第07讲平面向量的数量积

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《平面向量的数量积》几何教学微课

《平面向量的数量积》几何教学微课本微课将介绍平面向量的数量积。

数量积也被称为点乘或内积，它是向量运算中的一种重要运算。

首先，让我们回顾一下平面向量的概念。

平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。

在平面坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序对 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴的分量。

数量积是两个向量的乘积，它的结果是一个标量而不是一个向量。

数量积的计算公式如下：A ·B = |A| |B| cosθ其中 A 和 B 分别是两个向量，|A| 和 |B| 表示它们的长度，θ表示它们之间的夹角。

现在让我们来看一个具体的示例来说明数量积的应用。

假设有两个向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)。

现在我们想要计算它们的数量积。

首先，我们需要计算两个向量的长度。

A 的长度 |A| = √(2² + 3²) = √13，B 的长度|B| = √(4² + (-1)²) = √17。

接下来，我们需要计算两个向量之间的夹角。

可以通过向量的内积公式来计算：A ·B = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5然后，将长度和夹角代入数量积公式中：A ·B = |A| |B| cosθ5 = √13 * √17 * cosθ通过解这个方程，我们可以计算出夹角θ的值。

通过这个示例，我们可以看到，数量积可以帮助我们计算两个向量之间的夹角。

这在很多几何和物理问题中都是非常有用的。

总结一下，数量积是平面向量的一种重要运算，它可以帮助我们计算两个向量之间的夹角。

数量积的计算公式是 A · B = |A| |B| cosθ，其中 A 和 B 是两个向量，|A| 和|B| 是它们的长度，θ是它们之间的夹角。

通过计算向量的长度和夹角，我们可以得到数量积的值。

希望这个微课能够帮助你理解平面向量的数量积的概念和应用。

平面向量的数量积(公开课)

平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。

让我们来搞清楚什么是平面向量。

想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。

现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。

那么，这条线段就变成了一个向量。

那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。

那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。

用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。

这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。

假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。

那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。

所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。

这就是平面向量的数量积。

那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。

比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。

所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。

好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。

如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。

这样一来，问题就变得简单多了。

平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。

希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。

好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。

《平面向量的数量积》课件

平面向量的数量积
目录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。

平面向量的数量积

平面向量的数量积为了更好地理解平面向量的数量积及其相关概念，我们先从基本定义开始。

1. 数量积的定义平面中的两个向量a和b的数量积（也称为点积或内积）定义为：a · b = |a| |b| cosθ，其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。

2. 计算数量积对于已知两个向量a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，我们可以通过以下步骤计算它们的数量积：a ·b = a₁b₁ + a₂b₂3. 物理意义平面向量的数量积在物理学中具有重要的意义。

根据定义，当两个向量的夹角为0度时（即cosθ=1），数量积达到最大值。

而当两个向量的夹角为90度时（即cosθ=0），数量积为0。

这一性质使得数量积能够帮助我们判断向量之间的垂直关系。

4. 判断两个向量的垂直关系根据数量积的性质，如果两个非零向量a和b的数量积为0，则可以判断它们垂直。

也就是说，a · b = 0当且仅当a和b垂直。

5. 数量积的性质（1）交换律：a · b = b · a（2）分配律：(a + b) · c = a · c + b · c（3）数量积与夹角的关系：a · b = |a| |b| cosθ6. 应用示例（1）计算向量的模：根据数量积的定义，我们可以通过a · a = |a|²来计算向量a的模。

（2）计算向量的夹角：根据数量积的定义，我们可以通过θ = arccos(a · b / (|a| |b|))来计算向量a和b之间的夹角。

总结:平面向量的数量积是一种重要的概念，它可以帮助我们判断向量之间的垂直关系，并且在物理学等领域有广泛的应用。

了解和理解平面向量的数量积的定义、计算方法和相关性质，将有助于我们更好地理解和应用向量的概念。

以上就是关于平面向量的数量积的内容，希望对您有所帮助。

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》

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教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cosq，（0）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用代替.（3）在实数中，若a?0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程复习引入：.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=五，课堂小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

