3），（S1，S2），（B1 ，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为样本的平均数为9 ，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7， 9.3， 9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 . 第卷共50分一、选择题二、填空题 20. . 21. 等 三、解答题：解：由表中数据，知周期T=12，，由得由得 A=0.5,b=1.. ∴ （Ⅱ）由题知，当y>1时才对冲浪者开放，，， 即 ,故可令k分别为01,2. 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24, 在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动：上午9：00至下午15：00.Ⅰ）列表 0 描点连线得函数在一个周期内的简图为 （Ⅱ）由得 ，即 ∵ ∴或∴函数的， （Ⅲ）∵，∴， ∴ . 当且仅当时，， 此时，函数取得最小值，取最小值. 即 ,解得, 所以，函数，当时， . 24. （Ⅰ）f(x)＝2sin(-) 因为 f(x)为偶函数，所以 又因为 0＜＜π，故 .所以 f(x)＝2sin(+)=2cos. 由题意得,所以 故f(x)=2cos2x. 所以 （Ⅱ）依题意得， 所以 所以方程化为，即方程在有解， 令则在有解， 设所以 当即时，在单调递减，又所以要有实数解当且仅当即，所以 当即时，在单调递增，又所以没有实数解 综上所述，. 答图测 A O B a b c 命题人：周裕燕 审核人：江泽。
精品：【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形 7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-.考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = . 【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ， 因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2.考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】( 【解析】试题分析：如图，画出函数u y sin 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a+=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．【答案】（1）41；（2）7528. ∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈， 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。
初中数学自主招生考试试题含解析2
2015年福建省福州自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，166．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= ．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．2015年福建省福州一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣1且x≠3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b【考点】实数与数轴．【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案．【解答】解：由题意，得原式=b﹣a﹣（﹣a）=b﹣a+a=b，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的意义化简绝对值是解题关键．3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项．【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变．只有B符合．故选B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键．【解答】解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水．故选D．【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16【考点】众数；中位数．【专题】图表型．【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【解答】解：17出现的次数最多，17是众数．第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为15.5．故选：A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】相切两圆的性质；切线的性质．【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R，在RT△AOM中利用勾股定理即可解决．【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R．∵AC⊥CE，DO⊥CE，BE⊥CE，∴AC∥OD∥BE，∵AC=BE=1，∴四边形ACEB是平行四边形，∵∠ACD=∠ODC=∠BEC=90°，∴四边形ACEB是矩形，∴DM=AC=1，∵AB∥CE，OD⊥CE，∴OD⊥AB∵OA=OB，∴AM=BM=AB=4，在RT△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴（R+1）2=42+（R﹣1）2，∴R=4故选B．【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据对称轴x=﹣=1即可确定2a+b的取值范围，根据b=﹣2a，a＜0可以确定a+b＞0是否成立．【解答】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=1=﹣，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，故③正确；∵b=﹣2a，∴a+b=a﹣2a=﹣a，∴a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确；故选B．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先过点E作EH⊥BC于点H，由矩形的性质，可得EH=AB=2，由折叠的性质，可得BE=DE，设AE=x，由勾股定理即可求得方程：22+x2=（6﹣x）2，解此方程即可求得BH的长，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性质，可求得BF的长，继而求得答案．【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，设AE=x，则DE=AD﹣AE=6﹣x，由折叠的性质可得：BE=DE=6﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．故选D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选B．【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场【考点】推理与论证．【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；由此可知：甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．故选C．【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32 ．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是52 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】根据上述数字的表示方法，可以发现：如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．则LII=50+1+1=52．【解答】解：LII=50+1+1=52．【点评】能够根据具体例子发现规则，然后进行计算．解题的关键是要知道如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y=3x+5 ．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程： =，根据方程求解即可．【解答】解：∵取出一个白球的概率P=，∴=，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5．故答案为：y=3x+5．【点评】此题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是14＜a＜16 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＜a，∴2＜x，∵不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；∴7＜a＜8，即14＜a＜16．故答案为14＜a＜16．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是20.3 cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．【解答】解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则GF=FC=x，∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，∴AF=GFcot∠FAG=x．所以x+x=8，则x=12﹣4．所以S△AGC=×8×（12﹣4）≈20.3cm2．故答案为：20.3．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；分式．【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5+9﹣1﹣+=13；（2）原式=﹣÷=•=，当x=﹣6时，原式===．【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加即可得到△AOB的面积．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】（1）只要证明两角对应相等即可证明．（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，先证明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意S=4S△PNQ，推出PR=4PQ，即2+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，△PMR再利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵NQ、RM是⊙O切线，∴NQ⊥MN，MR⊥MN，∴NQ∥MR，∴∠Q=∠R，∵MN是直径，∴∠MPN=∠MNQ=90°，∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，∴∠QNP=∠NMP，∵OM=OP，∴∠OPM=∠OMP，∴∠QNP=∠RPM，∴△NPQ∽△PMR．（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，在△OMR和△ONQ中，，∴△OMR≌△ONQ，∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）∵OE=OP，∴RE=PQ，时PQ=RE=a，由题意S△PMR=4S△PNQ，∴PR=4PQ，即2+a=4a，∴a=．在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=，OQ=，∴NQ==，∵•OQ•FN=•ON•QN，∴FN=，在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=，FN=，∴OF==，在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=，FN=，∴PN==2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，根据|x1﹣x2|=即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，代入解关于a的方程可得；（2）根据韦达定理知x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=、y2=，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程．