幂函数与函数图像变换
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
幂函数的性质与图像
⑥ k 0时， 在(0,)上是减函数。（双曲线型）
结论
幂函数 y xk （ k 为常数， k Q ）图像在第一象限的特点:
y xk
定点 线型
k 1
(1,1) ， (0,0) 举手型
k 1
(1,1) ， (0,0) 直线
0k 1
(1,1) ， (0,0) 眉毛型
k 0 (1,1)
直线
k0 (1,1)
双曲线
单调性 (0,)递增
(0,) 递增
(0,) 递增
当 k 0时，都过 (1,1) ， (0,0) ， (0,) 递增
(0,) 递减
四、巩固练习
1、分别作出下列函数在第一象限内的图像：
1
① y x3
一、幂函数的概念
一般地，函数 y xk （ k 为常数， k Q ）叫做幂函数。
注意：幂函数的底数是自变量x，系数是1，指数k是有理数。
例：下列各式中表示幂函数的有
1
A、 y 3x 2
B、 y xx
CEFH
2
C、 y x 3
E、 y 7 x4
F、 y x0.5 G、 y x 2
。
D、 y 2x H、 y x0
思考
能确定幂函数 y xk（ k 为常数，k Q ）的定义域么？
幂函数的性质是由 k 的取值决定的。
二、幂函数性质研究
研究几个熟悉的幂函数
f x x ， g x x1 ， h x x2 它们有什么特点？
例题
5
1.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
2
2.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
幂函数与函数的图像变换
幂函数与函数的图象变换1．幂函数定义：形如y＝xα的函数叫做幂函数(α为常数)．
要重点掌握α＝1,2,3，1
2，－1,0，－
1
2，－2时的幂函数．
2．幂函数的图象：(只作出第一象限图象)
幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．
α
(1)当α>0时，幂函数图象都过________点和________点；且在第一象限都是______函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的______．
(2)当α<0时，幂函数图象总经过________点，且在第一象限为________函数．
(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．
4．有关结论
若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．。
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
高中函数图像及其平移与变换
基本初等函数的图像1.一次函数性质： 一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减 2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
7. 幂函数性质：先看第一象限，即 x>0 时，当 a>1 时，函数越增越快；当0<a<1 时，函数越增越慢；当 a<0 时，函数单调递减；然后当x<0 时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
8. 正弦函数、余弦函数、正切函数函数图像的变换 1 平移变换（1）水平平移： 函数 y = f（x + a）的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到； （2）竖直平移： 函数 y = f（x） + a 的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。
2 对称变换（1）函数 y = f（-x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到； （2）函数 y = - f（x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数 y = - f（-x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于原点对称即可得到；3 翻折变换（1）函数 y =｜ f（x）｜ 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉x轴下方部分，并保留 y =f（x）的x轴上方部分即可得到；（2）函数 y = f（｜x｜） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y =f（x）在y轴右边部分即可得到。
幂函数的性质与变化规律
幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。
本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。
一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。
特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。
幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。
（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。
在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。
对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。
2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。
3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。
4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。
只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。
幂函数和函数图像的变换
1幂函数和函数图像的变换（一）幂函数：（二）主要方法：1．熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象． 2．作图(1)描点法作图步骤： ①确定定义域； ②化简解析式；③确定函数图象的特殊点； ④讨论函数的性质； ⑤描点连线． （2）图像的变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； （5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不2变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5. 具有对称性的抽象函数：①函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f -=+，则()x f 是关于直线2b a y +=对称的函数.②函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f --=+，则()x f 是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称的函数.