专题27 面积法

专题27 面积法

阅读与思考

平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角． 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．

用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法： （1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题．

例题与求解

【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．

等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？

D

E

F

A B

C

P

【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝0

90，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的

5

2

，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3

解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．

E

F

A

O

B

D

C

【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC .

（长春市竞赛试题）

解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．

G

D

B

C

A F

E

【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F .

求证：（1）

1=++CF PF

BE PE AD PD ； （2）

2=++CF

PC

BE PB AD PA . （南京市竞赛试题） 解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段.

E

P

B

A

C

D

F

【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且

1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DP

CD

DF BD DE AD ⋅⋅的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.

（黄冈市竞赛试题）

F

D

A

B

C

E

P

【例6】如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ， DA 上，且

k HA

DH

GD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积． （河北省竞赛试题）

解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比． 线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；

(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．

A

B

C

D

H

E

F

G

能力训练

1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 的中点，BM ⊥EC ，垂足为M ，则BM ＝______.

（福建省中考试题）

2．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 上一点，AP ＝ 2BP ，CE ⊥DP 于E ，AD ＝a ，AB ＝b ，则 CE ＝__________.

（南宁市中考试题）

M

E

A

D

B

C

E D

A

C

B

P

121

48144

25C

B

A

H

G

F D

E

Q T

P

R

第1题图 第2题图 第3题图

3．如图，已知八边形ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR ＝13，则该八边形的面积为____________.

（江苏省竞赛试题）

4. 在△ABC 中，三边长为3=a ，4=b ，6=c ，a h 表示a 边上的高的长，b h ，c h 的意义类似，则(a h ＋b h ＋c h )⋅⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++c b a

h h h 111的值为____________. （上海市竞赛试题）

5．如图，△ABC 的边AB ＝2，AC ＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则图

中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.

（全国竞赛试题）

6．如图，过等边△ABC 内一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 ( )． A. 3192 B. 3190 C. 3194 D.3196

（湖北省黄冈市竞赛试题）

ⅢⅠⅡE

B

A

D

C

R

S

Q

A

P

C

B

D

B

C

A

第5题图 第6题图 第7题图

7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD ＝∠DAB ＝0

60，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )．

A ．2 B. 212

C.3

D. 2

1

3 8．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )． A. 2S +6S =4S B.1S +7S =4S

C. 2S +3S =4S D ．1S +6S =4S

S 1

S 2S 6S 7S 5S 3

S 4

N

M

A

B D

C

9．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为1h ，2h ，3h ，△ABC 的高为h ．若点P 在一边BC 上（如图1），此时03=h ，可得结论：1h ＋2h ＋3h ＝h .

请直接用上述信息解决下列问题：