周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开
提出问题：
用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为1的方波信号由以下函数给出
⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。

利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：
在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。

在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：
周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件
实验过程：
对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数
经过傅里叶变换得到： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---
+-
=∑∑∑∞∞∞111))
1(2sin(21)2sin(2
1))1(2sin(2
1)(x
k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。

利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000);
y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0;
01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ
-=⎰1()sin n b f t ntdt πππ-=⎰
0,1,2n = 1,2,3n =
for k=1:10;
y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0);
end
y1=1/2-y1;
y2=0;
for k=1:50;
y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1);
end
y2=1/2-y2;y3=0;
for k=1:100;
y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2);
end
y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2)
plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal
此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项
此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项
此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项
红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数
拓展练习：
1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号
()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数：
01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T
=⎰
从而该傅里叶级数展开形式可以更实际用于频谱分析。

2. 考虑周期矩形或周期锯齿形，及非周期信号的傅里叶级数展开
答：非周期信号可以利用傅里叶变换，傅里叶积分 ⎰⎰∞
∞--∞∞-==
ω
ωωωπωωd e t f F d e F t f t i t i )()()(21)(
知识点： 第12章第八节 一般周期函数的傅里叶级数
参考文献：
1. 王彦良，用有限项傅里叶级数三维趋近周期性方波信号，沈阳工程学院学报(自然科学版)， 2006，2，
187-189.
2. 汪逸新，方波信号的傅里叶分解实验，大学物理，1996，15， 30-32.
3. 宋复成，方波信号的傅里叶合成演示，徐州师范大学学报(自然科学版)，1998，16，30-32. 0
2()cos d T n a f t n t t T ω=⎰ 02()sin d T n b f t n t t T ω=⎰。