（三）例题分析：1.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是( )解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y 轴对称,故B 错误.答案:B2.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义. 答案:D3.先作与函数 12y lgx=-的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x 对称,则y=f(x)的解析式是()A.y=10xB.y=10x－2 C.y=lgx D.y=lg(x－2)3答案:A4.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为()解析:作出函数y=log a x(0<a<1)的图象,然后保留y 轴右侧不变,再将y 轴右侧对称到左侧,得y=loga|x|,再将所得图象向上平移一个单位,点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1),故A 正确. 答案:A5.()()21,[1,0),f x 1,[0,1],.x x x x ∈+-⎧=⎨+⎩已知则下列函数的图象错误的是[解析]f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在 y 轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象 关于y 轴对称得到;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x 轴下方部分关于x 轴翻转180°,其余部分不变,故D 错. [答案]D6.若直线y=2a 与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有2个公共点,求a 的取值范围.402a 1,a 10,.2⎛ ∈⎪<<⎫⎝⎭由图知所以7．函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 解析：∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝1()x x ---＝1()x x--＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，它的图象关于原点对称．答案：C8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：∵f (x )是[－5,5]上的奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，由图象知f (x )<0的解集是{x |－2<x <0或2<x ≤5}． 答案：{x |－2<x <0或2<x≤5}。
幂函数与函数图像-课件
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
│ 要点探究
[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
│ 要点探究
B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
│ 知识梳理
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
│ 知识梳理
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
幂函数、图像变换,零点(一、二)
15-16．幂函数、图像变换、零点【知识要点归纳】 一．幂函数1.幂函数的定义：一般地，形如 （x R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，n 是常数2.请在同一坐标系下画出y=x,y=21x ,y=x 2,y=x -1,y=x 3的图象，并填写下表。
3.总结幂函数图像的画法4.幂函数的性质二．函数图像的四种变换规律 1.平移变换：2.翻折变换：3.对称变换：4.伸缩变换：三．函数的零点1.定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
2.零点存在性定理：如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根3.求零点的方法：【经典例题】例1:画出下列函数图像（1）73y x=；（2）y＝32x；（3）y＝13x－；（4）y＝43x；（5）y＝x25例2：幂函数273235()(1)t tf x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.例3：若f(x)＝x1－n2＋2n＋3(n∈Z)的图像在[0，＋∞]上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．例4：直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .例5.下列区间中，函数()f x =ln(2)x ∣-∣在其上为增函数的是 （A ）（-,1∞] （B ）41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）)30,2⎡⎢⎣（D ）[)1,2例6：函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）例7：函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)例8：已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.例9：已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .例10：已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n =x n n n N ∈+∈则 .【课堂练习】1.如图所示，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n 取±2、±21四个值，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 . 答案 2，21，-21，-22.若集合A ＝{y |y ＝x 13 ，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1,1]C ．∅D ．{1}[答案]D3.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 答案：Ｂ．4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （ ）（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 答案：B5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞答案：C 易错点：极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +≥,从而错选D, 【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a a=+1由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞ 6.用表示a ，b 两数中的最小值。