【解答】解：（1）设方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，∵|x1﹣x2|=，∴（x1﹣x2）2=5，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，∴（a+1）2﹣4（a2+1）=5，解得：a=4；（2）方程x2+px+q=0（q≠0）中x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，则y1=、y2=，∴y1+y2===﹣，y1y2==，故新方程为y2+y+=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△CDN≌△BDM，得到答案；（2）根据割补法求面积的思想解答；（3）当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．△DMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又根据S△BMN=S四边形DMBNF﹣S△DMN，则△BMN的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠CDN+∠BDN=60°，∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDN=∠BDM，∵∠ADC=120°，∴△ABD和△CBD为等边三角形，∴∠ABD=60°，DC=DB，在△CDN和△BDM中，，∴△CDN≌△BDM（ASA），∴BM=CN；（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△CDN≌△BDM，则S△CDN=S△BDM，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作DH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形DMBN=S△DBC=BC•DH=BC•=4；（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．故△BMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又S△BMN=S四边形DMBN﹣S△DMN，则此时△BMN的面积就会最大．∴S△BMN=S四边形DM BN﹣S△DMN=4﹣×2×=，∴△BMN的面积的最大值为．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△CDN≌△BDM 是解题的关键，有一定难度．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）令y=0，则x﹣=0，解得x=2，x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣，∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），把点A、B代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+；（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴P点坐标为（x，﹣ x2﹣x+），D点坐标为（x， x﹣），∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵D在直线AB上，∴=，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4﹣）=﹣x2﹣x+，即l=﹣x2﹣x+；∵l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∴当x=﹣3时，l最大值为15．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（2）利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键．22．（14分）（2015•福州校级自主招生）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36 ；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；（2）通过因式分解，将k（k+1）（k+2）（k+3）+1化解为完全平方数，即为正方形数；（3）①由图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，即可得出结果；②由N（n，3）=，N（n，4）=，N（n，5）=，N（n，6）=，可推断N（n，k）=（k≥3），将N（10，24）代入即可得出结果．【解答】（1）解：∵正方形数点的个数是为n2，∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…，∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三角形数点的个数是为，∵4=无正整数解，∴4不是三角形数，∵9=无正整数解，∴9不是三角形数，∵16=无正整数解，∴16不是三角形数，∵25=无正整数解，∴25不是三角形数，∵36=，解得n=8，所以36是三角形数，∴除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是36，故答案为36；（2）证明：∵k（k+1）（k+2）（k+3）+1=k（k+3）（k+1）（k+2）+1=（k2+3k）（k2+3k+2）+1=（k2+3k）2+2（k2+3k）+1=（k2+3k+1）2∴k（k+1）（k+2）（k+3）+1是完全平方数，即为正方形数；（3）解：①由（1）知：N（n，3）=，N（n，4）=n2；②∵N（n，3）===，N（n，4）=n2==，N（n，5）=n2﹣n==，N（n，6）=2n2﹣n==，∴由此变化规律可推断N（n，k）=（k≥3）；∴N（10，24）==1000．【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．。
福建省师大附中2015_2016学年高一数学下学期期末考试试题
福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷高一数学必修4（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是(******* ) A ．35B ．45C ．35-D ．－452. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )A ．B ．C ．D ．3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =(******* ) A ． 1- B ．1 C ．2- D ．2 4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(******* ) A ．y=sin （2x+） B ．y=cos （2x+） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则(******* )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=6. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=(******* ) A ．725B ．725-C ．15-D ．157．将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为(******* )A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)8． 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（******）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=9. ()()01tan181tan 27++的值是(******* )A ．1．2 D ．()002tan18tan 27+10.在ABC ∆+ABC ∆一定是(******* )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则(******* ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是 锐角三角形的两个内角，则(******* )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：（每小题4分，共28分.请把答案填在答卷上）13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = ******** .14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线， 则k = ******** . 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 ******** .16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 ******** .17．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 ******** .18．已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 ******** .19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点， π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 ******** .三、解答题：（本大题共5题，满分62分） 20．（本题满分12分） 已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影． 21．（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MC N 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷解答一、选择题：BDCBD ； BDACC ； AC 二、填空题： 13. 23-14.23- 15.6365 16. 928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 17． 81 18．(2- 19.9三、解答题：（本大题共5题，满分62分）20．（本小题满分12分）解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3，∴•=﹣，∴cos＜•＞===﹣； （2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．21．（本小题满分16分） 21．解： （1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0， 所以上式==1tan tan xx+ ==．22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-2575x x ===原式22. （本小题满分10分）解：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ， 在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）===，（5分）△AMN 的周长为2千米，所以x+y+=2，化简得xy=2（x+y ）﹣2，代入（*）式，可得tan （α+β）====1，由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=．﹣﹣﹣（10分）23．（本小题满分12分）23.解：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+2sin 2ωx ﹣=sin2ωx ﹣cos2ωx=2sin （2ωx ﹣），由最小正周期为π，得ω=1， 所以，由，整理得，所以函数f （x ）的单调增区间是．（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x ）=2sin2x+1， 令g （x ）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点， 若y=g （x ）在[0，b]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π+=．24.（本题满分为12分）(0)1,()11,112()(1)(sin cos ))sin ()4(1)sin (),)43(0,)(,)(2444210())]|()|2)2,[ff a b ac b c afx a x x a ax ax t y at ax x tI a f x a a f x a a a πππππππ==+=+=∴==-∴=-++=-+++==-+∈∴+∈∴∈->∈-+≤-+≤∈-解：由可得设则、当时，此时可得10()110()),1)|()|2)2,(1,4[4(2)8,()8()4()()18()sin ()sin (144II a f x III a f x a a f x a a a a a f x x mf x nf x m n x x πππφφ-==-<∈-+≤-+≥-∈+-+==-++-=+-+-+-=、当时，，此时满足题意、当时，此时可得综上所述，的取值范围是可得则由得）令,8()cos )sin sin cos 148()1sin 0cos 0cos 1sin 011611,,2,1616x X m n m n X X m n X m n n m n m n k k Zπφφφφφφφππ+=+-++=⎧⎪+==⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎩∴===+∈得要使上式对任意恒成立，则有解得。
