第五章线性定常系统的综合
第5章_线性定常系统的综合
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
5.3 现代控制理论系统镇定解析
原系统的能控性分解为
1 0 0 1 0 x1 x1 1 2 1 0 1 u x2 0 0 1 x 0 0
由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可 得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
A11 A12 A P APc , 0 A22
1 c
B1 BP B 0 Nhomakorabea2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 1 2 0 1
~ ~ ~, 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A 11 B1 K1 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。
第五章 线性系统综合
5.3 系统镇定
受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳 定,这样的问题称为镇定问题。
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条 件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设 计目标;
~ ~ ~ C CPc [C1 C2 ]
其中, c ( A11 , B1 , C1 ) 为完全能控子系统; nc ( A22 ,0, C2 )为完全不 能控子系统。
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
现代控制理论习题
现代控制理论习题《现代控制理论》练习题判断题1. 由⼀个状态空间模型可以确定惟⼀⼀个传递函数。
3. 对⼀个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也⼀定是输出能控的。
4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是⼀致的。
5. 对⼀个系统，只能选取⼀组状态变量；6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态⽅程的系统矩阵，进⽽决定系统的动态特性；7. 状态反馈不改变系统的能控性。
8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是⼤范围渐近稳定的；10. 相⽐于经典控制理论，现代控制理论的⼀个显著优点是可以⽤时域法直接进⾏系统的分析和设计。
11. 传递函数的状态空间实现不唯⼀的⼀个主要原因是状态变量选取不唯⼀。
12. 状态变量是⽤于完全描述系统动态⾏为的⼀组变量，因此都是具有物理意义。
13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
15. ⼀个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置⽆关。
16. 若⼀线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意⼀个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
18. 如果⼀个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
填空题l ．系统状态完全能控是指。
2．系统状态的能观性是指。
3．系统的对偶原理：。
4．对于⼀个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解为、、、、的四个⼦系统。
5．对于单输⼊单输出系统，系统能控、能观的充要条是是。
7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义为：。
10．受控系统∑),,(C B A ，采⽤状态反馈能镇定的充分必要条件是。
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
现代控制理论习题集
定义状态变量为
利用状态反馈控制律 ，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中
试确定必需的状态反馈增益矩阵K。
5.5试用MATLAB求解习题4.6。
5.6给定线性定常系统
式中
试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为 ，即最小阶观测器所期望的特征方程为 。
11122100021x?xux?x??????????????????????????21122100011x?xux?x????????????????????????31122010011x?xux?x????????????????????????试分别研究有无最优控制使下列性能指标21222012jxxudt?取极小值
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
4.4试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
试求最优控制 ，使下列性能指标
取最小值。
6.2求从 到直线 之间距离最短的曲线及最优终端时间。
6.3系统状态方程及边界条件为：
试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。
6.4设系统状态方程及初始条件为
未给定，试求最有控制及 使下列指标取极值，并求出最优轨线。
6.5设系统状态方程及初始条件为：
《现代控制理论》课程教学大纲
《现代控制理论》课程教学大纲课程名称：现代控制理论课程类别：任意选修课适用专业：电子信息工程考核方式：考查总学时、学分：24学时1.5学分一、课程性质、教学目标《现代控制理论》是在“古典控制理论”的基础上，基于“线性代数”理论发展起来的一种自动控制系统性能分析与设计的新方法。
它由“古典控制理论”中的对单输入单输出系统的描述过渡到对多输入多输出系统的描述、由“古典控制理论”中对系统的外部性能分析过渡到内部性能分析、由“古典控制理论”中便于手工求解的数学模型过渡到便于计算机求解的数学模型。
为学生后续深造的课程《线性系统理论及应用》、《智能控制系统及应用》的学习打下必要的理论知识和实践基础。
其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：掌握控制系统数学模型含义，系统数学模型的类型及相互关系，并能够建立常用线性系统的数学模型。
课程教学目标2：掌握线性控制系统状态方程的求解方法。
课程教学目标3：掌握控制系统的能控性和能观测性判据，并利用判据判断系统的能控性和能观测性。
通过本课程的学习,使学生掌握有关运用状态空间分析法定量和定性分析及综合控制系统的基本理论、基本方法,为学习后续课程打下基础。
三、先修课程高等数学、大学物理、电路分析、模拟电路、数字电路、高频电路、信号与系统、线性代数、自动控制原理。
四、课程教学重、难点教学重点：控制系统数学模型的建立，线性控制系统的运动能控性与能观测性和稳定性分析，线性定常系统的综合；教学难点：线性定常系统的综合。
五、课程教学方法与教学手段教学方法：讲授式教学方法、讨论式教学方法、导学式教学方法；教学手段：多媒体辅助教学。
