第八讲简单的数阵图练习

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66666小学奥数专题之数阵图练习题例

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

12.21第八讲. 数阵图进阶_

第八讲数阵图进阶例1、把 1，2，4，5，6，8，10 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 4 个数的和都等于 20．把 8，9，10，11，12，14，16 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 4 个数的和都等于 46．例2 、将 5，9，13，14，17，21，25 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 3 个数的和都等于 44．例3、把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于 19．例4、把 1，5，9，10，16，21 这 6 个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于 36．例5、将 5，6，9，11，14，15 这 6 个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上 4 个数的和都等于40．把1，3，4，5，6，8，11，15 这8 个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上 5 个数的和都等于33．本周打卡：1、把5，6，7，8，9 这5 个数分别填在下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数．2、把 3，5，7，9，11，13，15 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的 3 个数的和都等于27．3、把 2，4，6，8，10，12，14，16，18 这 9 个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的 3 个数的和都等于 24 。

4、把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于 21．5、把 1，2，4，5，6，11 这 6 个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于 22．6、把 2，5，6，8，10，12，14，22 这 8 个数分别填入下图中，使得每个大圆上的 5 个数的和都等于49。

小学数学思维训练——数阵

小学数学思维训练----数阵一、知识讲解把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图，有时简称数阵。

传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。

有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。

这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。

多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。

我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。

数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字的和相等。

492357816它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解决数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

二、例题解析：例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－例2将自然数1至9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

解：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。

小学数学《数阵图》练习题(含答案)

小学数学《数阵图》练习题（含答案）数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？【例2】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？24273028262218 1720x【例3】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?【例4】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?【例5】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.3（二）辐射型数阵【例6】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【例7】（★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．【例8】（★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.【例9】（★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？（三）其它类型的数阵图【例10】（★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：【例11】（★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：【例12】（★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?+=====----===×÷+=-+=+=1.请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．2.把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.3.把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．4.将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.5.将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？37 5=== =+++++（一）封闭型数阵问题【例13】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？75623841或84362571分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．614532分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围.654321654321654321654321k=9 k=10 k=11 k=12分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.【例14】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？242730282622181720x分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.[拓展]找规律求xx24123082616186452分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，（50--18）×2=64.【例15】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?ihgfedcba分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例16】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形5619372481528763049分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．344341222311分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等. （2）能，见右上图.【例17】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.（二）辐射型数阵【例18】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．635412762534175243716（1）（2）（3）分析：设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a 一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a ÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。

学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)

e
d
同理可分析，中间数也不能填 9，具体过程
同学们自己试试吧。中间数只能填 3 和 6。
f
0
c
接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍，
填 6 的情况同学们就自己试试啦。
a
b
四年级秋季班（七级下） 8.7
2010 年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图
程雪
中间数填 3，每个阴影三角形的和 k=（45-3）÷3=14，
3、出格了怎么办？——卷纸筒，上面出格就卷到下面，右面出格就卷到左面。
4、格子中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。
如，构造三阶具体操作：
1
1
1
1
3
2
2
3
4
2
一居上行正中央
16
3 57
4
2
上出框时往下填
16
35
4
2
右出框时往左填
排重便在下格填
816
（注意是原数 3 的下格）
816
3 57
3 57
五、数独要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。
例 4 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个
数字都是 1,2,3,4。
1234
2
解析：先看对角线，a 处只能填 1，b 处就只能填 3。以此类推，c 填 3，d 填 4，e 填 4……
1 234 c e a d b
二、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（三阶）
具体操作如下：
——九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
1
9
4
9
2
4
2

小学奥数基础教程之数阵图

数阵图(二)
例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

例3将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例4把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。

五年级上奥数试题——第8讲数阵图与数字谜(含解析)人教版

第八讲数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。

【例1】（2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。

【分析】由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。

【例2】（2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。

所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。

【例3】（2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。

表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。

请将表中其它的数全部填好。

C BA【分析】由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。

因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。

可得右下图。

【例4】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

简单数阵图

简单数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图。

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。

二、典例剖析：1．辐射型数阵：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。

对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。

由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。

(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。

(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论。

例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见上图)。

随堂练习：1、将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.2、把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.2、封闭型数阵：例2:将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析：因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。

全国通用四年级上册奥数试题-第8讲数阵图初步

第8讲数阵图初步例1、将1~9这九个数字分别填入右图中的圆圈内，使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15。

现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数。

练习1、在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于20。

例2、在右图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和相等。

现在已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。

练习2、在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相等。

现在已经填入五个数，请将其补充完整。

例3、把1~8这八个数分别填入右图的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字只差都不等于1.练习3、把2、3、4、5、6、8、9、15、17、32这十个数填入下图的圆圈中，使得除第一行之外的每个圆圈的数都等于它上面的两个数之和。