福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(文)
福建师大附中2015-2016学年第一学期模块考试卷高二数学（文科）选修1-1本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A. 0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R xD. 0||,2000≥+∈∃x x R x3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0)(:0='x f p ，0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充要条件 B. p 是q 的充分不必要条件C. p 是q 的必要不充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若y x >,则y x >”的逆命题B ．命题“若1=x ,则022=-+x x ”的否命题C ．命题“1>x ,则12>x ”的否命题D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题5. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 41±= B.x y 31±= C.x y 21±= D.x y ±=6. 已知命题0],2,1[:2≥-∈∀a x x p ，命题022,:0200=-++∈∃a ax x R x q ，若命题“q p ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.2-≤aB.2-≤a 或1=aC. 1≤aD.41≤≤a7. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8 8. 函数)(sin )(R x x x x f ∈-=的部分图像可能是（ ）A. B. C. D.9. 设椭圆1:2222=+b y a x C (0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为（ ）A ．36 B ．13 C ．12 D ．3310. 下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．20x x -≥ Ｂ.ex e x ≥ Ｃ.ln x x > Ｄ.sin 1x x >-+11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p （ ） A ．2 Ｂ．34 Ｃ．4 Ｄ．38 12. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ）A ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f < B ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f > C ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < D ．2013(2013)(0)ef f -<，2013(2013)(0)f e f >第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13. 椭圆5522=+ky x 的一个焦点为)2,0(，则k 等于 .14. 函数1+=xxe y 在点)1,0(处的切线方程为 .15. 已知)0,1(-A ，B 是圆C ：8)1(22=+-y x （C 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .16. 若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的一个子区间)1,1(+-k k 内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知某物体的位移S （米）与时间t （秒）的关系是23)(t t t S -=. （Ⅰ）求0=t 秒到2=t 秒的平均速度； （Ⅱ）求此物体在2=t 秒的瞬时速度.18．（本小题满分10分）已知椭圆焦点是)0,1(1-F 和)0,1(2F ，离心率 12e =.（Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）设点P 在这个椭圆上，且121=-PF PF ，求 12FPF ∠ 的余弦值.19．（本小题满分12分）若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 有极值34-. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若函数k x f x g -=)()(有三个零点，求实数k 的取值范围．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为 2 米 ，高为 2米 .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是抛物线的下口，上底CD 的端点在抛物线上. （Ⅰ）请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．，求抛物线形钢板所在抛物线方程; （Ⅱ）记x CD 2=，写出梯形面积S 以 x 为自变量的函数关系式，并指出定义域; （Ⅲ）求面积S 的最大值.21．(本小题满分12分) 已知过点()20，P 的直线l 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若以AB 为直径的圆经过原点O ，求直线l 的方程；（Ⅱ）若线段AB 的中垂线交x 轴于点Q ，求POQ ∆面积的取值范围．已知函数)0(ln 1)(2>+--=x x ax x x f .（Ⅰ）当3=a 时，求)(x f 的单调递增区间;（Ⅱ）若)(x f 在)21,0(上是增函数，求a 的取值范围;（Ⅲ）是否存在实数,1>a 使得方程1)(2-=x x f 在区间),1(e 上有解，若存在，试求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.高二数学选修1-1（文科）参考答案一、选择题1-12.BCCDC BCADB DA 二、填空题13. 1 14.01=+-y x 15. 1222=+y x 16. 231<≤k17. （1）102)0()2(=--=S S v 米/秒 （2）1)2(,23)(''-=∴-=S t t S 米/秒18.解：∵椭圆焦点是)0,1(1-F ，)0,1(2F ∴ 半焦距 c = 1 ，半长轴为 a 又离心率 12c e a ==，∴ a = 2 ∴半短轴b ==（1）∴ 椭圆的标准方程为13422=+y x ； （2） 设12||,||PF m PF n ==，∵ 点P 在这个椭圆上，则 m + n = 2 a = 4 ∵121=-PF PF ， ∴ m －n = 1解得 53,22m n == ∴ 12F PF ∆中22212(2)cos 2m n c F PF mn +-∠=22253()()22253222+-=⋅⋅35= ∴ 12F PF ∠ 的余弦值为35. 19.解：（1）由题意可知,3)(2'b ax x f -=⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==-=34428)2(012)2('b a f b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==431b a 所求的解析式为4431)(3+-=x x x f （2）由（1）可知),2)(2(4)(2'+-=-=x x x x f 令0)('=x f 得2=x 或2-=x列表得所以实数k 的取值范围为33<<-k20．解：（1）如图，建立直角坐标系 x o y ，使抛物线的顶点在坐标原点，且抛物线的称轴在y 轴上。
【数学】福建省福州市师大附中2015届高三上学期期中考试(文)
福建省师大附中2015届高三上学期期中考试数学试卷（文）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=（ ）A.45 B. 35 C. －35 D. －452．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.1523．已知322sin =α ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα=（ ）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 4.已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（） A.23 B.3 C.0 D. 3- 5.设123log 2,ln 2,2ab c ===，则（）A ． a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ． c b a << 6.函数()sin()(0)6f x A x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x A x ω=的图像，只需将()f x 的图像（）A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 8. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,若,,M N P 三点共线, O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于（ ）A. 15B. 10C. 40D. 2010．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）A.10B.11C.12D. 1311.已知()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=-，当20x -≤≤时，()2xf x =；若()*,n n N a f n∈=，则2014a 等于（ ）A ．2009B ．2009-C ．21 D ． 1412．函数 )2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，则=)(πf （ ）A ．4B ．32C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共9０分）二、填空题：本大题共7小题，每小题４分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα____. 14．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎝⎛+=83,24,42sin πππx x y ，则使得函数值大于21的x 的取值范围为____. 15.函数cos22sin y x x =+的最大值为____.16.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5100,50S S ==， 则n nS 的最小值为18.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量 观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .19.如右图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .三、解答题：本大题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本题满分12分）已知函数，其中0ω>，()f x 的最小正周期为.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在中， 角A B 、、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数的取值范围.21.（本题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos()cos A B B --sin()sin()A B A C -+35=-(1)求sin A 的值;(2)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.22．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足*1221,(,2)n n n a a n N n -=+-∈≥，且481.a =（1）求数列的前三项123,,;a a a（2）是否存在一个实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由。