六、课程教学内容绪论（1学时）1．教学内容(1) 自动控制与控制理论；(2) 控制理论发展简况；(3) 现代控制理论的基本内容；(4) 本课程的基本任务。
2．重、难点提示(1) 重点是控制理论的基本内容、本课程的基本任务；(2) 难点是控制理论的基本内容。
第一章控制系统的数学模型（5学时）1．教学内容(1) 状态空间表达式；(2) 由微分方程求状态空间表达式；(3) 传递函数矩阵；(4) 离散系统的数学描述；(5) 线性变换；(6) 组合系统的数学描述；(7) 利用MATLAB进行模型的转换。
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
燕山大学考研自动控制原理复习大纲
自动控制原理发布日期:2011-8-27 15:29:51新闻来自:本站原创考试内容包括古典控制理论（不包含采样控制系统和非线性部分）与现代控制理论（只包含三章的内容）两部分，古典控制理论内容占70%，现代控制理论内容占30%。
古典控制理论部分第一章绪论1. 掌握自动控制系统的工作原理、自动控制系统的组成与几种不同分类。
2. 重点掌握反馈的概念、基本控制方式、对控制系统的基本要求。
第二章线性系统的数学模型控制理论的两大任务是系统分析与系统设计，系统分析和设计中首先要建立被研究系统的数学模型。
本章主要给出古典控制理论使用的系统数学模型——传递函数的建立。
本章要求：1．掌握的概念：传递函数；极点、零点；开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数；典型环节的传递函数。
2．掌握建立电气系统、机械系统的微分方程和传递函数模型的方法。
3．重点掌握方框图化简或信号流图梅森增益公式获得系统传递函数的建模方法。
第三章控制系统时域分析根据研究系统采用的不同数学模型，分析方法是不同的，本章给出利用系统传递函数数学模型求取时间响应的系统时域分析法。
主要是分析系统的三大基本性能，即系统的稳（稳定性）、准（准确性）、快（快速性）。
稳定性是系统工作的必要条件；快速性和相对稳定程度（振荡幅度）是评价系统动态响应的性能指标；准确性是指系统稳态响应的稳态精度，用稳态误差来衡量，需注意：讨论的稳态误差是指由输入信号和系统结构引起的系统稳态时的误差。
本章要求：1．掌握的概念：稳定性；动态（或暂态）性能指标（最大超调量、上升时间、峰值时间、调整时间）；稳态（静态）性能指标（稳态误差）；一阶、二阶系统的主要特征参量；欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统特点；主导极点。
2．重点掌握系统稳定性判别（Routh判据）；稳态误差终值计算（包括三个稳态误差系数的计算）；二阶系统动态性能指标计算。
3．掌握利用主导极点对高阶系统模型的简化与性能分析。
第四章根轨迹法闭环系统特征方程的根（系统闭环极点）在S平面的分布完全决定了系统的稳定性、主要决定了系统的动态性能，因此利用根轨迹（闭环系统特征方程的根随系统参数变化在S平面所形成的轨迹）可对系统性能进行分析。
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
现代控制理论（第五章）
+ −
u = −Hy = −HCx
x+= y=
+Ax Cx
+
Bu
−
Hy
=
(
A
-
HC
)
x
+ Bu
反馈至参 考输入
常用输出反 4 馈
反馈控制的性质
对于任意的 F，一定有 K = FC ，但反之不成立
x = A x + B u y = Cx
状态反馈
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br y = Cx x = Ax + B(r - Fy) = ( A - BFC)x + Br y = Cx
7
例：考虑系统在状态反馈u=-[1 0]x下的闭环系统能 控能观性
能控
不能观
8
【例】系统
S ： X
=
⎡1 ⎢⎣3
2⎤ 1 ⎥⎦ X
+
⎡0⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦U ,
y
= [1
2 ]X
此时系统可控可观。
若 加 上 状 态 反 馈 U = V − [3 1] X
则 S· : X
=
⎡1 ⎢⎣ 0
2⎤ 0 ⎥⎦
பைடு நூலகம்−BFC −BFC
10
定理5.3 输出至状态微分反馈，不改变系统能观性， 但可能改变系统的能控性
如何记忆
状态反馈：不改变可控性
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br
输出至状态微分反馈：不改变可观性
x = Ax + Bu − Hy = ( A - HC)x + Bu
线性定常系统的综合
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
反馈信息上：状态反馈优于输出反馈 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-2
Im [s]平面 Re
Im
[s]平面 Re
2阶系统
2阶系统
3阶系统 1阶系统 1阶系统
3阶系统
期望的极点的选择
– 对于 n 阶系统，必须给出 n 个期望的极点 – 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数 – 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求
极点配置：设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组 合理的、具有期望性能指标的极点 经典控制理论
– 超前校正、滞后校正、PID校正，通过改变极点的位置来改 善性能指标，本质上均属于极点配置方法
现代控制理论
– 如何选择状态反馈阵K，使得闭环系统的极点位于期望极点 上
Ax Bu 线性定常系统（单输入单输出） x
4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
一般D=0
Ax Bu x 原系统： y Cx
G( s) C( sI A) 1 B
推论：输出反馈不改变系统的能控性
现代控制理论知识点总结
现代控制理论知识点总结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
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动 控
5.2
极点配置问题
制
理 论
5.3
系统镇定问题
5.4 系统解耦问题
5.5 状态观测器
5.6 利用状态观测器实现状态反馈
本章小结和作业
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
状态反馈
自 ➢ 反馈的两种基本形式
动 控
输出反馈
制
理 一、状态反馈
C[sI
(A bK )]1b
s s2
1 s
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11
产生了零极点对消，从而破坏了系统的能观性。
自
动 控
定理2：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。
制 证明见教材p173。
理
论
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5.2 极点配置问题
极点配置问题：是通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系
动
达式：
控 制
X AX Bu AX B(KX v) (A BK)X Bv
理 论
Y CX Du CX D(KX v) (C DK)X Dv