平面向量数量积的含义

当0°≤θ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。
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a b=|a||b|cos
已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 =120 ，求a b。
解：a b |a||b|cos
5 4 cos120
5 4( 1)
Page 29
小结:
本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：
1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义） 2、由数量积求向量的模 3、由数量积确定两向量的夹角 4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直 5、判断三角形的形状
Page 30
作业: P108 习题2.4A组：
1，2，3，6，7.
B

4
3

1 2

6
进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角
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练习一：
(1)已知 a b 12，a 4, b 3, 则向量 a 在向量 b
上的投影为 4 。
(2)已知△ABC中 AB a,CA b ,当 a b 0 时,ΔABC是
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重要结论：
1.ABC中, 若OA OB OC 0, 则O为ABC的重心.
2.ABC中, 若OA OB OB OC OA OC, 则O为ABC的垂心.
3.ABC中, 若OA OB OC 0, 且 OA OB OC , 则ABC为等边三角形.
④.若a b 0,则a、b中至少有一个为0. 假
⑤ 0a 0 真
⑥ 0a 0 假
⑦若 b 0 ，a b b c ，

平面向量的数量积及运算律的课件

REPORTING
THANKS
感谢观看
分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数量积满足分配律，即一个向量与一个标量的乘积与该向量与一个向量的数量积相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意味着一个向量与一个标量的乘积可以分配到该向量的各个分量上。这个性质在解决物理问题和几何问题中非常有用，因为它允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。

《平面向量数量积》课件

向量夹角的度数等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积
根据向量数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的乘积。因此，当夹角为θ度时，θ等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积。
THANK YOU
向量数量积的正负与夹角余弦值正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角时，数量积的绝对值等于两向量模的乘积。
向量数量积与向量夹角的关系
向量夹角与数量积的正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角时，数量积为0。
公式
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$为向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
表示向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$在夹角$theta$方向上的投影长度乘积。
分配律
总结词
平面向量数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
详细描述
根据平面向量数量积的运算性质，我们可以将$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c})$展开为 $vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。这是因为数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b}

数学复习：平面向量数量积的计算

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件

(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业

平面向量的数量积

平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是向量分析中的一项重要运算。

它能够通过计算两个向量之间的夹角以及它们长度的乘积来得到一个标量值。

本文将详细介绍平面向量的数量积的定义、性质以及在几何和物理学中的应用。

1. 定义平面向量的数量积定义为两个向量的模长乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

设有向量A和向量B，它们的数量积表示为A·B。

2. 计算公式设向量A的坐标表示为A = (x1, y1)，向量B的坐标表示为B = (x2, y2)，则向量A和向量B的数量积计算公式如下：A·B = x1 * x2 + y1 * y23. 性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C，其中C为另一个向量- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为标量- 长度与夹角之间的关系：A·B = |A| * |B| * cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角4. 几何解释平面向量的数量积在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们判断两个向量之间的相对方向以及它们之间的夹角大小。

具体来说：- 若A·B > 0，表示向量A和向量B之间的夹角为锐角；- 若A·B < 0，表示向量A和向量B之间的夹角为钝角；- 若A·B = 0，表示向量A和向量B之间的夹角为直角。

5. 物理应用平面向量的数量积在物理学中也具有广泛的应用。

以下是一些例子：- 力的正交分解：当一个力作用于物体上的某一点时，可以将该力分解为两个正交的力，其中一个力与位移方向相同，被称为平行力；另一个力与位移方向垂直，被称为法向力。