数学卷·2015届福建省师大附中高一下学期期末考试(2013.07)
福建师大附中2012—2013学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若0sin 02sin <>αα且，则α是（ *** ）A. 第二象限角B. 第三象限角C. 第一或第三象限角D. 第二或第三象限角2.︒︒︒︒+75sin 15cos 75cos 15sin 等于（ *** ）A. 0B.21C. 23D. 13.如图，已知3,AB a AC b BD DC a b ===， ， 用、 表示AD ，则AD 等于（***）A ．34a b +B ． 3144a b +C ．1144a b +D ． 1344a b +4.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ *** ）A ．52B.2C.5D.105.已知角α的终边过与单位圆交于点43(,)55P -，则sin()tan()2sin()cos(3)πααπαππα--⋅+-等于何值（ *** ）A ．45 B ．54 C ．53 D ．53- 6．tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒+的值为（ **** ）A ．1 B．3CDA CD7．设1e 和2e 为不共线的向量，若21e ﹣32e 与k 1e +62e （k ∈R ）共线，则k 的值为( *** )A ．k=4B ．k=-4C ．k=-9D ． k=98．在ABC ∆+ABC ∆一定是（**** ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定9.同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（****） A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y10．如右图，ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=， 则αβ+的值为 ( **** ) A ．34π B ．2π C ．3π D ． 4π 11.已知,OA OB是两个单位向量，且OA OB ⋅=0．若点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°， 则(,),OC mOA nOB m n R =+∈ 则mn等于（ **** ）A ．13 B C D ．312.若对任意实数a ，函数215sin()36k y x ππ+=-()k N ∈在区间[],3a a +上的值54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为（ **** ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共20分。
福建省师大附中2015届高三上学期期末考试数学(理)试卷
福建师大附中20-2015学年第学期考试卷 高数学本试卷共页．满分150分考试时间120分钟．注意事项：试卷分第卷和第卷两部分，第卷共分 一、选择题：本大题小题每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，集合，则 A. B． C． D．设随机变量X服从正态分布N（0， 1），P（X>1）=p,则P（X>－1）=（ A．1－2p B． p C．1－p D．2p.若复数满足，则等于（B．C． D． 4．已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ （1） （2） （3）则∥ （4） A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A．B．C． D．函数有且只有一个零点的充要条件是（A．B．C．D．7．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ B． C． D． 8．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则的值是（B．C． D． 9．已知抛物线的焦点为F,准线为,是抛物线上的两个动点,且设线段的中点在上的射影为,则的最大值是（ B. C. D. 2 10．把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（ A．4 B． 3 C．2 D． 1 第卷共分二、填空题：本大题小题，每小题分，共分，把答案填在答卷11．的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ******* ． 12．某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积是 ******* ． 13．若满足则的最大值是*************** ． 14．如图.A1，A2，…Am-1(m2)将区间[0,l]m等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=ex所围成的区域为图中m个矩形构成的阴影区域为,在中任取一点,则该点取自的概率等于******* ． 15．已知函数，下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号） ①是奇函数②对定义域内任意x，0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=－sin三、解答题：本大题题，分本小题满分1分）的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（本小题满分1分）为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望． 18．（本小题满分1分），，函数的图象过点. （Ⅰ）求的值以及函数的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围． 19. （本小题满分1分）中，侧面是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点. (Ⅰ)求与底面所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值. 20．（本小题满分1分），椭圆． （Ⅰ）若点上的垂直平分线经过椭圆右焦点求点的坐标；上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”． 据此,写出一般结论，并加以证明． 21．(本小题满分分. 在上的最小值. ⑵若存在使不等式,求实数的取值范围. ⑶记函数的图像为C，为曲线C在点的切线，若存在,使直线与曲线C有且仅有一个公共点，求满足条件的所有的值.福建师大附中20-2015学年第学期考试卷一、选择题：二、填空题： 1 12． 13． 2 14. 15．②④⑤ 三、解答题：本大题题，分本小题满分1分） 17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．………1分 （1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是 ……4分 （2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是 ． ……5分 因为每个人的选择是相互独立的， 所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布， …6分 且，， …8分 即的分布列是 0 1 2 3 0.729 0. 243 0.027 0.001……10分 所以，的期望是．……12分 （或的期望是．） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由． 因为点在函数的图象上，所以， 解得.……4分由， 可得函数的单调增区间为……6分 (Ⅱ) 因为， 所以=2， 所以，即. ……8分 又因为，所以，所以. ……9分 又因为，所以，. ……10分 所以，，所以.…11分 所以的取值范围是. ……12分 19. （本小题满分12分）解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分 则, ． 由M为PB中点，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．……………………………8分 (III)．令平面BMC的法向量， 则，从而x+z=0；……①, ，从而．……② 由①、②，取x=?1，则．∴可取．……………10分 由(II)知平面CDM的法向量可取，…………………………11分 ∴． ∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上 （Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即， 又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而， 则…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，， 故，所求二面角的余弦值为.…………13分 20．（本小题满分13分） （Ⅰ）设点，则，（1） ……………………1分 设线段的垂直平分线与相交于点，则，……2分 椭圆的右焦点， ………………3分 ,，， ，（2）…………………………4分 由（1），（2），解得，点的横坐标为． ……………5分 （Ⅱ）一般结论为： “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………7分 证明如下： （ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率 不存在时，此时切线方程为， 点在圆上，， 直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线 两切线互相垂直．………………………………8分 （ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时， 可设切线方程为， 由得， 整理得，……………9分 直线与椭圆相切， ， 整理得，………………………10分 ， ………………………11分 点在圆上，，，，两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分 21．(本小题满分分,所以在上单调递减， 当时，…………………（4分） 可化为 （10分） 函数的定义域为 所以在切点处的切线的斜率为，因此，切线的方程为：。