例4、小萱把1、2、3、4、5、6、7、这七个数填入右图的七个方框里，每个数只填一次。

使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15。

问：圆上的三个数的乘积最大是多少？练习4、把1~7这7个数填入右图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等。

例5、把1~11这十一个数填入右边“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的所有数之和都相等。

思考题、把1~8这八个数填入下面“十一”图形的八个空格内，使得每一条直线上的三个数之和都相等。

作业1、在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于14。

2、把1—12这十二个数分别填入六角星图案的十二个圆圈中，使得每条线段上的四个数之和相等。

现在如图已经填好了八个数，请把数阵图补全。

3、在右图的四块空白区域中分别填入2、4、6、8这四个数，使得每个大圈内四个数之和都等于14.4、如图，把1—9这九个数填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数的分别是8、13、16、17，那么心形边界上的四个数字的乘积最小是多少？5、把1—8这八个数填入右边的圆圈内，使得每条线段上的数之和都相等。

简单的数阵图

简单数阵图传说四五千年前，我国黄河、洛水一带经常发生水灾。

大禹治水时，洛水中浮现出一只大乌龟，乌龟背上有9个数（如下图）：这是天给禹的启示，后来用自然数表示（如上图），叫做洛书，外国人称洛书为“中国方阵”。

由于“中国方阵”有许多有趣的现象，如每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等。

所以我们把这样的方阵图叫做幻方。

幻方和数阵是我国丰富的文化遗产之一，明朝程大位、清朝张潮等人，曾创造了丰富多彩的幻方和数阵图。

幻方曾使不少爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这一个数字方阵，纵横排成1256行，任何一条线以及任何对角线各数和都是990693236。

幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法。

例1将1-9九个数字填在图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。

分析与解答1+2+3+……+8+9＝45，是三个横行或纵行数字之和。

因此，每一横行或纵行三个数字之和等于45÷3＝15。

1-9九个数字中，其中三个不同的数相加等于15，只可能是：9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3，6+5+4。

图中每一横行、每一纵行和每一条对角线的三角数必定是其中一个算式中的三个加数。

中心数有4条线红过，要求它能在四个算式中出现，除了5没有其他可选择。

又因为8、2、4、6各出现在三个算式中，所以这四个数应填在四个角上，这样每一格应填哪一个数就可以确定了。

8 1 63 5 74 9 2有罗伯法填幻方很简便，可以有几句话来概括罗伯法：1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