这种分解可以使用数量积来实现。

- 功的计算：当一个力作用于物体上并使其沿着某一位移方向移动时，功可以通过力和位移的数量积来计算。

平面向量的数量积课件

简化计算过程。
乘法交换律
在计算数量积时，可以运用乘法交换律，将向量的顺序进行交换
，从而得到不同的结果。
代数化简
在计算数量积时，可以通过代数化简的方法，将复杂的表达式进行化简，从而得到更简洁的结果
。
向量分解技巧
向量分解
在计算数量积时，可以将向量分解为若干个简单向量的和或差，从而简化计算过程。
单位向量的运用
单位向量是模长为1的向量，在计算数量积时，可以运用单位向量的性质，将复杂的向量进行转化。
向量投影
在计算数量积时，可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到一个新的向量，简化计算过程。
坐标变换技巧
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坐标变换
在计算数量积时，可以通过坐标变换的方法，将复杂的几何问题转化为代数问题，从而简化计算过程。
在解析几何中的应用
直线方程
利用平面向量数量积，可以推导直线的方程，特别是当已知直线上两点坐标时。
平面方程
通过平面向量数量积，可以推导平面的方程，例如已知平面上的三个点坐标时。
曲线方程
利用平面向量数量积，可以推导曲线的方程，特别是当已知曲线上两点坐标时。
在物理中的应用
力的合成与分解
与自身正交时取等号。
交换律
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积课件
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平面向量的数量积

平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。

平面向量的数量积课件

已知$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2,2)$，求$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
进阶习题1
平面向量数量积等于两向量长度之积与其夹角的余弦值之积。
当两向量夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。
角度
长度
平面向量数量积的结果是一个实数，其值始终为非负数。
正定性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$。
进阶习题2
已知$overset{longrightarrow}{a} = (2, - 3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (x,y)$，若$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积为0，求$x$和$y$的值。
利用平面向量数量积，可以求解三角形中的一些问题，例如求三角形的边长或角度。
03
02
01
通过平面向量数量积，可以求解两条直线的交点坐标。
求解交点
利用平面向量数量积的性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。
判断平行或垂直
在解析几何中，一些复杂的问题可以通过平面向量数量积进行简化。
简化几何问题
在物理学中，力是向量，力的合成与分解可以通过平面向量数量积进行计算。

平面向量数量积课件

综合练习题
总结词
综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。
详细描述
综合练习题是平面向量数量积练习题的最高级别，需要学生综合运用平面向量数量积的知识，解决实际问题。这些练习题会涉及多个知识点和多种解题技巧，包括利用向量数量积的运算规则进行复杂向量问题的运算、利用向量数量积的几何意义解决与几何图形相关的问题等。通过这些练习题，学生可以培养综合运用知识的能力和解决实际问题的能力，提高对平面向量数量积的综合运用水平。
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在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，可以将一个力分解为多个方向的力，然后通过计算各个方向的力与物体质量的关系，得到物体加速度等物理量。
速度与加速度
能量与动量
在物理中，能量和动量是两个重要的物理量，可以通过计算向量数量积来计算它们的变化。
可以通过计算速度和加速度的数量积来计算物体在某可以表示两个向量在某个方向上的投影分量的乘积。例如，在力学中，力的大小和方向可以用一个向量来表示，而力的作用点也可以用一个向量来表示。当两个力作用于同一物体上时，它们会产生一个合力，这个合力的方向和大小可以通过两
个力的数量积来计算。
02
平面向量数量积的运算
数量积的运算律与性质
平面向量数量积的例题解析
基础题解析
总结词
掌握平面向量数量积的基本概念和性质，熟悉向量数量积的运算规则。
详细描述
通过分析例题，让学生了解平面向量数量积的基本概念和性质，掌握向量数量积的运算规则，包括如何进行向量的数乘、向量的加法、向量的减法以及向量的数乘、向量的加法、向量的减法的混合运算。同时，让学生了解平面向量数量积在几何和物理问题中的重要应用，例如在求解距离、夹角等问题中的应用。

第07讲平面向量的数量积

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