2015年福建省福州市中考数学试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前福建省福州市2015年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.a 的相反数是( ) A .||aB .1aC .a - D2.下列图形中,由12∠=∠能得到AB CD ∥的是( )ABC D3.不等式组1,2x x -⎧⎨⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是( )AB CD4.计算773.810 3.710⨯-⨯,结果用科学记数法表示为( ) A .70.110⨯B .60.110⨯C .7110⨯ D .6110⨯ 5.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( ) A .扇形图B .条形图C .折线图D .直方图 6.计算1a a -的结果为( )A .1-B .0C .1D .a -7.如图,在33⨯的正方形网格中有四个格点,,,A B C D ,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是 ( ) A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点8.如图,,C D 分别是线段,AB AC 的中点,分别以点,C D 为圆心,BC 长为半径画弧,两弧交于点M ,测量AMB ∠的度数,结果为( ) A .80B .90C .100D .1059.若一组数据1,2,3,4,x 的平均数与中位数相同,则实数x 的值不可能是( ) A .0B .2.5C .3D .5 10.已知一个函数图象经过(1,4),(2,2)--两点,在自变量x 的某个取值范围内,都有函数值y 随x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( ) A .正比例函数 B .一次函数 C .反比例函数D .二次函数第Ⅱ卷(非选择题 共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在题中的横线上)11.分解因式29a-的结果是 .12.计算(1)(2)x x -+的结果是 .13.一个反比例函数图象过点A (2,3)--,则这个反比例函数的解析式是 . 14.一组数据：2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是 .15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示,其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm ,则正方体的体积为 3cm .16.如图,在Rt ABC △中,90ABC AB BC ∠==，.将ABC △绕点C 逆时针旋转60,得到MNC △,连接BM ,则BM 的长是.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）三、解答题(本大题共10小题,共96分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)计算：2015(1)sin30(2(2-++.18.(本小题满分7分)化简：22222(b)2a aba b a b +-++.19.(本小题满分8分)如图,12∠=∠,34∠=∠,求证：AC AD =.20.(本小题满分8分) 已知关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根,求m 的值.21.(本小题满分9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛？22.(本小题满分9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n 个白球,这些球除颜色外无其他差别. (1)当1n =时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性 (填“相同”或“不相同”)；(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n 的值是 ； (3)在一次摸球游戏中,所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率.23.(本小题满分10分)如图,Rt ABC △中,90C ∠=,AC 1tan 2B =,半径为2的C ,分别交AC ,BC 于点,,DE 得到DE.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）(1)求证：AB 为C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.24.(本小题满分12分)定义：长宽比为(n 为正整数). 下面,矩形,如图1所示.操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠,使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处,折痕为BH .操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠,使点A ,点D 分别落在边,AB CD 上,折痕为EF ,则四边形BCEF.证明：设正方形ABCD 的边长为1,则BD =.由折叠性质可知1BG BC ==,90AFE BFE ∠=∠=,则四边形BCEF 为矩形.,,,BG BF A BFE EF AD BD AB ∴∠=∠∴∴=∥1BF=, :BF BC BF ∴=∴==，∴四边形BCEF. 阅读以上内容,回答下列问题：(1)在图1中,所有与CH 相等的线段是 ,tan HBC ∠的值是 ； (2)已知四边形BCEF矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN ,如图2,求证：四边形BCMN(3)将图2BCMN 沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个,则n 的值是 .25.(本小题满分13分)如图1,在锐角ABC △中,,D E 分别为,A B B C 的中点,F 为AC 上一点,且,AFE A DM EF ∠=∠∥交AC 于点M .(1)求证：DM DA =；(2)点G 在BE 上,且,BDG C ∠=∠如图2,求证：DEG ECF △∽△； (3)在图2中,取CE 上一点H ,使CFH B ∠=∠,若1BG =,求EH 的长.26.(本小题满分13分)如图,抛物线24y x x =-与x 轴交于,O A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共6页） 数学试卷 第8页（共6页）(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ； (2)若两个三角形面积满足13POQ PAQ S S =△△,求m 的值； (3)当点P 在x 轴下方的抛物线上时,过点(2,2)C 的直线AC 与直线PQ 交于点D ,求：①PD DQ +的最大值； ②PDDQ 的最大值.5 / 17福建省福州市2015年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】a 的相反数是a -，故选C 。
2015年福建师大附中自主招生数学试卷和解析答案
2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．10．（6分）已知方程组，则=．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O地半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过地面积；（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．【解答】解：∵y′=1﹣x（1﹣x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∴有最小值，∴y=地最大值是=．故答案为：．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是7．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，CD是斜边上地中线，∴AB=2CD=6，∵AB+AC+BC=14，∴AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，AC•BC=14，∴S=AC•BC=7．故答案为：7．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于0．【解答】解：当x≥0时，方程为x2+x﹣12=0，即（x﹣3）（x+4）=0，解得：x=3或x=﹣4（舍）；当x＜0时，方程为x2﹣x﹣12=0，即（x+3）（x﹣4）=0，解得：x=﹣3或x=4（舍），则方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于为﹣3+3=0，故答案为：0．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是4：9．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是15°或75°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角地三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是3．【解答】解：设圆O地半径为r，∵⊙O地面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB地对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′地长即为PC+PD地最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD地最小值为3．故答案为：3．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是2016．【解答】解：∵|2014﹣a|+=a，∴a≥0，且a﹣2015≥0，解得：a≥2015，故|2014﹣a|+=a可化简为：a﹣2104+=a，整理得：=2014，故a﹣2015=20142，则a﹣20142+1=a﹣（a﹣2015）+1=2016．故答案为：2016．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．【解答】解：设正方形地边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB====．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．【解答】解：∵点P2015地纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015地在反比例函数y=地图象上，∴点P2015地坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015地坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．10．（6分）已知方程组，则=3．【解答】解：设a=，b=，则x+y=（x+1）+（y﹣2）+1=20，所以，（x+1）+（y﹣2）=19，即a2+b2=19，因此，方程组可化为，①平方得，a2+2ab+b2=25③，③﹣②得，2ab=6，解得ab=3，所以，=•=ab=3．故答案为：3．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=2014．【解答】解：根据题意得原式=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2015﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2015﹣=2014，故答案为：2014．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是（2，﹣8）．【解答】解：∵解：∵抛物线y=x2+bx经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线地解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线地对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣4），∴作点C关于x=2地对称点C′（3，﹣4），直线AC′与x=2地交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴地交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上地点地时候取到|AD﹣C′D|=AC′最大，设直线AC′地解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′地解析式为y=4x﹣16，当x=2时，y=﹣8，∴D点地坐标为（2，﹣8）．故答案为：（2，﹣8）．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．【解答】解：∵1+2+3+4+5+…+19==190，200﹣190=10，∴第200个分数是第20组地第10个分数，分母是10，分子是11，为．故答案为：．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组地解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程地解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件地进价为8元，每个乙种零件地进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O地切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）如图1中，由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过地面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′=﹣=．（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，∵∠AOM=22.5°，∴∠EOM=∠EMO=22.5°，∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，∴MN=BM=2﹣2，设△BMN地内切圆地半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，∴r===3﹣2．（3）在正方形OABC旋转地过程中l值不发生变化．理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，∴△OAE≌△OCN，∴OE=ON，∠AOE=∠CON，∵∠MON=45°，∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，∴△MOA≌△MON，∴EM=MN，∴△BNM地周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，∴△BNM地周长为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年福建中考数学真题卷含答案解析