幂函数与函数的图像变换
第 六 节 幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________． 幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。
4.1.1幂函数的的性质与图像(一)(2课时)
0.1
1
2
3
4
5
1
2
1
2
0.7 1.0
1.4
0.3 1.0
4.0
一、幂函数的概念
y xk,k 0
图像必过 (0,0), (1,1)
在 [0, ) 上为增函数
证：设 k n , n, m N *
m
6
7
0 x1 x2
0 x1n x2n 0 m x1n m x2n
x1k x2k
3
x
1
4
1
x2
0.5
x2
0.1
x3
0.0
1
2
1
0.7 1.0
0.3 1.0
0.1 1.0
2
3
1.4 1.7
4.0 9.0
8.0 27.0
二、幂函数4.54 的图像研究
3.5 3
2.5 2
1.5 1
0.5
-4
-3
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
x
1 -3.5
4 -4
1
-4.5
x2
0.5
x2
k 1
k 1
2.2
2
0 k 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
k 0
0.8
0.6
0.4 7
k0
0.2
-1
-0.5
6
6
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.2
7
5
5
四、幂函数的奇偶性 -0.4
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质幂函数的图像与性质是指，如果将一个函数定义为f(x)=ax，其中a是一个正常数，那么这个函数就叫做幂函数。
注意，这里的x不必要是整数，可以是任意实数值。
一般来说，如果a>0，则函数的图形表示为一条递增的直线；如果a<0，则函数的图形表示为一条递减的直线；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线。
在函数的图形中，如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
在函数的性质方面，幂函数的表达式可以写成y=ax，其中a是一个实数，x是一个实数变量，y是一个实数函数。
事实上，它是一个特殊的多项式函数，可以用指数形式表示，即y=ax=e^(lna)x=exlnax。
如果a>0，则此函数在定义域中是递增函数；如果a<0，则此函数在定义域中是递减函数；如果a=1，则此函数在定义域中是一条水平线。
另外，幂函数的导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
此外，幂函数的图形也会因其中的参数a的值的大小而有所不同。
如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
综上所述，幂函数的图形与性质取决于参数a的值，它是一个特殊的多项式函数，其导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
幂函数及图像变换
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象．
)
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Hale Waihona Puke 第二章函 数已知 P 为圆 x2 ＋ (y － 1)2 ＝ 1 上任意一点 ( 原点 O 除外 ) ，
直线 OP 的倾斜角为 θ 弧度，记 d ＝ |OP|. 在图中的坐标系中， 画出以(θ，d)为坐标的点的轨迹大致图形．
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第二章
函 数
一般幂函数图象的形状特征及其分布．
对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝x的图象是直
线；当 α ＝ 0 时， y ＝ x0 ＝ 1(x≠0) 的图象是直线 ( 不包括 (0,1) 点)．其它一般情况的图象如下表：
难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
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第二章
函 数
知识归纳 一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函数 2 2 2．图象：(只作出第一象限图象)
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第二章
函 数
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幂函数的性质与图像第一象限
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数， 其中x是自变量，n是常数。(n∈R)
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2 （4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数 的奇偶性,画出函数在其他象限还有些图像有何规律？ (1) y x2，y x3
1
1
(2) y x 2，y x3
(3) y x1，y x2
合作 讨论
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
1、当 0时，
(1)图像过定点0，0和1，1；
(2)函数在0， 是增函数，
即在第一象限是增函 数； (3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近． 即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛物线型(图2)．
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定点 1，1；
(2)函数在0， 是减函数，
即在第一象限是减函 数；
(3)图像是双曲线型的，
图像与x轴和y轴无限接近但永远不相交(图3)．
3、当 0时，
y
图像是除去0，1点的一条射线． 1
o 图4 x
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定点1，1
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
幂函数与函数图象