数阵是一种由幻方演变而来的数学图。

数阵可以分为辐射型和封闭型两种。

填数阵时一般先考虑正中间的数，顶角上的数。

例2将1-7七个数，分别填入图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆内的和相等。

高斯小学奥数四年级下册含答案第08讲_复杂数阵图

第八讲复杂数阵图较复杂的数阵图往往给人感觉可能性太多，不知道该怎么去试．而寻找特殊对象可以帮助我们从纷繁复杂的条件中找到最关键的环节进行突破．那什么样的对象在数阵图中可以算特殊呢？比如数阵图要填的若干数中最大或者最小的就算特殊；奇偶性与别的数不同的也算特殊；数阵图中重数最多或最少的空格也算特殊……一个对象只要有与众不同的地方就是特殊．至于什么样的特殊对解题有用，那还得看题目本身．但只要你有一双发现特殊的慧眼，总可以找到那个对解题最有用的“特殊”．例题1请将1～10填入图中的10个圆圈中（其中两个数已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．「分析」根据已有的数字9，图中哪两个圆圈已经可以填出来了？剩下的数中，谁最特殊？请将1~8填入下图的8个方格中，使得a 、b 、c 、d 四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b 填7．那么d 填几？接下来我们重点学习一下数阵图分析中与“重数分析”有关的一些方法．在已知全部填入数字的情况下，我们通常是把所有相同的和相加，通过对每一个数字的重复次数来找出其中的特殊重数，是解题的关键．例题2将1~9填入图中的九个圆圈内，使四条直线上三个圆圈内所填数之和都是15．「分析」如果把四条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？练习2把1~8这八个数填入下边的圆圈内，使得每条直线上的数之和都等于14．例题3把1~7这七个数填入下图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等．如果中心方框内填的数相等，那么就视为同一种填法．请填出所有的可能性．「分析」如果把三条直线的和加起来，每个方框各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个方框的重数比较特殊？这个重数特殊的位置可以填几？有几种可能？把1~9这九个数填入图中的圆圈内，使得三条直线上的所有数之和都是相等．请至少填出两种情况．例题4将数字1，2，3，4，5，6，7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．「分析」如果把两个圆周的和与三条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？练习4如图所示，将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入图中的小圆圈内，使得圆周上的4个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？前面几个例题只有一个特殊格，那么接下来我们来看一下有多个特殊格、多个重数的题目．例题5图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．「分析」如果把三个正方形“加起来”，共12个数相加，相当于把每个方格各加了几次？由此你能得到什么结论？下图中有三个圆环，将1～8填入图中的8个圆圈内，使得每个圆环上4个顶点的数字之和都相等．那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．「分析」把三个圆周和加起来，图中的8个○有几种不同的重数？由此你能得到什么结论？课堂内外阵中国古代作战是非常讲究阵法即作战队形的，称之为“布阵”．布阵得法就能充分发挥军队的战斗力，克敌制胜．中国古代军事史上有名的作战阵法有三种：八阵：战国时大军事家孙膑创造，据说是受了《易经》八卦图的启发，所以又称八卦阵．具体阵势是大将居中，四面各布一队正兵，正兵之间再派出四队机动作战的奇兵，构成八阵．八阵散布成八，复而为一，分合变化，又可组成六十四阵．当年诸葛亮还用石头在四川奉节布设过八阵的方位，作为教练将士演习阵法之用，名为“八阵图”．撒星阵：南宋名将岳飞破金兵“拐子马”的阵法．撒星阵的队形布列如星，连成一排的“拐子马”冲来时士兵散而不聚，使敌人扑空．等敌人后撤时散开的士兵再聚拢过来，猛力扑击敌人，并用刀专砍马腿，以破“拐子马”．鸳鸯阵：明代将领戚继光为抗击倭寇而创设的一种阵法．他把士兵分为三队，当敌人进到百步时第一队士兵发射火器；敌人进到六十步时士兵发射弩箭；敌人进到十步时第三队士兵用刀矛向敌人冲杀．这些变化反映了中国作战阵法从传统的方阵向多兵种的集团阵法演变的过程．作业1.请将2~9填入下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．2.将数字1，3，5，7，9，11，13填入右上图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．3.把1至10填入右图的圆圈内，使得每条直线上的4个数之和都等于23．4.将2至8填入右上图的圆圈中，使得每条直线上的所有数字之和都相等．5.图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．第八讲复杂数阵图1. 例题1答案：详解：20是这里面最大的数，应该在最下端，其中20812=+，再一层的往上推即可．2. 例题2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是4，43⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是15，所有和是45，所以中间数就是5，那么同一条直线上的另外两个数的和就是10，即1、9；2、8；3、7；4、6．3. 例题3答案：其中三种：详解：31272⨯=++++⨯L 公共和中 3282⨯=+⨯公共和中，有三种情况：（1）中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．答案：详解：()51272⨯=+++⨯+L 公共和中556⨯=+公共和中，所以中间数只能为4，公共和=12．直线上除最里面的4，剩下两个数之和为8，分别是17+、26+和35+，然后尝试调整使得圆周的和也都等于12．5. 例题5答案：答案不唯一，中间两数和是7，公共和是24．详解：10个数是2、3、…、10、11，2341165++++=L ．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A 和B 的和可以是4、7、… 要使得和最小，这个和只能是7，所以A 、B 可以填2、5；3、4．而这个相等的和是24．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中两种填法．6. 例题6答案：答案不唯一，2A B C ++⨯必须满足27，公共和是21．详解：重数有三种，A 、B 格的重数是2，C 格的重数是3，其他格都是1；所以A 、B 、C 是特殊格．()32A B C ⨯=++⨯+公共和所有和．所有和是36，所以 2A B C ++⨯可能是9、12、15、… 要这个和最大，所以2A B C ++⨯只能是27，此时公共和是21．A 、B 、C 可以是4、7、8．答案不唯一．4 7 11 8 2 35 9 106 10 9 2 11 3 8 4 6 57 A B答案：详解：b为7，只可能：781=-，而8最大，所以只能在边上，最中间填1．然后注意尝试即可得答案．8.练习2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是3，32⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是14，所有和是36，所以中间数就是3，那么同一条直线上的另外两个数的和就是11，即1、2、8；4、7；5、6．9.练习3答案：其中三种情况：简答：31292⨯=++++⨯L公共和尖3452⨯=+⨯公共和尖，有三种情况：（1）尖=3，公共和=17；（2）中=6，公共和=19；（3）中=9，公共和=21．10.练习4答案：简答：()公共和中L⨯=+++⨯+⨯612922公共和中，所以中间数可以为3、6、9．6902⨯=+⨯（1）如果中=3，则公共和=16，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为13，题目数据无法满足，排除；（2）如果中=6，则公共和=17，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为11，题目数据无法满足，排除；（3）如果中=9，则公共和=18，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为9，则分别为18+．+和45+、36+、27然后尝试调整使得圆周的和也都等于18即可．11.作业1答案：见图简答：7只能是92a=．剩下3、4、5、6、8，-，而9最大，所以2c和d只能是3和4，剩下的根据题中条件依次填出．12.作业2答案：见图简答：将三条直线、两个圆上的数字都加起来，圆上的每个数字都算了2次，而中间的数字算了3次．即1至13这7个数的和的2倍加上中间的数字等于和的5倍．计算可得，这个和为21，中间数字是7．13.作业3答案：见图简答：将三条直线上的数字相加，中间的数字加了3次，其他数字分别加了1次；1至10的和为55，55加上中间数字的两倍等于直线和的3倍，所以中间数字可以4或7或10．直线和为23，所以中间数为7；如图给出了填法．是1或14.作业4答案：见图简答：把每条直线上的数字都加起来，每个上下的六个数字都分别算了两次，中间的数字算了3次．所以70加上中间的数字就等于直线和的5倍，所以中间数字是5，直线和是15．15.作业5答案：28简答：10个数是2、3、4、…、11，2341165+++=L．这个相等的和是22⨯正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A和B的和可以是1、4、7、…要使得和最大，则A和B分别填8、11或9、10．而这个相等的和是28．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中一种填法．A B3511294107 86。