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分;每小题只有一个正确选项)1.a的相反数是( )A.|a|B.1C.-aD.√aa2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )的解集在数轴上表示正确的是( )3.不等式组{x≥-1,x<24.计算3.8×107-3.7×107,结果用科学记数法表示为( )A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×1065.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( )A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图6.计算a·a-1的结果为( )A.-1B.0C.1D.-a7.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( )A.A点B.B点C.C点D.D点8.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为( )A.80°B.90°C.100°D.105°9.若一组数据1,2,3,4,x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是( )A.0B.2.5C.3D.510.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y 随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)11.分解因式a2-9的结果是.12.计算(x-1)(x+2)的结果是.13.一个反比例函数图象过点A(-2,-3),则这个反比例函数的解析式是.14.一组数据:2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是.15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示.其中,正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm,则正方体的体积为cm3.16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=√2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连结BM,则BM的长是.三、解答题(共10小题,满分96分)17.(7分)计算:(-1)2015+sin30°+(2-√3)(2+√3).18.(7分)化简:(a+b)2a 2+b 2-2aba 2+b 2.19.(8分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.20.(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,求m 的值.21.(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛?22.(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是;(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率..半径为2的☉C,分别交AC,BC于点D,E, 23.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=√5,tan B=12得到DE⏜.(1)求证:AB为☉C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.24.(12分)定义:长宽比为√n∶1(n为正整数)的矩形称为√n矩形.下面,我们通过折叠的方式折出一个√2矩形,如图①所示.操作1:将正方形ABCD沿过点B的直线折叠,使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处,折痕为BH.操作2:将AD沿过点G的直线折叠,使点A,点D分别落在边AB,CD上,折痕为EF.则四边形BCEF为√2矩形.图①证明:设正方形ABCD的边长为1,则BD=√12+12=√2.由折叠性质可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,则四边形BCEF为矩形,∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴BGBD =BFAB,即√2=BF1.∴BF=12.∴BC∶BF=1∶1√2=√2∶1.∴四边形BCEF为√2矩形.阅读以上内容,回答下列问题:(1)在图①中,所有与CH相等的线段是,tan∠HBC的值是;(2)已知四边形BCEF为√2矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN,如图②,求证:四边形BCMN 是√3矩形;(3)将图②中的√3矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“√n矩形”,则n的值是.图②25.(13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.26.(13分)如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是;S△PAQ,求m的值;(2)若两个三角形面积满足S△POQ=13(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ 的最大值;②PD·DQ的最大值.备用图答案全解全析：一、选择题1.C只有符号不同的两个数叫做互为相反数,所以a的相反数是-a,故选C.2.B根据内错角相等,两直线平行,可知B选项正确,故选B.3.A不等式组的解集为-1≤x<2,故选A.4.D 3.8×107-3.7×107=0.1×107=1×106,故选D. 5.A 扇形图可以反映部分在总体中所占的百分比,故选A. 6.C a ·a -1=a 1-1=a 0=1,故选C.7.B 以点B 为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C 关于坐标轴对称,故选B.8.B 在以C 为圆心的圆中,AB 是直径,M 为圆周上一点,所以∠AMB=90°,故选B. 9.C 当x ≤2时,中位数是2,此时1+2+3+4+x5=2,解得x=0,符合题意;当2<x<3时,中位数是x,此时1+2+3+4+x5=x,解得x=2.5,符合题意;当x ≥3时,中位数是3,此时1+2+3+4+x5=3,解得x=5,符合题意.故符合题意的x 的值为0,2.5,5,不可能是3,故选C. 评析 本题重点考查平均数和中位数的概念,属于中等难度题.10.D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A 不符合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x 的某个取值范围内,函数值y 随x 的增大而增大,所以B 、C 不符合题意;只有D 正确,故选D.二、填空题11.答案 (a+3)(a-3) 解析 a 2-9=a 2-32=(a+3)(a-3).12.答案 x 2+x-2解析 (x-1)(x+2)=x 2+2x-x-2=x 2+x-2.13.答案 y=6x解析 设这个反比例函数的解析式为y=kx (k ≠0),代入点A 的坐标,得k=6,故这个反比例函数的解析式为y=6x . 14.答案 0解析 该组数据的平均数为2 015,方差s 2=16×[6×(2 015-2 015)2]=0.15.答案 2√2解析 由题意可知圆柱底面的直径为2 cm,则圆柱底面内接正方形的对角线长为2 cm,边长为√2 cm,故正方体的体积是2√2 cm 3.16.答案 √3+1解析 如图,连结AM,易知△AMC 是等边三角形,所以CM=AM,易证△BMC ≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt △CDB 中,CD=CB ·sin 45°=1,所以BD=CD=1.在Rt △CDM 中,DM=CM ·sin 60°=√3,所以BM=BD+DM=√3+1.评析 解决本题的关键是证出BM ⊥AC,再利用含有特殊角的直角三角形分别求得BD 、DM 的长,从而求出BM,综合性较强,属于难题.三、解答题17.解析 原式=-1+12+(4-3)=12. 18.解析 原式=(a+b)2-2ab a 2+b 2=a 2+b 2+2ab -2ab a 2+b 2=a 2+b 2a 2+b 2=1.19.证明 ∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC 和△ABD 中,{∠1=∠2,AB =AB,∠ABC =∠ABD.∴△ABC ≌△ABD(ASA). ∴AC=AD.20.解析 ∵关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2m -1)2-4×1×4=0. ∴2m -1=±4. ∴m=52或m=-32.21.解析 解法一:设有x 支篮球队和y 支排球队参赛, 依题意得{x +y =48,10x +12y =520.解得{x =28,y =20.答:篮球、排球队各有28支与20支.解法二:设有x 支篮球队,则排球队有(48-x)支, 依题意得10x+12(48-x)=520. 解得x=28. 48-x=48-28=20.答:篮球、排球队各有28支与20支. 22.解析 (1)相同. (2)2.(3)由树状图可知:共有12种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同(记为事件A)的结果共有10种,∴P(A)=1012=56. 23.解析 (1)过点C 作CF ⊥AB 于点F, 在Rt △ABC 中,tan B=AC BC =12, ∴BC=2AC=2√5.∴AB=√AC 2+BC 2=√(√5)2+(2√5)2=5. ∴CF=AC ·BC AB=√5×2√55=2. ∴AB 为☉C 的切线.(2)S 阴影=S △ABC -S 扇形CDE =12AC ·BC-nπr 2360 =12×√5×2√5-90π×22360=5-π. 24.解析 (1)GH,DG;√2-1.(2)证明:∵BF=√22,BC=1,∴BE=√BF 2+BC 2=√62.由折叠性质可知BP=BC=1,∠FNM=∠BNM=90°,则四边形BCMN 为矩形,∴∠BNM=∠F. ∴MN ∥EF.∴BP BE =BN BF ,即BP ·BF=BE ·BN. ∴√62BN=√22.∴BN=√3. ∴BC∶BN=1∶√3=√3∶1. ∴四边形BCMN 是√3矩形.(3)6.25.解析图① (1)证明:∵DM ∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)证明:∵D,E 分别为AB,BC 的中点,∴DE ∥AC.图② ∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.∴△DEG ∽△ECF.(3)解法一:如图③所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,图③ ∴△BDG ∽△BED.