教师寄语：有一线希望，就做好百分的准备，决不许成功与自己擦肩而过！四 巩固练习1、把函数2(2)2yx =-+的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数解析式是（ ） Ａ2(3)3y x =-+ Ｂ2(3)1y x =-+ Ｃ 2(1)3y x =-+ Ｄ 2(1)1y x =-+ 2、已知10a -<<，则（ ） Ａ 1(0.2)()(2)2aa a >> Ｂ 1(2)(0.2)()2a aa >>Ｃ1()(0.2)(2)2a a a >> Ｄ1(2)()(0.2)2a a a >>3、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）Ａsin ,y x x R =∈ Ｂ1,2xy x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭Ｃ,y x x R =∈Ｄ3,yx x R =-∈4、5、（09年山东高考）函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致是（ ）6、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（ ）Ａ[)1,-+∞ Ｂ[)0,+∞ Ｃ(),-∞+∞ Ｄ(),0-∞7、【2008 山东卷】设函数()1f x x x a=++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为（） Ａ3 Ｂ2 Ｃ1 Ｄ1-8、右图中的曲线是幂函数ny x=在第一象限的图像，已知n可取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为（ ） Ａ112,,,222--Ｂ112,,,222--Ｃ11,2,2,22--Ｄ112,,2,22--9、（ ）10.用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值，若函数{}()min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值 。
11..画出下列函数的简图：（1）2y x x=- （2）22y x x =--走进高考 1、函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）2、（12湖北文）已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为（ ）。
对幂函数及其性质经典题型总结
对幂函数及其性质经典题型总结幂函数是高中数学中的基本函数之一，它的形式为 $f(x) =ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
本文将对幂函数及其性质的常见题型进行总结。
幂函数的图像特点幂函数的图像特点与幂指数 $b$ 的正负和大小有关。
以下是幂函数 $f(x) = ax^b$ 的图像特点总结：- 当 $b > 0$ 时，函数图像从原点出发，随着 $x$ 的增大而不断上升或下降。
当 $a > 0$ 时，图像上升；当 $a < 0$ 时，图像下降。
- 当 $b 0$ 时，图像在 $x$ 轴上方；当 $a < 0$ 时，图像在$x$ 轴下方。
- 当 $b = 0$ 时，函数图像为常数函数，与 $a$ 有关。
幂函数图像的平移和伸缩对于幂函数 $f(x) = ax^b$，我们可以通过平移和伸缩来改变函数的图像。
以下是常见的变换方式：- 左右平移：将函数图像水平平移 $c$ 个单位，得到 $f(x - c)$。
正值 $c$ 向右平移，负值 $c$ 向左平移。
- 上下平移：将函数图像垂直平移 $d$ 个单位，得到 $f(x) + d$。
正值 $d$ 向上平移，负值 $d$ 向下平移。
- 水平伸缩：将函数图像水平方向伸缩为原来的 $k$ 倍，得到$f(kx)$。
若 $k > 1$，则图像变窄；若 $0 < k < 1$，则图像变宽。
- 垂直伸缩：将函数图像垂直方向伸缩为原来的 $k$ 倍，得到$kf(x)$。
若 $k > 1$，则图像变高；若 $0 < k < 1$，则图像变矮。
幂函数的性质与求导幂函数具有一些常见的性质，其中与导数相关的有以下两条：1. 幂函数 $f(x) = ax^b$ 在其定义域上可导。
对于 $b \neq 0$，它的导函数为 $f'(x) = abx^{b-1}$。
2. 幂函数的导数在定义域上具有以下特点：- 当 $b > 0$ 时，导数大于 $0$，表示函数单调递增。
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幂函数与函数图像变换
考纲导读
1．了解幂函数的概念，结合函数y x =，2
y x =，3y x =，
1y x
=，
12
y x
=的
图像了解它们的变化情况；
2．掌握初等函数图像变换的常用方法． 一、定义：形如(R )y x αα=∈是常数的函数．
二、图像：
a (a Q)y x =∈
其它部分的图像由定义域及奇偶性，对称确定．
注意：作出11111,,,,,1,2,32332
α=---在第一象限的图像． 利用性质补齐第二或三象限的图像． 三、 性质：（结合图像）
1、过定点
2、单调性
3、奇偶性
4、渐近线
5、幂函数图像的分布：
210122
1
1
2
011x x x x x x x x x x x x ----<<>>>>>>><<<<<<
当时,当时,
分数指数能够“加塞儿”
四、例题分析
例1、利用函数性质比较大小：11136
22,3,6
解析：
例2、已知幂函数()y f x =的图像过点（2
，
2
），试求此函数的 解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 解析：
例3、设m ∈N *
，已知函数
22
234
()(2)m m f x m m x
+-=-⋅在(0,+∞)上是增函数．
（1）求函数f(x)的解析式
（2）设22
[()]()(0)()
f x
g x f x λλ+=
≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值． 解析： （1） (2)
评注：本题综合考查幂函数的定义，函数的单调性定义及单调区间， 求函数最值以及分类讨论的思想等，综合性较强．
五、初等函数图像变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数． （三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
问题：2
()f x x =的图像变换，2
2
(1),1,y x y x =+=+
222,||y x y x ==
（1）平移变换
y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图像左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图像上（b 0>）、下（b 0<）平移
（2）对称变换
y =f (x ) →y =f (－x ), 图像关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图像关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图像关于原点对称
y =f (x )→1()y f x -= 图像关于直线y =x 对称
（3）翻折变换：
y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图像保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像 关于x 轴对称 一个重要结论：
若f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y =f (x )的图像关于直线x =a 对称；
例4、作出下列函数的图像： （1）21
1
x y x -=
+
（2）223y x x =--
（3）(1)2(1)x
x y x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩。