2015年福建师大附中自主招生数学试卷

福建师大附中2015年创新人才培养实验班自主招生考试

数学

（满分：150分，建议完成时间：110分钟）

姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________

一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）

1.函数)

1(11x x y --=的最大值是 . 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积是 .

3.方程012||2

=-+x x 的所有实数根之和等于 .

4.一直角三角形的两直角边之比为2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是 .

5.已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数 是 .

6.如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为圆O 的直径，80AOC ∠=︒，20BOD ∠=︒，点P 为直径AB 上任意一点，则PD PC +的最小值是 .

7.已知实数a

满足|2014|a a -=，那么220141a -+的值是 .

8.如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以点E 为圆心、EC 为半径的半圆与以点A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值是 .

E D

A

9.已知两个反比例函数5y x =，10y x =，第一象限内的点1P 、2P 、3P 、…、2015P 在反比例函数10y x

=的图象上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2015x ，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2015P 分别作y 轴

的平行线，与5y x

=的图象交点依次为111(,)Q x y ''、222(,)Q x y ''、…、201520152015(,)Q x y ''，则20152015P Q 的长度是 .

10.

已知方程组520

x y =+=⎪⎩

= .

11.观察下列各式：

2221111111(1);11112+-=-=--++ 22222111111();222223

+-=-=--++ 22233111111();333334

+-=-=--++ …… 计算：222215112015201512223320152015+-++++=+++ . 12.已知抛物线bx x y +=22

1经过点(4,0)A . 设点(1,4)C -，欲在抛物线的对称轴上确定一点D ,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标是 .

13.一列分数有规律地排列如下：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345，则第

200 个分数是 .

二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）

14.若关于x 的不等式组1532213

x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩有且只有4个整数解，求实数a 的取值范围.

15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求甲、乙两种零件的进价；

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元. 通过计算求出五金商店本次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．

16.如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OB OA ⊥. P 是OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，

点R 在OA 的延长线上，且RQ RP =.

（1）求证：RQ 是⊙O 的切线；

（2）当OA RA ≤时，试确定B ∠的取值范围；

（3）求证：22OP PQ PB OB +⋅=.

17.如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上，O 为坐标原点.现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ

（045o o θ≤≤）.

（1）当点A 落到y 轴正半轴上时，求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）若线段AB 与y 轴的交点为M （如图2）,线段BC 与直线y x =的交点为N .当

22.5θ=︒时，求此时BMN ∆内切圆的半径；

（3）设MNB ∆的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化，并说明理由.

图2

图1