∴BD BE =BG BD ,即BD 2=BE ·BG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH ∽△ECF.∴EH EF =EF EC ,即EF 2=EH ·EC. ∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如图④,在DG 上取一点N,使DN=FH.图④ ∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN ≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如图⑤,取AC 中点P,连结PD,PE,PH,则PE ∥AB.图⑤∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH ∥DG.∵D,P 分别为AB,AC 的中点,∴DP ∥GH,DP=12BC=BE.∴四边形DGHP 是平行四边形.∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如图⑥,作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P,连结PE,PH.图⑥ 则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE ∥AB.∵DE ∥AC,∴四边形ADEP 是平行四边形.∴DE=AP=12AC.∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG ≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.解法五:如图⑦,取AC 中点P,连结PE,PH,则PE ∥AB.图⑦∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE=12AC=PC.∴△DEG ≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.26.解析 (1)x=2;45°.(2)设直线PQ 交x 轴于点B,分别过点O,A 作PQ 的垂线,垂足分别是E,F.显然当点B 在OA 的延长线上时,S △POQ =13S △PAQ 不成立.①当点B 落在线段OA 上时,如图1,图1S △POQ S △PAQ =OE AF =13. 由△OBE ∽△ABF 得OB AB =OE AF =13. ∴AB=3OB.∴OB=1OA.由y=x 2-4x 得点A(4,0), ∴OB=1.∴B(1,0).∴1+m=0.∴m=-1.②当点B 落在AO 的延长线上时,同理可得OB=12OA=2.图2∴B(-2,0).∴-2+m=0.∴m=2.综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=1S△PAQ.3(3)①解法一:过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图3,可得△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°,∴AD⊥PH.∴DQ=DH.∴PD+DQ=PH.过点P作PM⊥直线CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形.∴PH=√2PM.∴当PM最大时,PH最大.当点P在抛物线顶点处时,PM取最大值,此时PM=6.∴PH的最大值为6√2,即PD+DQ的最大值为6√2.图3解法二:如图4,过点P作PE⊥x轴,交AC于点E,作PF⊥CQ于点F,图4 则△PDE,△CDQ,△PFQ 是等腰直角三角形.设点P(x,x 2-4x),则E(x,-x+4),F(2,x 2-4x). ∴PE=-x 2+3x+4,FQ=PF=|2-x|.∴点Q(2,x 2-5x+2).∴CQ=-x 2+5x.∴PD+DQ=√22(PE+CQ) =√22(-2x 2+8x+4) =-√2(x-2)2+6√2(0<x<4).∴当x=2时,PD+DQ 的最大值为6√2.②由①可知:PD+DQ ≤6√2.设PD=a,则DQ ≤6√2-a.∴PD ·DQ ≤a(6√2-a)=-a 2+6√2a=-(a-3√2)2+18.∵当点P 在抛物线的顶点时,a=3√2,∴PD ·DQ ≤18.∴PD ·DQ 的最大值为18.附加说明:(对a 的取值范围的说明)设P 点坐标为(n,n 2-4n),延长PM 交AC 于N. PD=a=√22PN=√22[4-n-(n 2-4n)] =-√2(n 2-3n-4)=-√2(n -3)2+25√2. ∵-√22<0,0<n<4,∴当n=32时,有最大值,为258√2.∴0<a ≤258√2. 评析 在第(2)问中,因为△PQA 和△PQO 共用底边PQ,可以作高,把面积的比转换为高的比,再利用相似三角形求得OA 和OB 的关系,构造方程,求出m 的值;第(3)问构造等腰直角三角形是解题的突破口,综合性较强,属于难题.。
福建省师大附中2015_2016学年高二数学上学期期末考试试题(实验班)
福建师大附中2015-2016学年实验班第一学期期末模块考试卷高二数学（实验班）必修5本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若P 是平面α外一点，A 为平面α内一点，n为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离是 （ ）A 2．命题“0x ∃∈R ，010x +<或2000x x ->”的否定形式是（ ）A ．0x ∃∈R ，010x +≥或2000x x -≤ B ．x ∀∈R ，10x +≥或20x x -≤C ．0x ∃∈R ，010x +≥且2000x x -≤ D ．x ∀∈R ，10x +≥且20x x -≤3．下列有关命题的说法正确的是A ．“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题为：“若x a =且x b =，则2()0x a b x ab -++=”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的根的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题4．如图，空间四边形C OAB 中，a OA = ，b OB = ，C c O =，点M 在OA 上，且为C B 中点，则MN 等于（ ）5.在三棱锥A BCD -中，2,90,60o oAB AC AD BAD BAC ===∠=∠=，则AB CD ⋅ 等于( )． A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 36．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 ( )．7．已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则 ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点．若FB m AF =，则m 的值为（ ）A 2 D ．3 9和圆22(5)9-+=x y 都相切的圆的圆心轨迹是（ ）A ．椭圆和双曲线B ．两条双曲线C ．双曲线的两支D.双曲线的一支10．直线过抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是（ ）A ．x 2＝12yB ．x 2＝8yC ．x 2＝6yD ．x 2＝4y11．已知椭圆和双曲线焦点12,F F 相同，且离心率互为倒数， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，椭圆的离心率为（ ）12的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与椭圆的交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知命题：“存在[1,2]x ∈，使022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是___ ．14．与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，且与椭圆22182y x +=有共同焦点的双曲线方程是___ ．15． 如图，直角坐标系x oy '所在的平面为β，直角坐标系xoy 所在的平面为α，且二面角βα轴－y -的大小等于︒30．已知β内的曲线C '的方程是，则曲线C '在α内的射影在坐标系xoy 下的曲线方程是________ ．16．已知21,F F 是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，若，则该椭圆离心率的取值范围为 ．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知命题p :表示双曲线；命题q ：11m t m -<<+（0m >）,若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分10分）抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),),(11y x A ,),(22y x B 均在抛物线上.（1）求该抛物线方程；（2）若AB 的中点坐标为)1,1(-，求直线AB 方程.19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，，D 为1AA的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .（1）证明：1BC AB⊥；（2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =.(Ⅰ)求二面角1E AC D --的大小； (Ⅱ)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值;不存在，说明理由. 21．(本小题满分12分)如下图所示，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 到点2F 的距离是1MF 的中垂线交2MF 于点P ．（Ⅰ）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与轨迹G 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α、β，且αβπ+=，求证：直线l 经过定点，并求该定点的坐标． 22．（本小题满分14分）如图，已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A B C ，，在该抛物线上，其中A C ，关于x 轴对称（A 在第一象限），且直线BC 经过点F .（Ⅰ）若ABC 的重心为，求直线AB 的方程；（Ⅱ）设12ABO CFO S S S S == ，，其中O 为坐标原点，求2212S S +的最小值.福建师大附中2015-2016学年高二实验班第一学期期末模块考试卷参考答案．C2．D 3.D4.B5.A6．D7．C8．D9．B10.B11.A12．C3．[8+∞－，）14．14222=-x y 15．22(3)9x y -+=16．. 7．解析：由命题p 得(2)(10)0t t +-<∴210t -<< 2分由命题q 得∴(1,1)t m m ∈-+ 4分由题意及逆否命题的等价性可知q p ⇒，即(1,1)(2,10)m m -+⊂- 6分∴由12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩（不同时取等号）及0m >得03m <≤ 8分∴所求m 的取值范围为03m <≤ ． 10分8．解析：（1）设抛物线方程为22y px =，把P 点坐标代入得222p =，2p =，∴抛物线方程为24y x =； 2分（2）∵),(11y x A ,),(22y x B 均在抛物线上，∴2114y x =，2224y x =，两式相减得：121212)()()4(y y y y x x +-=-，AB 的中点坐标为)1,1(-，所以122y y +=-，∴121212112AB y y k x x y y -===--+，∴直线AB 方程为11(1)2y x +=--，即210y ++=．10分9.