恒成立问题 专题

恒成立问题

1．参变分离法

例1：已知函数()ln a

f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是

_________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a

x x x x a x a x x x x

-

<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()

3max

ln a x x x >-．

令()3

ln g x x x x =-，()'

2

1ln 3g x x x =+-，()'

12g =-，()2

''

11660x g x x x x

-=-=<，

()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，

()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．

2．数形结合法

例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围

是___________．

【答案】π,14a ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

的图像，

a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一

步可得只需

π

4

x =

时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

．

3．最值分析法

例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥-

【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，

∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -=

-=，令()'00a x g x x a x

->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=

(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的）

，所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作

用）

当1

a>时，分x a

=是否在()

1,e中讨论（最小值点的选取）

若1e

a

<<，单调性如表所示

()

()

10

e1

e0

g

a

g

⎧≥

⎪

∴⇒≥-

⎨

≥

⎪⎩

，e1e

a

∴-≤<．

（1）可以比较()1

g，()e

g的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1

x=，e

x=处取得，所以让它们均大于0即可．

（2）由于1

x=，e

x=并不在()

1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e

a≥，则()

g x在()

1,e上单调递增，()()10

g x g

∴>=，符合题意，

综上所述：e1

a≥-．

一、选择题

1．已知函数()

()

2

ln1,0

3,0

x x

f x

x x x

⎧-+≤

⎪

=⎨

+>

⎪⎩

，若()()20

f x m x

-+≥，则实数m的取值范围是（）

A．(],1

-∞B．[]

2,1

-C．[]

0,3D．[)

3,+∞

【答案】B

【解析】

对点增分集训

若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，

由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =， 由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．

2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11- B ．()3,11

C ．[]3,11

D ．[]2,7

【答案】C

【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，

令()'0f x =可得：12x =-，223x =

，且：()33f -=-，()28f -=-，240327

f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()333f =-， 据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-， 结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，

求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．

3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫

⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(],2-∞-

B ．()2,-+∞

C ．12,8⎛

⎫-- ⎪⎝⎭

D ．1,8⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