若D＝0，则为：
X ( A BK ) X Bv
Y CX
记为：k [( A BK ), B,C]
首页 闭环传递函数阵为： Wk (s) C[sI ( A BK )]1 B
Wh (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
结束
[I HW0 (s)]1W0 (s)
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6
特性：
自 H：r×m维；K：r×n维，由于m<n，故H的可供选择的自
动
由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈，但是比较
控 制
容易实现。
理 论
三、从输出到
X
的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
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A
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G
结束
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2020AX Bu G(CX Du)
自
(A GC)X (B GD)u
动
控 制
Y CX Du
理
论 若D＝0，则 X ( A GC) X Bu
Y CX
四、动态补偿器
直接引入一个子系统来改善系统的性能。如：
第五章 线性定常系统的综合
➢ 前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。
自 ➢ 系统的描述
动 控 制
主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、 外部描述)之间的相互转换等；
理 论
➢ 系统的分析
主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统
的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性
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v
d : ( Ad , Bd ,Cd )
0 : ( A, B,C) Y
末页
结束
串联连接
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v
0 : ( A, B,C) Y
自
动
f : (Af , Bf ,Cf )
控
制 理
反馈连接
论
五、闭环系统的能控性和能观性
定理1：状态反馈不改变受控系统 0 ( A, B,C) 的能控性， 但不保证系统的能观性不变。
等)。
➢ 综合与设计问题
在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻
首页
求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
上页
下页 ➢ 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法
末页 为基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综 结束 合与设计方法。
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目录
自 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
理 论
[C D(I HD)1 HC]X D(I HD)1v
若D＝0，则 X [ A BHC]X Bv
Y CX
闭环系统传递函数：Wh (s) C[sI ( A BHC)]1 B 若受控系统传递函数为： W0 (s) C(sI A)1 B
首页 则还有以下关系式成立：
上页
下页 末页
证明见教材p171。
首页 实际上，对SISO系统而言，状态反馈虽然不改变系统的零
上页
点，但改变了系统的极点，有可能造成零极点对消现象，
下页
从而改变系统的能观性。
末页
结束
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【例5-1】试分析以下系统引入状态反馈K＝[-1 0]后的能控
自 动 控
性和能观性。
X
0 1
1 0
X
0 1 u,
y 0
1 X
制
理 论
解： 0 ( A,的b,能C)控性和能观性：
rank b
Ab
rank
0 1
1 0
2
C
0 1
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rank CA rank 1 0 2
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因此，受控系统既是能控也是能观的。
末页
结束
加入状态反馈 K 1 后0，
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自 动
A
A
bK
0 1
1 0
101
0
0 0
1 0
控 制 理 论
有
rank b
(
A
bK )b
rank
0 1
1 0
2
C
0 1
rank C(A bK) rank 0 0 1
故引入状态反馈后，系统是能控但不能观的。
首页 上页 下页 末页
实际上，由传递函数
W0 (s) C(sI A)1b
s s2 1
结束
Wk (s)
论
状态反馈方框图如图所示：
受控系统：
D
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X AX Bu Y CX Du 通常，D＝0，则
v u
B x
x
C
y
上页 下页 末页 结束
X AX Bu Y CX
记为0 ( A, B,C)
A
K
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图中各矩阵的维数应能保证它们之间的相互运算。
自
u KX v 代入原系统方程得闭环系统的状态空间表
上页 下页
特性：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以
末页
选择系统的特征值，使系统获得所要求的性能。
结束 二、输出反馈
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输出反馈结构图如下：
自 动 控
v u B x x C y
制 理
论
A
受控系统：
H
0 ( A, B,C, D)
u HY v H (CX Du) v HCX HDu v
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u (I HD)1(HCX v)
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末页 结束
代入受控系统：
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X AX Bu AX B(I HD)1(HCX v)
自
[ A B(I HD)1 HC]X B(I HD)1v
动
控 制
Y CX Du CX D(I HD)1(HCX v)
自 统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获
动 控
得所希望的动态性能。
制 理
一、采用状态反馈
论 定理：采用状态反馈对系统 0 ( A,b,C) 任意配置极点的
充要条件是 0 ( A,b,C) 完全能控。