解：(1)证明：由题意11tan tan 22AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==,注意到10,2ABD AB B π<∠∠<,所以1ABD AB B ∠=∠,所以1112ABD BAB AB B BAB π∠+∠=∠+∠=,所以BD AB ⊥1, 3分又⊥CO 侧面11A ABB ，1.AB CO ∴⊥又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1, 又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥ 6分2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在的直线为,,x y z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则(0,A，(B，C，1B，D ， 又因为12CC AD =，所以1C 8分所以(AB =，AC =，1DC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则根据0,0AB n AC n ⋅=⋅=可得(1n = 是平面ABC 的一个法向量,设直线1C D与平面ABC 所成角为α，则11||sin ||||DC n DC n α⋅==12分0.解：(Ⅰ)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0,0),0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B D D --设(0,1,2),E h +则11(0,2,),,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥ 平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E 2分1(0,2,1),(,3)D E AE ∴== 设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z = 则由 ,,m CA m AE ⊥⊥得030x y z =++= 令1z =-∴平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-又平面1D AC 的法向量为1111(0,2,1),cos ,m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --大小为456分Ⅱ)设111(),D P PE D E D P λλ==- 得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ A111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++ 10分1//A P面113,,03(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =12分1．（Ⅰ）连接1PF，由2||MF =，∴2||||PM PF +=1||||PM PF =，∴1212||||||2PF PF FF +=>=，由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为2212x y +=．4分 （Ⅱ）依题意2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得：222(21)4220k x k m xm +++-=设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则2121222422,2121km m x x x k k -+=-=++……6分 又221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==--，依题意得：220F M F N k k +=，即：1212011kx m kx mx x +++=--，化简得：1212()()20kx x m k x x m +-+-=∴2222242()()202121m kmk m k m k k -+---=++ ， 整理得：2m k =-……11分∴直线l 的方程为(2)y k x =-，因此直线l 经过定点，该定点坐标为(2,0)．……………12分2．解：（Ⅰ）设()()()112211,A x y B x y C x y -，，，， 则ABC ∆的重心为122233x x y G ⎛⎫⎪⎝+⎭， ，于是 1229224x x y +== 解得212114441x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩，， 故直线AB 的方程：4540x y -+=；6分 （Ⅱ）设直线1BC x my -=：，联立方程24y x =得，2440y my --=，则124y y -=-，即124y y =再设直线AB y kx n =+：，联立方程24y x =得，2440ky y n -+=，则1244ny y k==，即n k = 故直线():1AB y k x =+，即直线AB 过定点()10E -， 9分∴121211122ABO S S OE y y y y ⋅==-=- 221112CFO S S OF y y ⋅=== 于是()222222212122111212811116284444y y S S y y y y y +-+=-+==+-（）1824⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 14分。
福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。
2015福州一类校自主招生试卷-数学
福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学）命题：福州中考吧答疑解惑监督委员会 审核：福州中考吧高管部 校对：福州中考吧吧务组福州中考吧提示：如果能够全部解决这些题目！你的自主招生是没有问题的！加油！（注意排版后使用）一、综合题与双曲线相交于点A 、B ，且抛物线.过点B 用直线BC ∥x 轴，4倍，记抛物线顶点为E. D 的坐标；若不存在，2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.3、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．4、已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．5、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．7、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？8、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当α=90°时，BP／BQ的值是．（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求BP／BQ的值;②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．9、已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）10、如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．(1)写出顶点A、B、C的坐标；(2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．11、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为R.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE²OP＝R2.（提示：作直径FQ交⊙O于Q，并连结DQ）（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由. Array二、计算题（每空？分，共？分）12、汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？13、已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
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福建师大附中2015年创新人才培养实验班自主招生考试
数学
（满分：150分，建议完成时间：110分钟）
姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________
一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）
1.函数)
1(11x x y --=的最大值是 . 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积是 .
3.方程012||2
=-+x x 的所有实数根之和等于 .
4.一直角三角形的两直角边之比为2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是 .
5.已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数 是 .
6.如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为圆O 的直径，80AOC ∠=︒，20BOD ∠=︒，点P 为直径AB 上任意一点，则PD PC +的最小值是 .
7.已知实数a
满足|2014|a a -=，那么220141a -+的值是 .
8.如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以点E 为圆心、EC 为半径的半圆与以点A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值是 .
E D
A
9.已知两个反比例函数5y x =，10y x =，第一象限内的点1P 、2P 、3P 、…、2015P 在反比例函数10y x
=的图象上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2015x ，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2015P 分别作y 轴
的平行线，与5y x
=的图象交点依次为111(,)Q x y ''、222(,)Q x y ''、…、201520152015(,)Q x y ''，则20152015P Q 的长度是 .
10.
已知方程组520
x y =+=⎪⎩
= .
11.观察下列各式：
2221111111(1);11112+-=-=--++ 22222111111();222223
+-=-=--++ 22233111111();333334
+-=-=--++ …… 计算：222215112015201512223320152015+-++++=+++ . 12.已知抛物线bx x y +=22
1经过点(4,0)A . 设点(1,4)C -，欲在抛物线的对称轴上确定一点D ,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标是 .
13.一列分数有规律地排列如下：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345，则第
200 个分数是 .
二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）
14.若关于x 的不等式组1532213
x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩有且只有4个整数解，求实数a 的取值范围.
15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．
（1）求甲、乙两种零件的进价；
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元. 通过计算求出五金商店本次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
16.如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OB OA ⊥. P 是OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，
点R 在OA 的延长线上，且RQ RP =.
（1）求证：RQ 是⊙O 的切线；
（2）当OA RA ≤时，试确定B ∠的取值范围；
（3）求证：22OP PQ PB OB +⋅=.
17.如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上，O 为坐标原点.现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ
（045o o θ≤≤）.
（1）当点A 落到y 轴正半轴上时，求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）若线段AB 与y 轴的交点为M （如图2）,线段BC 与直线y x =的交点为N .当
22.5θ=︒时，求此时BMN ∆内切圆的半径；
（3）设MNB ∆的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化，并说明理由.
图2
图1。