小学数学数阵图

解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七个数字，分别填入 2 图中各个 ○内，使每条线段上的三个 ○内数的和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9，如果每个圆环所填的数的和都相等，那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解最大为14，最小为11
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圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4

三年级思维拓展- 数阵图

（1）8个数的和：1+2+3+4+5+6+7+8=36
（2）要使每个五边形上的5个数和为20，那么2个五边形上的数的总和是：20×2=40.
（3）2个五边形上的数的总和比8个数的和多了：40-36=4
（4）多的6就是五边形交叉点重复计算了2次，即多算了1次。在1--8这8个数中有：1+3=4，所以中间位置填1和3.
思路点拨：观察发现中间的圆重复了3次，题目要求3条线上的和相等，那么，每条线上只要有两个数加起来和都相等，中间重复加任何一个数和也都相等。因为1+7=8,2+6=8,3+5=8，所以将4填在中间，再将分好的数填进圆内即可。
活学巧用：
1.，使每条边上的3个数之和都等于10。
活学巧用：
1.将2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7这6个数填在下面的圆圈里，使每条边上3个数的和等于15。
2.把数字1、2、3、4、5、6分别填入下图的圆圈内，使3条边上3个数字之和等于11。
3.将1——9这九个数填入下图中，使三角形每条边上四个数的和等于19
【例3】：将1--7这7个数填入○中，使每条线上三个数的和都相等。
2.计算出所给数的总和。
3.再计算出各个部分的总和。
4.两和之间找出“重复计算的数的和”，填出关键位置的数，再根据要求尝试，调整，填出其他位置上的数。
精选例题：
【例1】：将1、3、5、7、9这5个数分别填入□中，使每条线上的三个数的和都相等。
思路点拨：因为1、3、5、7、9中，一头一尾组合结果都为10，题目只要求每条线上三个数的和相等，那么，只要每条线上的两个数的和相等了，中间重复计算的数填任何一个，这两条线上的和也就相等了。
（5）先填被重复计算的数字，在通过计算填出其余的数字：2+6+8=16,4+5+7=16.

【精品】数阵图典型题目讲解(可编辑

数阵图典型题目讲解------------------------------------------作者------------------------------------------日期数阵图典型题目讲解【例1】：你能把1--6六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于11吗？【分析】：因为每条边上的和都是11，所以三条边上的数字之和为11333⨯=，在三角形三个顶点上的数都重复算了两次，而12345621+++++=，所以三个角上的三个数之和是332112-=。

在16中，和是12的三个数有可能是156246345、、；，，；，，。

但是当三个数是156、、时，我们发现在一条边上中点那个数找不到，所以删去。

再通过我们的计算发现只有246、、的时候，才能满足条件，所以结果是：135642【解法总结】：做数阵题目，我们的步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。

②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。

③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。

【拓展】：在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字，规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字，并要使每边上四个数字的和都相等。

有（）种不同的填法，每边上四个数的和可以是（）。

【分析】：根据我们做数阵题目的步骤，我们可以发现只有角上四个数是重复了，所以我们可以设角上的数为x，设每条线上四个数的和为y。

而++++++=，那么12348945+=。

这是一个不定方程，我们可以用奇偶分析法。

因为45是奇数，4y x y4534是偶数，所以3x一定为奇数，那么x只可能是、、三、、、、。

我们通过试算发现x只可能是15913579种情况。

【例4】：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，这八个奇数填入下图的八个圆中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。